Apontamentos sobre Estática para a MEC0404 T02 em 2016.1 Segunda Parte

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE
CENTRO DE TECNOLOGIA
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA
CÂMARA DE PROJETOS MECÂNICOS E DE FABRICAÇÃO
DISCIPLINA: MEC0404-MECÂNICA DOS SÓLIDOS – T02
PROF.: JOÃO WANDERLEY RODRIGUES PEREIRA
APONTAMENTOS SOBRE ESTÁTICA - SEGUNDA PARTE
ALUNO:......................................................................................................DATA: 01/02/2016
5-ATRITO
5.1-NATUREZA DO ATRITO
Quando um corpo desliza ou tende a deslizar sobre um outro corpo, a força tangente à superfície de contato que resiste ao movimento, ou à tendência ao movimento, de um corpo em relação ao outro é definida como atrito.
As pessoas não poderiam andar ou esquiar ou dirigir automóveis sem os efeitos benéficos do atrito, tornando possível forças trativas. Correias de transmissão, embreagens e freios, todos requerem forças de atrito a fim de funcionarem.
Por outro lado, o atrito pode produzir efeitos danosos. Há sempre uma troca de energia mecânica em energia calorífica quando um corpo desliza sobre um outro. A grande quantidade de dinheiro gasta em lubrificantes para reduzir o atrito entre superfícies rugosas indica uma desvantagem do atrito. Rodas e roletes podem ser também empregados para limitar a resistência ao atrito aos movimentos esperados.
Nos capítulos anteriores, quando dois corpos estão em contato, esta superfície de contato foi considerada lisa, e a reação de um corpo sobre o outro era uma força normal à superfície de contato. Na prática, para a maioria dos casos, esta superfície não é lisa, e a reação de um corpo sobre o outro não é normal a ela. Quando a reação é resolvida em duas componentes, uma perpendicular e outra tangente à superfície de contato, a componente tangente à superfície é chamada força de atrito ou simplesmente atrito. Desta maneira, os diagramas de corpo livre para os problemas que incluam atrito são os mesmos que aqueles para problemas com superfícies lisas, exceto que deve ser incluída uma força de atrito tangente à superfície de contato.
Quando não há movimento relativo entre os dois corpos, isto é, quando nenhum dos dois corpos se move ou se os dois corpos se movem como se fossem um único corpo, a resistência a qualquer tendência ao movimento relativo é chamada atrito estático. Quando um corpo se move em relação a um outro corpo, a força resistiva entre os corpos, tangente à superfície de contato, é chamada atrito cinético, A força de atrito cinético é menor que a força de atrito estático máxima para quaisquer pares de superfícies com a mesma força normal. Mais exatamente, é difícil obterem-se dados confiáveis, tanto para a força de atrito cinético como para o atrito estático máximo entre corpos de quaisquer dois materiais, porque qualquer ligeira variação na condição das superfícies em contato representa um efeito apreciável na força de atrito resultante. Diferentes pesquisadores obtêm, com freqüência, resultados idênticos para os mesmos materiais, provavelmente em virtude da variação da umidade, sujeira, ou lubrificantes nas superfícies de contato. Entretanto, a média de uma série de testes indica que o atrito estático máximo é maior que o atrito dinâmico de qualquer par de superfícies, se a força normal é constante.
No trabalho com forças de atrito, é importante verificar que a força de atrito entre dois corpos sempre se opõe ao movimento relativo dos corpos, ou à tendência que tenham ao movimento. Além disso, com atrito estático, a força de atrito entre dois corpos aumentará, quando aumenta a força que tende a causar o deslizamento entre os corpos. Em outras palavras, a força de atrito estático é sempre a mínima força necessária a manter o equilíbrio ou a prevenir o movimento relativo entre os corpos. É uma força ajustável que varia com a situação. O atrito cinético varia alguma coisa com a velocidade. Esta variação está discutida em mais detalhes no Art. 5.2. A variação da força de atrito com a força aplicada para atrito estático e com a velocidade relativa das superfícies deslizantes para o atrito cinético é mostrada de uma forma geral na Fig. 5.1.
Quando a força Q na Fig. 5.1 é aumentada desde zero, a força de atrito, F, aumenta o necessário para prevenir o movimento. Este balanço é mantido quando Q aumenta, até que a força F atinge um máximo ou um valor limite. Quando a força de atrito alcançou seu valor máximo, o movimento é iminente, ou existe uma condição de equilíbrio instável. Qualquer ligeiro aumento em Q produzirá movimento, e a força F torna-se uma função da velocidade. Como indicado na figura, a força de atrito decresce rapidamente para um pequeno aumento na velocidade até alcançar um valor aproximadamente constante. É mostrado um outro decréscimo de F para altas velocidades.
5.2-LEIS DO ATRITO
Algumas das mais antigas informações sobre as leis do atrito são devidas aos resultados de um número bastante grande de experiências sobre atrito de superfícies secas, publicadas por C. A. de Coulomb em 1781. As experiências de A. J. Morin, publicadas em 1831, confirmaram os resultados de Coulomb. Seu trabalho conduziu às seguintes leis do atrito 	para superfícies secas:
A força de atrito máxima que pode ser desenvolvida é proporcional à força normal.
A força de atrito máxima que pode ser desenvolvida é independente do tamanho da área de contato.
A força de atrito estático limite é maior que a força de atrito cinético.
A força de atrito cinético é independente da velocidade relativa dos corpos em contato.
Como um resultado de experiências mais recentes, poderão ser feitas as seguintes adições e modificações destas leis:
Para forças normais extremamente baixas e para forças normais suficientemente elevadas para produzirem deformação excessiva, o coeficiente de atrito estático aumenta um pouco.
Para velocidades relativas extremamente baixas, o coeficiente de atrito cinético aumenta e, aparentemente, torna-se igual ao coeficiente de atrito estático sem qualquer descontinuidade matemática.
Para velocidades muito altas, o coeficiente de atrito cinético diminui apreciavelmente.
Variações normais em temperatura não afetam materialmente o coeficiente de atrito.
Estas leis do atrito são baseadas em evidência experimental e como tal são empíricas por natureza. Tem sido desenvolvido muito esforço para se chegar a uma explanação teórica da variação das forças de atrito quando o movimento é iminente ou quando existe movimento relativo. Nenhum destes esforços tem tido sucesso, e no momento as leis, como enunciadas acima, são consideradas válidas dentro dos limites de precisão das medidas.
As leis do atrito para superfícies lubrificadas são diferentes das leis para superfícies secas e limpas. Para superfícies lubrificadas, a força de atrito depende primariamente do lubrificante em vez da grandeza da pressão normal e do tipo de material dos corpos em contato.
A única política segura para a seleção de um coeficiente de atrito, para uma situação dada qualquer, é realizar testes aproximando tanto quanto possível as condições das superfícies, materiais, pressão e outros fatores que devem existir na máquina ou estrutura em questão.
5.3-COEFICIENTE DE ATRITO
A força de atrito estático máxima, que existe quando o movimento é iminente entre duas superfícies, é designada por F’. O coeficiente de atrito estático, , é definido como a razão entre a grandeza da força de atrito estático máxima, F’, para a grandeza da força normal, N, entre as duas superfícies. Em forma matemática,
 = (F’/N) (5.1)
O coeficiente de atrito estático é uma constante, determinada experimentalmente, que depende dos materiais com que os corpos em contato são feitos e das condições das superfícies em contato. A variação causada pela condição das superfícies foi relatada por Carnpbell ser entre 0,78 para aço limpo sobre aço até 0,11 entre o aço sobre aço com um filme sólido de ácido oleico entre as superfícies do aço. Ele cita valores publicados docoeficiente de atrito estático para aço desde 0,146 até 0,82 e conclui que esta variação é, provavelmente, devida à presença de diferentes quantidades de graxa ou outro filme entre as superfícies em contato.
Os valores dos coeficientes de atrito estático listados na tabela acima indicam a faixa geral dos resultados publicados obtidos por experiências em superfícies secas.
Em geral, quando as superfícies de contato se movem uma em relação à outra, o coeficiente de atrito diminui. Para esta situação, a razão da força de atrito pela força normal é definida como o coeficiente de atrito cinético. Testes com parafusos de rosca quadrada na Illinois Experiment Station indicam que o coeficiente de atrito cinético é aproximadamente três quartos do coeficiente de atrito estático para os materiais testados. Como o intervalo de valores para o coeficiente de atrito estático é usualmente maior que a diferença entre os coeficientes médios dos atritos estático e cinético para materiais dados, os valores fornecidos nos problemas deste texto devem ser usados tanto para atrito estático ou cinético, quando necessário, a menos que ambos os valores sejam dados no problema.
5.4-ÂNGULO DE ATRITO
O bloco na Fig. 5.2(a) está sustentado em um plano áspero. A Fig. 5.2(b) é um diagrama de corpo livre do bloco, e as forças N e F do plano sobre o bloco o manterão em equilíbrio se a força Q não for muito grande. Quando a força Q aumenta, a força resistiva F também deve aumentar se o equilíbrio deve ser mantido, e o ângulo aumentará. Observe que a força normal resultante N se moverá para a direita de tal forma que a resultante de F e N serão colineares com a resultante de Q e P; assim, R deve passar pelo ponto de interseção de Q e P. Se Q é aumentada até que o movimento se torne iminente, a grandeza da força de atrito se tornará F’ ou N. Pela figura vê-se que
N = Rcos e F = F’ = Rsen
donde
tg = (F’/N) = (5.2)
Se a linha de ação Q estivesse numa altura suficiente, e se o bloco fosse suficientemente pequeno, o ponto de interseção de F e N pode se mover para fora da base do bloco, antes que F se torne igual a F’. Neste caso, o bloco poderia virar antes que pudesse deslizar.
Quando o movimento é iminente, a reação de um corpo sobre outro, na superfície onde o movimento é iminente, pode ser mostrada no diagrama de corpo livre como duas forças separadas (normal e tangente ao plano) ou uma única força resultante inclinada de um ângulo de atrito com a normal. Para soluções algébricas, o uso de duas forças componentes é normal- mente mais simples e será enfatizado no trabalho seguinte. Uma única reação inclinada é particularmente útil quando a solução deve ser obtida por método gráfico.
Quando um bloco é colocado em um plano áspero, inclinado para cima para a direita, formando um ângulo com a horizontal, ele será mantido em equilíbrio pela reação R do plano, como mostrado na Fig. 5.3, uma vez que o ângulo seja suficientemente pequeno.
Como o ângulo entre o plano e a horizontal é aumentado até algum valor limite, o movimento do bloco é iminente para baixo, sobre o plano. O ângulo para o qual o movimento do bloco é iminente é definido como o ângulo de repouso. Pelas equações de equilíbrio
N = Wcos e F = F’ = Wsen
donde
tg = (F’/N) = (5.3)
Comparando-se as Eqs. (5.2) e (5.3), é evidente que o ângulo de atrito é igual ao ângulo de repouso. O coeficiente de atrito estático pode ser obtido experimentalmente medindo-se o ângulo de repouso para quaisquer dois pares de superfícies.
5.5-TIPOS DE PROBLEMAS ENVOLVENDO FORÇAS DE ATRITO
Quando se analisa um problema envolvendo forças de atrito, surge a questão de se a grandeza do atrito é igualou é menor que o atrito limite ou máximo N. A resposta depende da condição de movimento que exista. Normalmente é desejável classificar os problemas que envolvem força de atrito de acordo com os dados disponíveis e com as informações a serem obtidas, e a maioria destes problemas pode ser identificada por uma das seguintes descrições:
O movimento iminente não está assegurado pelo enunciado do problema.
O movimento relativo ou iminente é especificado em todas as superfícies de contato onde há forças de atrito.
O movimento iminente é sabido existir, mas nem o tipo de movimento iminente (deslizamento ou tombamento) nem a superfície ou superfícies onde o movimento é iminente são especificados.
O terceiro tipo de problema inclui todos aqueles em que há mais de uma forma ou posição possível para que o movimento se inicie. Exemplos destes problemas são um bloco que pode tanto deslizar ou tombar, um bloco que pode se mover tanto por deslizamento sobre um bloco que o sustenta ou fazendo com que este último bloco deslize com ele, e uma roda que pode tanto rolar ou deslizar sobre uma superfície plana.
Os exemplos seguintes ilustram os tipos gerais de problemas aqui descritos e um método de solução de cada tipo.
Procedimento quando o movimento iminente não está assegurado:
Considere que o sistema esteja em equilíbrio.
Determine as forças de atrito e normal, usando as equações de equilíbrio.
Confira a consideração inicial comparando F com N, onde é o coeficiente de atrito estático, para cada superfície de contato. Se F é menor ou igual a N, a consideração é correta, e o problema está resolvido. Se F é maior que N, o equilíbrio não existe, e uma solução completa envolverá os princípios da Dinâmica.
Procedimento quando o movimento relativo ou iminente é especificado em todas as superfícies de contato com forças de atrito:
Escreva a equação F = F’ = N para todas as superfícies onde o movimento é iminente. Esteja certo de que o sentido da força de atrito está correto, isto é, que a força de atrito opõe-se ao movimento ou à tendência em se movimentar.
Determine as quantidades incógnitas, usando as equações de equilíbrio, junto com as equações de atrito (o movimento acelerado não é considerado aqui). Não é necessária nenhuma conferência para este tipo de problema porque não é necessária nenhuma consideração.
Procedimento quando é especificado o movimento iminente, mas não o tipo deste movimento ou a superfície ou superfícies onde ele é iminente:
O número de quantidades incógnitas sempre excede o número de equações de equilíbrio disponível; desta maneira, é necessário considerar que um ou mais corpos começarão a se mover em uma das duas ou mais formas possíveis. Seja F = F’ = N no par ou pares de superfícies onde o deslizamento é considerado ou sabido ser iminente, ou coloque a força normal no canto ao redor do qual se considera que o corpo tombe quando este tombamento é considerado. Em todas as outras superfícies, considera-se que o movimento não é iminente.
Determine as forças normal e de atrito em todas as superfícies onde não se considera que o movimento seja iminente.
Confira a consideração inicial comparando F e N para todas as superfícies onde o deslizamento foi considerado não ser iminente, ou confira a posição da normal onde o tombamento foi considerado não ser iminente. Se F é menor ou igual a N, para todas as superfícies, ou se nenhuma das forças normais age fora da base do corpo, a consideração inicial estava correta. Se F é maior que N para qualquer das superfícies, ou se qualquer das forças normais age fora da base do corpo, a consideração original não estava correta, e deve ser feita uma consideração diferente, onde o movimento seja iminente.
Procedimento alternativo para o terceiro tipo de problema discutido acima:
Determine a quantidade incógnita (normalmente uma força) necessária para produzir o movimento iminente especificado em cada uma das possíveis formas em que o movimento possa existir.
Selecione, como solução correta, o valor que satisfaz a condição mínima ou máxima, como estabelecido no problema.
5.6-FORÇAS DE ATRITO EM BANDAS FLEXÍVEIS E CORREIAS PLANAS
O atrito que é desenvolvidoentre uma correia ou banda flexível e uma polia ou tambor liso pode ser utilizado para a transmissão de potência também para freios. A relação entre duas tensões nas correias quando o deslizamento de uma correia sobre uma polia é iminente pode ser desenvolvida pelo uso das condições de equilíbrio e da relação entre as forças normal e de atrito. O corpo B na Fig. 5.8(a) está suspenso de uma correia que passa por um tambor fixo e é acionado por uma força TL. Se TL é suficientemente grande, o movimento será iminente entre a correia e o tambor fixo, e o corpo B terá movimento iminente para cima. Pelo diagrama de corpo livre da Fig. 5.8(c), é evidente que o peso P é igual à tensão da correia Ts. O diagrama de corpo livre da correia na Fig. 5.8(b) mostra que a sua tensão TL é maior que P (ou Ts), uma vez que ela deve ultrapassar a força de atrito F, desenvolvida entre a correia e o tambor, além de levantar o corpo. Na Fig. 5.9 está mostrado um diagrama de corpo livre do elemento da correia subtendido pelo ângulo d na Fig. 5.8(a).
A espessura da correia é considerada ser desprezível em comparação com o raio, r, da polia. Da mesma maneira, o peso da correia é desprezado em comparação com outras forças que agem sobre ela. Os seguintes resultados são obtidos a partir da Fig. 5.9 e das equações de equilíbrio:
MO = r(T + dT)k – rTk – rdFk = 0
que se reduz a
dT = dF (a)
Fy = dNj – (T + dT)sen(d/2)j – Tsen(d/2)j = 0
que se reduz a
dN = 2Tsen(d/2) + dTsen(d/2)
O seno de um ângulo aproxima-se do ângulo, em radianos, quando o ângulo se torna pequeno. Conseqüentemente, a expressão para dN reduz- se a
dN = Td + dT(d/2) = Td (b)
quando os infinitésimos de segunda ordem são desprezados em comparação com os infinitésimos de primeira ordem.
Quando o movimento entre a correia e o tambor é iminente, dF = dN e a expressão para dT torna-se
dT = dF = dN = Td ou (dT/T) = d
Esta equação diferencial pode ser integrada da seguinte maneira:
 = 
e
[ln T] = []
ou
ln TL – ln Ts = ln(TL/Ts) = (5.4)
O símbolo “ln” é a abreviação para “logaritmo natural”. A Eq. (5.4) pode ser também escrita
TL = Tse (5.5)
onde e, igual a 2,718 ... , é a base dos logaritmos naturais.
Assim, a relação entre a tensão maior, TL, e a tensão menor, Ts, quando o movimento é iminente entre a correia e o tambor, pode ser expressa pelas Eqs. (5.4) ou (5.5). O ângulo é o ângulo de contato, em radianos, entre a correia e o tambor. Quando ocorre o deslizamento entre ela e o tambor, o coeficiente de atrito cinético pode ser usado como .
A discussão anterior não leva em conta o efeito inercial da massa da correia, quando ela e a polia estão em movimento. Como cada partícula da mesma possui massa, ela tende a se mover em uma linha reta em vez de percorrer uma trajetória curva ao redor da polia (veja a primeira lei do movimento de Newton, no Cap. 9). Esta tendência das partículas da correia reduz as forças normal e de atrito entre ela e a polia e pode seriamente reduzir a eficiência de uma correia de transmissão se as polias operam com grandes velocidades angulares. Veja o Problema 9.49 (Cap. 9) para informação sobre o efeito da inércia da correia.
5.7-FORÇAS DE ATRITO EM CORREIAS EM V
Freqüentemente, as correias usadas como correias de transmissão têm a forma de V. Quando estas correias são empregadas, elas estão em contato com os lados das ranhuras da polia, e não tocam a base das mesmas. Assim, as forças normal e de atrito agem sobre os lados inclinados da correia.
A relação entre as duas tensões das correias, quando o movimento é iminente entre a correia e a polia, é derivada de uma maneira semelhante àquela usada para correias planas. A Fig. 5.11 representa uma polia e uma correia em V, cujo movimento sobre a polia é iminente, no sentido horário; isto é, TL é maior que Ts. Na Fig. 5.12 está mostrado um diagrama de corpo livre de um elemento da correia. O seu peso e o efeito inercial devido ao seu movimento são desprezados. O ângulo entre os dois lados da polia é 2 .Pela simetria, as duas forças normais dN1 e dN2 são iguais. Das equações de equilíbrio são obtidos os seguintes resultados:
 
Fy = dN1sen + dN2sen – Tsen(d/2) – (T + dT)sen(d/2) = 0
Como dN1 = dN2, esta equação se torna
dN1 = (Td/2sen (a)
quando são desprezadas as diferenciais de segunda ordem em comparação com as de primeira ordem e sen(d/2) é substituído por (d/2).
Fx = (T + dT)cos(d/2) – Tcos(d/2) – dF1 – dF2 = 0
donde
dTcos(d/2) = dT = dF1 + dF2 (b)
pois o ângulo (d/2) é pequeno e cos(d/2) é aproximadamente igual a 1. Quando o movimento está iminente
dF1 = dN1, dF2 = dN2 = dN1
e a Eq. (b) torna-se
dT = 2dN1 = (Td/sen)
pela Eq. (a).
A última equação pode ser escrita
(dT/T) = (/sen)d
e pode ser integrada como se segue:
 = (1/sen)d = ln(TL/Ts) = (/sen) (5.6)
ou
TL = Tse(/sen) (5.7)
Quando o ângulo é 90°, a Eq. (5.7) reduz-se à Eq. (5.5) para uma correia plana. O ângulo está normalmente entre 17° e 20°, embora para polias pequenas possa ser tão pequeno como 13°.
5.8-PARAFUSOS DE ROSCA QUADRADA
Há três tipos comuns de roscas usadas para transmissão de potência e em macacos de rosca, ou seja, quadrada, trapezoidal e em dente de serra, como mostrado na Fig. 5.13. As roscas em forma de V são largamente empregadas para parafusos e outros dispositivos de fixação. Um parafuso de rosca quadrada ou um parafuso em dente de serra podem ser olhados como um plano inclinado enrolando-se ao redor de um cilindro no qual se move um bloco sob ação de uma força horizontal. As roscas trapezoidal e em V necessitam uma análise um pouco mais elaborada que as roscas quadradas e não serão consideradas neste texto.
O avanço L, de um parafuso é a distância que a porca avança na direção do eixo do parafuso em uma revolução. O passo, p, é a distância entre pontos semelhantes em roscas adjacentes. Os macacos aqui considerados são de rosca simples, e L é igual a p. Para parafusos de rosca múltipla, L é igual a mp, onde m é a multiplicidade das roscas. A Fig. 5. 14(a) mostra uma porção de um macaco de rosca quadrada. A rosca A do parafuso está representada na figura em detalhe por um bloco que desliza para cima e para baixo sobre o plano inclinado que representa a rosca da base B. A força horizontal Q é a força que seria necessária para deslizar o bloco para cima sobre o plano, e assim levantar o peso P, se aplicada ao raio médio r do parafuso (Fig. 5.14b). Se a carga deve ser abaixada, o atrito mostrado no diagrama de corpo livre em detalhe na Fig. 5.14(a) , e geralmente a força Q, são invertidos. Desenrolando-se uma volta da rosca de C a D na Fig. 5. 14(a), vê-se que a inclinação do plano inclinado equivalente é igual ao passo dividido pela circunferência média da rosca; isto é,
Com o ângulo determinado pela Eq. (a), a força Q mostrada no diagrama de corpo livre em detalhe da Fig. 5.14(a) pode ser determinada para qualquer força dada, P, a partir das equações de equilíbrio e de atrito para o bloco A. Após ter sido determinada a força Q, a força T necessária na extremidade da manivela do macaco, como mostrada na Fig. 5.14(b), pode ser calculada pela relação para momentos equivalentes; isto é,
Normalmente, o ângulo é pequeno para macacos de rosca. Quando o ângulo é menor que o ângulo de atrito , o macaco é autobloqueante e não girará para baixo ao redor dela própria sob ação dacarga; isto é, deve ser aplicada uma força à manivela para abaixar a carga.
Quando a inclinação do plano (tg) é menor que 0,1, as aproximações cos = 1 e sen = tg fornecem aproximação suficiente para a maioria dos cálculos.
5.9-MOMENTOS COM ATRITO EM MANCAIS DE PRESSÃO E DISCOS DE EMBREAGEM
Os momentos com atrito são desenvolvidos em mancais de pressão, tais como mancais de apoio ou escora, mancais de colar e engrenagens tipo disco, como um resultado da pressão normal exercida por uma área circular plana sobre uma outra. A extremidade de um eixo com uma carga vertical Q é mostrada em um mancal de apoio ou escora na Fig. 5.16(a). A porção central do eixo normalmente apresenta um corte para evitar pressão excessiva neste ponto; a porção externa desgasta-se mais rápido porque se desloca mais rapidamente a cada revolução. Na Fig. 5.16(b) é mostrado um mancal de colar.
O momento do binário T necessário a produzir rotação iminente do eixo oco na Fig. 5.17 em um mancal de apoio depende da força axial Q, do coeficiente de atrito e da distribuição da pressão normal sobre a área: de contato. A pressão será considerada distribuída uniformemente sobre área de contato, embora o desgaste dos mancais e a flexibilidade dos colares dos eixos normalmente alterem esta distribuição de pressão. A força normal por unidade de área é igual ao impulso total, Q, dividido pela área da extremidade do eixo. A força normal sobre o elemento de área é igual ao produto da pressão unitária e do elemento de área; isto é,
A força de atrito sobre o elemento de área, quando o movimento é iminente, é igual à força normal multiplicada pelo coeficiente de atrito estático. Assim,
O momento da força de atrito sobre o elemento de área em relação à linha central do eixo é
A grandeza do momento de atrito total sobre o eixo é
A Eq. 5.8 fornece o momento de atrito sobre o eixo quando o movimento está iminente, e que é igual ao torque T necessário a produzir movimento iminente. Para um eixo sólido, o raio interno, R 1, é zero, e a Eq. (5.8) reduz-se a
M0 = [(2/3)QR2 (5.9)
Quando representa o coeficiente de atrito cinético, esta equação fornece o momento resistivo devido ao atrito cinético.
Embreagens e freios com discos múltiplos, tais como os usados para contrapedal de freio de bicicletas, fazem uso do momento com atrito que ocorre entre cada par de uma série de discos. Metade dos discos giram com um eixo (por exemplo, cubo da roda de bicicleta), enquanto que os outros discos, que estão alternados com o primeiro conjunto, giram com o segundo eixo (ou são estacionários, como no freio de bicicleta). As forças normais aplicadas aos discos externos causam um momento com atrito a ser desenvolvido entre cada par de discos, como dado pela Eq. (5.8). O momento com atrito total é igual à soma dos momentos desenvolvidos para cada par de discos, e assim uma pequena força normal pode causar um momento com atrito relativamente grande a ser desenvolvido pela engrenagem ou freio.
5.10-RESISTÊNCIA AO ROLAMENTO
Quando uma roda ou cilindro rígido rola em um plano rígido horizontal onde não há forças atuando a não ser seu peso e a reação do plano, ele continuará a rolar indefinidamente, segundo a teoria, pois não haverá força resistiva agindo sobre o cilindro (veja o Art. 9.11). Entretanto, a experiência indica que o cilindro reduzirá a velocidade e eventualmente será trazido ao repouso, a menos que seja aplicada uma força à roda, para mantê-la rolando. A resistência ao movimento ocorre porque nem a roda nem o plano são rígidos, tanto que sempre haverá alguma deformação da roda e do plano, como indicado na Fig. 5.18. A força horizontal Q é a força necessária para manter a roda se movendo com uma velocidade constante.
O diagrama de corpo livre da roda na Fig. 5.19 mostra a reação do plano em um ângulo () com a vertical. As equações de equilíbrio fornecem
Q = R.sen e P = R.cos
donde
Q = P.tg = P(b/c)
Para a maioria dos materiais, encontra-se um valor pequeno para o ângulo , e o valor de c é aproximadamente igual ao raio r. Assim, a equação anterior pode ser escrita
Q = (b/r)P
A distância b é chamada de coeficiente de resistência ao rolamento. Entretanto, diferentemente do coeficiente de atrito, b não é uma constante adimensional, e tem as dimensões de comprimento. Os coeficientes de atrito ao rolamento têm sido obtidos experimentalmente para vários materiais e publicados, embora geralmente não sejam usados. Para a maioria dos materiais, que são completamente rígidos, a resistência ao rolamento é normalmente muito menor que outras que agem sobre a roda, e, desta maneira, é desprezada.
6-Segundos Momentos ou Momentos de Inércia
6.1-INTRODUÇÃO
Na análise do movimento angular de corpos rígidos, desenvolveu-se uma expressão a qual Euler' denominou o momento de inércia de massa ou, mais simplesmente, o momento de inércia do corpo. Na determinação de tensões e deflexões em vigas e eixos e na localização do centro de pressão em áreas submersas, encontrou-se uma expressão que é semelhante ao momento de inércia de massa, exceto que envolve uma área em lugar de massa. Como as duas expressões são análogas na forma, é comum, na prática, referir-se a ambos como momentos de inércia. Uma área não apresenta massa, e, assim, não tem inércia; desta maneira, um termo mais apropriado seria o segundo momento de uma área, como usado no artigo seguinte. Tanto para massa como para uma área, o momento de inércia é uma expressão matemática, sendo difícil obter-se um conceito físico desta quantidade. Em virtude de os momentos de áreas e massas aparecerem tão freqüentemente em equações analíticas, é interessante que o engenheiro esteja familiarizado com eles e habilitado a determiná-los.
Parte A - Áreas Planas
6.2-DEFINIÇÕES
O segundo momento ou momento de inércia de um elemento de área, tal como dA na Fig. 6.1, em relação a qualquer eixo, é definido como o produto da área do elemento pelo quadrado da distância do eixo até o elemento. Por exemplo,
dIy = x2.dA
onde dIy é o segundo momento do elemento de área dA em relação ao eixo y. A soma dos segundos momentos de todos os elementos de uma área é definida como o momento de inércia da área; isto é,
Iy = x2.dA
Analogamente,
dIx = y2.dA
e
Ix = y2.dA
Quando o eixo de momento está no plano da área, o segundo momento da área é chamado o momento de inércia retangular. Se o eixo de momento é perpendicular ao plano da área, o segundo momento da área é chamado o momento de inércia polar. O segundo momento do elemento de área na Fig. 6.1, em relação a um eixo passando por O, perpendicular ao plano da área, é
dJO = r2.dA = (x2 + y2) dA
onde dJO é o momento de inércia polar do elemento em relação a um eixo passando por O, perpendicular ao plano da área. O momento de inércia polar da área é
JO = (x2 + y2) dA = x2.dA + y2.dA = Ix + Iy (6.1)
Assim, o momento de inércia polar de uma área é igual à soma dos momentos de inércia retangulares em relação a dois eixos perpendiculares quaisquer, que interceptam o eixo polar.
O segundo momento de uma área tem dimensões de comprimento elevado à quarta potência, L4, e unidades normais de m4, cm4, mm4 e assim por diante.
Um elemento de área é intrinsecamente positivo. Como o quadrado do comprimento de seu braço de alavanca também é positivo, o segundo momento de um elemento de área é sempre uma quantidade positiva. O momento de inércia de uma área é a soma dos segundos momentos dos elementos de área; conseqüentemente, é sempre positivo.
6.3-O TEOREMA DOS EIXOS PARALELOS PARA ÁREAS
Após ter sido obtido o momento de inércia de uma área, em relação a um eixo, freqüentemente é necessário determinar-se esta quantidade em relação a um eixo paralelo.
O teorema dos eixos paralelos (algumas vezes chamado fórmula de transferência) proporciona uma relação conveniente entre os momentos de inércia de uma área em relaçãoa dois eixos paralelos, um dos quais passa pelo centróide da área.
O momento de inércia do elemento de área dA na Fig. 6.2, em relação ao eixo b, é
dIb = (d + x)2.dA
onde d é a distância entre o eixo y e o eixo paralelo b. Quando a equação anterior é expandida e integrada sobre a área, o resultado é
Ib = (d + x)2.dA = d2 dA + 2d x.dA + x2.dA 
 Ib = Ad2 + 2d x.dA + Iy (a)
A integral de x.dA calculada sobre a área é o primeiro momento da área em relação ao eixo y. Se o eixo y passa pelo centróide da área, a expressão x.dA é zero. Conseqüentemente, a Eq. (a) reduz-se a
Ib = Ad2 + Ic (6.2)
onde Ic é o segundo momento da área em relação a um eixo que passa pelo centróide e paralelo ao eixo b. De maneira semelhante, pode ser mostrado que
Jb = Ad2 + Jc (6.3)
onde Jb é o momento de inércia polar em relação a um eixo passando pelo ponto B, Jc é o momento de inércia da área em relação a um eixo passando pelo centróide C e d é a distância entre o centróide e o ponto B.
O teorema dos eixos paralelos pode ser estabelecido como se segue: O momento de inércia de uma área em relação a qualquer eixo é igual ao momento de inércia em relação a um eixo paralelo passando pelo centróide da área mais o produto da área pelo quadrado da distância entre os dois eixos.
Pelo enunciado acima, é aparente que o momento de inércia de qualquer área em relação a um eixo que passa pelo centróide é menor que aquele para qualquer eixo paralelo.
6.4-SEGUNDOS MOMENTOS DE ÁREAS POR INTEGRAÇÃO
Na determinação do momento de inércia de uma área por integração, é necessário selecionar-se um elemento de área. Quando todas as partes do elemento selecionado estão à mesma distância do eixo de momento, o momento de inércia do elemento de área é obtido diretamente da definição de um segundo momento como o produto do quadrado desta distância pela área do elemento. Quando é selecionado qualquer outro elemento de área, o momento de inércia deste elemento pode ser conhecido ou obtido através de um resultado conhecido pelo teorema dos eixos paralelos. Em resumo, o elemento de área escolhido satisfará a uma das seguintes condições:
Todas as partes do elemento de área estão a uma mesma distância do eixo de momento.
O segundo momento do elemento de área em relação ao eixo de momento é conhecido.
O segundo momento do elemento de área em relação a um eixo passando pelo centróide do elemento e paralelo ao eixo de momento é conhecido, e tanto a área do elemento como a distância entre os eixos paralelos são conhecidas.
Quando se seleciona um elemento de área, poderá ser feita a escolha entre integração dupla e simples. Se é usada integração dupla, todas as partes do elemento estarão sempre à mesma distância do eixo de momento. A expressão para o momento de inércia do elemento pode usualmente ser montada de maneira mais fácil pelo uso de integração dupla, ao passo que os limites podem ser selecionados com menor possibilidade de erro por integração simples. Em geral, a escolha entre integrais simples e duplas é uma questão de preferência pessoal ou de treinamento prévio.
Em alguns problemas haverá também uma escolha de sistemas de coordenadas. Para áreas circulares ou partes destas, as coordenadas polares são freqüentemente vantajosas.
Os exemplos seguintes ilustram o procedimento para se determinar segundos momentos de áreas planas por integração.
6.5-RAIOS DE GIRAÇÃO DE ÁREAS
Freqüentemente, é desejável expressar o momento de inércia de uma área como função da área e de um comprimento. Como o segundo momento de uma área tem dimensões de comprimento elevado à quarta potência, ele pode ser escrito como uma área multiplicada por um comprimento ao quadrado. O raio de giração de uma área em relação a um eixo é definido como um comprimento que, quando elevado ao quadrado e multiplicado pela área, dará o momento de inércia da área em relação ao eixo dado. Esta definição é expressa matematicamente nas seguintes equações:
O raio de giração não é a distância do eixo de referência a algum ponto fixo específico na área (tal como o centróide), mas é um conceito matemático bastante útil. O raio de giração para qualquer eixo é sempre maior que a distância que vai do eixo ao centróide. A prova para esta afirmação é aparente pelo teorema dos eixos paralelos. Na Fig. 6.8, o eixo c é o eixo centroidal, e são válidas as seguintes equações:
Desta maneira, kb deve ser sempre maior que d. Se o eixo b se move 10 mm para cima na Fig. 6.8, kb diminuirá por alguma quantidade algo menor que 10 mm, indicando que o raio de giração não é a distância para o mesmo ponto na área, para diferentes eixos.
O raio de giração de uma área pode ser considerado como a distância a partir de um dado eixo para o qual toda a área pode ser concebida estar concentrada sem variação no segundo momento da área em relação ao eixo dado. Quando a área está tão concentrada, seu primeiro momento em relação ao eixo dado não será o mesmo que o primeiro momento da área real. Entretanto, normalmente não há vantagem em se associar um raio de giração com qualquer distância perpendicular em uma área.
O raio de giração de uma área é usado por conveniência em muitos problemas em Mecânica, como em fórmulas para a determinação da resistência de colunas.
6.6-MOMENTOS DE INÉRCIA DE ÁREAS COMPOSTAS
Uma área composta consiste em duas ou mais áreas simples, tais como retângulos, triângulos e círculos. As áreas de seções retas de elementos estruturais padrão, tais como canaletas, vigas I e cantoneiras, estão incluídas freqüentemente em áreas compostas. O momento de inércia de uma área composta, em relação a qualquer eixo, é igual à soma dos momentos de inércia de suas áreas componentes, em relação ao mesmo eixo. Quando uma área, tal como um orifício, é removida de uma área maior, seu momento de inércia é subtraído do momento de inércia da área maior, para se obter o momento de inércia resultante.
É desnecessário o uso de integração para o cálculo do momento de inércia de uma área composta, uma vez que os momentos de inércia das partes componentes são facilmente disponíveis. É aconselhável ter fórmulas disponíveis para áreas comuns, freqüentemente encontradas no trabalho diário. Um grupo representativo está incluído para fácil consulta na Tabela 6.1. Tabelas extensas listando valores de momentos de inércia de áreas de seções retas de várias formas estruturais serão encontradas em manuais de engenharia e em tabelas preparadas por organizações industriais como o American Institute of Steel Construction e a Aluminum Company of America. Alguns destes valores estão listados para informação e para uso nos problemas.
Os exemplos que se seguem ilustram o emprego de fórmulas e da- dos de manuais, para a determinação de momentos de inércia de áreas compostas.
6.7-PRODUTOS DE INÉRCIA DE ÁREAS
O momento de inércia de uma área retangular, em relação a um eixo passando por um ponto fixo na área, varia normalmente com a orientação do eixo. Para muitas aplicações, é necessário determinar-se (1) a direção do eixo que passa por um ponto na área, para o qual o momento de inércia é um máximo ou um mínimo, e (2) o segundo momento correspondente. O momento de inércia de uma área em relação a qualquer eixo inclinado pode ser determinado por integração, mas normalmente é mais simples expressá-lo em termos dos momentos de inércia em relação a dois eixos perpendiculares (x e y), o produto de inércia da área em relação aos eixos x e y e o ângulo entre o eixo inclinado e o eixo x.
O produto de inércia, dIxy do elemento de área dA na Fig. 6.11, em relação aos eixos x e y, é definido como o produto da área e das ·duas coordenadas do elemento; isto é,
dIxy = xy.dA
O produto de inércia da área total na Fig. 6.11, em relação aos eixos x ey, é a soma dos produtos de todos os elementos da área. Assim
As dimensões do produto de inércia de uma área são comprimento elevado à quarta potência, (L4), e as unidades comuns são m4, cm4, mm4 e assim por diante. O elemento de área é intrinsecamente positivo, mas o produto xy pode ser tanto positivo como negativo. Conseqüentemente, o produto de inércia de uma área pode ser positivo, negativo ou zero, contrastando-se com um momento de inércia, que é sempre positivo.
O produto de inércia, em relação a dois eixos retangulares quaisquer, é zero quando um dos eixos ou ambos são um eixo de simetria. Para provar este enunciado, considere a área na Fig. 6.12, que é simétrica em relação ao eixo y. Para todo elemento dA, há um elemento dA’ que tem um produto de inércia igual em grandeza mas oposto em sentido àquele para dA, porque as coordenadas x são opostas em sinal. Assim sendo, a somados produtos de inércia de todos os elementos é zero em relação aos eixos x e y.
O teorema dos eixos paralelos para produtos de inércia de áreas pode ser derivado como se segue. Sejam x’ e y’ na Fig. 6.13 um conjunto de eixos retangulares passando pelo centróide da área A, e sejam os eixos x e y um conjunto qualquer de eixos retangulares paralelos, respectivamente, a x’ e y’. O produto de inércia em relação aos eixos x e y é
e
onde é o produto de inércia da área em relação aos eixos centroidais x’ e y’. As integrais de y’.dA e x’.dA sobre a área são zero porque elas são os primeiros momentos da área A, em relação aos eixos centroidais x’ e y’ .Conseqüentemente,
O teorema dos eixos paralelos para produtos de inércia pode ser estabelecido como se segue: O produto de inércia de uma área em relação a dois eixos perpendiculares quaisquer, x e y, é igual à soma do produto de inércia da área em relação a um conjunto de eixos passando pelo centróide da área (paralelos aos eixos x e y) e do produto da área pelas duas coordenadas centroidais da área, a partir dos eixos x e y.
Pode ser usada tanto integração simples como dupla para produtos de inércia. O produto de inércia é calculado de maneira mais simples usando-se integração dupla, embora os limites sejam usualmente mais simples quando se emprega integração simples. Os exemplos seguintes ilustram o procedimento para a determinação dos produtos de inércia de áreas.
6.8-SEGUNDOS MOMENTOS DE ÁREAS MÁXIMO E MÍNIMO
O momento de inércia da área A na Fig. 6.16, em relação ao eixo x’ que passa pelo ponto O, varia com a orientação deste eixo; isto é, Ix’, em geral terá um valor diferente para cada valor de . Em análise de tensões e em outras situações, algumas vezes é necessário determinar os segundos momentos máximo e mínimo em relação a eixos passando por algum ponto O. Os eixos x e y empregados na obtenção da Eq. (6.1) foram um par qualquer de eixos retangulares no plano da área que passa pelo ponto O; desta forma, a equação pode ser escrita
onde x’ e y’ são um par qualquer de eixos retangulares que passam pelo ponto O. Como a soma de Ix’ e Iy’ é igual a uma constante, isto é, igual JO, Ix’ será o segundo momento máximo para uma orientação particular dos eixos passando pelo ponto O.
Os eixos retangulares particulares para os quais o segundo momento é máximo e mínimo são designados como os eixos u e v, e são chamados os eixos principais da área, passando pelo ponto O. Os momentos de inércia em relação a estes eixos são chamados os momentos principais de inércia da área e são designados como Iu e Iv. Há somente um par de eixos principais para qualquer ponto na área, a menos que todos os eixos tenham o mesmo segundo momento, tal como os diâmetros de um círculo. O momento de inércia da área, em relação a um destes eixos, é máximo para todos os eixos no plano da área que passa pelo ponto, e o momento de inércia em relação ao outro eixo é o mínimo.
Uma forma conveniente de determinar os segundos momentos máximo e mínimo para uma área é expressar Ix’ em termos de , Ix, Iy e Ixy, e então colocar a derivada de Ix’ em relação a igual a zero para se obterem os valores de que fornecem os valores máximo e mínimo do segundo momento. Pela Fig. 6.16,
e
A segunda forma da expressão na Eq. (6.5) é obtida quando as funções do ângulo são substituídas pelas funções equivalentes do ângulo 2. O ângulo ou 2 para o qual Ix' é um máximo pode ser determinado diferenciando-se Ix’ em relação a e colocando-se a derivada igual a zero; assim
donde
onde β representa os dois valores de que localizam os eixos principais u e v.
A Eq. (6.6) fornece dois valores de 2β que estão defasados de 180o, e assim dois valores de β que estão defasados de 90o. Os valores máximo e mínimo do momento de inércia podem ser obtidos pela substituição destes valores de β na Eq. (6.5). Pela Eq. (6.6),
e quando estes valores são substituídos na Eq. (6.5), o resultado reduz-se a
Se Ixy é positivo e Ix é maior que Iy o primeiro valor de 2β da Eq. (6.6) estará no segundo quadrante, e o outro valor no quarto quadrante. O primeiro valor de β está entre 45° e 90° e é representado pelos sinais superiores nas equações acima. Pela Eq. (6.7) este valor de β fornece o momento de inércia mínimo da área. O outro valor de β, logicamente, fornece o momento de inércia máximo. Se Ixy é negativo ou se Ix é menor que Iy os sinais são trocados, mas se existem as duas condições, os sinais acima são válidos.
O produto de inércia do elemento da área na Fig. 6.16 em relação aos eixos x' e y' é
e
O ângulo para o qual o produto de inércia é zero pode ser obtido colocando-se Ix’y’, na Eq. (6.8), igual a zero e resolvendo para . O resultado é
que é o mesmo que a Eq. (6.6) para o ângulo que localiza os eixos principais.
Desta maneira, o produto de inércia é zero em relação aos eixos principais. Como este produto é zero em relação a qualquer eixo de simetria, segue-se que qualquer eixo de simetria de uma área é um eixo principal para qualquer ponto sobre a linha de simetria.
O exemplo seguinte ilustra o procedimento para a determinação dos segundos momentos em relação aos eixos principais.
6.9-CÍRCULO DE MOHR PARA SEGUNDOS MOMENTOS DE ÁREA
O engenheiro alemão Otto Mohr (1835-1918) desenvolveu uma interpretação gráfica muito útil das Eqs. (6.5) a (6.8). Este método, freqüentemente chamado círculo de Mohr, envolve a construção de um círculo de tal forma que as coordenadas de cada ponto sobre o mesmo representam Ix’ e Ix’y’ para uma orientação dos eixos x’ e y’.
Ix, Iy e Ixy devem ser calculados se já não são conhecidos. Considere que Ix seja maior que Iy e que Ixy seja positivo. Desenhe um conjunto de eixos horizontais e chame o eixo horizontal Ix e o eixo vertical Ixy, como indicado na Fig. 6.18. Os segundos momentos de área são sempre positivos e são colocados, em gráfico, à direita da origem. Os produtos de inércia podem ser positivos ou negativos, e é costume colocar os valores positivos acima do eixo Ix e os negativos abaixo dele. Marque a distância AO’ sobre o eixo Ix igual a Ix e A’A paralela ao eixo Ixy, igual a Ixy. De maneira semelhante localize B fazendo OB’ igual a Iy e B'B igual a − Ixy, o valor de Ixy com o sinal trocado. Desenhe a linha AB, interceptando o eixo Ix em C, e trace um círculo com diâmetro igual a AB. Este círculo é o círculo de Mohr para momentos de inércia, e cada ponto sobre ele representa Ix’ e Ix’y’ para uma orientação particular dos eixos x’ e y’ a abscissa representando Ix’ e a ordenada representando Ix’y’ .Para demonstrar esta afirmação, trace o diâmetro DE para um ângulo 2 no sentido anti-horário a partir da linha AB e observe que CD é igual a CA. Pela figura, é aparente que
OD’ = OC + CD cos(2β + 2)
que, pela trigonometria, reduz-se a
OD’ = OC + CA cos2β cos2 − CA sen2β sen2
Ainda referindo-se à figura
OD’ = OC + CA’cos2 − A’A sen2 
pela Eq. (6.5). De uma forma semelhante,
D’D = CD sen(2β + 2) = CA sen2β cos2 + CA cos2β sen2 
 D’D = A’A cos2 + CA’sen2 
pela Eq. (6.8).
Como a coordenada horizontal de cada ponto sobre o círculo representa um valorparticular de Ix’, o momento de inércia máximo é representado por OF, e seu valor é
que concorda com a Eq. (6.7). A Fig. 6.19 representa uma área e um conjunto de eixos, para o qual são válidos os dados usados na construção da Fig. 6.18. Na derivação da Eq. (6.5), o ângulo entre os eixos x e x' era . Na obtenção da mesma equação pelo círculo de Mohr, o ângulo entre os raios em Ix, Ixy (linha CA) e Ix’, Ix’y’ (linha CD) é 2. Em outras palavras, todos os ângulos no círculo de Mohr são o dobro dos ângulos correspondentes para a área real. O ângulo 2β na Fig. 6.18 é o dobro do ângulo entre o eixo x representado por CA e o eixo principal (eixo u) representado por CF. Desta maneira, como mostrado na Fig. 6.19, o eixo principal (u) está a um ângulo β no sentido horário, a partir do eixo x. Pela Fig. 6.18,
que é o mesmo que a Eq. (6.6), exceto pelo sinal. O sinal negativo indica que o eixo principal está a um ângulo β no sentido horário (anti-horário é positivo) do eixo x.
Parte B – Massas
6.10-DEFINIÇÕES
Na análise do movimento de corpos rígidos, normalmente é necessário o momento de inércia (e algumas vezes o produto de inércia) da massa do corpo em relação a um eixo (ou um par de planos).
O momento de inércia ou segundo momento de um elemento de massa dm (veja a Fig. 6.21) em relação a qualquer eixo ou linha é definido como o produto da massa do elemento pelo quadrado da distância do eixo ao elemento. Assim, o momento de inércia do elemento de massa em relação ao eixo x é
dIx = r2 dm = (y2 + z2) dm
Expressões semelhantes podem ser escritas para os eixos y e z. A quantidade y2 dm é algumas vezes referida como o segundo momento de massa do elemento em relação ao plano xz. Analogamente, z2 dm é chamado o segundo momento de massa do elemento em relação ao plano xy. Estas quantidades são úteis basicamente como parte da expressão para dIx. Como elas não aparecem individualmente em equações físicas, com freqüência são calculadas em separado.
O produto de inércia de um elemento de massa dm (como na Fig. 6.21) em relação a um par de planos coordenados ortogonais é definido como o produto da massa do elemento e das distâncias coordenadas do plano ao elemento. Por exemplo, o produto de inércia do elemento em relação aos planos xz e yz é
dIxy = xy dm
A soma dos momentos (ou produtos) de inércia de todos os elementos de massa de um corpo em relação a qualquer eixo (ou par de planos) é definida como o momento (ou produto) de inércia do corpo em relação à referência indicada. As expressões para os eixos da Fig. 6.21 são
e
A equação para Ix também pode ser escrita como
e existem relações semelhantes para Iy e Iz. É importante observar a diferença entre o produto de inércia de massa em relação ao plano xy, Iplano xy e o produto de inércia Ixy. A Eq. (a) pode ser enunciada como se segue: O momento de inércia da massa de um corpo em relação a qualquer eixo é igual à soma de seus momentos de inércia em relação a dois planos perpendiculares que se interceptam sobre o eixo. Os momentos de inércia em relação a planos são úteis somente em casos onde algumas vezes simplifiquem a determinação dos momentos de inércia dos corpos em relação à linha de interseção dos dois planos.
Momentos e produtos de inércia de massa têm as dimensões de massa multiplicada pelo comprimento ao quadrado, mL2. Como as quantidades fundamentais, quando se empregam unidades SI, são massa (quilograma), comprimento (metro) e tempo (segundo), a unidade comum para momento ou produto de inércia de massa é kg.m2. Pelo Art. 1.8, segue-se que a unidade de massa pode ser expressa em termos da unidade de força, em newton, como 1 kg = 1 N.s2/m, pois a unidade de kg.m2 pode também ser expressa como N.m.s2.
O momento de inércia de massa é sempre uma quantidade positiva, pois é a soma dos produtos dos elementos de massa, os quais são intrinsecamente positivos, e de distâncias ao quadrado. O produto de inércia de um corpo pode ser positivo, negativo ou zero, uma vez que as duas coordenadas têm sinais independentes, e o produto será positivo para coordenadas com o mesmo sinal e negativo quando elas têm sinais opostos.
O produto de inércia da massa de um corpo em relação a dois planos perpendiculares é zero se um dos planos é um plano de simetria. Isto é verdadeiro porque os elementos também ocorrerão aos pares em lados opostos do plano de simetria, um dos quais terá um produto de inércia positivo e o outro negativo. Qualquer plano de simetria, por certo, passa pelo centro de massa do corpo, e o plano perpendicular usado no cálculo do produto de inércia pode passar ou não pelo centro de massa. Entretanto, deverá ser verificado que planos que passam pelo centro de massa não são necessariamente planos de simetria, e que o produto de inércia do corpo em relação a tais planos não será necessariamente igual a zero.
6.11-TEOREMAS DOS EIXOS PARALELOS E DOS PLANOS PARALELOS PARA MASSAS
O momento de inércia da massa de um corpo em relação a qualquer eixo pode ser expresso em termos do momento de inércia da massa do corpo em relação a um eixo paralelo passando pelo centro de massa, como indicado no desenvolvimento seguinte. Na Fig. 6.22, os eixos x', y' e z' são paralelos aos eixos x, y e z e passam pelo centro de massa, G, do corpo. O momento de inércia do elemento de massa dm, em relação ao eixo z, é
e
Pela Fig. 6.22, é igual a . Também, é o momento de inércia da massa do corpo em relação ao eixo z' (centroidal), e as duas expressões e são ambas iguais a zero, pois elas representam o primeiro momento da massa em relação aos planos centroidais paralelos aos planos yz e xz, respectivamente. Assim, a equação pode ser escrita
onde IG é o momento de inércia de massa do corpo em relação a um eixo passando pelo centro de massa e paralelo ao eixo z. Em geral, o momento de inércia de massa de um corpo em relação a qualquer eixo é igual à soma do momento de inércia da massa em relação a um eixo paralelo passando pelo centro de massa e o produto da massa pelo quadrado da distância entre os dois eixos.
Um teorema semelhante pode ser provado para o momento de inércia de massa de um corpo em relação a um plano. O teorema estabelece que o momento de inércia de massa de um corpo em relação a qualquer plano é igual à soma do momento de inércia de massa em relação a um plano paralelo passando pelo centro de massa do corpo e o produto da massa do corpo pelo quadrado da distância entre os dois planos.
Pode ser desenvolvida uma relação similar para produtos de inércia. O produto de inércia do elemento de massa na Fig. 6.22 em relação aos planos coordenados xz e yz é
O produto de inércia do corpo é
pois . A Eq.(6.11) indica que o produto de inércia de massa de um corpo em relação a dois planos perpendiculares quaisquer é igual à soma do produto de inércia de massa em relação a dois planos paralelos passando pelo centro de massa do corpo e o produto da massa pelas duas coordenadas do centro de massa a partir dos planos dados.
6.12-MOMENTOS E PRODUTOS DE INÉRCIA POR INTEGRAÇÃO
Na determinação dos momentos e produtos de inércia de massa por integração, o elemento pode ser selecionado para integração simples, dupla ou tripla. A escolha do elemento depende de ser obtido o momento ou o produto de inércia e da orientação do eixo ou planos de referência. O elemento deverá ser selecionado de tal forma que ou (1) todas as suas partes estejam à mesma distância do eixo de referência (ou dos planos de referência, para produtos de inércia), ou (2) o momento ou produto de inércia do elemento em relação ao eixo ou planos de referência sejam conhecidos ou possam ser determinados. Quando é usada integração tripla, o elemento sempre satisfaz à primeira condição, mas ela não é necessariamente satisfeita por elementos que requeiram integração simples ou dupla.
Será útil se o elemento selecionado for mostrado em um esquema do corpo e completamente dimensionado.
6.13-RAIO DE GIRAÇÃO DE MASSA
Foi apontado no Art. 6.10 que as dimensões do momento de inércia demassa são massa multiplicada por comprimento ao quadrado. O raio de giração de massa de um corpo em relação a um eixo é definido como o comprimento que deve ser elevado ao quadrado e multiplicado pela massa do corpo para dar o seu momento de inércia em relação ao eixo.
Esta definição é expressa matematicamente na seguinte equação:
O raio de giração não indica a distância do eixo dado a um ponto fixo no corpo (tal como o centro de massa). O teorema dos eixos paralelos pode ser usado para demonstrar que o raio de giração de massa do corpo em relação a qualquer eixo é maior que a distância do eixo ao centro de massa do corpo. Pela Fig. 6.29
O que indica que kx é maior que d. O raio de giração de massa do corpo em relação a um eixo é a distância do eixo para o qual a massa total do corpo pode ser imaginada estar concentrada e ainda ter o mesmo momento de inércia que a massa distribuída.
Os raios de giração de massa de um corpo em relação a duas linhas paralelas distanciadas de 100 mm não diferem, em geral, de 100 mm. De fato, particularmente não há interpretação ou significado físico de interesse em um raio de giração. É meramente uma forma conveniente de se expressar o momento de inércia de massa de um corpo em termos de sua massa e de um comprimento.
6.14-MOMENTOS E PRODUTOS DE INÉRCIA DE MASSAS COMPOSTAS
Quando deve ser determinado o momento de inércia de um corpo, freqüentemente é de conveniência resolver o corpo em um número de formas simples, tais como cilindros, esferas e barras. O teorema dos eixos paralelos pode ser empregado para determinar o momento de inércia de cada parte se é conhecido o momento de inércia de cada parte em relação a um eixo paralelo que passa pelo centro de massa. O momento de inércia de um corpo composto é a soma algébrica dos valores de cada parte, todos calculados para o mesmo eixo. Uma afirmação semelhante aplica-se a produtos de inércia. A Tabela 6.3 lista momentos e produtos de inércia de vários corpos.
7-TRABALHO VIRTUAL
7.1-MÉTODOS PARA A RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS DE EQUILÍBRIO
Nos capítulos anteriores, foram usados os conceitos do paralelogramo de forças e o momento de uma força, como uma base para a solução de problemas de equilíbrio. A idéia do paralelogramo de forças foi empregada primeiramente por Stevin (1548-1620), mas nunca expressa formalmente. O princípio do paralelogramo de forças foi claramente estabelecido pela primeira vez por Newton em seu Princípios da Filosofia Natural, em 1687. Neste mesmo ano, Varignon também expressou este mesmo conceito.
Embora este princípio proporcione um importante caminho para a solução de problemas de equilíbrio, outros métodos foram propostos e empregados em várias épocas. Arquimedes de Siracusa (287-212 a.C.) discutiu o princípio da alavanca cerca de 200 anos antes de Cristo, e Galileu e outros fizeram uma análise mais completa da alavanca cerca de 1800 anos mais tarde. As ações de corpos em planos inclinados foram inicialmente investigadas por Stevin, que também estudou o equilíbrio das polias. Enquanto trabalhava com polias, Stevin sugeriu o método do trabalho virtual, e Galileu (1564-1642) também fez uso deste método para o trabalho com corpos em planos inclinados. John Bernoulli, em uma carta a Varignon em 1717, foi o primeiro a dar um enunciado formal do método, ao qual ele chamou o princípio das velocidades virtuais. O nome velocidades virtuais tem sido substituído pelos termos trabalho virtual, deslocamento virtual e método do trabalho, todos os quais são mais indicativos do método usado. O método do trabalho virtual, como aplicado à solução de problemas de equilíbrio, é desenvolvido nos artigos seguintes.
Os métodos do trabalho virtual e da energia potencial mínima estão intimamente relacionados e são normalmente usados para investigar a estabilidade de posições de equilíbrio de um corpo ou sistema de corpos. A única característica destes métodos é que freqüentemente podem ser aplicados sem a consideração de todas as forças que agem sobre o sistema. Estes métodos são também freqüentemente usados para provar teoremas e derivar equações empregadas em mecânica avançada.
Embora seja possível levar em consideração a presença de forças de atrito sem a aplicação tanto do método do trabalho virtual como do método da energia potencial mínima, o procedimento em geral torna-se tão envolvente que tais problemas são resolvidos mais facilmente usando-se as equações de equilíbrio. Assim sendo, neste texto, todo o desenvolvimento, levando-se em conta o trabalho virtual ou a energia potencial mínima, será considerado sem forças de atrito.
7.2-DESLOCAMENTO
O deslocamento de um ponto é definido como a variação da posição do referido ponto e é um vetor que vai da posição inicial até a posição final. Assim, o deslocamento do ponto P na Fig. 7.1, enquanto ele se move sobre a trajetória desde A até B, é
q = rB − rA
O deslocamento não depende da trajetória; depende somente das posições inicial e final.
Quando as partículas são conectadas em um corpo rígido, seus deslocamentos devem ser consistentes com o fato de que o mesmo é rígido. Quaisquer dois pontos em um corpo rígido devem permanecer a uma distância fixa um do outro. A barra AB nas Figs. 7.2(a) e 7.2(b) é um exemplo de um corpo rígido. Se se considera que a extremidade A não apresenta deslocamento, o único deslocamento possível de B será de B para B’, devido à rotação da barra, como mostrado na Fig. 7.2(a). A Fig. 7.2(b) mostra outro possível deslocamento da barra, onde as duas extremidades permanecem em contato com as duas superfícies, e A tem um deslocamento de A para A’, para a esquerda, enquanto que o deslocamento de B é de B para B’, para baixo. A distância de A’ para B’ deve ser a mesma distância de A para B, e a relação entre os dois deslocamentos é governada por este fato. Quando duas partículas estão conectadas por uma corda inextensível, seus deslocamentos são governados pelo fato de que a corda é inextensível, mesmo se ela não for um corpo rígido. Na Fig. 7.2(c), um deslocamento de A para a esquerda deve ser acompanhado por um deslocamento correspondente de B, para cima ao longo do plano, se a corda é inextensível.
	Uma linha tem movimento angular quando varia o ângulo entre ela e uma linha de referência. O ângulo entre uma linha que se move em um plano e uma linha de referência fixa no plano define a posição angular da linha que se move. O deslocamento angular de um corpo rígido é definido como a variação da posição angular de uma linha sobre o corpo.
7.3-TRABALHO
Antes de se discutir o método do trabalho virtual, é necessário definir o trabalho realizado por forças e binários.
O trabalho realizado por uma força constante F durante um deslocamento q da força é dado pela expressão
U = F∙q = Fq cos (7.1)
onde é o ângulo entre F e q, A Fig. 7.3 mostra que o trabalho realizado pela força F durante o deslocamento q, quando o bloco se move da posição A para a posição B, é o produto da grandeza da componente retangular de F na direção do deslocamento (F cos) pela grandeza do deslocamento.
Assim, U é igual a (F cos)q. O trabalho realizado também pode ser imaginado como sendo o produto da grandeza de F pela grandeza da componente retangular do deslocamento na direção de F; isto é, U = (F)(q cos).
O trabalho é definido como o produto escalar de dois vetores; desta maneira, é um escalar e tem somente grandeza e sinal algébrico. As quantidades F e q podem ser escritas em notação vetorial como
F = (Fxi + Fyj + Fzk) N
e
q = (qxi + qyj + qzk) m
O trabalho realizado pela força F pode ser obtido por meio do produto escalar, o qual determina tanto a grandeza como o sinal algébrico; assim
U = F∙q = Fxqx + Fyqy + Fzqz
Pela definição de trabalho - veja a Eq. (7.1) - pode ser verificado que o trabalho realizado por uma força é positivo quando o deslocamento e a componente da força ao longo do deslocamento têm o mesmo sentido (0 ≤ < 90°). Quando o deslocamento e a componenteda força na direção do deslocamento têm direções opostas (90° < ≤ 180o), a força realiza trabalho negativo. Quando = 90°, a força não tem componente na direção do deslocamento, e o trabalho realizado pela força é zero. Uma vez que o trabalho é o produto de força e deslocamento, suas dimensões são FL e a unidade comum é o joule, J, que é igual a newton.metro.
Observe que, pela definição, o trabalho realizado por uma força constante não depende da trajetória percorrida pelo ponto de aplicação da força durante o deslocamento. Assim, o trabalho realizado pela força constante F na Fig. 7.4 é o mesmo se ela se move da posição A até a posição B sobre a trajetória a, sobre a trajetória b ou sobre a linha reta de A até B. A afirmação anterior é particularmente útil quando se calcula o trabalho realizado pelo peso de um corpo, pois o trabalho é Ph, onde P é o peso e h é a distância vertical que o centro de gravidade percorre. Se o centro de gravidade se move para baixo, o peso realizará um trabalho positivo, e se ele se move para cima, o trabalho realizado será negativo.
Quando a força varia tanto em grandeza como em direção, como na Fig. 7.5, a Eq. (7.1) é válida somente para uma variação infinitesimal em posição, e o trabalho realizado pela força quando se inove de A para B é
Observe que ds é a grandeza do deslocamento infinitesimal dr e que é o ângulo entre F e dr. A Eq. (7.2) é válida para quaisquer força e deslocamento gerais, e pode ser usada para calcular o trabalho realizado uma vez que sejam estabelecidas relações entre F, e s. Embora F e dr sejam quantidades vetoriais, o produto escalar é uma quantidade escalar, e pode ser empregada uma integração escalar ordinária para determinar-se o trabalho realizado.
Algumas vezes é útil um método gráfico ou semigráfico para a determinação do trabalho realizado por uma força, especialmente quando a relação matemática entre F, e s na Eq. (7.2) não é conhecida ou é complicada. Quando a componente da força na direção do deslocamento, F cos, é colocada em gráfico contra a função posição s, como indicado na Fig. 7.6, a área sob a curva representa o trabalho realizado - veja a Eq. (7.2). O cartão indicador empregado para determinar o trabalho realizado pelo vapor sobre o êmbolo de um motor a vapor é um exemplo de um diagrama F-s.
Uma mola é um corpo que se deforma quando submetido a uma força. A relação da força e da deformação depende do material usado e das dimensões e forma da mola (helicoidal, espiral, cônica, em balanço etc.). Neste texto, somente são consideradas molas que apresentem uma relação linear entre a força e deslocamento ou deformação. Neste caso, a grandeza, F, a força é dada pela expressão
F = ks
onde s é a deformação da mola a partir de sua posição não-deformada e k é uma constante conhecida como constante elástica da mola. O diagrama força-deformação para uma mola é mostrado na Fig. 7.7. Como a mola está distendida de uma quantidade s a partir de seu comprimento não-tracionado l0 a força aumenta desde zero até F = ks. A constante elástica da mola, k, é a inclinação do diagrama F-s e tem dimensões de força dividida por comprimento, freqüentemente expressas como newtons por metro.
O trabalho realizado em distender a mola na Fig 7.7 desde um comprimento inicial (l0 + s1) até um comprimento final (l0 + s2) pode ser determinado pela Eq. (7.2). Como a força e o deslocamento estão na mesma direção, o ângulo é zero, e a equação torna-se
A expressão anterior também pode ser obtida como a área sob o diagrama F-s, entre s1 e s2, a área trapezoidal hachurada. Esta área é
U = área = [(F1 + F2)/2](s2 – s1)
Quando F1 = ks1 e F2 = ks2 são substituídos na expressão, ela se torna
como anteriormente. Quando a mola está inicialmente não-distendida, o trapézio transforma-se em um triângulo, e o trabalho realizado sobre a mola é .
Deverá ser observado que, quando uma mola está sendo deformada (em tração ou em compressão), a força sobre a mola e o deslocamento estão no mesmo sentido, e o trabalho realizado sobre a mola é positivo. Se a mola está inicialmente deformada e é liberada gradualmente, a força e o deslocamento estão em sentidos opostos, e o trabalho realizado sobre a mola é negativo. A força da mola sobre um corpo é oposta à força do corpo sobre a mola, mas tanto o corpo como a extremidade da mola têm o mesmo deslocamento; desta maneira, o trabalho realizado por um corpo sobre uma mola e o trabalho realizado pela mola sobre o corpo terão mesma grandeza, mas sinais opostos.
Quando uma mola é fabricada, de tal forma que possa atuar tanto em tração como compressão, tal como numa mola de suspensão de automóvel, normalmente considera-se que a sua constante elástica seja a mesma em tração e compressão. O diagrama força-deslocamento será semelhante ao da Fig. 7.8, e é evidente que durante uma variação de comprimento de tração para compressão (ou o contrário) a força variará seu sentido enquanto que o deslocamento continuará no mesmo sentido. Conseqüentemente, a área de um lado do eixo s representará trabalho positivo, e a do outro lado dará trabalho negativo.
Um binário não realiza trabalho quando gira ao redor de um ângulo no plano do binário (em relação ao eixo do binário). O trabalho realizado por um binário constante, quando ele gira ao redor de um ângulo no plano do binário, é igual ao produto da grandeza do momento do binário pelo deslocamento angular (em radianos); isto é,
U = T (7.3)
O trabalho é positivo se o deslocamento angular está no mesmo sentido que o sentido de rotação do binário e negativo se o deslocamento está no sentido oposto. Nenhum trabalho é realizado se o binário é transladado ou rotacionado ao redor de um eixo paralelo ao plano do binário.
O trabalho realizado por uma força foi definido como o produto escalar de dois vetores: força e deslocamento linear. O trabalho realizado por um binário pode ser obtido aplicando-se esta definição a cada uma das forças do binário. Entretanto, deslocamentos angulares finitos não são vetores, pois não obedecem à lei de adição do paralelogramo (veja o Art. 1.3); desta maneira, não podem ser usados para formar produtos escalares que expressem o trabalho realizado por binários. Deslocamentos angulares infinitesimais satisfazem a definição de vetores e podem ser usados para determinar o trabalho realizado por binários variáveis.
Considere o trabalho realizado pelo binário na Fig. 7.9(a) quando ele gira de um ângulo infinitesimal dô . O trabalho realizado pelas duas forças é
U = P1∙dr1 + P2∙dr2
onde r1 e r2 são os vetores-posição às forças P1 e P2, respectivamente, e dr1 e dr2 são os deslocamentos das duas forças. Como P1 e dr1 estão no mesmo sentido, P1 realiza trabalho positivo, enquanto que P2 realiza trabalho negativo por razão semelhante. Assim, o trabalho pode ser escrito como
dU = P1dr1 − P2dr2
Pela definição de um binário, P1 é igual a P2, e pela geometria da figura
dr1 = (R + r) d e dr2 = R d
Assim sendo, o trabalho do binário é
dU = P1(R + r) d − P1R d = P1r d = T d
O trabalho realizado durante um deslocamento angular finito pode ser obtido pela integração da expressão
e se T é constante, o trabalho é
onde é a variação de , isto é, o deslocamento angular do binário; veja a Eq. (7.3).
Se o corpo é transladado como mostrado na Fig. 7.9(b), o trabalho realizado pelo binário é
U = P1∙q1 + P2∙q2 = P1∙q1 – P1∙q1
pois P2 = − P1 e q2 = q1. Assim, um binário não realiza trabalho devido a uma translação do corpo sobre o qual ele atua. Quando um binário age sobre um corpo que é simultaneamente transladado e girado, o binário realiza trabalho somente como um resultado da rotação.
Quando a grandeza de T é uma variável, a Eq. (7.4) deve ser integrada para se obter o trabalho realizado. Os diagramas momento-posição angular (semelhantes aos diagramas F-s) são freqüentemente úteis para problemas que envolvem binários variáveis, em particular quando o diagramaT- é uma linha reta. Variações lineares ocorrem para algumas molas de torção (tais como uma mola de relógio), caso em que o momento e a posição angular são selecionados por
T = k
onde k é a constante de torção da mola, sendo normalmente expressa em unidades tais como newtons.metros/radiano.
O trabalho realizado sobre um corpo rígido por um sistema de forças e binários externos é a soma algébrica dos trabalhos realizados pelas forças e binários individuais. Como as forças externas ocorrem em pares colineares iguais e opostos, cada um dos quais tem o mesmo deslocamento se o corpo é rígido, o trabalho resultante realizado por estas forças será zero. Se o corpo não é rígido, esta afirmação não é válida, uma vez que o trabalho será realizado pelas forças externas. Quando dois ou mais corpos rígidos são conectados por pinos lisos ou por cabos flexíveis, inextensíveis, o trabalho resultante realizado pelos membros do sistema que se conectam é também zero. As duas forças nas extremidades de um cabo têm a mesma grandeza (a massa do cabo é considerada ser desprezível), e se o cabo é inextensível, as componentes dos deslocamentos das duas extremidades na direção das forças devem ter as mesmas grandezas; assim sendo, o trabalho resultante realizado pelo cabo deve ser zero. Os seguintes exemplos demonstram o cálculo do trabalho realizado por várias forças.
7.4-O MÉTODO DO TRABALHO VIRTUAL
O método do trabalho virtual pode ser comparado a um homem que balance uma escada para ver se ela está em equilíbrio, antes que ele comece a subir nela. O método determina as posições de equilíbrio dando ao sistema um deslocamento infinitesimal (correspondente ao balanço) e examina o trabalho realizado pelas forças externas. O deslocamento infinitesimal é denominado um deslocamento virtual e pode ser qualquer deslocamento infinitesimal arbitrário, consistente com os vínculos do sistema. Um exemplo de um deslocamento virtual é dado na Fig. 7.12, que mostra uma escada uniforme AB, de peso P, colocada contra uma parede vertical. O deslocamento virtual consiste em fazer com que A, a extremidade inferior da escada, se mova de uma distância infinitesimal, xAi, para a direita, causando um movimento da extremidade superior B de uma distância infinitesimal, yBj, para baixo (y será uma quantidade negativa). Os vínculos do sistema são satisfeitos se as extremidades A e B permanecem em contato com as superfícies horizontal e vertical, respectivamente, uma vez que elas também permanecem afastadas de uma distância fixa.
O princípio do trabalho virtual pode ser estabelecido como se segue: Se o trabalho virtual realizado por todas as forças e binários externos sobre um sistema de partículas ou corpos rígidos sem atrito (sistema ideal) é zero, para todos os deslocamentos, o sistema está em equilíbrio. O trabalho virtual é definido como o trabalho realizado por uma força (ou sistema de forças) sobre um corpo durante um deslocamento virtual do corpo. O princípio do trabalho virtual pode ser expresso na forma de equação como
onde é o trabalho virtual, é o deslocamento virtual da i-ésima força, , e é o deslocamento angular virtual do j-ésimo binário, . O uso do produto escalar para escrever o trabalho virtual realizado por um binário é justificado, uma vez que deslocamentos angulares infinitesimais somam-se segundo a lei do paralelogramo, e assim, como vetores, embora deslocamentos angulares finitos não satisfaçam à definição de vetores.
Para uma partícula, o princípio do trabalho virtual pode ser provado de maneira simples. Considere a partícula Q na Fig. 7.13, sob a ação de três forças. Se a esta partícula é dado um deslocamento virtual na direção n, de Q para Q’, o trabalho realizado é
Entretanto, neste caso,
e o trabalho virtual pode ser escrito como
Se o trabalho virtual deve ser zero, tanto
como devem ser perpendiculares à direção do deslocamento virtual. Entretanto, o trabalho virtual deve ser zero para qualquer deslocamento virtual; desta maneira, segue-se que deve ser zero, uma vez que esta soma não poderá ser perpendicular a todas as possíveis direções de n. Se o vetor soma de todas as forças que agem sobre a partícula é zero, a partícula deve estar em equilíbrio.
O trabalho virtual realizado sobre um corpo rígido em equilíbrio durante qualquer deslocamento virtual é também zero, pois é a soma dos trabalhos virtuais realizados sobre cada uma das partículas do corpo. As forças internas entre partículas ocorrem em pares colineares, opostos e iguais, e não realizam trabalho sobre um corpo rígido durante qualquer deslocamento, como explicado no artigo anterior. Conseqüentemente, somente o trabalho realizado pelas forças externas necessita ser considerado para corpos rígidos.
O trabalho virtual realizado sobre um sistema de corpos rígidos em equilíbrio durante qualquer deslocamento virtual é zero, uma vez que as forças exercidas pelas conexões realizam trabalho virtual positivo sobre um corpo e a mesma quantidade de trabalho virtual negativo sobre o outro corpo de cada um dos pares que se conectam. Tal condição existe quando as conexões são pinos lisos, roletes lisos e cabos inextensíveis.
O método do trabalho virtual para uma partícula ou um único corpo rígido normalmente não conduz a vantagem sobre o uso das equações de equilíbrio. Uma vantagem do método do trabalho está na análise de um sistema de corpos onde este método freqüentemente faz com que não seja necessário analisar o sistema de forças que age sobre cada corpo separadamente. O método do trabalho é também efetivo como um meio de se determinar a posição de equilíbrio para um corpo ou sistema de corpos.
Quando a força exercida por um pino ou outro suporte deve ser determinada pelo método do trabalho, o vínculo é substituído por uma força, ao corpo é dado um deslocamento virtual, e é calculado o trabalho virtual realizado pela reação e todas as outras forças que agem sobre o corpo. Se devem ser determinadas muitas forças, ao corpo (ou sistema de corpos) podem ser dados deslocamentos virtuais separados, nos quais somente uma das forças desconhecidas realiza trabalho virtual, durante cada deslocamento. Esta discussão é limitada a casos em que o sistema apresenta um único grau de liberdade, isto é, sistemas para os quais os deslocamentos virtuais de todos os pontos podem ser expressos em termos de uma única variável (deslocamento).
Os métodos de emprego do princípio do trabalho virtual podem ser mais bem explicados nos exemplos seguintes.
7.5-ESTABILIDADE DE EQUILÍBRIO
No Art. 7.4, o método do trabalho virtual foi usado para se determinar a posição de um corpo ou sistema de corpos onde o sistema estaria em equilíbrio. O método pode ser estendido para se determinar se o equilíbrio resultante é estável ou instável. Exemplos de equilíbrios estável e instável, e também de equilíbrio indiferente ou neutro, são mostrados na Fig. 7.17. Um corpo está em equilíbrio estável se, quando é deslocado ligeiramente de sua posição de equilíbrio e liberado, ele retorna à sua posição original. Se o corpo tende a continuar a se mover afastando-se de sua posição de equilíbrio, quando deslocado ligeiramente e liberado, ele está em equilíbrio instável. Quando um corpo permanece em qualquer posição em que seja colocado, está em equilíbrio neutro. Na Fig. 7.17, os três cilindros são feitos de madeira e aço. O cilindro na Fig. 7.17(a) está em equilíbrio estável, pois ele retornará à posição mostrada se é girado ligeiramente. Se o cilindro na Fig. 7.17(b) é girado ligeiramente e liberado, ele continuará a se mover até que a metade de aço fique para baixo. O cilindro na Fig. 7.17(c) está em equilíbrio neutro, pois permanecerá em qualquer posição para a qual ele seja rolado.
Quando é aplicada uma força a um corpo em equilíbrio estável, e que cause um pequeno deslocamento, o sistema de forças que mantém o corpo em equilíbrio realiza trabalho negativo sobre o corpo durante este pequeno deslocamento. Quando a força perturbadora é removida, o sistema de forças realizará trabalho