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Aplicações de integração Cálculo 2– Prof. Aline Paliga Áreas entre curvas Nós já definimos e calculamos áreas de regiões que estão sob os gráficos de funções. Aqui nós estamos usando integrais para encontrar áreas de regiões entre os gráficos de duas funções. Considere a região S que está entre duas curvas y=f(x) e y=g(x) e entre as retas verticais x=a e x=b, onde f e g são funções contínuas e f(x)≥g(x) para todo x em [a,b]. ( , ) / , ( ) ( )S x y a x b g x y f x Assim como fizemos em aula passada, dividimos S em n faixas de larguras iguais e então aproximamos a i-ésima faixa por um retângulo com base Δx e . A soma de Riemann é portanto uma aproximação que nós intuitivamente pensamos da área de S. Esta aproximação parece melhorar quando . Portanto nós definimos a área A de S como o valor do limite da soma das áreas destes retângulos aproximadores: * * 1 n i i i f x g x x * *i if x g x * * 1 lim n i i n i A f x g x x n A área A da região limitada pelas curvas é então: Notamos que se g(x)=0, S é a região sob o gráfico de f, e nossa definição acima é reduzida à definição anteriormente estudada. Se f e g forem positivas: b a A f x g x dx [ ( )] [ ( )] = b b a a b a A área sob y f x área sob y g x f x dx g x dx f x g x dx EXEMPLO 1: Encontre a área da região limitada por cima Por y=ex e por baixo por y=x, e limitada pelos lados por x=0 e x=1. RESOLUÇÃO: 1 1 1 0 0 0 1 2 2 2 1 1 0 0 0 ( ) 1 0 2 2 2 1 3 1 . . 2 2 x x x A e x dx e dx xdx x e e e e e u a EXEMPLO 2: Encontre a área da região entre as parábolas y=x2 e y=2x-x2 . RESOLUÇÃO: Nós primeiro encontramos os pontos de intersecção das parábolas resolvendo suas equações simultaneamente. 2 2 2 2 1 2 2 2 2 0 ( 1) 0 0 1 0 0 I (0,0) 1 1 I (1,1) x x x x x x x x x x e x x y x y 1 1 2 2 2 0 0 1 1 1 2 2 0 0 0 1 1 2 3 2 2 3 3 0 0 (2 ) 2 2 2 2 2 1 0 1 0 2 2 2 2 3 2 2 3 3 2 1 1 . . 3 3 A x x x dx x x dx x x dx xdx x dx x x u a Algumas regiões são mais bem tratadas considerando x como uma função de y. Se uma região é limitada por curvas com equações x=f(y), x=g(y), y=c e y=d, onde f e g são contínuas e f(y)≥g(y) para c≤y≤d, então sua área é: d c A f y g y dy EXEMPLO 3: Encontre a área limitada pela reta y=x-1 e pela parábola y2=2x+6. RESOLUÇÃO: Colocando x como função de y nas duas equações: 2 2 2 2 1 1 2 6 6 2 6 2 3 2 y x x y y x y x y x y x Depois encontramos os pontos de intersecção da parábola e da reta resolvendo suas equações simultaneamente. 2 2 2 2 2 2 1 2 1 3 2 6 1 2 2( 1) 6 2 2 6 2 8 0 ( 2) ( 2) 4.1.( 8) 2.1 2 6 4 y 2 2 2 1 2 1 1 I (-1,-2) 4 1 4 1 5 I (5,4) y y y y y y y y y y y y y e y x y y x y 2 4 4 2 2 2 4 4 4 2 2 2 2 4 4 3 2 4 2 2 2 3 23 2 1 ( 1) 3 4 2 2 1 4 2 1 4 2 3 2 2 21 4 4 4 4 ( 2) 2 3 3 2 2 81 64 16 4 4 6 2 3 3 2 2 y A y dy y y dy y dy ydy dy y y y 1 72 12 24 12 6 24 18 . . 2 3 2 u a Volumes Na tentativa de encontrar o volume de um sólido nós nos deparamos com o mesmo tipo de problema para calcular áreas. Começando com um sólido simples chamado cilindro, que é limitado por uma região plana B1, chamada base, e a região B2 congruente em um plano paralelo. O cilindro consiste em todos os pontos nos segmentos de retas perpendiculares à base que unem B1 e B2. Se á área da base é A e a altura (distância entre B1 e B2) é h, então o volume é: V Ah Para um sólido S que não é um cilindro, nós primeiro “cortamos” S em pedaços e aproximamos cada pedaço por um cilindro. Chegamos ao volume exato de S através de um processo de limite quando o número de partes se torna grande. Pense em fatiar S com uma faca através de x e calcular a área dessa fatia. A área A(x) varia quando x aumenta de a a b. seção transversal Vamos dividir S em n fatias de larguras iguais Δx usando os planos Px1, Px2,...Se escolhermos pontos de amostragem x * i em [xi-1, xi], podemos aproximar a i-ésima fatia Si por um cilindro com área de base A(x * i ) com “altura” Δx . Adicionando os volumes destas fatias, nós obtemos uma aproximação para o volume total: *( )i iV S A x x * 1 ( ) n i i V A x x Esta aproximação parece melhorar quando . Pense em tornar as fatias cada vez mais finas. Portanto, definimos o volume como o limite destas somas quando . Mas reconhecemos o limite da soma de Riemann como a integral definida, e assim temos o seguinte definição. n * 1 lim ( ) ( ) n b i an i V A x x A x dx n DEFINIÇÃO DE VOLUME Seja S um sólido que está entre x=a e x=b. Se a área da seção transversal de S no plano Px, passando por x e perpendicular ao eixo x, é A(x), onde A é uma função contínua, então o volume de S é: EXEMPLO 1: Mostre que o volume de uma esfera de raio r é: RESOLUÇÃO: Se colocarmos a esfera de tal maneira que o seu centro esteja na origem, então o plano Px intercepta a esfera em um círculo cujo raio (pelo teorema de Pitágoras) é . Então a área da seção transversal é: Usando a definição de volume com a=-r e b=r, nós temos: 2 2y r x 34 3 V r 2 2 2 2 2 2( )A x y r x r x 2 2( ) r r r r V A x dx r x dx 2 2 2 2 r r r r r r V r x dx r dx x dx 33 3 2 2 3 2 3 3 3 ( ) 3 3 3 2 4 2 2 2 . . 3 3 3 r r r r rx r r x r r r r r r r r r u v Pela soma de Riemann: com 5 discos com 10 discos com 20 discos EXEMPLO 2: Encontre o volume do sólido obtido pela rotação ao redor do eixo x da região sob a curva de 0 a 1. RESOLUÇÃO: Se fizermos a rotação ao redor do eixo x, obteremos o sólido mostrado acima e se fatiarmos através do ponto x, obtemos um disco com raio . A área desta seção transversal é: y x 2 ( )A x x x x O sólido está entre x=0 e x=1; assim, o seu volume é: 1 2 2 1 1 0 0 0 1 ( ) 2 2 2 x V A x dx xdx EXEMPLO 3: Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada por ao redor de y. 3, y=8 e x=0y x RESOLUÇÃO: Como a região é girada ao redor do eixo y, faz sentido fatiar o sólido perpendicularmente ao eixo y e portanto Integrar em relação a y. Se nós fatiarmos a uma altura y, obteremos um disco circular com raio x onde : Então a área da seção transversal é: Como o sólido está entre y=0 e y=8, seu volume é: 3x y 22 2 33( )A y x y y 8 5 38 8 2 3 0 0 0 3.58 5 5 53 3 3 0 ( ) 5 3 3 3 3 3 3 96 = 8 2 2 32 . . 5 5 5 5 5 5 y V A y dy y dy y u v 1 3 5 3 5 1 1 2 4 0 0 0 1 1 2 ( ) ( ) . . 3 5 3 5 15 x x V A x dx x x dx u v EXEMPLO 4: A região ℜ limitada pelas curvas y=x e y=x2 é girada ao redor do eixo x. Encontre o volume do sólido resultante: arruela (anel) Portanto temos: 22 2 2 4( ) ( )A x x x x x Os sólidos dos exemplos 1-4 são chamados de sólidos de revolução, porque são obtidos pela rotação de uma região ao redor de um eixo. Então em geral, calculamos o volume de um sólido de revolução usando a fórmula básica da definição: ou e encontramos a A(x) ou A(y) por uma das seguintes maneiras: Se a seção transversal for um disco (exemplo 1 a 3), nós encontramos o raio do disco (em termos de x ou y) e usamos: Se a seção for uma arruela (exemplo 4), encontramos o raio interno rint e o raio externo rext e calculamos a área da arruela subtraindo a área do disco interno da área do disco externo: ( ) b a V A x dx ( ) d c V A y dy 2( )A raio 2 2( externo) ( interno)A raio raio
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