Apontamentos sobre Estática para a MEC0404 T02 em 2016.1 Primeira Parte

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE
CENTRO DE TECNOLOGIA
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA
CÂMARA DE PROJETOS MECÂNICOS E DE FABRICAÇÃO
DISCIPLINA: MEC0404-MECÂNICA DOS SÓLIDOS – T02
PROF.: JOÃO WANDERLEY RODRIGUES PEREIRA
APONTAMENTOS SOBRE ESTÁTICA - PRIMEIRA PARTE
ALUNO:......................................................................................................DATA: 01/02/2016
1.1-REVISÃO HISTÓRICA
A engenharia mecânica é essencialmente um estudo dos efeitos das forças que agem sobre os corpos. A parte da Mecânica conhecida como Estática, e que trata do equilíbrio dos corpos - isto é, sistemas de força que não produzem aceleração - é um velho ramo da ciência.' Os construtores das pirâmides do Egito usaram alguns dos princípios da Mecânica. Os escritos de Arquimedes de Siracusa (287-212 a.C.) mostram que ele entendia das relações necessárias entre as forças que agem sobre uma alavanca para produzir equilíbrio. Stevin (1548-1620) foi o primeiro a estabelecer o princípio do plano inclinado e a empregar o princípio do paralelogramo de forças. A Mecânica moderna desenvolveu-se rapidamente após o tempo de Stevin. As experiências de Galileo Galilei (1564-1642) levaram ao desenvolvimento dos princípios da Dinâmica explorando algumas das teorias falsas dos filósofos gregos. Ele realizou investigações e obteve comprovação experimental das leis da queda dos corpos, muito embora não dispusesse naquela época de relógios adequados para a medida de pequenos intervalos de tempo. Christian Huygens (1629-1695) continuou as investigações mecânicas iniciadas por Galileo. Ele inventou o relógio de pêndulo, determinou a aceleração da gravidade e introduziu os teoremas relativos à força centrífuga. Sir Isaac Newton (1642-1727) completou a formulação dos princípios básicos da engenharia mecânica por sua descoberta da gravitação universal e por seu enunciado das leis do movimento.
1.2-INTRODUÇÃO
Mecânica é aquele ramo da ciência física que considera o movimento dos corpos, com o repouso sendo considerado um caso especial do movimento. Na Mecânica em engenharia, a atenção é dirigida primariamente para os efeitos externos de um sistema de forças que age sobre um corpo rígido. O efeito externo de uma força sobre um corpo é tanto a aceleração do corpo ou o desenvolvimento de forças resistivas (reações) sobre o mesmo. Uma força pode ser definida como a ação de um corpo sobre um outro, o qual altera ou tende a alterar o movimento do corpo que agiu sobre ele.
Quando muitas forças agem em uma dada situação, elas são chamadas de um sistema de forças. Os sistemas de forças podem ser classificados segundo a disposição das linhas de ação das forças do sistema. As forças podem ser coplanares ou não-coplanares, paralelas ou não-paralelas, concorrentes ou não-concorrentes, colineares ou não-colineares. O sistema mais geral das forças é aquele onde as forças são não-coplanares, não-paralelas e não-concorrentes. Isto significa que elas não estão todas em um mesmo plano; elas não são todas paralelas umas com as outras; e elas não se interceptam todas em um ponto comum.
A resultante de um sistema de forças é a mais simples força do sistema que pode substituir o sistema original sem alterar seu efeito externo sobre um corpo rígido. A resultante de um sistema de forças pode ser uma única força, um par de forças paralelas tendo mesma grandeza, mas sentidos opostos (denominado binário), ou uma força e um binário. Se a resultante é uma força e um binário, a força não será paralela ao plano que contém o binário.
Quando o sistema de forças que age sobre o corpo está equilibrado, o sistema não apresenta efeito externo sobre o corpo, ele está em equilíbrio, e o problema está no campo da Estática. Quando o sistema de forças apresenta uma resultante diferente de zero, o corpo será acelerado, e o problema está no campo da Dinâmica. Quando os efeitos internos de um sistema de forças que age sobre um corpo devem ser considerados, ou quando as variações na forma do corpo são importantes, o problema transforma-se em um problema da Mecânica dos Materiais. Neste texto somente são considerados problemas de Estática e Dinâmica. Normal- mente, os efeitos externos de um sistema de forças que age sobre um corpo rígido não se alteram de maneira apreciável devido a pequenas distorções do corpo. Muitos problemas de Estática poderão ser muito complicados quando tais variações de forma são levadas em conta. Assim, neste texto, a maior parte dos corpos será considerada como corpos rígidos. Um corpo no qual todas as partículas permanecem a distâncias fixas uma das outras é chamado um corpo rígido. Nenhum corpo real é absolutamente rígido, mas, em muitos casos, as variações na sua forma têm um efeito desprezível sobre a aceleração produzida por um sistema de forças ou sobre as reações necessárias a manter o equilíbrio. O corpo é considerado como sendo rígido sempre que as variações na distância entre as partículas do mesmo podem ser desprezadas.
1.3-QUANTIDADES ESCALARES E VETORIAIS - OPERAÇÕES ELEMENTARES 
Quantidades físicas, tais como força, massa e aceleração, volume, velocidade e tempo, usadas em engenharia mecânica, podem ser classificadas como quantidades escalares ou vetoriais. Uma quantidade escalar é aquela que tem somente grandeza, enquanto que uma quantidade vetorial tem tanto grandeza como direção. Mais precisamente, qualquer quantidade que envolva grandeza e direção, tanto que possa ser representada por um segmento de reta dirigido e que obedeça à lei de adição do paralelogramo, como explicado posteriormente, é definida como uma quantidade vetorial. A seguir, as quantidades vetoriais podem ser divididas em vetores livres e localizados. Um vetor livre é aquele com uma inclinação e sentido especificados, mas não passando por um ponto particular qualquer, enquanto que um vetor localizado tem uma linha de ação definida ou específica. Em seguida, um vetor localizado pode ser classificado como um vetor deslizante ou um vetor fixo. Um vetor deslizante pode ser aplicado em qualquer ponto ao longo da sua linha de ação, enquanto que um vetor fixo deve ser aplicado em um ponto especificado sobre sua linha de ação.
Massa, volume e tempo são exemplos de quantidades escalares. É evidente que um intervalo de tempo de 3 min não tem direção, e é desta maneira uma quantidade escalar. Entretanto, dizer que o vento está soprando a uma taxa de 30 km/h não significa uma informação completa. Freqüentemente, a direção do vento é tão importante quanto a grandeza da sua velocidade. A velocidade do vento é um exemplo de uma quantidade vetorial. Como ela não age ao longo de uma linha, é um vetor livre e não um vetor localizado. Entretanto, a velocidade ou aceleração de uma partícula podem ser consideradas como vetores localizados passando pela partícula. O momento de um binário, Art. 1.7, é outro exemplo de um vetor livre. Força, impulso e momento são exemplos de vetores localizados. Para ilustrar a importância da posição da linha de ação de uma força (vetor localizado), considere a viga mostrada na Fig. 1.1. Ela é simplesmente suportada em suas extremidades e está submetida a uma carga de 50 N para baixo. Quando a carga está colocada na posição C, centro da viga, as reações dos suportes em A e B da viga são iguais. Se a carga fosse movida para a posição D, o suporte em A teria mais carga e o suporte em B teria menos carga. Em outras palavras, o efeito dos suportes sobre a viga (o efeito externo) depende da posição da carga a que ela está sujeita como também da grandeza e direção da carga.
Como tanto quantidades escalares como vetoriais são encontradas repetitivamente em Mecânica, é importante estar em condições de distinguir entre elas. Nestes livros, as letras representando quantidades vetoriais são colocadas em negrito para indicar e enfatizar o vetor completo; letras representando grandezas de vetores e outras quantidades escalares são colocadas em tipo normal.
O produto de um escalar positivo a e um vetor P é definido como um vetorde grandeza aP com a mesma direção de P, onde P é a grandeza ou valor absoluto do vetor P assim P = |P|. Se o escalar multiplicador é negativo, o sentido do vetor resultante é oposto ao do vetor original.
A soma de um par de vetores concorrentes pode ser determinada por intermédio da lei do paralelogramo, que estabelece que a soma resultante é proporcional à diagonal do paralelogramo cujos lados são proporcionais aos dois vetores. Esta lei não está sujeita a uma prova analítica, mas é exatamente o resultado de observação experimental.
A lei do paralelogramo é ilustrada na Fig. 1.2. A soma dos dois vetores P e Q é o único vetor R, que passa por O, ponto de concorrência de P e Q. A soma, chamada a resultante, pode ser determinada graficamente desenhando-se o paralelogramo em escala. Sua grandeza pode ser determinada algebricamente aplicando-se a lei dos co-senos para um triângulo qualquer, assim:
R = (P2 + Q2  2PQcos)1/2.
Uma seta dupla é freqüentemente empregada para indicar um vetor resultante. O ângulo que R faz tanto com P ou Q pode ser determinado pela lei dos senos, por exemplo,
(sen/Q) = (sen[180o  ( + )]/P.
Outros métodos de adição e subtração vetoriais serão apresentados a seguir.
Como dito anteriormente, qualquer quantidade que envolva direção e sentido e obedeça à lei da adição do paralelogramo é um vetor. Observe na Fig. 1.2 que a adição vetorial é independente da ordem em que ela é realizada, tanto que
R = P + Q = Q + P
e assim, a adição vetorial é comutativa. Quantidades que não são comutativas, mesmo que possam ser representadas por segmentos de reta dirigidos, não são adicionadas segundo a lei do paralelogramo, e desta forma falham quanto a serem classificadas como vetores. Uma rotação angular finita tem grandeza (rotação em radianos) e direção (o eixo ao redor do qual a rotação é realizada com uma especificação de ser horária ou anti-horária) mas não é um vetor porque a adição de rotações angulares finitas não é comutativa. Isto é demonstrado na Fig. 1.3, na qual o avião está executando duas rotações angulares, uma de 90° ao redor do eixo x e a outra de 90o ao redor do eixo y. Se a primeira rotação é ao redor do eixo x e a segunda ao redor do eixo y, a orientação final é mostrada na Fig. 1.3(c); o resultado em ordem inversa é mostrado na Fig. 1.3(e). Como os resultados diferem, a adição de rotações angulares finitas não é comutativa e, desta maneira, a rotação angular não é um vetor. Entretanto, pode ser mostrado que rotações angulares infinitesimais são vetores.
Um vetor unitário é um vetor cuja grandeza é a unidade. Os símbolos i, j e k são usados para representar vetores unitários ao longo dos eixos positivos x, y e z, respectivamente, e o símbolo n é empregado para designar um vetor unitário na direção n. Assim, o vetor P pode ser escrito como P = Pn, onde n é o vetor unitário na direção de P. O emprego de um conjunto consistente de eixos coordenados simplifica muitas das leis da álgebra vetorial. Quando três eixos ortogonais (mutuamente perpendiculares) x, y e z são empregados, eles poderão ser arranjados como um sistema à direita de tal forma que se o sistema fosse girado ao redor do eixo z com o eixo positivo x girando na direção do eixo positivo y, um parafuso com rosca à direita avançaria na direção positiva de z. A Fig. l.4(a) mostra dois arranjos dos eixos x, y e z, ambos sistemas à direita. Os vetores unitários i, j e k são também mostrados na Fig. l.4(a).
Outra maneira de visualizar um sistema de eixos à direita é imaginar os dedos da mão direita fecharem-se ao redor do eixo z [veja a Fig. 1.4(b)], com o polegar apontando na direção positiva de z. Os dedos enrolados na direção do eixo positivo x terão de rodar o ponto na direção do eixo y.
1.4-FORÇAS
Uma vez que a Mecânica é primariamente um estudo do efeito de forças sobre corpos, é importante ter-se uma clara compreensão do conceito de uma força. Uma força foi definida no Art. 1.2. Em virtude da inércia que todos os corpos materiais possuem, eles reagem ou opõem-se a qualquer força que age sobre eles. Quando o corpo A exerce uma força sobre o corpo B, este exerce uma força igual, oposta e colinear sobre o corpo A, como estabelecido na terceira lei do movimento de Newton. Assim, as forças não existem sozinhas, mas sempre agem em pares colineares, iguais e opostos. O efeito de um corpo sobre outro, entretanto, é uma força única (uma do par) e será estudada como tal.
As propriedades que são necessárias a distinguir uma força de qualquer outra são chamadas suas características. As características de uma força, que descrevem seu efeito externo sobre um corpo rígido, são (1) sua grandeza, (2) sua direção (sentido e inclinação) e (3) a localização de qualquer ponto sobre sua linha de ação. A grandeza e o sentido são matematicamente inseparáveis, no que o sentido da força pode ser indicado pelo sinal algébrico de sua grandeza. Uma vez que uma força não está completamente determinada ou identificada a menos que todas as suas características sejam conhecidas, é importante ter-se em mente todas as três características como visto acima. Além disso, para indicar completamente a direção e um ponto sobre a linha de ação de uma força em um plano, é necessário localizar dois pontos sobre a linha de ação da força, ou localizar um ponto sobre esta linha e especificar tanto o sentido como a inclinação da linha, ou o sentido e o ângulo que a linha faz com um eixo de referência no plano. A Fig. 1.5 é uma forma conveniente de apresentar todas as características de uma força em um plano.
Se duas forças têm as mesmas características, elas produzirão o mesmo efeito externo sobre o corpo rígido. Este fato conduz ao princípio da transmissibilidade, o qual estabelece que o efeito externo de uma força sobre um corpo rígido é independente do ponto de aplicação da força ao longo de sua linha de ação.
Até a década de 70, os engenheiros nos Estados Unidos usaram o sistema gravitacional inglês de unidades, no qual a unidade de força é a libra (lbf). Outras unidades de força comumente usadas neste sistema são o klbf ou quilolibra (1000 lbf) e a t (2000 lbf). Durante esta mesma década, numerosas indústrias americanas que envolviam engenharia começaram a empregar um sistema métrico absoluto de unidades, denominado Sistema Internacional (SI). Este sistema (SI) já tinha sido adotado pela maior parte de outras nações industriais do mundo. A unidade de força é o newton (N) em unidades SI. Uma breve discussão das unidades SI está incluída no Apêndice A e uma discussão mais completa do Sistema Internacional de unidades pode ser encontrada em numerosas referências, tais como o Metric Practice Guide da American Society for Testing and MateriaIs.
Como a soma de dois vetores é um vetor, obtido através da lei do paralelogramo, é aparente que uma única força ou outro vetor pode ser resolvido em duas ou mais forças (componentes) por procedimento inverso. O processo de substituir uma força por suas componentes é chamado resolução.
Em um sentido mais geral, uma componente de uma força é qualquer uma das duas ou mais forças que podem ser combinadas pela lei do paralelogramo para produzir a força dada. Estas componentes não necessitam ser concorrentes ou mesmo coplanares. Entretanto, normalmente o termo "componente" é usado para significar tanto uma de duas forças concorrentes coplanares ou qualquer uma de três forças concorrentes não-coplanares que podem ser combinadas vetorialmente com as outras componentes para produzir a força original. O ponto de concorrência deve estar sobre a linha de ação da força original. Esta definição mais estrita será usada neste texto.
Para a maior parte das aplicações, componentes retangulares (mutuamente perpendiculares) de uma força são mais úteis que componentes oblíquas gerais. Na obtenção de componentes retangulares, o paralelogramo reduz-se a uma retângulo. Considere, por exemplo, o retângulo OACB na Fig. 1.6 e a força F sobre a diagonal OC. A força F pode ser escrita
F = Fx + Fy = Fxi + Fyj,
ondeFx = Fcos = F(4/5) e Fy = Fsen = F(3/5)
e um conjunto de componentes retangulares é
Fx = 0,8Fi (ou 0,8F ) passando por O e Fy = 0,6Fj (ou 0,6F ) passando por O
Outro conjunto correto de componentes retangulares é
Fx = 0,8F  (ou 0,8Fi) passando por C e Fy = 0,6F  (ou 0,6Fj) passando por C
Observe que as duas componentes de qualquer força devem se interceptar sobre a linha de ação da força. Em outras palavras, forças ao longo de OA e AC não são as componentes de F, mas sim as componentes de uma força igual passando por A e paralela a F.
Freqüentemente, é interessante resolver uma força no espaço em três componentes mutuamente perpendiculares paralelas aos três eixos coordenados. Então, ela pode ser facilmente expressa como uma função dos três vetores unitários i, j e k. Como indicado na Fig. 1.7, a força R poderá primeiro ser resolvida em duas componentes ao longo de AC e AD por meio da lei do paralelogramo, e a componente ao longo de AD poderá ser posteriormente resolvida em componentes ao longo de AE e AF. Pela figura, vê-se que o vetor posição de A para B é
AB = AC + AF + AE = ACi – AFj + AEk
e
nAB = (ACi – AFj + AEk)/[(AC)2 + (AF)2 + (AE)2]1/2 = cosxi + cosyj + coszk.
Os ângulos x, y e z são os ângulos entre o vetor AB e os eixos coordenados positivos, e nAB é o vetor unitário ao longo de AB. Os co-senos dos ângulos são chamados co-senos diretores. Se o ângulo é maior que 90o, corno para y o co-seno é negativo. A força R pode ser expressa em termos das componentes axiais, multiplicando-se sua grandeza pelo vetor unitário, isto é,
R = Rcosxi + Rcosyj + Rcoszk.
Tanto para duas ou três dimensões, uma componente retangular de uma força é igual ao produto da força e do co-seno do ângulo entre a força e a componente. Observe ainda que as três componentes na Fig. 1.7 interceptam-se no ponto A sobre a linha de ação da força resultante. As componentes de uma força devem sempre se interceptar no mesmo ponto sobre a linha de ação da força. O vetor soma das três forças sobre as linhas AE, ED e DB na Fig. 1.7 não é uma única força, mas sim uma força e um binário, como indicado no Art. 2.4. Assim, eles não são as componentes da única força R.
Se há necessidade do emprego de componentes não retangulares, existem muitos métodos disponíveis para determiná-las. As componentes da força F, mostradas como P e Q sobre OA e OB, respectivamente, na Fig. 1.8, podem ser determinadas graficamente desenhando-se o paralelogramo em qualquer escala conveniente. A grandeza das componentes pode ser determinada algebricamente através da lei dos senos; por exemplo, na Fig. 1.8,
(P/sen) = (F/sen(180o    )) = (Q/sen)
Um terceiro método é resolver a força F em componentes retangulares e equacionar cada uma das componentes retangulares de F à soma das correspondentes componentes retangulares de P e Q (Fig. 1.8). O exemplo 1.1 ilustra este terceiro método de procedimento.
Um método conveniente para a determinação das componentes de uma força, particularmente em três dimensões, é escrever uma expressão para um vetor posição paralelo à força, a partir da geometria da figura. Um s vetor unitário paralelo à força é obtido dividindo-se o vetor posição pela sua grandeza. Quando a grandeza da força é multiplicada pelo vetor unitário, as componentes axiais são obtidas diretamente.
1.5-MULTIPLICAÇÃO DE VETORES
Diferente da multiplicação escalar, há dois tipos comuns de produtos vetoriais," ou seja, o produto escalar ou produto interno (escrito como A·B) e o produto vetorial ou cruzado (escrito como A x B). Estes produtos possuem propriedades inteiramente distintas e são usados para diferentes finalidades.
O produto escalar de dois vetores A e B, arranjado com um ponto comum de origem, como mostrado na Fig. 1.9, é definido como uma quantidade escalar cuja grandeza é 
A·B = ABcos, (1.1)
onde  é o menor ângulo (0o a 180o) entre A e B, conforme mostrado.
Observe que para 90o <  < 180o, cos é negativo e o produto escalar é negativo. Quando  = 90o (A perpendicular a B) A·B = 0. Vetores que não se interceptam são tratados como vetores livres, os quais podem ser deslocados para posições paralelas, de tal forma a se interceptarem. Pela definição, é evidente que 
A·B = B·A;
isto é, o produto escalar é comutativo.
O produto escalar também obedece à lei distributiva, isto é,
A·(B + C) =A·B + A·C.
A expressão A·(B·C) não é definida porque implica um produto de um vetor e um escalar. A expressão A(B·C), entretanto, é válida, visto que representa a multiplicação de um vetor por um escalar.
O produto escalar é útil no cálculo da componente retangular de uma força ou outro vetor em uma direção particular. Se n é um vetor unitário, a grandeza da componente retangular de qualquer vetor A na direção de n é A·n, pois A·n =A(l)cos, e a componente de A na direção de n é (A·n)n. A componente de A perpendicular a n pode ser obtida subtraindo-se a componente na direção n do vetor original. Assim, as duas componentes ortogonais de A paralela e perpendicular a n são
A1 = (A·n)n e A2 = A  (A·n)n.
O produto escalar pode ser facilmente calculado onde os vetores são expressos como funções de i, j e k, uma vez que
i·i =j·j = k·k = l e i·j = j·k = k·i = 0.
As primeiras relações são verdadeiras porque  é zero e cos é igual à unidade; as outras são verdadeiras porque  é 90o e cos é zero. Com estas relações o produto de dois vetores 
A = Axi + Ayj + Azk e B = Bxi + Byj + Bzk
é igual a
A·B = (Axi+ Ayj+ Azk) (Bxi+ Byj+ Bzk) = AxBx + AyBy + AzBz.
	O produto cruzado ou vetorial de dois vetores que se interceptam A e B, arranjados com um ponto comum de origem, como mostrado na Fig. 1.9, é definido como o vetor
C = AxB = nABsen, (1.2)
onde n é um vetor unitário perpendicular ao plano que contém A e B e  é o menor ângulo (0o    180o) medido de A para B. O sentido de C, e de n, é determinado pela regra da mão direita, e está na direção de um parafuso à direita, que avançará quando A gira de um ângulo  na direção de B, veja a Fig. 1.11. A regra da mão direita indica que o sentido de BxA é oposto ao sentido de AxB; isto é,
BxA=  AxB.
Conseqüentemente, é essencial que os fatores de um produto vetorial sejam escritos na ordem correta.
Vê-se, então, que o produto vetorial não é comutativo. Entretanto, ele obedece à lei distributiva. Isto é,
Ax(B + C) = AxB + AxC e (D + E)xF = DxF + ExF.
Observe que a ordem dos fatores deve ser preservada. Em geral, o produto vetorial não satisfaz a lei associativa. Assim
(AxB)xC  Ax(BxC).
Como no caso do produto escalar, é vantajoso expressar-se os vetores como funções de i, j e k, de forma a que se determine seus produtos vetoriais. Como estes valores unitários são mutuamente perpendiculares, e formam um sistema à direita, como mostrado na Fig. 1.4, segue-se que
ixj =  jxi = k, jxk =  kxj = i, kxi =  ixk = j e ixi = jxj = kxk = 0.
Com estas relações básicas, o produto vetorial de dois vetores A e B pode ser obtido da seguinte maneira:
AxB = (Axi+ Ayj+ Azk)x(Bxi + Byj+ Bzk) = AxBxixi+ AxByixj+ AxBzixk +
+ AyBxjxi+ AyByjxj+ AyBzjxk + AzBxkxi + AzBykxj + AzBzkxk
= (AyBz  AzBy)i + (AzBx  AxBz)j + (AxBy  AyBx)k. (a)
A Eq. (a) pode ser expressa pelo determinante
 | i j k |
AxB = | Ax Ay Az |
 | Bx By Bz |
o que pode ser demonstrado pela sua expansão. Isto evita a necessidade de multiplicação dos vetores termo a termo ou de memorização da Eq. (a).
Um exemplo importante do produto vetorial de dois vetores que se interceptam é o momento de uma força em relação a um ponto, que será desenvolvido na seção seguinte.
1.6-MOMENTO DE UMA FORÇA
O momento de uma força pode ser definido em relação a (ao redor de) um ponto e também em relação a uma linha ou eixo. O momento de uma força em relação a um ponto ou eixo é a medida de sua tendência de girarou rodar um corpo ao redor do ponto ou eixo. O momento de uma força F em relação a um ponto A é definido como um vetor com uma grandeza igual ao produto da distância perpendicular de A até F e a grandeza da força, é com uma direção perpendicular ao plano que contém A e F. O sentido do vetor momento é dado pela direção de um parafuso à direita que avançará se girado ao redor de A na direção indicada por F, como mostrado na Fig. 1.13. O momento de uma força é tratado como um vetor localizado passando pelo centro de momento (ou eixo) para enfatizar a dependência entre o momento e seu centro (ou eixo de momento). Para evitar possível confusão, será usado um vetor aberto para representar o momento de uma força, como mostrado na Fig. 1.13.
O momento da força F, na Fig. 1.13, em relação ao ponto A pode ser escrito em termos de um produto vetorial como
M = rxF,
onde r é um vetor posição de A até um ponto qualquer B sobre a linha de ação de F. A validade da representação do produto vetorial pode ser demonstrada expandindo-se o produto vetorial como se segue:
M = rxF = Frsenn = Fpn.
Observe que p = rsen é a distância perpendicular de A até F para qualquer ponto B sobre a linha de ação de F. O vetor unitário n é perpendicular ao plano de r e F, e sua direção, como especificado pela regra da mão direita, tem o mesmo sentido que o vetor momento. O método do produto vetorial no cálculo dos momentos está, desta maneira, em concordância com a definição de um momento. Este método é especialmente útil em problemas tridimensionais, nos quais a geometria torna-se algo complicada, e as distâncias perpendiculares que vão dos centros de momento às linhas de ação das forças não são aparentes.
O momento de uma força, ao redor de uma linha perpendicular ao plano que contém a força, é definido como um vetor com uma grandeza igual ao produto da grandeza da força pela distância perpendicular que vai da linha até a força, e com uma direção ao longo desta linha. Assim, é o mesmo que o momento da força ao redor do ponto de interseção do plano e do eixo de momento.
O princípio dos momentos, como aplicado a um sistema de forças, estabelece que o momento da resultante de um sistema de forças, em relação a um eixo ou a um ponto qualquer, é igual ao vetor soma dos momentos das forças do sistema em relação ao mesmo eixo ou ponto. A aplicação deste princípio a um par de forças concorrentes é conhecido como teorema de Varignon. Este teorema pode ser demonstrado como se segue: Na Fig. 1.14, R é a resultante das duas forças P e Q; O é o centro de momento ou a interseção do eixo de momento, perpendicular ao plano das forças, com o plano das forças; p, q e r são as distâncias perpendiculares desde O até as forças correspondentes. Os ângulos p, q e r são medidos como mostrado, desde a linha que conecta O com o ponto de concorrência das forças, e a é a distância de O até o ponto de concorrência.
A grandeza do momento da resultante, R, em relação a O é
Rr = Ra senr
Pela Fig. 1.14,
Rsenr = AC = AB + BC = Qsenq + Psenp.
Desta maneira
Rr = a(Qsenq + Psenp) = Qasenq + Pasenp = Qq + Pp
A Eq. (a) indica que o momento da resultante, R, em relação a O é igual à soma dos momentos das forças componentes P e Q, em relação a O.
O princípio dos momentos não é restrito a duas forças concorrentes, mas pode ser estendido para qualquer sistema de forças.
A força F da Fig. 1.15 age em um ponto A e tem componentes Fx = Fxi, Fy = Fyj e Fz = Fzk. O momento de F em relação ao ponto O pode ser expresso na forma das componentes, pela expansão do produto vetorial,
MO = rOAxF = (xi + yj + zk)x(Fxi + Fyj + Fzk)
| i j k|
 | x y z| = 
| Fx Fy Fx|
= (yFz – zFy)i + (zFx – xFz)j + (xFy – yFx)k = Mxi + Myj + Mzk,
onde
Mx = yFz – zFy, My = zFx – xFz e Mz = xFy – yFx
são as grandezas das componentes ortogonais de MO, nas direções x, y e z.
Estes valores são também as grandezas do momento de F em relação aos eixos x, y e z. Isto pode ser facilmente visto a partir da Fig. 1.15. O momento de F, em relação ao eixo x, a partir do princípio dos momentos, é igual à soma dos momentos das componentes de F. Como Fx é paralela ao eixo x, seu momento é zero. O eixo x é perpendicular ao plano que contém tanto Fy como Fz; assim, a grandeza do momento ao redor do eixo x é
Mx = yFz – zFy,
onde os sinais algébricos são determinados pela regra da mão direita. Os valores de My e Mz podem ser determinados pelo mesmo procedimento.
Assim, o momento de F em relação a O é visto ser o vetor soma dos momentos em relação aos três eixos ortogonais x, y e z, passando por O. Analogamente, as componentes ortogonais de MO são os momentos em relação aos eixos x, y e z.
Como os eixos x, y e z podem ser escolhidos em qualquer direção desde que eles sejam perpendiculares uns aos outros, segue-se que o momento de F em relação a qualquer linha passando por O é a componente ortogonal de MO, paralela a esta linha. Desta maneira, pode ser estabelecida a seguinte proposição geral.
O momento de uma força, em relação a uma linha, pode ser determinado calculando-se o momento da força em relação a algum ponto sobre a linha e então, calculando-se a componente ortogonal do momento paralela à linha de referência. Estas duas operações, o produto vetorial do vetor posição pela força, para o obtenção do momento ao redor de um ponto, seguido do produto escalar do momento ao redor de um ponto por um vetor unitário ao longo do eixo de momento desejado, podem ser desenvolvidas em seqüência ou combinadas em uma única operação. Se é necessário o momento de uma força F em relação a uma linha AC, o momento ao redor de qualquer ponto A sobre AC é rxF, e
MAC = [n·(rxF)]n,
onde n é um vetor unitário ao longo do eixo de momento AC. A quantidade entre parênteses é chamada um triplo produto escalar, pois é o produto escalar de dois vetores n e rxF. O triplo produto escalar pode ser calculado por intermédio de um determinante como
 |nx ny nz|
n·(rxF) = |rx ry rz|
 |Fx Fy Fz|
A validade desta expressão pode ser demonstrada substituindo-se as formas expandidas dos três vetores e realizando-se as operações indicadas. O vetor unitário pode ser selecionado de A para C ou no sentido inverso. Um coeficiente positivo de n na expressão para MAC significa que o vetor momento tem o mesmo sentido que o selecionado para n, enquanto que um sinal negativo indica que MAC é oposto ao sentido de n.
1.7-BINÁRIOS – DEFINIÇÃO E APLICAÇÕES
Um binário consiste em duas forças que possuem grandezas iguais e linhas de ação paralelas e não-colineares, mas que são opostas em sentido. Como a soma das forças de um binário em qualquer direção é zero, um binário não apresenta tendência a transladar um corpo em qualquer direção, mas somente a girar o corpo sobre o qual age. Como será mostrado posteriormente, um binário não pode ser reduzido a um sistema de forças mais simples.
Uma característica singular de um binário reside no fato de que apresenta o mesmo momento em relação a qualquer ponto no espaço. Em outras palavras, o momento de um binário é independente de seu centro de momento. Isto é demonstrado pela Fig. 1.20, na qual as forças F1 e F2 estão no plano A e constituem um binário (F1 = – F2). O momento do binário em relação a qualquer ponto, tal como a origem O, é a soma dos momentos das duas forças. Assim,
MO = r1xF1 + r2xF2 = r1xF1 + r2x( F1) = (r1  r2)xF1,
onde r1 e r2 são os vetores posição que vão da origem a pontos arbitrários em F1 e F2.
Uma vez que r1 = r2 + r21 na Fig. 1.20, a partir do que r1 – r2 = r21, o momento torna-se
MO = r21xF1 = r21F1senn = F1pn
onde p = r21sen é a distância perpendicular entre as duas forças e n é um vetor unitário perpendicular ao plano das forças, com seu sentido determinado pela regra da mão direita. O momento do binário é independente do centro de momento e depende somente da grandeza das forças e da distância entre elas.
O momento de um binário e o momento de uma força em relação ao centrode momento (veja Art. 1.6) são ambas quantidades vetoriais e podem ser resolvidas em componentes ou combinadas em vetores resultantes. Entretanto, será verificado que o momento de uma força é dependente do centro de momento e, assim, é um vetor localizado enquanto que o momento de um binário é independente do centro de momento e é um vetor livre.
As características de um binário, que indicam seus efeitos externos sobre um corpo rígido, são (1) a grandeza do momento do binário e (2) a direção do vetor momento, que, pela regra da mão direita, também especifica o sentido de rotação do binário. Assim, um binário pode ser escrito como a sua grandeza multiplicada por um vetor unitário na direção do vetor momento. Não se pode especificar nenhum ponto sobre a linha de ação do vetor momento, uma vez que os binários são vetores livres e assim independentes do centro de momento.
Freqüentemente, um binário é indicado por uma seta nos sentidos horário ou anti-horário quando estão envolvidos sistemas coplanares de forças, em lugar de duas forças separadas. Neste texto, os vetores binários são normalmente apresentados por setas abertas. A Fig. 1.21 ilustra três métodos empregados para indicar um binário em uma peça estrutural. O momento do binário é 5.000(0,018) = 90 N.m.
1.8-EQUAÇÕES DIMENSIONAIS – UNIDADES
As quantidades físicas usualmente estudadas em engenharia mecânica podem ser expressas em função de três dimensões básicas ou fundamentais. Estas dimensões usadas em engenharia mecânica, quando se empregam unidades métricas absolutas (S I ou Sistema Internacional), são massa (m), comprimento (L) e tempo (T). O sistema gravitacional inglês usa a atração da Terra sobre um corpo (seu peso) como uma dimensão fundamental, e as três quantidades básicas são força (F), comprimento (L) e tempo (T). As dimensões de outras quantidades físicas podem ser expressas em termos das três quantidades básicas selecionadas. Temperatura, carga ou corrente elétricas, intensidade luminosa e quantidade de matéria são outras quantidades fundamentais necessárias para alguns campos de estudo, mas geralmente não são encontradas em engenharia mecânica.
A segunda lei do movimento de Newton estabelece que a aceleração de uma partícula sujeita à ação de uma força não-balanceada é proporcional à força e inversamente proporcional à massa da partícula. Esta lei pode ser expressa algebricamente como
a = K(F/m) (1.3)
onde a é a aceleração (LT2) e K é uma constante adimensional de proporcionalidade. Dimensionalmente, a equação torna-se
LT2 = Fm1
e quando se considera m a quantidade básica, as dimensões de força são mLT2.
Quando são substituídas quantidades numéricas em uma equação dimensionalmente homogênea, é essencial que sejam usadas unidades consistentes. O sistema métrico absoluto (SI) emprega o quilograma (kg), metro (m) e segundo (s) como unidades para massa, comprimento e tempo, respectivamente. O sistema gravitacional inglês usa libras (lbf), pés (pé) e segundos (s), como unidades para força, comprimento e tempo.
A constante K na Eq. (1.3) será unitária se a quantidade derivada está especificada em unidades que sejam consistentes com aquelas das quantidades fundamentais. A unidade de força no SI é chamada newton (N) e é a força que, quando aplicada a uma massa de um quilograma (kg), produzirá uma aceleração de um metro por segundo2 (m/s2). A unidade de massa no sistema gravitacional inglês é a libra-segundo2 por pé, freqüentemente chamada um slug, e é a massa que receberá uma aceleração de um pé por segundo2 quando sujeita a uma força de uma libra.
Uma das forças mais comuns na natureza é a atração gravitacional da Terra sobre um corpo. Esta força é comumente chamada o peso de um corpo. O peso de um corpo, ou qualquer outra força que age sobre um corpo, pode ser obtido multiplicando-se a massa do corpo pela aceleração que a força produzirá. Quando um corpo está caindo livremente, a única força que age sobre ele é seu peso P, e a aceleração é a aceleração da gravidade g. Assim, pela Eq. (1.3)
g = (1)(P/m) ou P = mg
O peso de um corpo em newtons é assim igual à sua massa em quilogramas multiplicada pela aceleração da gravidade, aproximadamente 9,81 m/s2 próximo à superfície da Terra.
Alguns exemplos de dimensões de quantidades físicas, comumente encontradas em engenharia mecânica, são mostradas na Tabela 1.1, junto com as unidades usadas pelos engenheiros nos sistemas métrico (SI) e inglês. Veja o Apêndice A para discussão posterior do Sistema Internacional de Unidades.
Quando duas ou mais quantidades são adicionadas ou subtraídas, elas devem possuir as mesmas dimensões, se o resultado deve apresentar algum significado físico. Considere a expressão
3m + 4s + 10kg,
que pode dimensionalmente ser escrita como
L + T + m.
Os termos a serem adicionados não apresentam as mesmas dimensões, e a expressão não possui significado físico. Todo termo da equação deve ter as mesmas dimensões se a equação deve ser dimensionalmente homogênea e ter uma interpretação física real. Este fato deve ser usado para conferir a correção dimensional de uma equação derivada quando são conhecidas as dimensões de cada unidade. Isto pode ser também empregado para determinar-se as dimensões desconhecidas de uma ou mais quantidades em uma equação.
As equações dimensionais são também úteis na elaboração e na análise dos resultados das mesmas. Entretanto, tal emprego não está dentro do escopo deste texto.
As equações indicando as unidades usadas em vez das dimensões podem ser empregadas como verificação dos valores numéricos substituí- dos em uma equação, particularmente quando alguma quantidade, tal como comprimento, é dado em metros em uma expressão e em milímetros ou quilômetros em outra. Em equações numéricas, recomenda-se que todas as quantidades estejam em termos de unidades básicas - quilogramas, metros e segundos - multiplicadas por potências de 10, em vez de usar prefixos numéricos: mili, quilo, mega etc. Os resultados finais deverão ser dados empregando-se prefixos apropriados (veja ANSI Z210.1-1973).
1.9-CÁLCULOS NUMÉRICOS
Para a solução de problemas em engenharia mecânica, serão úteis tanto uma calculadora científica (uma com funções trigonométricas, logarítmicas e exponenciais) ou uma régua de cálculo. A maioria das calculadoras fornece resultados com oito ou 10 dígitos, enquanto que as réguas de cálculo apresentam somente três ou quatro dígitos. Os resultados finais devem refletir a precisão dos dados empregados na sua obtenção, nem dando poucos nem muitos dígitos significativos. Sugere-se que todos os cálculos intermediários devam ser realizados com mais um algarismo significativo do que o desejado no resultado final.
Em geral, o resultado final não conterá mais algarismos significativos que a precisão do último algarismo usado para obtê-lo. Por exemplo, se a área de uma figura retangular deve ser obtida medindo-se os dois lados, o resultado não deve ter maior precisão que a última precisão de medida. Suponha que o lado maior fosse medido como 338,4 mm e que o lado menor fosse 17,1 mm; a área seria 338,4 (17,1) = 5.790 mm2. A inclusão de mais algarismos dá um sentido falso de precisão, pois se o lado fosse algo entre 17,05 e 17,15 mm, seria ainda dado como 17,1 ao próximo 0,1 mm, o que é subtendido pelos dados. Os dois comprimentos limite darão áreas entre 5.770 e 5.800 mm2, tanto que obviamente será enganoso dar mais que três algarismos no resultado. Se dois ou mais algarismos devem ser adicionados ou subtraídos, o resultado final não conterá mais algarismos significativos que a última precisão dos dados. Se uma peça de aço com 1,66 m deve ser acoplada a uma peça de 25,5 mm, o comprimento total será 1.660 + 22,5 = 1.680 mm.
Não haverá sentido em se dar o comprimento total com 1.682,5 mm, uma vez que os comprimentos originais foram medidos somente próximo a 0,01 m ou 10 mm. Se o comprimento original tivesse sido medido mais exatamente,o resultado seria algum valor entre 1.655 e 1.665 mm. Assim, sem maiores refinamentos, o comprimento total será dado somente como 1.680 mm.
As respostas aos problemas neste texto são normalmente dadas com quatro algarismos significativos, quando o primeiro dígito é 1, e com três algarismos para ou três números. Em problemas com dados fornecidos com somente um ou dois algarismos significativos, as respostas são baseadas na consideração de que tais dados são exatos.
A clareza na resolução de problemas não deve ser olhada como um fim, mas antes como uma segurança contra erros descuidados. A menos que um problema deva ser resolvido graficamente, não é necessário desenhar figuras em escala, e normalmente será satisfatório um desenho a mão livre. Entretanto, se o esquema e os cálculos que o acompanham são dispostos de uma maneira clara e ordenada, o problema normalmente pode ser resolvido mais rápido, os cálculos serão mais fáceis de verificação, e as chances de erro serão grandemente reduzidas. A ordem na resolução de problemas também auxilia o desenvolvimento de um método sistemático e ordenado de raciocínio, que é uma vantagem adicional a ser derivada do estudo da Mecânica.
2-SISTEMAS DE FORÇAS
2.1-INTRODUÇÃO
A resultante de um sistema de forças foi definida como a força mais simples do sistema que pode substituir o sistema original sem que seja alterado seu efeito externo sobre um corpo rígido. Quando a resultante de um sistema de forças é zero, o corpo sobre o qual o sistema age está em equilíbrio e diz-se que ele está balanceado. É também comum dizer-se na prática que um sistema de forças está em equilíbrio quando sua resultante é zero. Conseqüentemente, o estudo de resultantes é uma preliminar na determinação das equações necessárias ao equilíbrio para cada tipo de sistemas de forças. Se um sistema de forças não-balanceado age sobre um corpo, este será acelerado, e a aceleração dependerá, entre outras coisas, da resultante do sistema de forças. Além disso, o estudo de resultantes é um estudo preliminar necessário à Dinâmica. Neste capítulo, serão desenvolvidos procedimentos para a determinação de resultantes de vários tipos de sistemas de forças.
Estes tipos, juntamente com suas possíveis resultantes, são listados abaixo para uma fácil referência. Para se fornecer uma informação completa a respeito de uma resultante, devem ser especificadas todas as características de cada força resultante e de cada binário resultante. Um bom método de se apresentar esta informação é mostrar a resultante em um diagrama. Neste texto, as resultantes são indicadas pelo emprego de setas duplas.
Tipos de sistemas de forças Possíveis resultantes
Concorrente Força
Coplanar Força ou um binário
Paralelo Força ou um binário
Tridimensional geral Força, ou um binário, ou uma força e um binário
2.2-RESULTANTE DE UM SISTEMA DE FORÇAS CONCORRENTES
Considere as três forças não-coplanares F1, F2 e F3 na Fig. 2.1, todas passando pelo ponto O. A resultante das duas forças F1 e F2 é a diagonal R12 do paralelogramo oabc, como mostrado. A força R12 pode em seguida ser combinada com F3 por meio do paralelogramo obde, dando a resultante das três forças F1, F2 e F3 como R. Se há mais forças no sistema, este processo pode ser continuado até que todas as forças tenham sido incluídas. Observe que a resultante deve passar pelo ponto de concorrência.
Da discussão anterior, vê-se que a resultante de um sistema de forças concorrentes é uma única força que passa pelo ponto de concorrência e que a força resultante estará completamente determinada quando sua grandeza e direção são conhecidas. A resultante de um sistema de forças concorrentes pode ser assim determinada como o vetor soma das forças do sistema.
O vetor soma das forças pode ser obtido mais facilmente se cada força é resolvida em componentes paralelas a um sistema de eixos ortogonais, como mostrado no Art. 1.4. Assim, o vetor soma de um sistema de forças concorrentes F1, F2 e F3 é
R = F1 + F2 + F3 = F, (2.1)
e que pode ser escrita na forma de componentes como
Rxi + Ryj + Rzk = (Fxi + Fyj + Fzk) = Fxi + Fyj + Fzk
Desta maneira,
Rx = Fx, Ry = Fy e Rz = Fz (2.2)
O procedimento para se encontrar a resultante de um sistema de forças concorrentes é ilustrado nos exemplos que se seguem.
2.3-RESULTANTE DE UM SISTEMA DE FORÇAS COPLANARES
A resultante das quatro forças coplanares Fl, F2, F3 e F4 na Fig. 2.3 pode ser obtida por sucessivas aplicações da lei do paralelogramo, e este método também demonstrará as possíveis formas da resultante. Fazendo-se uso do princípio da transmissibilidade, as forças F1 e F2 são deslocadas ao longo de suas linhas de ação até seu ponto de interseção. Então, é construído um paralelogramo para determinar sua resultante Rl2. A resultante R12 é então combinada da mesma maneira com a força F3 para obter a resultante Rl23, e finalmente a resultante do sistema de forças, Rl234, é determinada pela combinação de Rl23 com F4. Assim, a resultante é determinada completamente, uma vez que as três características (grandeza, direção e um ponto sobre a linha de ação) são todas incluídas no diagrama. Observe que a força resultante R = Rl234 está no plano do sistema original.
No caso aqui considerado, a resultante foi encontrada como uma única força. A resultante será um binário sempre que a resultante de todas as forças do sistema, exceto uma delas, e a força resultante formem um binário. Assim, é evidente que a resultante de um sistema de forças coplanares não-concorrentes é tanto uma única força ou um binário.
O método acima de se obter a resultante de um sistema de forças coplanares não-concorrentes pode ser um pouco enfadonho quando estão envolvidas muitas forças, não sendo assim um método prático.
Quando a resultante é uma força, o procedimento de se somar as forças como descrito no Art. 2.2 pode ser usado para a determinação da grandeza e da direção da força resultante. Se F = 0, a resultante será um binário ou o sistema está em equilíbrio. Resta somente o problema de localizar um ponto sobre a linha de ação da força resultante ou de se determinar a grandeza do momento e sentido de rotação de um binário resultante.
O problema restante pode ser resolvido pelo emprego do princípio dos momentos, pelo Art. 1.6, que estabelece que o momento da resultante de um sistema de forças em relação a um ponto qualquer (centro de momento) ou eixo é igual ao vetor soma dos momentos das forças do sistema em relação à mesma referência. Com a grandeza e direção da resultante conhecidas, a partir do vetor soma das forças, o vetor posição que vai do centro de momento ao ponto sobre a força resultante será a única incógnita quando o momento da resultante é igualado à soma dos momentos das forças. Os exemplos seguintes ilustram o procedimento.
2.4-RESULTANTE DE UM SISTEMA GERAL DE FORÇAS NO ESPAÇO
A resultante de um sistema geral de forças no espaço pode ser uma única força ou um binário, mas é em geral uma força e um binário.
Quando todas as forças do sistema são paralelas, a resultante será uma única força (paralela às forças dadas) ou um binário em um plano paralelo às forças dadas. A razão que reforça esta afirmação torna-se evidente se a resultante de duas forças quaisquer é obtida inicialmente, e então combinada com cada força adicionada por seu turno. A resultante é uma força R = F quando F é diferente de zero. Se F é igual a zero, a resultante é um binário a menos que a soma dos momentos de todas as forças em relação a um ponto qualquer seja zero, caso no qual o sistema está em equilíbrio. Quando a resultante é uma força, sua posição pode ser determinada usando-se o princípio dos momentos, como ilustrado no Exemplo 2.5.
A resultantede um sistema de binários deve ser um binário (ou zero). Pela definição de um binário, F deve ser igual a zero. Desta maneira, segue-se que F será zero para qualquer sistema de binários. Uma vez que o momento de um binário é independente do centro de momento (o momento de um binário é um vetor livre), os vetores representativos dos momentos dos binários podem ser considerados constituintes de um conjunto de vetores concorrentes no espaço, passando por qualquer centro de momento conveniente. A resultante de um sistema de binários é assim o vetor soma dos momentos dos binários e deve ser um binário.
A resultante de um sistema geral qualquer de forças pode ser obtida resolvendo-se cada força em uma força paralela passando por algum ponto comum ou origem e um binário. Assim, o sistema geral é reduzido a um conjunto de forças concorrentes e um conjunto de binários. A resultante das forças concorrentes é obtida como o vetor soma das forças componentes, R = F, como explicado e demonstrado no Art. 2.2. O momento de cada um dos binários é rxF, onde r é o vetor posição que vai do ponto comum a qualquer ponto sobre F, e o momento da resultante do conjunto de binários é M = rxF. Se as forças do binário resultante M estão em um plano paralelo à força resultante R (os vetores M e R serão perpendiculares), o binário e a força podem ser combinados para dar uma única força como a resultante (veja o Art. 1.7). Por outro lado, a resultante consistirá em uma força e um binário ou em duas forças não-coplanares. Um sistema deste tipo pode ser reduzido a uma força e um binário com forças em um plano perpendicular à força; isto é, definido como um parafuso ou hélice. Normalmente tal redução não é necessária. A representação vetorial de um binário é útil na identificação de problemas em que a força resultante é paralela ao plano que contém as forças do binário, caso em que a força e o binário podem ser combinados para dar uma única força. Como o vetor M que representa o binário é perpendicular ao plano do binário, ele também será perpendicular à força resultante R; assim sendo, M·R será zero, uma vez que R é paralelo ao plano do binário.
Os exercícios apresentados na lista a ser entregue ilustram o procedimento para a determinação da resultante de um sistema geral de forças.
2.5-RESUMO
As possíveis resultantes, que sejam diferentes de zero, de sistemas de forças e os procedimentos para encontrá-las podem ser sumarizados como se segue.
A resultante de um sistema de forças concorrentes é sempre uma única força passando pelo ponto de concorrência. Sua componente em qualquer direção é igual à soma das componentes das forças do sistema na direção dada. Não são necessárias equações de momento para a determinação completa da resultante.
A resultante de um sistema de forças paralelas, tanto coplanares como não-coplanares, e de um sistema de forças coplanares não-concorrentes, é uma força ou um binário. É uma força quando o vetor soma das forças é diferente de zero e tanto um binário como igual a zero quando a soma vetorial das forças é igual a zero. Uma força resultante pode ser localizada pela aplicação do princípio dos momentos em relação a um ponto ou a um ou mais eixos. Quando a resultante é um binário, seu momento pode ser determinado somando-se os momentos em relação a um ponto qualquer.
A resultante de um sistema qualquer de binários é um binário, e pode ser determinado como a soma vetorial dos momentos dos binários.
A resultante de um sistema geral de forças no espaço é uma força e um binário. A força resultante passando pela origem é dada pelo vetor soma das forças, e o binário correspondente é dado pelo vetor soma dos momentos das forças em relação à origem. Assim, duas equações vetoriais (que são equivalentes a seis equações escalares) são necessárias para se determinar a resultante.
3-SISTEMA DE PARTÍCULAS NO MEIO GRAVITACIONAL
3.1-INTRODUÇÃO
A força de atração da Terra sobre uma partícula é denominada o peso da partícula. Um corpo consiste em um número de partículas, cada uma das quais possui um peso, ou força de atração, dirigida diretamente em direção ao centro da Terra. A resultante deste sistema de forças gravitacionais' no espaço é o peso do corpo. A posição da linha de ação do peso resultante quando um corpo está em uma posição qualquer pode ser determinada por meio do princípio dos momentos para forças paralelas no espaço, como indicado no Art. 2.4. Se o corpo gira no espaço, os pesos das várias partículas não mantêm as mesmas posições relativas e, desta maneira, o peso resultante estará em uma posição diferente em relação às partículas do corpo.
Entretanto, o peso resultante passa por um ponto do corpo, ou do corpo estendido, para todas as suas orientações, e este ponto é definido como o centro de gravidade ou centro de massa do corpo.
Uma vez que o centro de gravidade de um corpo é um ponto, são necessárias três coordenadas para indicar completamente sua posição. Duas destas coordenadas podem ser determinadas pela interseção da linha de ação da resultante das forças paralelas com um plano coordenado no corpo, e que não é paralela às forças. A terceira coordenada pode ser obtida através da posição do peso resultante para uma orientação diferente do corpo no espaço, como ilustrado no Exemplo 3.1.
Qualquer que seja a simetria que o corpo possua, isto simplifica o problema de localizar seu centro de gravidade ou centro de massa. Se o corpo apresenta um plano de simetria, o centro de gravidade está neste plano. Analogamente, o centro de gravidade de um corpo homogêneo está localizado sobre qualquer linha de simetria ou em um ponto de simetria.
3.2-O CENTRO DE GRAVIDADE DE UM SISTEMA DE PARTÍCULAS
O procedimento para a determinação das coordenadas do centro de gravidade de um sistema de partículas é ilustrado em exercício contido na lista a ser entregue:
3.3-O CENTRO DE GRAVIDADE DE UM CORPO
Como um corpo consiste em um número infinito de partículas, a localização do centro de gravidade pelo método descrito no Art. 32 seria muito trabalhosa, quando não impossível. Pode ser desenvolvido um método geral de procedimento considerando-se a placa da Fig. 3.3. O peso resultante da placa pode ser determinado admitindo-se que ela seja constituída de um número infinito de pequenos elementos, cada um deles tendo um peso dado pela expressão
dP = – kgt.dA,
onde dP é o peso de um elemento,  é a densidade do material (massa por unidade de volume), g é a aceleração da gravidade, t é a espessura da placa e dA é a área do elemento (área da superfície no plano xy). O peso total da placa é
P = – kdP = – kgt.dA,
onde a integral é calculada sobre toda a área da mesma.
As coordenadas de um ponto sobre a linha de ação do peso resultante podem ser determinadas por intermédio do princípio dos momentos. O momento do peso do elemento em relação à origem é
dMO = rxdP = (xi + yj)x(– kgt.dA) = – ygt dAi + xgt dAj,
e o momento resultante em relação à origem é
MO = iygt.dA + jxgt.dA.
A interseção do peso resultante com o plano xy é obtida pela aplicação do princípio dos momentos. Isto é,
MO = rGxP = (xGi + yGj)x(– Pk) = – yGPi + xGPj.
As equações (a) e (b) serão iguais somente se as componentes correspondentes forem iguais. Desta maneira
yGP = ygt.dA ou yG = (ygt.dA/gt.dA)
xGP = xgt.dA ou xG = (xgt.dA/gt.dA) (3.1a)
O centro da gravidade do corpo está sobre uma linha paralela ao eixo z, passando pelo ponto (xG, yG). Quando t e  são constantes, zG pode ser obtida por simetria. Se tanto t ou  são variáveis, a placa pode ser girada de tal forma que tanto o eixo x ou o eixo y estejam na vertical. Neste caso, o princípio dos momentos fornece
zG = (zg.dV/g.dV) (3.1b)
onde dV é igual a dA.dt.
3.4-CENTRÓIDES
Se a placa na Fig. 3.3 tem uma espessura constante e é homogênea (apresenta uma densidade constante), o produto gt na Eq. (3.1a) pode ser tirado parafora do sinal de integral e eliminado das equações, conduzindo a
yC = (y.dA/dA), xC = (x.dA/dA) (3.2)
Os termos xG e yG têm sido usados para designar as coordenadas do centro de gravidade (a linha de ação do peso resultante passa pelo centro de gravidade) de um corpo ou séries de corpos, e os termos xC e yC são usados para indicar as coordenadas centroidais de uma forma geométrica, área, volume etc. Esta distinção é apresentada mais à frente, neste artigo, com maiores detalhes. Em cada uma destas equações, o denominador é a área da superfície da placa no plano xy, e o numerador é chamado o primeiro momento da área em relação ao eixo x ou ao eixo y.
O ponto localizado pelas coordenadas xC e yC é definido como o centróide da área da superfície superior da placa. Uma vez que uma área plana não tem espessura, o centróide deve estar no plano da área, e são suficientes duas coordenadas para localizá-lo.
O primeiro momento de uma área, em relação a um eixo, é o produto da área pela coordenada do centróide, medida a partir daquele eixo. Conseqüentemente, o momento de uma área tem as dimensões de L2 vezes L, ou L3, e tem unidades de m3, mm3, e assim por diante.
O momento de uma força, em relação a um ponto, é uma quantidade vetorial obtida através do produto vetorial do vetor posição pela força. O momento de uma área, em relação a um ponto, também é um vetor, que é igual ao produto da área (escalar) multiplicado pelo vetor posição do centróide da área. O momento (vetor) pode ser resolvido em componentes, e, em geral, é conveniente a determinação direta destas componentes. Os numeradores na Eq. (3.2) são, respectivamente, as componentes y e x do momento da área em relação à (com respeito à) origem. Assim, o momento em relação ao eixo x é a componente y do momento em relação à origem, e o momento em relação ao eixo y é a componente x do momento resultante.
Se uma área apresenta um eixo de simetria, o centróide está sobre este eixo, e se uma área apresenta dois eixos de simetria, o centróide da área está no ponto de interseção dos dois eixos.
O princípio dos momentos pode ser usado de maneira semelhante para localizar os centróides de outras figuras geométricas, tais como linhas, volumes e áreas, que não estejam em um plano, e também localizar o centro de massa de um corpo.
O centróide de qualquer figura geométrica (linha, área ou volume) é um ponto na figura, ou em seu prolongamento, localizado de tal forma que o primeiro momento (vetor) da figura, em relação a qualquer ponto de referência, é o produto do comprimento, área ou volume multiplicado pelo vetor posição que vai do ponto de referência ao centróide. O primeiro momento de qualquer figura em relação ao seu centróide é zero, uma vez que o vetor posição é zero.
Foi mostrado no Art. 3.1 que, para todas as aplicações práticas, o centro de gravidade e o centro de massa são idênticos. As equações para se obter o centro de massa de um sistema de n partículas podem ser convenientemente expressas na forma vetorial por
rGmi = rimi (3.3a)
onde rG é a posição do centro de massa e ri é a posição da i-ésima partícula de massa mi.
Se as partículas formam um corpo contínuo, os somatórios podem ser substituídos por integrações para dar
rGdm = rdm = rdV (3.3b)
onde  é a densidade (massa por unidade de volume) do elemento e dV é o seu volume.
As Eqs. (3.3a) e (3.3b) podem ser resolvidas em componentes substituindo-se rG por xGi + yGj + zGk e r por xi + yj + zk. Assim, cada componente do centróide pode ser calculada independentemente. Como xG, e x representam a distância a partir do plano yz, a expressão x.dm é o momento da massa em relação ao plano yz, sendo que argumentos semelhantes aplicam-se a y.dm e z.dm.
O centro de gravidade de um corpo e o centróide do volume correspondente coincidirão quando o material do corpo é homogêneo. Se a densidade é variável, o centro de gravidade do corpo e o centróide do volume normalmente serão diferentes. Por exemplo, em uma esfera composta de hemisférios de madeira e aço, como indicado na Fig. 3.4, o centróide do volume está em C, enquanto que o centro de gravidade está em G, a alguma distância à direita de C. O termo centróide é usado aqui em conexão com figuras geométricas, enquanto que centro de massa e centro de gravidade referem-se a corpos físicos.
3.5-CENTRÓIDES E CENTROS DE GRAVIDADE POR INTEGRAÇÃO
A determinação, por integração, das coordenadas do centróide de uma linha, área ou volume de uma figura geométrica, ou o centro de massa ou centro de gravidade de.um corpo, envolve princípios idênticos. Por esta razão, a discussão que se segue será limitada principalmente a áreas, as quais estarão colocadas no plano xy. Algumas vezes, é possível determinar-se uma ou ambas as coordenadas do centróide por simetria, como por exemplo as coordenadas do centróide de uma área retangular ou circular.
Foi mostrado no Art. 3.4 que o momento de uma área em relação a qualquer ponto de referência é um vetor. Entretanto, a sua determinação é normalmente acompanhada do cálculo de suas componentes escalares, e a discussão abaixo vai se referir a estas componentes. Se uma área está no plano xy, seu momento em relação a origem é
MO = rdA = (xi + yj).dA = ix.dA + jy.dA.
A quantidade x.dA é chamada o momento da área em relação ao eixo y, pois x é a distância do elemento ao eixo y. Analogamente, y.dA é o momento da área em relação ao eixo x.
A locação do centróide de uma área por integração envolve a seleção e o uso de um elemento desta área. Este elemento pode normalmente ser selecionado de tal maneira que seja necessária somente uma integração. Entretanto, algumas vezes pode haver necessidade do emprego de integração dupla ou talvez tripla para volumes. O elemento deve ser escolhido de tal forma que a distância do seu centróide ao eixo ou plano de momento seja conhecida. Estas duas regras podem ser úteis na seleção do elemento apropriado:
1. Quando o elemento é escolhido de tal maneira que todas as suas partes estão à mesma distância do eixo ou plano de referência, esta distância comum é obviamente a distância centroidal.
2. Quando as partes do elemento selecionado estão a distâncias diferentes do eixo ou plano de referência, a locação do centróide pode ser conhecida ou ser facilmente obtida por simetria.
Na análise de qualquer problema, um procedimento ordenado e lógico auxilia a desenvolver tanto uma compreensão do assunto estudado como uma maneira eficaz de solucionar os problemas. Abaixo, são sugeridos os seguintes passos como uma seqüência para a determinação das coordenadas do centróide de uma linha, área ou volume de uma figura geométrica, ou o centro de massa ou centro de gravidade de um corpo. Os passos listados aplicam-se a todos os casos, apesar da presente discussão referir-se a áreas.
1. Desenhar o elemento selecionado em um esboço da figura e dimensioná-lo completamente como mostrado nos exemplos ilustrativos a seguir. Quando empregar integração dupla, esquematizar o elemento e então estendê-lo, com linhas tracejadas, de forma a indicar o resultado da primeira integração como mostrado na Fig. 3.7.
2. Escrever uma expressão para a área do elemento e simplificar a expressão tanto quanto possível.
3. Integrar a expressão do passo 2 para determinar a área. Se é usada integração dupla, deve-se tomar cuidado nos limites a serem empregados.
4. Escrever uma expressão para o momento do elemento de área, em relação a qualquer ponto, eixo ou plano de referência desejado, e simplificar esta expressão tanto quanto possível.
5. Integrar a expressão do passo 4 para determinar o momento da área.
6. Dividir o momento do passo 5 pela área do passo 3, para obter a posição do centróide em relação ao ponto, eixo ou plano de referência.
Se o centróide é mostrado aproximadamenteem escala, poderão ser detectados erros grosseiros.
Em alguns dos problemas seguintes, as equações para os limites das áreas e sólidos são dados por equações e contêm afirmações tais como “3y = 4x2, onde x e y estão em metros”. Para que este tipo de equação seja dimensionalmente correto, deverá ser entendido que alguns dos coeficientes das variáveis x e y apresentam dimensões. Assim, a equação acima está dimensionalmente correta se o coeficiente 3 é dimensional e 4 tem dimensão de metros1.
Os exercícios contidos na lista a ser entregue ilustram os dois tipos de elementos e a seqüência de passos usada para localizar o centróide de uma figura ou o centro de gravidade ou massa de um corpo.
3.6-CENTRÓIDES E CENTROS DE GRAVIDADE DE CORPOS COMPOSTOS
O centróide ou centro de gravidade de qualquer figura ou corpo pode ser obtido por meio do princípio dos momentos se a área, peso etc. e o momento destas quantidades em relação a qualquer eixo ou plano puderem ser determinados. Freqüentemente, uma área pode ser dividida em dois ou mais retângulos simples, triângulos, círculos ou outras formas cujas áreas e coordenadas centroidais possam ser facilmente obtidas. Formas estruturais, tais como vigas em I, canaletas, cantoneiras e outras, são normalmente conjugadas a membros com formas mais complicadas, como a da Fig. 3.10, a qual é feita de uma placa e duas canaletas. Há manuais que listam as propriedades destas formas, incluindo as áreas e a localização dos centróides. Quando uma área pode ser dividida em um número de áreas simples, a resultante ou a área total é a soma das áreas individuais (se algumas partes são removidas, as áreas correspondentes devem ser sub- traídas), e o momento resultante em relação a qualquer ponto, eixo ou plano é a soma algébrica dos momentos das áreas componentes. O centróide da área pode ser calculado por
rC = (MO/A) = (rA/A)
onde o somatório é levado para todas as partes componentes da área. A equação pode ser também escrita na forma das componentes como
xC = (xA/A), yC = (yA/A) e zC = (zA/A)
Este método evita a necessidade de integração, uma vez que a área e o centróide de cada parte são conhecidos, e também se aplica a linhas, volumes, pesos e massas. Usando-se este método, é aconselhável indicar claramente, em um desenho, as partes separadas, nas quais a figura ficou resolvida. Os exercícios contidos na lista a ser entregue ilustram o método.
3.7-TEOREMAS OU PROPOSIÇÕES DE PAPPUS
Algumas vezes é necessário determinar a área da superfície ou o volume de um sólido de revolução, isto é, a figura gerada pela rotação de uma curva plana ou área ao redor de uma linha no plano. Discos de máquinas e polias são exemplos familiares de sólidos de revolução. Para calcular-se a quantidade de tinta necessária para cobrir a polia ou a sua massa, será necessário obter-se a área superficial ou o seu volume. Os teoremas ou proposições de Pappus podem ser usados para se determinar a área superficial ou o volume de qualquer sólido de revolução.
A primeira proposição de Pappus estabelece que a área da superfície de qualquer sólido de revolução é o produto do comprimento de sua curva geratriz multiplicado pela distância percorrida pelo centróide do arco da curva.
A segunda proposição de Pappus estabelece que o volume de qualquer sólido de revolução é o produto de sua área geratriz e da distância percorrida pelo centróide da área.
Em cada caso, a figura geradora não deve cruzar o eixo de rotação. A primeira proposição de Pappus pode ser provada da seguinte maneira: A curva plana BC de comprimento L na Fig. 3.14 é girada ao redor do eixo x de um ângulo qualquer  de 2π radianos ou menos, para gerar uma superfície de revolução, e yC é a distância do centróide do arco BC ao eixo x. Como o arco BC é girado, o elemento de comprimento dL gera a faixa hachurada cujo comprimento é y e cuja área é
dA = y.dL
A área total gerada é
A =  y.dL = yCL
pois y.dL é igual a yCL, a partir do princípio dos momentos. A quantidade yC é igual à distância percorrida pelo centróide do arco gerador BC. Assim, fica demonstrada a primeira proposição de Pappus; isto é,
(área da superfície) = (comprimento) do arco)(distância percorrida pelo centróide do arco)
A segunda proposição de Pappus pode ser provada como se segue: A área plana A na Fig. 3.15 está girando ao redor do eixo x de um ângulo  menor ou igual a 2π radianos. O elemento de área dA gera um elemento de volume cujo comprimento é y e cujo volume é
dV= y.dA
donde
V =  y.dA =  yC.A
O fator yC na expressão anterior é a distância do eixo x ao centróide da área geratriz, e a quantidade  yC é a distância percorrida pelo centróide, demonstrando-se, assim, a segunda proposição.
Embora os teoremas de Pappus sejam geralmente usados para a determinação da área de superfície ou o volume de um sólido de revolução quando as propriedades da figura geradora são conhecidas, eles são também úteis para a localização do centróide de um arco ou área quando o comprimento ou a área da figura geradora e a área da superfície ou o volume da figura gerada são conhecidos. Os exercícios contidos na lista a ser entregue ilustram o uso dos teoremas de Pappus.
3.8-CENTRO DE PRESSÃO
Quando se exerce uma força sobre uma pequena área de um corpo, esta força é chamada uma força concentrada e considera-se que ela esteja agindo em um ponto. Normalmente, uma força se exerce sobre uma área maior, e neste caso é chamada uma força distribuída ou pressão. O efeito dos grãos sobre o piso e paredes de um silo, o da água em uma represa e o do vento sobre as laterais de um edifício são exemplos de forças distribuídas. A força distribuída ou pressão pode ser considerada como um número de forças concentradas, cada uma delas agindo sobre uma pequena parte da superfície. Normalmente, estas forças são perpendiculares à superfície e, para uma superfície plana, elas constituem um sistema de forças paralelas. Desta maneira, a pressão resultante pode ser obtida pelo método descrito no Art. 2.4. Se a força é a mesma para todos os elementos de áreas iguais, não importando quão pequenos eles sejam, a pressão é dita ser uniforme, e a força resultante age sobre o centróide da área plana. Se a força não é a mesma sobre elementos de área iguais, a pressão é variável, e a linha de ação da resultante deve ser determinada pelo princípio dos momentos. A interseção da linha de ação da resultante do sistema de forças distribuídas e o plano sobre o qual ela age é conhecida como centro de pressão.
Freqüentemente, um diagrama de distribuição de carga ou pressão, mostrando a variação da intensidade da força distribuída, é útil na determinação da força resultante. Quando a pressão varia em somente uma direção, como por exemplo a carga sobre uma viga, o diagrama de distribuição de carga pode ser desenhado como mostrado na Fig. 3.18. A ordenada q do diagrama indica a intensidade do carregamento em newtons por metro ou unidades semelhantes. A carga dF de um elemento da viga de comprimento dx é
dF =  qdxj,
e a carga total é
F =  qdxj =  jqdx
pois j é uma constante em grandeza e direção.
O momento da força resultante em relação a um eixo passando porO é
MO = xxdF = xix( qdx)j =  kxqdx
pois ixj = k é uma constante. A coordenada x, xp, da resultante pode ser determinada por intermédio do princípio dos momentos, como se segue:
MO =  kxqdx = xpxF = xpix( jqdx) =  xpkqdx
	Donde
xp = [(xqdx)/(qdx)] = (MO/F)
Por analogia, é evidente que a equação para a grandeza da força resultante também dará a área sob o diagrama de distribuição de carga e que o momento da força resultante em relação a um eixo passando por O é o mesmo que o momento da área do diagrama de pressão em relação ao eixo y. Desta forma, a força resultante é representada pela área sob o diagrama de distribuição de carga e passa pelo centróide da área do diagrama.
A área e o momento do diagrama podem ser determinados tanto por integração como pela resolução do diagrama em partes componentes simples, como indicadono Art. 3.6.
Quando a intensidade da força distribuída varia sobre uma área e não em uma única direção, por exemplo, a pressão sobre o piso de um silo, o diagrama de pressão transforma-se em um volume, como na Fig. 3.19, em vez de ser uma área. A pressão distribuída é aplicada à área no plano xy, e a ordenada, q, ao longo do eixo z representa a intensidade da força, isto é, a força por unidade de área, em newtons por metro quadrado (também chamada um pascal, Pa) ou unidades similares. O elemento de força dF sobre o elemento de área dA é igual ao produto do elemento de área pela intensidade da força, isto é,
dF =  qdAk,
e a força total é
F =  qdAk =  kqdA
onde a quantidade qdA é igual ao volume do sólido de pressão. A força resultante pode ser localizada por meio do princípio dos momentos e passa pelo centróide do volume que representa o diagrama de pressão.
	A força hidrostática resultante de um líquido em contato com uma superfície é um outro exemplo de uma força distribuída. A pressão, p (força por unidade de área), em um líquido varia com a distância à superfície do mesmo e é dada pela equação p = pgh , onde p é a densidade do líquido, g é a aceleração da gravidade e h é a distância vertical do ponto abaixo da superfície líquida.
Os exercícios contidos na lista a ser entregue ilustram o procedimento para a determinação da resultante de um sistema de forças distribuídas.
	4-EQUILÍBRIO DE SISTEMAS
4.1-INTRODUÇÃO
Quando um sistema de forças que age sobre um corpo não apresenta resultante, o corpo está em equilíbrio. A primeira lei do movimento de Newton estabelece que se a força resultante que age sobre uma partícula é zero, a partícula permanecerá em repouso ou se moverá com uma velocidade constante. Esta lei apresenta a base para as equações de equilíbrio que são desenvolvidas neste capítulo.
No Cap. 2, a resultante de cada um dos tipos de sistemas de forças estudados foi definida pela determinação da soma das forças do sistema e da soma dos momentos das forças em relação a um ponto (ou a certos eixos). Quando todas estas somas são zero para qualquer sistema de forças, sua resultante é zero, e o corpo, sobre o qual o sistema atua, está em equilíbrio. As condições que asseguram o equilíbrio de um corpo, para um tipo particular de sistema de forças, podem, desta maneira, ser expressas como um conjunto de equações algébricas ou vetoriais, que deve ser satisfeito. Por intermédio destas condições, é possível determinar-se uma ou mais forças incógnitas que agem sobre um corpo que se encontra em equilíbrio. O número de forças que pode ser determinado depende do tipo de sistema de forças que está envolvido.
Para se estudar o sistema de forças que age sobre um corpo qualquer ou sobre qualquer porção do mesmo, é necessário primeiro reconhecer completamente que forças, incógnitas ou não, agem sobre ele. Após ter sido feita esta identificação, é possível determinar-se o tipo de sistema de forças envolvido, bem como o número de incógnitas no sistema. A omissão de forças que existam ou a inclusão de forças não existentes em um sistema de forças é igualmente uma fonte séria e comum de dificuldades em Estática. O desenvolvimento de um método para a correta identificação de todo o sistema de forças que age sobre um corpo, em uma dada situação, é essencial para o sucesso do estudo do equilíbrio. O próximo artigo é dedicado a uma explanação do procedimento para se reconhecer corretamente e colocar-se em um diagrama todas as forças que agem sobre um corpo, sob qualquer conjunto existente de condições.
4.2-DIAGRAMAS DE CORPO LIVRE
Um diagrama de corpo livre é um esquema de um corpo, uma porção do mesmo, ou dois ou mais corpos conectados completamente isolados ou livres de todos os outros corpos, mostrando as forças exercidas por todos os outros corpos sobre o corpo que está sendo considerado. Um diagrama de corpo livre apresenta três características essenciais: (1) é um diagrama ou esboço do corpo; (2) o corpo é mostrado completamente separado (isolado, livre) de todos os outros corpos incluindo fundações, suportes etc.; (3) a ação de cada corpo removido, no processo de isolamento, sobre o corpo considerado é mostrada como uma força ou forças no diagrama.
Em um diagrama completo de corpo livre cada força deverá ser designada pela sua grandeza conhecida ou por uma letra, quando se tratar de uma incógnita. O sentido das forças desconhecidas, quando não for óbvio à primeira vista, pode ser admitido e corrigido posteriormente, caso seja visto estar errado. A inclinação ou ângulo de inclinação de todas as forças que não estejam na horizontal ou na vertical deverá ser indicado. Muitas dimensões em um diagrama de corpo livre poderão atrapalhar; conseqüentemente, é vantajoso apresentar no diagrama somente distâncias desconhecidas a serem determinadas na solução.
Um diagrama de corpo livre, como definido e explicado nos parágrafos anteriores, é uma ajuda indispensável na correta identificação de todas as forças que agem sobre um dado corpo para uma dada situação. Para desenhar um diagrama de corpo livre, deve ser conhecido ou o tipo de força exercido sobre um corpo por cada tipo de conexão ou contato. A Tabela 4.1 indica como a ação de alguns corpos ou conexões pode ser representada por uma força ou forças em um diagrama de corpo rígido, quando os corpos ou conexões são removidos.
O símbolo, mostrado a seguir, é usado algumas vezes para representar uma conexão tipo pino, e em outros casos representa uma superfície lisa. Qualquer convenção é aceitável se a interpretação desejada é compreendida.
Para evitar uma possível confusão, o símbolo referido anteriormente não é empregado neste texto. Outros tipos de suportes, tais como mancais de pressão, mecanismos osciladores, extremidades de eixos que podem resistir a momentos perpendiculares aos mesmos, etc., podem ser encontrados, e, em tais casos, deverá ser feita uma análise de possíveis reações, atentando- se para a determinação de quais forças são significativas e quais podem ser desprezadas, sem a introdução de erros sérios.
4.3-EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO PARA UM SISTEMA DE FORÇAS CONCORRENTES
A resultante de um sistema de forças concorrentes é uma única força passando pelo ponto de concorrência (veja o Art. 2.2). Quando esta força resultante é zero, o corpo, sobre o qual age o sistema de forças, está em equilíbrio. A equação ou equações necessárias a assegurarem uma resultante zero são as equações de equilíbrio.
Considere o sistema de forças concorrentes mostrado na Fig. 4.2. A resultante é
R = F1 + F2 + F3 + F4
como mostrado no Art. 2.2. O sistema está em equilíbrio quando R = O; assim sendo, a equação vetorial de equilíbrio é
R = F1 + F2 + F3 + F4 = F = 0 (4.1)
Em virtude de os dois vetores iguais terem componentes iguais, as equações de equilíbrio das componentes são
Rxi = (Fx)i = 0, Ryj = (Fy)j = 0 e Rzk = (Fz)k = 0 (4.2a)
e, na forma escalar, estas equações tornam-se
Rx = Fx = 0, Ry = Fy = 0 e Rz = Fz = 0 (4.2b)
Estas três equações podem ser empregadas para a determinação de três quantidades incógnitas (três grandezas, três inclinações, ou qualquer combinação de três grandezas e inclinações) para um sistema geral de forças concorrentes (tridimensional). Quando as forças são coplanares, podem ser selecionados dois dos seus eixos (por exemplo, os eixos x e y) no plano das forças, e a equação Fz = O não fornecerá nenhuma informação que seja interessante. Conseqüentemente, há somente duas equações independentes de equilíbrio para um sistema de forças concorrentes e coplanares, e podem ser determinadas somente duas incógnitas. De maneira análoga, somente uma incógnita pode ser determinada para um sistema de forças colineares. Quando está envolvido um maior número de incógnitas que de equações independentes de equilíbrio, o sistema de forças é dito estaticamente indeterminado.