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Aula 23 Área entre Curvas. Volumes. MA111 - Cálculo I Turmas O, P e Q Marcos Eduardo Valle Departamento de Matemática Aplicada Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica Universidade Estadual de Campinas Área entre Curvas Vimos que a integral ∫ b a f (x)dx de uma função não-negativa fornece a área abaixo da curva y = f (x),a ≤ x ≤ b. No caso geral, tem-se o seguinte resultado: Definição 1 A área entre as curvas y = f (x) e y = g(x) e as retas x = a e x = b é A = ∫ b a |f (x)− g(x)|dx . Exemplo 2 Encontre a área da região limitada por y = ex e y = x , e x = 0 e x = 1. Exemplo 2 Encontre a área da região limitada por y = ex e y = x , e x = 0 e x = 1. Resposta: A = e − 3/2. Exemplo 3 Encontre a área da região entre as parábolas y = x2 e y = 2x − x2. Exemplo 3 Encontre a área da região entre as parábolas y = x2 e y = 2x − x2. Resposta: A = 1/3. Exemplo 4 Encontre a área da região limitada pelas curvas y = sen x e y = cos x , x = 0 e x = pi/2. Exemplo 4 Encontre a área da região limitada pelas curvas y = sen x e y = cos x , x = 0 e x = pi/2. Resposta: A = A1 + A2 = 2 √ 2− 2. Exemplo 5 Encontre a área da região limitada pela reta y = x − 1 e pela parábola y2 = 2x + 6. Exemplo 5 Encontre a área da região limitada pela reta y = x − 1 e pela parábola y2 = 2x + 6. Resposta: A = 18. Definição 6 Seja S um sólido que está definido entre x = a e x = b. Se a área da secção transversal de S no plano Px , passando por x e perpendicular ao eixo x , é A(x), em que A é uma função contínua, então o volume de S é V = lim n→∞ n∑ i=1 A(xi)∆x = ∫ b a A(x)dx . Exemplo 7 Mostre que o volume de uma esfera de raio r é V = 43pir 3. Exemplo 8 Encontre o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo x da região sob a curva y = √ x de 0 a 1. Ilustre a definição esboçando um cilindro aproximante típico. Exemplo 8 Encontre o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo x da região sob a curva y = √ x de 0 a 1. Ilustre a definição esboçando um cilindro aproximante típico. Resposta: V = pi/2. Exemplo 9 A região R, limitada pelas curvas y = x e y = x2, é girada em torno do eixo x . Encontre o volume do sólido resultante. Exemplo 9 A região R, limitada pelas curvas y = x e y = x2, é girada em torno do eixo x . Encontre o volume do sólido resultante. Resposta: V = 2pi/15. Exemplo 10 Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região R do exemplo anterior em torno da reta y = 2. Exemplo 10 Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região R do exemplo anterior em torno da reta y = 2. Resposta: V = 8pi/15. Exemplo 11 Encontre o volume de uma pirâmide de base quadrada com lado L e cuja altura é h. Exemplo 11 Encontre o volume de uma pirâmide de base quadrada com lado L e cuja altura é h. Resposta: V = L2h/3. Exemplo 12 Uma cunha é cortada de um cilindro circular de raio 4 por dois planos. Um plano é perpendicular ao eixo do cilindro. O outro intercepta o primeiro com um ângulo de 30o ao longo de um diâmetro. Encontre o volume da cunha. Exemplo 12 Uma cunha é cortada de um cilindro circular de raio 4 por dois planos. Um plano é perpendicular ao eixo do cilindro. O outro intercepta o primeiro com um ângulo de 30o ao longo de um diâmetro. Encontre o volume da cunha. Resposta: V = 128/3 √ 3.
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