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Apostila Matemática Cálculo CEFET Capítulo 06 Integração Indefinida

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Capítulo 6
INTEGRAÇÃO INDEFINIDA
6.1 Introdução
Na primeira parte do capítulo mostraremos como obter uma função conhecendo apenas a sua
derivada. Este problema é chamado de integração indefinida.
Definição 6.1. Uma função
�������
é chamada uma primitiva da função �
�����
no intervalo � se para todo
�
	
� , tem-se:
���
�������
�
�����
Muitas vezes não faremos menção ao intervalo � , mas a primitiva de uma função sempre será
definida sobre um intervalo.
Exemplo 6.1.
[1] Seja �
�����������
, então
���������
���
� é uma primitiva de � em � , pois
�
�
�������ff���fi�
�
�����
.
���������
�
�
�ffifl � é também uma primitiva de � em � , pois
�
�
�������!�
�
�
�
�����
. Na verdade,
���������
�
�
�
fl#" , para todo "
	
� é primitiva de � pois
�
�
�����$�%���&�
�
�����
.
[2] Seja �
�����$�
"('*)
�����
, então
�������+�
)-,/.
�����
fl0" , para todo "
	
� é uma primitiva de � . De fato,
�
�
�����+�
"('*)
�����+�
�
�����
.
[3] Seja:
�
�����$�2143
�fi	65 798;:;<
=
�#>	65 798;:;<@?
Não existe função definida em todo � cuja derivada seja igual a �
�����
. Por outro lado, considere
a seguinte função:
��������� AB
C
BD
=
�FEG7
��HI7 �F	65 7�8;:;<
:JHI7 �FKL:-?
239
240 CAPÍTULO 6. INTEGRAÇÃO INDEFINIDA
�������
é uma função contínua em todo � e
�
�
����� �
�
�����
se
�0	L�
798;: �
. Logo,
�
é uma primitiva
de � em
�
798;: �
.
Em geral, uma função � admite uma infinidade de primitivas sobre um intervalo. É o que
assegura a seguinte proposição:
Proposição 6.1. Seja
�
uma primitiva da função � no intervalo � . Então,
�
����� � �������
fl " , "
	
� , é
também primitiva de � no intervalo � .
A pergunta natural que surge, a seguir, é: se
�
e
�
são primitivas de uma função � sobre um
intervalo, será que
�
e
�
estão relacionadas de alguma forma? A resposta a esta questão é dada
pela seguinte proposição:
Proposição 6.2. Se
�
e
�
são primitivas de uma função � num intervalo � , então existe "
	
� tal que
�
������� �������
fl " , para todo
�fi	
� .
Prova: Seja �
�����+� �������$H
�
�����
; então, para todo
�F	
� , temos que: �
�
������� �
�
����� H
�
�
�����+�
�
�
����� H
�
�������
=
. Como consequência do Teorema do Valor Médio, para todo
�
	
� , �
�����$�
" ;
então, para todo
�F	
� ,
������� H
�
�����+�
"
?
Em outras palavras, duas primitivas de uma função diferem por uma constante. Logo, se co-
nhecemos uma primitiva de uma função, conhecemos todas as primitivas da função. De fato,
basta somar uma constante à primitiva conhecida para obter as outras.
Exemplo 6.2.
[1] Seja �
����� �
"(' )
�����
. Uma primitiva desta função é
�������J�
) , .
�����
; logo, toda primitiva de �
é do tipo
�
����� �
)-,/.
�����
fl "
8
"
	
� .
-6 -4 -2 2 4 6
-2
-1
1
2
3
Figura 6.1: Gráficos de � e algumas primitivas de "(' )
�����
.
[2] Seja �
�����+�
,����
8 7���
=
. Uma primitiva desta função é
������� �
	���
�
; logo, toda primitiva de �
é do tipo
�
����� �
	
��
�
fl " , "
	
� .
Definição 6.2. Seja
�������
uma primitiva da função �
�����
no intervalo � . A expressão
�������
fl#"
8
"
	
�
é chamada a integral indefinida da função � e é denotada por:
�
�
������� ��� �������
fl "
6.1. INTRODUÇÃO 241
Note que
�
�
����� � ��� �������
fl "
���
� � �������
�
�����
em particular:
�
�
������� � � �
�
�����
fl#"
?
Teorema 6.1. (Linearidade da Integral) Sejam
�
,
�
primitivas de � e � , respectivamente, num
intervalo e �
8�� 	
� . Então, �
�
fl
�
�
é uma primitiva de � � fl
�
� , e:
�	�
� �
�����
fl
�
�
������
 � ���
�
�
�
����� � �
fl
�
�
�
����� � �
Prova: Se
�
e
�
são primitivas de � e � , respectivamente, então �
�������
fl
�
�
�����
é primitiva de
� �
�����
fl
�
�
�����
; logo:
���
� �
�����
fl
�
�
�����
� � ��
�
�������
fl
�
�
�������
fl "
�
�
@�������
fl0"��
�
fl
��
�
�����
fl "��
�
�
�
�
�
����� � �
fl
�
�
�
����� � � ?
Exemplo 6.3.
Calcule as seguintes integrais:
[1]
�
) ,/"
�������
�
�����
fl "(' )
������� � �
.
[2]
�
3
=
,
�
fl
3
�
�
�
� � �
.
[3]
�
) , .
�
������� �
.
[1] Usando o Teorema, podemos decompor a integral em duas outras integrais:
�
)-, "
�������
�
�����
fl "('*)
�����
�
� � �
�
) ,/"
�������
�
����� � �
fl
�
"(' )
����� � � ?
Sabemos que
) ,/"
�������
�
�
) ,/"
�������
�
�����
e
�
)-,/.
����� �
�
�
"(' )
�����
, então:
�
) ,/"
�������
�
�����
fl#" ' )
������� � � �
�
) ,/"
�������
�
����� � �
fl
�
"(' )
����� � � �
) ,/"
�����
flG)-,/.
�����
fl "
?
[2] Usando o Teorema de linearidade, podemos escrever a integral como:
�
3
=
,
�
fl
3
�
�
�
� � � �
3
=
�
,
�
� �
fl
�
� �
�
�
�
?
242 CAPÍTULO 6. INTEGRAÇÃO INDEFINIDA
Como
, �
�
�
�
, � e
�
�
��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
, então:
�
3
=
,
�
fl
3
�
�
�
� � � �
3
=
,
�
fl
�
�
��
�
�
fl "
?
[3] Observe que ) , . �
�������
�
�
�
3
H
" ' )
��� ��� �
; logo:
�
) , .
�
����� � � �
3
�
�
�
3
H
"(' )
��� ��� � � �F�
�
�
H ) , .
��� ���
� fl0"
?
Assim o processo de integrar se reduz a descobrir uma função conhecendo apenas sua deriva-
da; usando a tabela de derivadas do capítulo anterior, obtemos uma lista de integrais chamadas
imediatas. Esta lista pode ser comprovada derivando cada resultado da integral e consultando
a tabela de derivada. Por exemplo, na tabela de derivadas do capítulo anterior temos que:
�
7��
"
�
�
����� �
�
�
3
3
fl
�
���
então
8
� � �
3
fl
�
�
� 7��
"
�
�
�����
fl0"
?
No entanto, não incluimos como imediatas, por exemplo, integrais do tipo 	�
�.
����� � �
, pois não
é evidente encontrar uma função que tem como derivada 
 .
�����
. Para resolver este impasse,
estudaremos os chamados métodos de integração, que nos permitirão calcular integrais não
imediatas.
6.2 Tabela
Usaremos como variável independente � .
1.
�
�
�
�
� fl "
2.
�
�
�
�
�
�.
��
�
 �
fl "
3.
�
���
�
�
�
�
���
�
��fl
3
fl "
8
�
	
�
H�� H
3��
4.
�
7�� �
�
�
7
�
�.
�
7 � fl "
8 7��
=
, (
7 ��
3 )
5.
�
,
� �
�
�
,
�
fl "
6.
�
)-,/.
�
�
���
�
� H
"(' )
�
�
�
fl "
7.
�
" ' )
�
�
���
�
�
)-,/.
�
�
�
fl "
8.
�
)-, "
�
�
�
���
�
� �
�
�
�
�
fl "
9.
�
"(' )-, "
�
�
�
���
�
� H
"('
�
�
�
�
�
fl#"
10.
�
) ,/"
�
�
���
�
�
�
� �
�
�
) ,/"
�
�
�
fl#"
11.
�
"(' )-, "
�
�
�
"('
�
�
�
�
� �
�
� H
" ' ) ,/"
�
�
�
fl "
12.
� �
�
�
3
H
�
�
� 7��
" ) , .
�
�
�
fl "
13.�
�
�
3
fl��
�
� 7��
"
�
�
�
�
�
fl#"
14.
� �
�
�
�
�
�
H
3
� 7��
" )-, "
�
�
�
fl "
15.
�
) , .fiff
�
�
���
�
�
"(' )flff
�
�
�
fl#"
6.3. MÉTODO DE SUBSTITUIÇÃO 243
16.
�
"('*)�ff
�
�
���
�
�
) , .fiff
�
�
�
fl "
17.
�
)-, " ff
�
�
�
� �
�
� �
� ff
�
�
�
fl "
18.
�
"('*) ,/" ff
�
�
�
���
�
� H
" '
�
� ff
�
�
�
fl0"
19.
�
)-, " ff
�
�
���
� ff
�
�
� �
�
� H
)-, " ff
�
�
�
fl "
20.
�
"(' )-, " ff
�
�
�
"('
�
� ff
�
�
� �
�
� H
" ' ) ,/" ff
�
�
�
fl0"
21.
� �
�
�
3 fl �
�
� 7��
� )-,/.fiff
�
�
�
fl "
22.
� �
�
�
�
�
H
3
� 7��
� " ' )�ff
�
�
�
fl "
23.
� �
�
�
�
3
H
�
�
� H&7��
� ) ,/" ff
��
�
 �
fl "
Métodos de Integração
Nas próximas seções apresentaremos os métodos mais utilizados que nos permitirão determi-
nar uma grande quantidade de integrais não imediatas. O primeiro a ser estudado se baseia na
regra da cadeia.
6.3 Método de Substituição
Sejam
�
uma primitiva de � num intervalo � e � uma função derivável tal que
�
�
� esteja
definida. Usando a regra da cadeia; temos,
���
�
����� �
�
�
� �
�
�
�
����� ���
�
�
�������
�
�
�
����� ���
�
�
�����
. Logo,
���
�
����� �
é uma primitiva de �
�
�
����� ���
�
�
�����
, então:
�
�
�
�
����� ���
�
�@����� � � � ���
�
����� �
fl "
�
fazendo �
�
�
�����
, tem-se
�
�
�
�
�
����� � �
; substituindo na expressão anterior:
�
�
�
�
����� ���
�
�
����� � � �
�
�
�
�
� �
�
�%���
�
�
fl0"
Exemplo 6.4.
Calcule as seguintes integrais:
[1]
� � �
3
fl
�
�
� � ?
Fazendo �
�
3
fl
�
� , então
�
�
� � � � �
. Substituindo na integral:
�
� �
3
fl
�
�
� � �
�
�
�
�
�
�.
��
�
 �
fl#"
�
 .
���
�
fl
3
�
fl "
?
[2]
�
) , .
�
�����
"(' )
����� � � ?
Fazendo �
�
)-,/.
�����
, então
�
�
�
"(' )
����� � �
. Substituindo na integral:
�
) , .
�
�����
"(' )
������� � �
�
�
�
�
�
� �
�
�
fl#"
� )-,/.
�
�����
�
fl "
?
244 CAPÍTULO 6. INTEGRAÇÃO INDEFINIDA
[3]
� � �
�
�
�
fl
� ��� . Fazendo �
�
�
�
fl
�
, então
�
�
�
�
� �
ou, equivalentemente,
�
�
�
� � �
. Substi-
tuindo na integral:
� � �
�
�
�
fl
� � �
�
� �
�
�
�
�
�
3
�
� �
�
�
�
� H
3
3�� ���
fl "
� H
3
3��
�
�
�
fl
� �
�
fl "
?
[4]
�
) ,/"
�
�
�
���
�
�
� �
. Fazendo �
�
�
�
, então
�
�
�
�
�
�
�
�
. Substituindo na integral:
�
)-, "
�
�
�
���
�
�
� � � �
�
) ,/"
�
�
�
���
�
� � �
�
�
�
�
fl#"
� � �
�
�
�
���
fl#"
?
[5]
�
�.
�����
�
� �
. Fazendo �
�
�.
�����
, então
�
�
�
�
�
�
. Substituindo na integral:
�
�.
�����
�
� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
fl "
�
�.
�������
�
�
fl "
?
[6]
�
�
�
�
�
��� � �
�
�
	
� . Reescrevemos a integral fazendo:
�
�
�
�
�����	�
	�
�
�
���
���
�
�
�
���
. Se �
�
" ' )
�
�
���
,
então
�
�
� H
� ) , .
�
�
��� � �
ou, equivalentemente,
H
�
�
�
�
) , .
�
�
��� � �
. Substituindo na integral:
�
�
�
�
�
��� � � �
�
) , .
�
�
���
" ' )
�
�
���
� � � H
3
�
�
�
�
�
� H
3
�
�.
��
�
 �
fl "
� H
3
�
�.
��
"('*)
�
�
��� 
 �
fl#"
?
[7]
� � �
�
�
fl
7
�
�
7 ��
=
. Reescrevemos a integral como:
� � �
�
�
fl
7
�
�
3
7
�
� � �
�
�
�
�
fl
3
.
Fazendo �
�
�
�
, então
�
�
�
�
�
�
. Substituindo na integral:
�
� �
�
�
fl
7
�
�
3
7
�
�
�
�
�
fl
3
�
3
7
7��
"
�
�
�
�
�
fl "
�
3
7
7��
"
�
�
�
7
�
fl "
?
Muitas vezes, antes de efetuar uma substituição adequada, é necessário fazer algumas mani-
pulações, como, por exemplo, o completamento de quadrados.
[8] Calcule
� � �
�
�
fl
� �
fl#�
. Completando os quadrados
�
�
fl
� �
flG�
� ���
fl
3
�
�
fl
�
� ; então,
� � �
�
�
fl
� �
fl#�
�
� � �
���
fl
3
�
�
fl
�
�
?
Fazendo �
�%�
fl
3 , teremos
�
�
� � �
. Substituindo na integral:
� �
�
�
�
fl
�
�
�
3
�
7��
"
�
�
 �
�
�
fl "
�
3
�
7��
"
�
�
�
fl
3
�
�
fl "
?
6.4. INTEGRAIS DE PRODUTOS E POTÊNCIAS DE FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 245
6.3.1 Outros Tipos de Substituições
Exemplo 6.5.
Calcule as seguintes integrais:
[1]
� � � �
�
�
fl 3
. Fazendo �
�
�
�
fl 3 , então
���
�
�
H
3 e
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
;
� � � �
�
�
fl 3
� �
�
�
�
�
H
3
���
�
�
�
�
�
�
H �
� fl "
�
�
�
���
fl 3
�
���
�
H �
�
�
fl 3 fl "
?
[2]
� � �
�
3 fl��
�
�
. Fazendo �
�
3 fl
�
�
�
, então
� � �
�
H
3
� �
e
� � �
�
�
�
H
3
�
�
�
� ;
� � �
�
3
fl
�
�
�
�
�
�
�
�
H
3
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
H �
� fl
3
�
�����
�
�
�
�
	 
 ���
�
�
�
H
�
�
���
�
�
fl
�
�
�
fl "
�
	 
3
�
�
�
3
fl
�
�
���
�
H
�
�
�
�
3
fl
�
�
���
�
fl
�
3
fl
�
�
� �
fl "
?
[3]
�
�
�
fl
3
�
�
�
fl
�
� �
. Seja �
�
�
�
���
fl
�
�
; então,
� �
�
� H
�
e
� � �
�
�
�
�
� ;
�
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6.4 Integrais de Produtos e Potências de Funções Trigonométricas
Exemplo 6.6.
Calcule as seguintes integrais:
[1]
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246 CAPÍTULO 6. INTEGRAÇÃO INDEFINIDA
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Estes exemplos nos mostram que para determinar a primitiva de uma integral que envolve
produtos ou potências de funções trigonométricas é necessário, em primeiro lugar, transfor-
mar a função a integrar por meio de identidades trigonométricas conhecidas, para depois usar
alguns dos métodos.
6.5 Método de Integração por Partes
Sejam � e � funções deriváveis no intervalo � . Derivando o produto �
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6.5. MÉTODO DE INTEGRAÇÃO POR PARTES 247
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na integração de
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É importante saber “escolher” a substituição � e
���
na integral de partida. Devemos escolher
�
�
tal que permita determinar
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. As expressões de �
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devem ser mais simples que as de � e
�
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, respectivamente.
Exemplo 6.7.
Calcule as seguintes integrais:
[1]
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(6.1)
Calculemos
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(6.2)
248 CAPÍTULO 6. INTEGRAÇÃO INDEFINIDA
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. Então, de 6.1 e 6.2, temos:
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Pois a última integral é exatamente a integral procurada e podemos passá-la ao outro lado da
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[5]
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[7]
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) , .
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��� �
. Aqui usamos, novamente, os dois métodos:
Substituição: seja
��� � �
� ; então,
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ou
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e
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6.6. MÉTODO DE SUBSTITUIÇÃO TRIGONOMÉTRICA 249
Integrando por partes: fazemos �
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e
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6.6 Método de Substituição Trigonométrica
Este método é usado quando a expressão a integrar envolve alguns dos seguintes tipos de
radicais:
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Figura 6.3: Caso 2
250 CAPÍTULO 6. INTEGRAÇÃO INDEFINIDA
Caso 3:
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θ
a
u e
Figura 6.4: Caso 3.
Exemplo 6.8.
Calcule as seguintes integrais:
[1]
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6.6. MÉTODO DE SUBSTITUIÇÃO TRIGONOMÉTRICA 251
[3]
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Estamos no caso 1: θ
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; então,
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" ) , .
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Substituindo no resultado da integral:
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" )-,/.
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[4] �
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. Reescrevendo a integral: �
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Estamos no caso 3: θ
x e
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onde ,
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H
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Substituindo no resultado da integral:
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3
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3
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[5]
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Neste caso
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3
	
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3
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Estamos no caso 3: θ
x
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3
	
; logo, ) , .
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�
� . Para calcular
, devemos ter cuidado, pois
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H
3
	
é definida para
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e
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,
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" )-, "
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�
; substituindo no resultado da integral:
i)
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:
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H
3
	
�
3
3
�
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3
	
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H
3
	
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3
3
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fl
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H
3
	
�
�
�
fl "
�
8
onde " �
�
�
	 �
fl " .
252 CAPÍTULO 6. INTEGRAÇÃO INDEFINIDA
[6]
� � �
�
�
H �$��H �
�
�
�
�
. Primeiramente completamos os quadrados: �
H �$��H �
�
� ��HL���
fl
� �
� ;
fazendo �
�%�
fl
�
, temos
�
�
� � �
. Substituindo na integral:
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�
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H
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�
�
�
�
�
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�
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�
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Seja �
�
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; então
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�
�
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� � �
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� �
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H �$��H �
�
�
�
�
�
3
�
�
)-, "
�
�
� �
�
�
�
�
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� fl#"
?
Estamos no caso 1:
�
�
�
�$�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� . Substituindo no resultado da integral:
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�
�
H
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�
�
�
�
�
�
fl
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�
�
�
H �$��H �
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fl0"
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[7]
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�$�
�
fl
�
�
fl#�
� �
. Completando os quadrados:
� �
�
fl
�
�
fl%�
� �9���
fl
3
�
�
fl
3 ; fazendo
�
� �
fl
3
, temos
�
�
� � �
. Substituindo na integral:
� �
�
�$�
�
fl
�
�
fl �
� � �
� �
�
H
3
�
�
�
�
�
fl
3
�
�
?
Seja �
�
�
�
���
�
�
; então
�
�
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fl
3
�
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�
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H
3
�
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fl
3
�
�
�
3
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�
� H �
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3
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)-, "
�
� H
3
�
�.
 
) ,/"
�
�
fl
�
�
�
� 
 �
fl "
?
Estamos no caso 2:
�
�
�
��� �
�
� � ���
fl
3
�
e )-, "
�
���
�
�$�
�
fl
�
�
fl#� . Substituindo no resultado
da integral:
� �
�
�$�
�
fl
�
�
fl#�
� ���
3
�
�
�$�
�
fl
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�
fl#�
H
3
�
�.
 
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�$�
�
fl
�
�
fl#� fl
� ���
fl
3
� 
 �
fl "
?
6.7 Método para Integração de Funções Racionais
Um polinômio
�������
de coeficientes reais pode ser sempre expresso como um produto de fatores
lineares e/ou quadráticos. Naturalmente esta decomposição depende essencialmente do grau
de
�������
.
i)
��������� ����HI7
�
������HI7
�
� ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ��� H67
�
ou
ii)
�������+� ����HI7 ��������H6:
�
� ? ? ? ? ? ? ? ? ����H :
�
�
ou
iii)
��������� �
7 �
�
fl
:;�
fl "
����� H �
�
� ? ? ? ? ? ? ��� H ��� �
ou
iv)
�������+� �
7+�
�
fl
: �
fl "
���$����H �
�
� ? ? ? ? ? ? ��� H ��� �
.
6.7. MÉTODO PARA INTEGRAÇÃO DE FUNÇÕES RACIONAIS 253
Exemplo 6.9.
[1]
���������%�
�
H
�
�
fl
� � ����H � ����� H
3
�
.
[2]
���������%���
fl
� �
�
fl#�
�
fl
� � ���
fl 3
�
�
���
fl
� �
.
[3]
���������%��� H
�
�
fl
��H
3
� ���
�
fl 3
������H
3
�
.
[4]
���������%�
� fl
�
�
H�� �
�
fl
�
�
�
H
� �
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fl
�
� � H
�
�
�
�
fl
��H
3
� � ���
�
fl 3
�
�
����H
�
�����
fl
� �
.
Seja uma função racional
�������
�
����� . A decomposição de uma função racional em frações mais
simples, depende do modo em que o polinômio
�
�����
se decompõe em fatores lineares e/ou
quadráticos. Se numa função racional o grau de
�������
é maior ou igual ao grau de
�
�����
, então
podemos dividir os polinômios. De fato, se �
� 7
�
� ������� � K
�
� 7
�
�
�
����� �
então
���������
�
������� �����
fl��
����� 8
onde �
� 7
�
�
�
����� ��E
�
� 7
�
�
�
����� �
; então,
�������
�
�����
��� �����
fl
�
�����
�
�����
?
Logo, basta estudar o caso em
que:
�
�*7
�
� ������� � E
�
� 7
�
�
�
����� � 8
pois, caso contrário efetuamos a divisão dos polinômios.
Caso 1: ���
	�� se decompõe em fatores lineares distintos.
Então:
�
������� ����HI7
�
�(����HI7
�
� ? ? ? ? ? ? ��� HI7
�
onde
7�
 	
� são distintos dois a dois; então
�
�����$�
�������
�
�����
�
�
�
����HI7
�
�
fl
�
�
����HI7
�
�
fl
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
fl
�
����HI7
�
onde
�
�
8��
�
8�? ? ? ? ? ? ?��
 são constantes a determinar.
�
�
����� � � �
�
�������
�
�����
� � ���
�
�
� �
����HI7
�
�
fl
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�
�
� �
����HI7
�
�
fl
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
fl
�
�
� �
����H67
�
?
Calculemos �
�
�
� �
����HI7�
 � .
Fazendo �
�%��H 7�
; então, �
�
� �
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�
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�.
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fl "
�
�.
��
 ��HI7�
 
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fl " ; logo:
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 ��HI7
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��
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�
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fl
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fl
�
�.
��
 ��H67
 �
fl "
onde
�
�
8��
�
8�? ? ? ? ? ? ?��
 são constantes a determinar.
254 CAPÍTULO 6. INTEGRAÇÃO INDEFINIDA
Exemplo 6.10.
Calcule as seguintes integrais:
[1]
� �
� � �
fl �
�
�
H ��H � �
�
�
fl
�
��H
3
=
� �
. Observe que �
�*7
�
� ������� � �
�
�*7
�
�
�
����� �
. Dividindo os polinô-
mios:
���
flG�
�
�
H ��H � �
�
�
fl
�
��H
3
=
� ���
fl
� �
fl
�
��H �
�
�
fl
�
��H
3
=
?
A seguir, aplicamos o método à última parcela da direita:
�&�
�
���
fl
� � � �
fl
� �
��H��
�
�
fl
�
��H
3
=
� � �
�
�
� fl
� �
fl
� �
��H��
�
�
fl
�
��H
3
=
� � ?
Calculemos
�
�
��H �
�
�
fl
�
��H
3
=
� �
. Fatorando:
�
�
fl
�
��H
3
=
� ���
fl �
������H�� �
; temos:
�
��H �
�
�
fl
�
��H
3
=
�
�
�
�
fl#�
fl
�
�
��H �
�
�
�
����H � �
fl
�
�
���
flG�
�
�
�
fl
�
��H
3
=
?
Comparando os numeradores:
�
� H � ���
�
���4H � �
fl
�
�
���
fl �
�
. As raízes do polinômio
�
�����
são
�
� �
e
� � H
� ; agora substituimos cada raiz na última expressão. Se
� � �
teremos
��� � �
�
e
�
�
�
�
� . Se
�F� H
� , então
H
3
� � H � �
� e
�
�
�
�
�
� . Logo, podemos decompor a fração inicial
em:
�
��H �
�
�
fl
�
��H
3
=
�
3
�
�J���
fl#�
�
fl
�
�J����H � �
?
Então, pelo Caso 1:
�
�
��H �
�
�
fl
�
��H
3
=
� � �
3
�� 
�.
��
 �
fl#�
 �
fl
�
� 
�.
��
 ��H � 
 � ?
A integral procurada é:
�&�
�
�
�
fl
� �
fl
3
�
�
�.
��
 �
fl#�
 �
fl
�
�
�.
��
 ��H � 
 �
fl "
?
[2]
� �
�
�
��� H�	 �
�
H�	
�
��H
3
	
�
�
H � �
�
H
�
�
� �
. Note que �
� 7
�
� ������� �&�
�
� 7
�
�
�
����� �
. Dividindo os polinô-
mios:
�
�
�
H�	 �
�
H�	
�
��H
�
� �
�
���
�
H�� �
�
H
�
���
fl
���$�
�
H �
�
��H
3
	 � ?
Então: � � �
�
�
�
�
�
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� �
�
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�
�
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�
�
�
�
�
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�
�
�
�
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� �
?
�&�
�
�
� �
fl
�
�$�
�
H �
�
��H
3
	
�
�
H � �
�
H
�
�
� � �
�
�
fl
�
�$�
�
H��
�
��H
3
	
�
�
H � �
�
H
�
�
� � ?
Aplicando o método à última parcela da direita, calculemos
� � �
�
� �
�
H �
�
��H
3
	
�
�
H � �
�
H
�
�
� �
. Primei-
ro observemos que
���JH � �
�
H
�
� �%� ����HI� �����
fl
� �
:
�$�
�
H �
�
��H
3
	
�
�
H�� �
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H
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�
�
�
�
�
fl
�
�
��H �
fl
�
�
�
fl
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�
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�
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fl
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fl
�
�
� ���
fl
� �
fl
�
�
� ����H � �
�
�
H � �
�
H
�
�
?
6.7. MÉTODO PARA INTEGRAÇÃO DE FUNÇÕES RACIONAIS 255
Comparando os numeradores:
�$�
�
H �
�
� H
3
	 ���
�
���
fl
� ����� H�� �
fl
�
�
� ���
fl
� �
fl
�
�
� ��� H�� �
;
as raízes do polinômio
�
�����
são
� �
=
,
��� �
e
� � H �
; agora substituimos cada raiz na última
expressão.
Se
�fi�
=
, então,
�
�
� �
; se
�F� �
então,
�
�
� H
�
�
e se
�fi� H �
, então,
�
�
�
�
�
�
. A fração inicial
pode ser decomposta em:
�$�
�
H �
�
��H
3
	
�
�
H � �
�
H
�
�
�
�
�
H
�
�
����H � � fl
3
�
�
���
fl
� �
?
Pelo Caso 1, temos:
� � � �
�.
��
 � 
 ��H
�
�
�.
��
 ��H ��
 �
fl
�
�
�
�.
��
 �
fl
� 
 �
fl#" . A integral procurada é:
�&�
�
�
fl
�
 .
��
 � 
 �$H
�
� 
�.
��
 ��H ��
 �
fl
3
�
� 
 .
��
 �
fl
� 
 �
fl "
?
Nos exemplos anteriores a forma de determinar os coeficientes é equivalente a resolver um
sistema de equações.
Consideremos o exemplo 2.
�$�
�
H��
�
��H
3
	 ���
�
���
fl
� ����� HI� �
fl
�
�
� ���
fl
� �
fl
�
�
� ����H � �
.
Ordenando o segundo membro em potências de
�
, temos:
�$�
�
H �
�
� H
3
	 � � �
� fl
�
� fl
�
�
� �
�
fl
fl
� H � �
�
fl
� �
�
H � �
�
� � H
�
�
� Comparando os polinômios e sabendo que dois polinômios são
iguais se e somente se os coeficientes dos termos do mesmo grau são iguais, temos que resolver
o seguinte sistema:
A
B
C
B
D
�
� fl
�
�+fl
�
�
�%�
� �
�
H � �
�+fl
� �
�
� �
�
�
�
�
�
3
	 8
que tem como solução:
�
�
� �
,
�
�
� H
�
�
e
�
�
�
�
�
�
.
[3]
� �
�
�
�
H67
�
897 ��
=
.
�
� 7
�
� ���
�
� � E
�
� 7
�
�
�
�
�
� �
; e � �
HI7
�
� �
�
H67 ���
��fl
7 �
; aplicando o método:
3
�
�
HI7
�
�
�
�
�
HI7
fl
�
�
� fl
7
�
�
�
�
� fl
7 �
fl
�
�
�
�
HI7 �
�
�
H67
�
?
Comparando os numeradores:
3
� �
�
�
��fl
7 �
fl
�
�
�
�
H#7 �
; as raízes do polinômio
�
�
�
�
são
�
� 7
e �
� H 7
; agora substituimos cada raiz na última expressão. Se �
� 7
, então,
�
�
�
�
�
�
e
se �
� H&7
, então,
�
�
� H
�
�
�
. A fração inicial pode ser decomposta em:
3
�
�
H67
�
�
3
� 74�
�
HI7 �
H
3
� 7 �
� fl
7 �
?
Pelo Caso 1, temos:
�
�
�
�
�
H67
�
�
3
� 7
�.
��
�
HI7�
 �$H
�.
��
� fl
7 
 ���
fl#"
�
3
� 7
�.
�
�
�
HI7
� fl
7
�
�
�
fl "
Aplicamos esta última fórmula para completamento de quadrados.
256 CAPÍTULO 6. INTEGRAÇÃO INDEFINIDA
Exemplo 6.11.
Calcule as seguintes integrais:
[1]
� � �
�
�
H � � . Como
�
�
H
� � � ����H � �
�
H
�
:
� � �
�
�
HI� �
�
� � �
����H � �
�
HI�
?
Fazendo �
�%��H �
,
temos
�
�
� � �
. Substituindo:
� � �
�
�
H � �
�
� �
�
�
�
H �
� 3
� 
�.
�
�
�
H �
� fl
�
�
�
�
fl#"
� 3
� 
�.
�
�
��HI�
�
�
�
�
fl0"
8
onde as últimas igualdades são obtidas pela fórmula anterior.
[2]
� � �
�
H �
�
H
� � . Completando os quadrados �
H
�
�
H
� � � � HG���
fl
� �
� e fazendo �
�%�
fl
�
,
temos
�
�
� � �
. Substituindo:
�
� �
�
H �
�
H � �
� H
�
�
�
�
�
H��
� H
3
	
 .
�
�
�
H
�
� fl
�
�
�
�
fl "
� H
3
	
�.
�
�
��H
3
�
fl#�
�
�
�
fl#"
8
onde as últimas igualdades são obtidas pela fórmula anterior.
Caso 2: ���
	�� se decompõe em fatores lineares, alguns deles repetidos.
Seja
��H67�
o fator linear de
�
�����
de multiplicidade
�
e
�
a maior potência da fatoração. Então,
a cada fator linear repetido associamos uma expressão do tipo:
�
�
����HI7
� fl
�
�
����H67
�
�
fl
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
fl
�
�
����HI7
�
�
onde
�
�
8��
�
8�? ? ? ? ? ? ?��
� são constantes a determinar. Em tal caso, integrando esta expressão obte-
mos:
�
� 
�.
��
 ��H67 
�
 � H
�
�
��HI7 
fl
? ? ? ? ? ? ?
fl
�
�
�
3
H � �(����H67 
@�
�
�
�
Os fatores lineares não repetidos são tratados como no caso 1.
Exemplo 6.12.
Calcule as seguintes integrais:
[1]
�
�
�
�
fl
�$�
fl
�
�
�
fl
� �
�
fl
�
� �
. Como �
� 7
�
� ������� � E
�
�*7
�
�
�
����� �
e
���
fl
� �
�
fl
� � � ���
fl
3
�
� . O fator
���
fl
3
�
tem multiplicidade 2 e o fator
�
é como no caso 1.
�
�
�
fl
�$�
fl
�
�
�
fl
� �
�
fl
�
�
�
�
�
fl
�
�
�
fl
3
fl
�
�
���
fl
3
�
�
?
Comparando os numeradores:
�
�
�
fl
�$�
fl
� ���
�
���
fl
3
�
�
fl
�
�
� ���
fl
3
�
fl
�
�
�
. As raízes do
polinômio
�
�����
são:
�L�
=
e
�L��H
3
; agora, substituimos cada raiz na última expressão. Se
�0�
=
, então
�
�
� �
e se
� � H
3 , então
�
�
� H
3 . Falta determinar
�
� . Para calcular o valor
6.7. MÉTODO PARA INTEGRAÇÃO DE FUNÇÕES RACIONAIS 257
da constante
�
� , formamos o sistema de equações, obtido da comparação dos coeficientes dos
polinômios.
�
�
�
fl
�$�
fl
� � � �
�$fl
�
�
� �
�
fl
��� �
� fl
�
�+fl
�
�
� �
fl
�
� ; então:
AB
C
BD
�
� fl
�
�
��
� �
� fl
�
��fl
�
�
�%�
�
�
� �
Como sabemos os valores de
�
� e
�
� obtemos, facilmente,
�
�
�
3 ; então:
�
�
�
fl
�$�
fl
�
�
�
fl
� �
�
fl
�
�
�
� fl
3
�
fl 3
H
3
���
fl 3
�
���
logo,
�
�
�
�
fl
�$�
fl
�
�
�
fl
� �
�
fl
�
� � �
�.
�
�
�
�
fl
�
�
�
�
�
fl
3
�
fl 3
fl#"
?
[2]
�
���
fl
�
��H
3
�
�
H �$�
�
� �
.
Como �
� 7
�
� ������� � E
�
� 7
�
�
�
����� �
;
�
�
H �$�
�
� �
�
����H � �����
fl
� �
. O fator
�
tem multiplicidade 2
e os fatores
��H � 8 �
fl
�
são como no caso 1.
���
fl
�
��H
3
�
�
H � �
�
�
�
�
��H ��fl
�
�
�
fl
��fl
�
�
� fl
�
�
�
�
?
Comparando os numeradores:
�
�
fl
�
�6H
3
� �
�
�
�
���
fl
� �
fl
�
�
�
�
��� H � �
fl
�
�
� ���
fl
� �����0H � �
fl
�
�
���6H � �����
fl
� �
; as
raízes do polinômio
�
�����
são:
�F�
=
,
�fi� �
e
�fi� H �
. Agora substituimos cada raiz na última
expressão. Se
�
�
=
, então
�
�
�
�
�
; se
�
� �
, então
�
�
�
�
�
�
�
e se
�
�2H �
, então
�
�
�
�
�
�
�
. Falta
determinar
�
� . Para calcular o valor da constante
�
� , formamos o sistema de equações obtido
da comparação dos coeficientes dos polinômios.
�
�
fl
�
��H
3
� � �
� fl
�
��fl
�
�
� �
�
fl
��� �
�
H � �
� fl
�
�
� �
�
fl
? ? ? ?
�
note que o coeficiente da potência cúbica nos dá o valor de
�
� . De fato, sendo
�
�
fl
�
�
fl
�
�
�
3
,
então
�
�
� H
�
�
.
���
fl
�
��H
3
�
�
HI�$�
�
�
3
�
3
	 ��� H � �
fl
3
�
3
	 ���
fl
� �
H
�
�$�
fl
3
�$�
���
logo:
�
���
fl
�
��H
3
�
�
H �$�
�
� � �
3
�
3
	 
�.
�
�
��H �
�
�
�
fl
3
�
3
	 
�.
�
�
�
fl
�
�
�
�
H
�
� 
�.
�
�
�
�
�
�
H
3
�$� fl0" .
Caso 3: � � 	�� se decompõe em fatores lineares e fatores quadráticos irredutíveis, sen-
do que os fatores quadráticos não se repetem
A cada fator quadrático
7 �
�
fl
: �
fl " de
�
�����
associamos uma expressão do tipo:
�
�
fl��
7+�
�
fl
:��
fl "
onde
�
8
� são constantes a determinar. Os fatores lineares são tratados como no caso 1 e 2.
258 CAPÍTULO 6. INTEGRAÇÃO INDEFINIDA
Exemplo 6.13.
Calcule as seguintes integrais:
[1] Calcule
�&�
�
�
�
�
fl
�
�
fl
�
=
�
�
fl
�
�
fl
�$�
fl
�
� �
.
Primeiramente observamos que �
� 7
�
� ������� � E
�
� 7
�
�
�
����� �
. Fatorando
� �
fl
�
�
fl
�$�
fl
� �
� ���
fl 3
�����
�
fl
� �
. O único fator quadrático irredutível é
�
�
fl
�
; o fator
�
fl 3 é como no caso 1.
�
�
�
fl
�
�
fl
�
=
�
�
fl
�
�
fl
� �
fl
�
�
�
�
�
fl 3
fl
�
�
fl �
�
�
fl
�
?
Comparando os numeradores:
�
�
�
fl
�
�
fl
�
=
���
�
���
�
fl
� �
fl
�
�
�
fl��
�����
fl 3
��� � �
� fl
�
� �
�
fl
�
�
fl��
� �
fl
� �
� fl�� . A raiz
real do polinômio
�
�����
é
��� H
3
; agora substituimos esta raiz na última expressão. Se
� � H
3
,
então
�
�
�
� . Formamos o sistema de equações, obtido da comparação dos coeficientes dos
polinômios:
�
� fl
�
�
�
, logo
�
�
�
e
�
fl �
�
�
implica em �
�
=
.
�
�
�
fl
�
�
fl
�
=
�
�
fl
�
�
fl
�$�
fl
�
�
�
�
fl
3
fl
�
�
�
�
fl
�
?
Portanto:
� �
� 
�.
��
 �
fl
3
 �
fl
�
�
�
�
�
fl
�
� � �
 .
��
 ���
fl
3
�
�
�
���
�
fl
� �
�
 �
fl " , onde a última inte-
gral é resolvida usando substituição simples.
[2] Calcule
�&�
�
� �
�
fl#�
�
fl
�
�
�
fl
�
�
fl
��H
�
� �
.
Primeiramente observamos que �
� 7
�
� ������� � E
�
� 7
�
�
�
����� �
. Fatorando
�
�
fl
�
�
fl
��H
�
�
� ��� H
3
�����
�
fl
� �
fl
�
�
. O único fator quadrático irredutível é
�
�
fl
� �
fl
�
. O fator
� H
3
é como
no caso 1.
� �
�
flG�
�
fl
�
�
�
fl
�
�
fl
��H
�
�
�
�
��H
3
fl
�
�
fl �
�
�
fl
� �
fl
�
?
Comparando os numeradores:
� �
�
flfi�
�
fl
� ���
�
���
�
fl
� �
fl
�
�
fl
�
�
�
fl �
����� H
3
� � � �
� fl
�
� �
�
fl
��� �
�
H
�
fl �
� �
fl
�
�
�
H
� ;
a raiz real do polinômio
�
�����
é
�L�
3
; substituindo esta raiz na última expressão: Se
�L�
3
,
então
�
�
�
� �
�
. Formamos o sistema de equações, obtido da comparação dos coeficientes dos
polinômios:
�
� fl
�
� �
; logo
�
�
�
�
e
�
�
�
H
�
�%�
; logo �
�
�
�
. Então:
� �
�
flG�
�
fl
�
�
�
fl
�
�
fl
��H
�
�
3 3
	 ����H
3
�
fl
3
	
�
fl
�
�
�
fl
� �
fl
�
�
�
logo:
�&�
3 3
	
 .
�
�
��H
3
�
�
�
fl
3
	
�
�
fl
�
�
�
fl
� �
fl
�
� � 8
onde a última integral é resolvida usando substituições; de fato:
�
�
fl
� �
fl
�
� ���
fl
3
�
�
fl
�
.
Então, considere �
�%�
fl
3 ; logo
�
�
� � �
e:
6.7. MÉTODO PARA INTEGRAÇÃO DE FUNÇÕES RACIONAIS 259
� �
fl
�
�
�
fl
� �
fl
�
� � �
�
� fl �
�
�
fl
�
�
�
�
�
�
�
�
fl
�
�
� fl
�
�
�
�
fl
�
�
�
?
A segunda integral é imediata, pois:
�
�
�
�
fl
�
�
�
�
�
�
�
7��
"
�
�
 �
�
�
�
fl "��
�
�
�
�
7��
"
�
�
�
fl 3
�
�
�
fl "��
?
Na primeira integral fazemos
���
�
�
fl
�
; logo
� �
�
�
�
�
� :
�
�
�
�
fl
�
�
�
�
3
�
� � �
�
�
3
� 
�.
��
 � 
 �
fl "��
�
3
� 
�.
��
 �
�
fl
� �
fl
�
 �
fl#" �
e:
�&�
3 3
	
�.
�
�
��H
3
�
�
�
fl
3
3
�
�.
�
�
�
�
fl
� �
fl
�
�
�
�
fl
�
�
�
�
7��
"
�
�
�
fl
3
�
�
�
fl " .
[3] Calcule
� �
�
�
���
fl
3 3
��H
3
	
���
�
fl
3
�(���
�
fl
�$�
fl
3
�
�
� �
. Observemos que �
� 7
�
� ������� � E
�
� 7
�
�
�
����� �
;
�
�
fl
3
e
�
�
fl
�$�
fl
3
�
são fatores quadráticos irredutíveis. Temos:
�
���
fl
3 3
��H
3
	
���
�
fl
3
�����
�
fl
� �
fl
3
�
�
�
�
�
�
fl �
�
�
�
fl
3
fl
�
�
�
fl��
�
�
�
fl
�$�
fl
3
�
?
Comparando os numeradores:
�
�
�
fl
3 3
��H
3
	 � �
�� fl
�
�
� �
�
fl
���
�
� fl � � fl � �
� �
�
fl
�
3
�
�
� fl
�
� � fl
�
�
� �
fl
�
3
�
� � fl � �
�
.
Formando o sistema de equações, obtido da comparação dos coeficientes dos polinômios:
AB
B
B
B
C
B
B
B
B
D
�
� fl
�
�
�
�
�
�
� fl � � fl � �
�
=
3
�
�
� fl
�
� � fl
�
�
�
3 3
3
�
� � fl � �
� H
3
	
Resolvendo o sistema:
�
�
�
3 , � �
� H
3 ,
�
�
� �
e � �
� H
�
; logo:
�
���
fl
3 3
� H
3
	
���
�
fl
3
�����
�
fl
�$�
fl
3
�
�
�
��H
3
�
�
fl
3
fl
� ��H
�
�
�
fl
�$�
fl
3
�
?
Integrando, após a decomposição da função integranda, obtemos quatro integrais, a primeira é
resolvida por substituição simples, a segunda é imediata, a terceira e quarta são resolvidas por
completamento de quadrados.
�&�
�.
� ���
�
fl
�$�
fl
3
�
�
�
�
�
fl
3
� H
�
�
7��
"
�
�
�
fl
�
�
� HI7��
"
�
�
�����
fl "
?
260 CAPÍTULO 6. INTEGRAÇÃO INDEFINIDA
Caso 4: � � 	�� se decompõe em fatores lineares e fatores quadráticos irredutíveis, sen-
do que alguns dos fatores quadráticos se repetem
Se um fator quadrático
7 �
�
fl
:;�
fl " de
�
�����
tem multiplicidade
�
, a esse fator quadrático
associamos uma expressão do tipo:
�
�
�
fl�� �
7+�
�
fl
:��
fl "
fl
�
�
�
fl � �
�
7+�
�
fl
:��
fl "
�
�
fl
? ? ? ? ? ? ? ? ?
fl
���
�
fl �
�
�
7 �
�
fl
:��
fl#"
�
�
onde
�
 8
�
são constantes a determinar, �
�
3
8 ? ? ? ? 8 �
. Os outros fatores são tratados como nos
casos 1, 2 e 3.
Exemplo 6.14.
Calcule as seguintes integrais:
[1] Calcule
�
���
fl
�
fl
�
� ���
�
fl
3
�
�
� �
.
Primeiramente observamos que �
� 7
�
� ������� � E
�
� 7
�
�
�
����� �
e
�
�
fl
3 é o único fator quadrático
irredutível, de multiplicidade 2.
���
fl
�
fl
�
� ���
�
fl
3
�
�
�
�
�
fl
�
�
�
fl �
�
�
�
fl
3
fl
�
�
�
fl �
�
���
�
fl
3
�
�
?
Comparando os numeradores:
�
�
fl
�
fl
� � � �
fl
�
�
� ���
fl � �
�
�
fl
��� �
fl
�
� fl
�
�
� �
�
fl
�
� � fl � �
� �
fl
�
. Formando e resolvendo
o sistema de equações obtido da comparação dos coeficientes dos polinômios e lembrando que
�
�����
tem uma raiz real
� �
=
, obtemos,
� � �
,
�
�
� H �
, � �
�
3 ,
�
�
� H �
e � �
�
=
?
Logo:
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
H
�
�
�
�
�
�
�
�
H
�
�
�
�
�
�
�
�
� . Calculando as integrais correspondentes:
�
���
fl
�
fl
�
� ���
�
fl
3
�
�
� � �
 .
�
�
�
�
�
fl
3
�
fl
7��
"
�
�
�����
fl
3
�
�
fl
3
fl "
?
[2] Calcule
�&�
�
�
�
fl
���
fl
�$�
�
fl
�$�
�
fl
�
�
fl
�
���
�
fl
� �
�
� �
.
Primeiramente observamos que �
� 7
�
� ������� � E
�
� 7
�
�
�
����� �
e
�
�
fl
�
é o único fator quadrático
irredutível, de multiplicidáde 3.
�
�
fl
�9�
fl
�$�
�
fl
�$�
�
fl
�
�
fl
�
���
�
fl
� �
�
�
� �
fl
�
�
�
fl
�
fl
�
�
fl �
���
�
fl
� �
�
fl
� �
fl
�
���
�
fl
� �
�
?
Formando e resolvendo o sistema de equações obtido da comparação dos coeficientes dos po-
linômios; obtemos,
� �
3 , B=1
8�� �%�
e
�
�
�
� � �
=
?
Logo:
�
�
�
�
�
�
fl
�
� �
fl
�
� �
�
�
fl
��fl
�
�
�
���
�
fl
� �
�
� � 8
e
�&�
�.
�
�
�
�
fl
� �
fl
�
�
�
7��
"
�
�
�
�
�
�
H
3
���
�
fl
� �
�
fl#" .
6.8. MUDANÇA: TANGENTE DO ÂNGULO MÉDIO 261
6.8 Mudança: Tangente do Ângulo Médio
Se a função integranda envolve expressões do tipo:
7
fl
:
)-,/.
�����
,
7
fl
:
"(' )
�����
ou combinações
destas, utilizamos a mudança �
� �
�
�
�
�
; logo:
) , .
�������
�
�
3 fl �
�
8
" ' )
�������
3
H
�
�
3 fl �
�
e
� � �
� �
�
3 fl �
�
?
Por exemplo:
� � �
7
fl
:
)-,/.
�����
�
� � �
�
7 �
3 fl �
�
�
fl
�$:
�
8
� � �
7
fl
:
" ' )
�����
�
� � �
�
7 �
3
fl �
�
�
fl
: �
3
H
�
�
�
?
Exemplo 6.15.
[1] Calcule
� � �
�
fl#) , .
����� . Neste caso
7 � �
e
: �
3
; logo:
� � �
�
fl )-,/.
�����
�
� �
�
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�
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fl
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[2] Calcule
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fl#) , .
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Utilizando as mudanças:
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3
H
"(' )
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fl#) , .
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�
fl "
?
6.9 Aplicações da Integral Indefinida
6.9.1 Obtenção de Famílias de Curvas
Seja
�G�
�
�����
uma função derivável. O coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de �
no ponto
��� 8
�
����� �
é �
�
�����
. Inversamente, se um coeficiente angular é dado por �
�
�
�
�����
,
por integração determina-se uma família de funções:
�L�
�
�����
fl " , onde " é uma constante
arbitrária.
Exemplo 6.16.
[1] Obtenha a equação de uma família de curvas, sabendo que o coeficiente angular da reta
tangente à cada curva, num ponto, é igual a menos duas vezes a abscissa do ponto. Obtenha a
equação da curva que passa pelo ponto
�
3
8
3
�
.
262 CAPÍTULO 6. INTEGRAÇÃO INDEFINIDA
Temos
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��H � �
; integrando:
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�
fl "
?
No ponto
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3
8
3
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, tem-se
3
� ���
3
� �
H
3 fl " ; então, "
� �
e
� � H �
�
fl
�
.
[2] Em todos os pontos de uma curva
���
�
�����
tem-se que
�
� �
� �
�
H
3 . Obtenha a equação da
curva, se esta passa pelo ponto
�
3
8
3
�
e a reta tangente nesse ponto é paralela à reta
�
fl 3
� ���
3
�
.
Temos
�
� �
�%�
�
H
3 ; integrando:
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�
���
�
H
3
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� �
�
H �
fl "
?
O coeficiente angular da reta:
�
fl 3
� � �
3
�
é
H
�
� �
e a reta tangente à curva no ponto (1,1)
é paralela a esta reta:
H
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� �
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3
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H
3 fl "
; logo, "
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e
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. Integrando
novamente:
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H
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fl
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fl " (azul). Usando o fato de que
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3
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3
temos "
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fl
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fl
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(verde).
-2 -1 1 2
-1
1
2
Figura 6.5:
6.9.2 Outras aplicações
Exemplo 6.17.
[1] A taxa de produção de uma mina de cobre
�
anos após a extração ter começado foi calculada
como �
� � �&�
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=
�
,
���
�
�
mil toneladas por ano. Determine a produção total de cobre ao final do
ano
�
.
Seja
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a produção total ao final do ano
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; então, a taxa de produção é
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; logo,
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�
� � �+�
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=
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,
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; integrando:
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,
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��H
3
�
fl "
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Ao final do ano zero a produção é zero; logo,
���
=
� �
=
, donde obtemos "
�
�
= = =
; portanto, a
produção total de cobre ao final do ano
�
é dada por:
��� � ���
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,
���
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�
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?
3
��H
3
�
fl �
= = =
?
[2] A temperatura de um líquido é
�
�
�
. Coloca-se o líquido em um depósito cuja temperatura,
mantida constante é igual a
�
�
�
. Passados � minutos a temperatura do líquido é �
=
�
. Sabendo
6.9. APLICAÇÕES DA INTEGRAL INDEFINIDA 263
que a velocidade de resfriamento é proporcional à diferença que existe entre a temperatura do
líquido e a do depósito, qual é a temperatura do líquido após
3 �
minutos?
Seja
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�
�
� � �
a temperatura do líquido no instante
�
,
�
�
=
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�
e
�
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�
=
�
. A velocidade
de resfriamento é proporcional à diferença que existe entre a tenperatura do líquido e a do
depósito. Então,
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,
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. Devemos determinar
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, então:
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� ; então:
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3
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�
3
�
3
�
�
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[3] (Lei de resfriamento de Newton): A taxa de variação da temperatura
�
�
�
� � �
de um
corpo é proporcional à diferença entre a temperatura ambiente
�
(constante) e a temperatura
�
�
�
� � �
, isto é:
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Para determinar
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, integramos
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em relação a
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. Se a temperatura inicial é
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� ; então,
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e:
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[4] (Crescimento populacional inibido): Considere uma colônia de coelhos com população
inicial � � numa ilha sem predadores. Se a população �
�
�
� � �
é pequena, ela tende a crescer
a uma taxa proporcional a si mesma; mas, quando ela se torna grande, há uma competição
crescente por alimento e espaço e � cresce a uma taxa menor. Estudos ecológicos mostram que
a ilha pode suportar uma quantidade máxima de � � indivíduos, se a taxa de crescimento da
população � é conjuntamente proporcional a � e a � �
H
� ; logo:
�
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H
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Para determinar � , integramos
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em relação a
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, aplicando o método de frações parciais:
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264 CAPÍTULO 6. INTEGRAÇÃO INDEFINIDA
e:
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Como �
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8
que é uma função logística de população limite � � .
6.10 Exercícios
1. Calcule as seguintes integrais usando a tabela e, em seguida, derive seus resultados para
conferir as respostas:
(a)
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fl
3
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(b)
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3
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�
�
2. Calcule as seguintes integrais usando o método de substituição:
(a)
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�
�
�
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3
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(b)
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(c)
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6.10. EXERCÍCIOS 265
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3. Calcule as seguintes integrais, usando as substituições dadas:
(a)
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(b)
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(c)
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(f)
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fl
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8
use �
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3
fl
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�
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4. Calcule as seguintes integrais usando o método de integração por partes:
(a)
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(b)
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(c)
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266 CAPÍTULO 6. INTEGRAÇÃO INDEFINIDA
5 Calcule as seguintes integrais usando primeiramente o método de substituição e depois,
integração por partes:
(a)
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(b)
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(f)
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6 Calcule as seguintes integrais que envolvem potências de funções trigonométricas:
(a)
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(b)
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(c)
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)-,/.
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"(' )
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) , .
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(e)
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5. Calcule as seguintes integrais, usando substituição trigonométrica:
(a)
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(b)
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fl
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6. Usando primeiramente o método de substituição simples, seguido do método de substi-
tuição trigonométrica, calcule as seguintes integrais:
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) , .
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���
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"
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"('*)
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�����
� �
6.10. EXERCÍCIOS 267
[
7. Completando quadrados e usando substituição trigonométrica, calcule as seguintes inte-
grais:
(a)
� � �
�
H
�
fl �
��H � �
�
(b)
� �
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3
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(h)
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	 �
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�
� �
8. Calcule as seguintes integrais, usando frações parciais:
(a)
�
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9. Calcule as seguintes integrais:
268 CAPÍTULO 6. INTEGRAÇÃO INDEFINIDA
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10. Calcule as seguintes integrais:
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