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Capítulo 6 INTEGRAÇÃO INDEFINIDA 6.1 Introdução Na primeira parte do capítulo mostraremos como obter uma função conhecendo apenas a sua derivada. Este problema é chamado de integração indefinida. Definição 6.1. Uma função ������� é chamada uma primitiva da função � ����� no intervalo � se para todo � � , tem-se: ��� ������� � ����� Muitas vezes não faremos menção ao intervalo � , mas a primitiva de uma função sempre será definida sobre um intervalo. Exemplo 6.1. [1] Seja � ����������� , então ��������� ��� � é uma primitiva de � em � , pois � � �������ff���fi� � ����� . ��������� � � �ffifl � é também uma primitiva de � em � , pois � � �������!� � � � ����� . Na verdade, ��������� � � � fl#" , para todo " � é primitiva de � pois � � �����$�%���&� � ����� . [2] Seja � �����$� "('*) ����� , então �������+� )-,/. ����� fl0" , para todo " � é uma primitiva de � . De fato, � � �����+� "('*) �����+� � ����� . [3] Seja: � �����$�2143 �fi 65 798;:;< = �#> 65 798;:;<@? Não existe função definida em todo � cuja derivada seja igual a � ����� . Por outro lado, considere a seguinte função: ��������� AB C BD = �FEG7 ��HI7 �F 65 7�8;:;< :JHI7 �FKL:-? 239 240 CAPÍTULO 6. INTEGRAÇÃO INDEFINIDA ������� é uma função contínua em todo � e � � ����� � � ����� se �0 L� 798;: � . Logo, � é uma primitiva de � em � 798;: � . Em geral, uma função � admite uma infinidade de primitivas sobre um intervalo. É o que assegura a seguinte proposição: Proposição 6.1. Seja � uma primitiva da função � no intervalo � . Então, � ����� � ������� fl " , " � , é também primitiva de � no intervalo � . A pergunta natural que surge, a seguir, é: se � e � são primitivas de uma função � sobre um intervalo, será que � e � estão relacionadas de alguma forma? A resposta a esta questão é dada pela seguinte proposição: Proposição 6.2. Se � e � são primitivas de uma função � num intervalo � , então existe " � tal que � ������� ������� fl " , para todo �fi � . Prova: Seja � �����+� �������$H � ����� ; então, para todo �F � , temos que: � � ������� � � ����� H � � �����+� � � ����� H � ������� = . Como consequência do Teorema do Valor Médio, para todo � � , � �����$� " ; então, para todo �F � , ������� H � �����+� " ? Em outras palavras, duas primitivas de uma função diferem por uma constante. Logo, se co- nhecemos uma primitiva de uma função, conhecemos todas as primitivas da função. De fato, basta somar uma constante à primitiva conhecida para obter as outras. Exemplo 6.2. [1] Seja � ����� � "(' ) ����� . Uma primitiva desta função é �������J� ) , . ����� ; logo, toda primitiva de � é do tipo � ����� � )-,/. ����� fl " 8 " � . -6 -4 -2 2 4 6 -2 -1 1 2 3 Figura 6.1: Gráficos de � e algumas primitivas de "(' ) ����� . [2] Seja � �����+� ,���� 8 7��� = . Uma primitiva desta função é ������� � ��� � ; logo, toda primitiva de � é do tipo � ����� � �� � fl " , " � . Definição 6.2. Seja ������� uma primitiva da função � ����� no intervalo � . A expressão ������� fl#" 8 " � é chamada a integral indefinida da função � e é denotada por: � � ������� ��� ������� fl " 6.1. INTRODUÇÃO 241 Note que � � ����� � ��� ������� fl " ��� � � ������� � ����� em particular: � � ������� � � � � ����� fl#" ? Teorema 6.1. (Linearidade da Integral) Sejam � , � primitivas de � e � , respectivamente, num intervalo e � 8�� � . Então, � � fl � � é uma primitiva de � � fl � � , e: � � � � ����� fl � � ������ � ��� � � � ����� � � fl � � � ����� � � Prova: Se � e � são primitivas de � e � , respectivamente, então � ������� fl � � ����� é primitiva de � � ����� fl � � ����� ; logo: ��� � � ����� fl � � ����� � � �� � ������� fl � � ������� fl " � � @������� fl0"�� � fl �� � ����� fl "�� � � � � � ����� � � fl � � � ����� � � ? Exemplo 6.3. Calcule as seguintes integrais: [1] � ) ,/" ������� � ����� fl "(' ) ������� � � . [2] � 3 = , � fl 3 � � � � � � . [3] � ) , . � ������� � . [1] Usando o Teorema, podemos decompor a integral em duas outras integrais: � )-, " ������� � ����� fl "('*) ����� � � � � � ) ,/" ������� � ����� � � fl � "(' ) ����� � � ? Sabemos que ) ,/" ������� � � ) ,/" ������� � ����� e � )-,/. ����� � � � "(' ) ����� , então: � ) ,/" ������� � ����� fl#" ' ) ������� � � � � ) ,/" ������� � ����� � � fl � "(' ) ����� � � � ) ,/" ����� flG)-,/. ����� fl " ? [2] Usando o Teorema de linearidade, podemos escrever a integral como: � 3 = , � fl 3 � � � � � � � 3 = � , � � � fl � � � � � � ? 242 CAPÍTULO 6. INTEGRAÇÃO INDEFINIDA Como , � � � � , � e � � �� � � � � � � � � � , então: � 3 = , � fl 3 � � � � � � � 3 = , � fl � � �� � � fl " ? [3] Observe que ) , . � ������� � � � 3 H " ' ) ��� ��� � ; logo: � ) , . � ����� � � � 3 � � � 3 H "(' ) ��� ��� � � �F� � � H ) , . ��� ��� � fl0" ? Assim o processo de integrar se reduz a descobrir uma função conhecendo apenas sua deriva- da; usando a tabela de derivadas do capítulo anterior, obtemos uma lista de integrais chamadas imediatas. Esta lista pode ser comprovada derivando cada resultado da integral e consultando a tabela de derivada. Por exemplo, na tabela de derivadas do capítulo anterior temos que: � 7�� " � � ����� � � � 3 3 fl � ��� então 8 � � � 3 fl � � � 7�� " � � ����� fl0" ? No entanto, não incluimos como imediatas, por exemplo, integrais do tipo � �. ����� � � , pois não é evidente encontrar uma função que tem como derivada . ����� . Para resolver este impasse, estudaremos os chamados métodos de integração, que nos permitirão calcular integrais não imediatas. 6.2 Tabela Usaremos como variável independente � . 1. � � � � � fl " 2. � � � � � �. �� � � fl " 3. � ��� � � � � ��� � ��fl 3 fl " 8 � � H�� H 3�� 4. � 7�� � � � 7 � �. � 7 � fl " 8 7�� = , ( 7 �� 3 ) 5. � , � � � � , � fl " 6. � )-,/. � � ��� � � H "(' ) � � � fl " 7. � " ' ) � � ��� � � )-,/. � � � fl " 8. � )-, " � � � ��� � � � � � � � fl " 9. � "(' )-, " � � � ��� � � H "(' � � � � � fl#" 10. � ) ,/" � � ��� � � � � � � � ) ,/" � � � fl#" 11. � "(' )-, " � � � "(' � � � � � � � � H " ' ) ,/" � � � fl " 12. � � � � 3 H � � � 7�� " ) , . � � � fl " 13.� � � 3 fl�� � � 7�� " � � � � � fl#" 14. � � � � � � � H 3 � 7�� " )-, " � � � fl " 15. � ) , .fiff � � ��� � � "(' )flff � � � fl#" 6.3. MÉTODO DE SUBSTITUIÇÃO 243 16. � "('*)�ff � � ��� � � ) , .fiff � � � fl " 17. � )-, " ff � � � � � � � � � ff � � � fl " 18. � "('*) ,/" ff � � � ��� � � H " ' � � ff � � � fl0" 19. � )-, " ff � � ��� � ff � � � � � � H )-, " ff � � � fl " 20. � "(' )-, " ff � � � "(' � � ff � � � � � � H " ' ) ,/" ff � � � fl0" 21. � � � � 3 fl � � � 7�� � )-,/.fiff � � � fl " 22. � � � � � � H 3 � 7�� � " ' )�ff � � � fl " 23. � � � � � 3 H � � � H&7�� � ) ,/" ff �� � � fl " Métodos de Integração Nas próximas seções apresentaremos os métodos mais utilizados que nos permitirão determi- nar uma grande quantidade de integrais não imediatas. O primeiro a ser estudado se baseia na regra da cadeia. 6.3 Método de Substituição Sejam � uma primitiva de � num intervalo � e � uma função derivável tal que � � � esteja definida. Usando a regra da cadeia; temos, ��� � ����� � � � � � � � � ����� ��� � � ������� � � � ����� ��� � � ����� . Logo, ��� � ����� � é uma primitiva de � � � ����� ��� � � ����� , então: � � � � ����� ��� � �@����� � � � ��� � ����� � fl " � fazendo � � � ����� , tem-se � � � � � ����� � � ; substituindo na expressão anterior: � � � � ����� ��� � � ����� � � � � � � � � � � �%��� � � fl0" Exemplo 6.4. Calcule as seguintes integrais: [1] � � � 3 fl � � � � ? Fazendo � � 3 fl � � , então � � � � � � � . Substituindo na integral: � � � 3 fl � � � � � � � � � � �. �� � � fl#" � . ��� � fl 3 � fl " ? [2] � ) , . � ����� "(' ) ����� � � ? Fazendo � � )-,/. ����� , então � � � "(' ) ����� � � . Substituindo na integral: � ) , . � ����� "(' ) ������� � � � � � � � � � � � fl#" � )-,/. � ����� � fl " ? 244 CAPÍTULO 6. INTEGRAÇÃO INDEFINIDA [3] � � � � � � fl � ��� . Fazendo � � � � fl � , então � � � � � � ou, equivalentemente, � � � � � � . Substi- tuindo na integral: � � � � � � fl � � � � � � � � � � � 3 � � � � � � � H 3 3�� ��� fl " � H 3 3�� � � � fl � � � fl " ? [4] � ) ,/" � � � ��� � � � � . Fazendo � � � � , então � � � � � � � � . Substituindo na integral: � )-, " � � � ��� � � � � � � � ) ,/" � � � ��� � � � � � � � � fl#" � � � � � � ��� fl#" ? [5] � �. ����� � � � . Fazendo � � �. ����� , então � � � � � � . Substituindo na integral: � �. ����� � � � � � � � � � � � � fl " � �. ������� � � fl " ? [6] � � � � � ��� � � � � � . Reescrevemos a integral fazendo: � � � � ����� � � � � ��� ��� � � � ��� . Se � � " ' ) � � ��� , então � � � H � ) , . � � ��� � � ou, equivalentemente, H � � � � ) , . � � ��� � � . Substituindo na integral: � � � � � ��� � � � � ) , . � � ��� " ' ) � � ��� � � � H 3 � � � � � � H 3 � �. �� � � fl " � H 3 � �. �� "('*) � � ��� � fl#" ? [7] � � � � � fl 7 � � 7 �� = . Reescrevemos a integral como: � � � � � fl 7 � � 3 7 � � � � � � � � fl 3 . Fazendo � � � � , então � � � � � � . Substituindo na integral: � � � � � fl 7 � � 3 7 � � � � � fl 3 � 3 7 7�� " � � � � � fl " � 3 7 7�� " � � � 7 � fl " ? Muitas vezes, antes de efetuar uma substituição adequada, é necessário fazer algumas mani- pulações, como, por exemplo, o completamento de quadrados. [8] Calcule � � � � � fl � � fl#� . Completando os quadrados � � fl � � flG� � ��� fl 3 � � fl � � ; então, � � � � � fl � � fl#� � � � � ��� fl 3 � � fl � � ? Fazendo � �%� fl 3 , teremos � � � � � . Substituindo na integral: � � � � � fl � � � 3 � 7�� " � � � � � fl " � 3 � 7�� " � � � fl 3 � � fl " ? 6.4. INTEGRAIS DE PRODUTOS E POTÊNCIAS DE FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 245 6.3.1 Outros Tipos de Substituições Exemplo 6.5. Calcule as seguintes integrais: [1] � � � � � � fl 3 . Fazendo � � � � fl 3 , então ��� � � H 3 e � � � � � � � � � � ; � � � � � � fl 3 � � � � � � H 3 ��� � � � � � � H � � fl " � � � ��� fl 3 � ��� � H � � � fl 3 fl " ? [2] � � � � 3 fl�� � � . Fazendo � � 3 fl � � � , então � � � � H 3 � � e � � � � � � H 3 � � � � ; � � � � 3 fl � � � � � � � � H 3 � � � � � � � � � � � � H � � fl 3 � ����� � � � � ��� � � � H � � ��� � � fl � � � fl " � 3 � � � 3 fl � � ��� � H � � � � 3 fl � � ��� � fl � 3 fl � � � � fl " ? [3] � � � fl 3 � � � fl � � � . Seja � � � � ��� fl � � ; então, � � � � H � e � � � � � � � � ; � � fl 3 � � � H� � � fl 3 = . � � � fl 3 � � � fl � � � � � � � � � H� � � fl 3 = � � � � � � � � � � H� � � fl 3 = � � � � � � ��� � H 3�� ��� � fl 3 � � � fl " � � � = � � ��� fl � � � � � � � H 3�� � fl 3 = 3 � fl#" ? [4] � ��� � � � � H 3 . Fazendo � � � � � H 3 , � � ��� � H 3 e � � � � � fl 3 . Logo, � � � � � � � � ��� e � � ��� � � � � � � . � ��� � � � � H 3 � � � � � � � � � H 3 ����� � � � � � � � fl 3 � � � 7�� " � � � � � fl0" � � � 7�� " � � � � � � H 3 � fl0" ? 6.4 Integrais de Produtos e Potências de Funções Trigonométricas Exemplo 6.6. Calcule as seguintes integrais: [1] � ) , . � ���� ) , . � � ��� � � . Se � �� � , utilizamos : ) , . � � ��� )-,/. � � ���$� " ' ) ;� � H � � ��� H "(' ) � � fl � � ��� � � então: � ) , . � � ��� ) , . � � ��� � � � 3 � � "(' ) � � H � � ���$H "(' ) � � fl � � ��� � � � � 3 � )-,/. � � H � � ��� � H � H ) , . � � fl � � ��� ��fl � � ? 246 CAPÍTULO 6. INTEGRAÇÃO INDEFINIDA Se � � � , utilizamos )-,/. � � � ����� � � ��� � � � � ��� � ; então: � ) , . � � � ��� � � � 3 � � 3 H "(' ) ��� � ��� � � � � 3 � ��H ) , . ��� � ��� � 7 � [2] � ) , . � ����� "(' ) � ������� � . Como )-,/. � ����� " ' ) � ������� )-,/. � ����� 3 H )-,/. � ������� � "(' ) ����� , fazendo � � )-,/. ����� , temos � � � " ' ) ����� � � e: � ) , . � ����� "(' ) � ������� � � � ) , . � ������� 3 H ) , . � ����� � � "(' ) ������� � � � � � � 3 H � � � � � � � � � � � H � � � fl � � � � � � � � � H � � � � fl � � � fl#" � ) , . � ����� � H � )-,/. � ����� � fl ) , . � ����� � fl " ? [3] � � � � ����� � � . Fatorando � � � ������� � � ������� � � ������� � � ����� ) ,/" � ����� H 3 � ; � � � � ����� � � � � � � ����� ) ,/" � �����$H � � ������� � � � 3 � � � � ����� fl � . � � "('*) ����� � � � � fl " ? [4] � ) ,/" ������� � ? � ) ,/" ������� � � � ) ,/" ����� � � ����� fl#) ,/" ����� � � ����� fl#) ,/" ����� � � ��� � ) ,/" ������� � ����� flG)-, " � ����� � � ����� fl ) ,/" ����� � � ? Fazendo � � ) ,/" ����� fl � � ����� , temos � � � � )-, " ������� � ����� flG)-, " � ����� � � � . Substituindo na integral: � ) ,/" ������� � ����� fl#) ,/" � ����� � � ����� flG)-, " ����� � � � � � � � � �. �� � � fl#" � �. �� )-, " ����� fl � � ����� � fl " ? Estes exemplos nos mostram que para determinar a primitiva de uma integral que envolve produtos ou potências de funções trigonométricas é necessário, em primeiro lugar, transfor- mar a função a integrar por meio de identidades trigonométricas conhecidas, para depois usar alguns dos métodos. 6.5 Método de Integração por Partes Sejam � e � funções deriváveis no intervalo � . Derivando o produto � � � : � ����� � ����� � � � � � ����� � ����� fl#� ����� � �@����� 8 ou, equivalentemente, � ����� � � ������� � � ����� � ����� � � H � � ����� � ����� . Integrando ambos os lados: � � ����� � �@������� � � � ����� � ������H � � � ����� � ����� � � � fazendo: � � � ����� e ��� � � � ����� � � , temos: � � � � � ����� � � e � � � ����� . Logo: 6.5. MÉTODO DE INTEGRAÇÃO POR PARTES 247 � � ����� � � ����� � � � � � ��� � � � H � � � � Este método de integração nos permite transformar a integração de � ��� na integração de � � � . É importante saber “escolher” a substituição � e ��� na integral de partida. Devemos escolher � � tal que permita determinar � . As expressões de � � e � devem ser mais simples que as de � e � � , respectivamente. Exemplo 6.7. Calcule as seguintes integrais: [1] � �. ����� � � . Façamos � � �. ����� e ��� � � � ; então, � � � � � � e � �%� ; logo: � �. ����� � � � � � ��� � � � H � � � � � � �. �����$H � � � �%� �. ����� H � fl#" ? [2] � � , � � � � . Façamos � �%� e � � � , � � � � ; então, � � � � � e � � , � � � ; logo: � � , � � � � � � � ��� � � � H � � � � � � , � � � H 3 � � , � � � ��� � , � � � H , � � � fl " ? [3] � � � ) , . ����� � � . Façamos � �%� � e ��� � ) , . ����� � � ; então, � � � � � � � e � � H "(' ) ����� ; logo: � � � ) , . ����� � � � � � � � � � � H � � � � � H � � "(' ) ����� fl � � � " ' ) ������� � ? Calculemos agora � � "(' ) ������� � , novamente por partes. Fazendo � � � e � � � "(' ) ����� � � , temos � � � � � e � � ) , . ����� ; logo: � � " ' ) ������� � � � � � � � � � H � � � � � � )-,/. ����� H � )-,/. ����� � � �%� )-,/. ����� fl "(' ) ����� ? Então: � � � ) , . ����� � � � H � � "(' ) ����� fl � ��� )-,/. ����� fl#" ' ) ����� � fl#" ? [4] � , ��� ) , . � :���� � � ; 7�8;: �� = . Façamos � � ,���� e � � � ) , . � : ��� � � ; então, � � � 7 ,�� � � � e � � H ��� � � � ��� � ; logo: � , ��� ) , . � :���� � � � � � � � � � � H � � � � � H , ��� "(' ) � :���� : fl 7 : � , � � " ' ) � :������ � ? (6.1) Calculemos � , � � " ' ) � :������ � , novamente integrando por partes. Fazendo � � , � � e ��� � "(' ) � :���� � � , temos � � � 7 , ��� � � e � � � � � ��� � ; logo: � , � � "('*) � :������ � � � � � � � � � H � � � � � , ��� ) , . � :���� : H 7 : � , ��� ) , . � :���� � � ? (6.2) 248 CAPÍTULO 6. INTEGRAÇÃO INDEFINIDA Denotemos por �&� � , ��� )-,/. � :������ � . Então, de 6.1 e 6.2, temos: �&� 7 , ��� ) , . � :���� : � H , ��� "(' ) � :���� : H 7 � : � � Pois a última integral é exatamente a integral procurada e podemos passá-la ao outro lado da igualdade: 3 fl 7 � : � ���&� 7 ,����+) , . � :���� : � H , ����"(' ) � :9��� : � � �&� , � � 7 � fl : � � 7 )-,/. � :9��� H6: "(' ) � :���� � ? Logo, � , ��� ) , . � : ��� � � � , � � 7 � fl : � � 7 )-,/. � :9��� H6: "(' ) � :���� � fl " . [5] � � � "(' ) ��� � ��� � . Aqui usamos os dois métodos: Substituição: seja ���%� � ; então, � ��� � � � � ou ��� � �%� � � ; � � � "('*) ��� � � � ��� 3 � � � " ' ) � � � � � ? Integrando por partes, fazemos � � � e � � � "(' ) � � � � � ; então, � � � � � e � � )-,/. � � � : � � � "(' ) ��� � � � � � 3 � � � " ' ) � � ��� ��� 3 � � � ��� � 3 � � � H � � � � � � 3 � � � ) , . � � � H � )-,/. � � � � � ��� 3 � � " ' ) ��� � � fl � � )-,/. ��� � � � fl0" ? [6] � � � , � � � � . Aqui usamos,novamente, os dois métodos: Substituição: seja ���%� � ; então, � ��� � � � � ou ��� � �%� � � ; � � � , � � � ��� 3 � � � , � � � ? Integrando por partes: fazemos � � � e � � � , � � � ; então, � � � � � e � � , � : � � � , � � � ��� 3 � � � , � � ��� 3 � � � ��� � 3 � � � H � � � � � � 3 � � , � H � , � � � � � 3 � � � , � H , � �$� , � � � ��� � H 3 � fl " ? [7] � � � ) , . ��� � � ��� � . Aqui usamos, novamente, os dois métodos: Substituição: seja ��� � � � ; então, � �+�%� � � � ou ��� � �%� � � e � � � � � ; � � � )-,/. ��� � � � � � � 3 � � � ) , . � � � � � ? 6.6. MÉTODO DE SUBSTITUIÇÃO TRIGONOMÉTRICA 249 Integrando por partes: fazemos � � � e � � � )-,/. � � � � � ; então, � � � � � e � � H " ' ) � � � : � � � ) , . ��� � � � � � � 3 � � � )-,/. � � � � �+� 3 � � � � � � 3 � � � H � � � � � � 3 � � )-,/. ��� � � � H�� � � "(' ) ��� � � � � fl " ? 6.6 Método de Substituição Trigonométrica Este método é usado quando a expressão a integrar envolve alguns dos seguintes tipos de radicais: � 7 � H � � 8 � 7 � fl � � 8 � � � HI7 � 8 onde 7 � = . Caso 1: � � ����� � Para H�� � �� �� � � , seja � � 7 ) , . � � ; então, � � � 7 "(' ) � � � . Logo � 7 � H � � � 7 "(' ) � � . Denotando por " � � 7 � H � � : θ ua c Figura 6.2: Caso 1 Caso 2: � � �� �� � Para H�� � E E�� � , seja � � 7 � � � � ; então, � � � 7 )-, " � � � � . Logo � 7 � fl�� � � 7 ) ,/" � � . Denotando por � � � 7 � fl � � : θ a ud Figura 6.3: Caso 2 250 CAPÍTULO 6. INTEGRAÇÃO INDEFINIDA Caso 3: � � � � � � Para = � E � � ou � � E � � � , seja � � 7 ) ,/" � � ; então, � � � 7 )-, " � ��� � � � � . Logo � � � H67 � � 7 � � � � . Denotando por , � � � � HI7 � : θ a u e Figura 6.4: Caso 3. Exemplo 6.8. Calcule as seguintes integrais: [1] � � 7 � H � � � � . Seja ��� 7 ) , . � � ; então, � � � 7 "(' ) � � � ; H � � � � � � � e � 7 � H � � � 7 "(' ) � � . � � 7 � H � � � � � 7 � � "(' ) � � � � � 7 � � 3 � fl " ' ) ��� � � � � � 7 � � fl ) , . ��� � � � � 7 � � flG)-,/. � � "('*) � � � ? � � 7 )-,/. � � e H � � � �� � � ; então, � 7�� " )-,/. � � 7 � ; estamos no caso 1: θ xa c � onde " � � 7 � H � � ; logo, ) , . � �$� � � e " ' ) � �$� � � � � � � � . Substituindo no resultado da integral: � � 7 � H � � � � � 7 � � 7�� " )-,/. � 7 � fl � 7 � � 7 � H � � � fl " ? [2] � � � � ��� � fl � � � . Seja �G� � � � � � � ; então, � �#� � � )-, " � � � � ; H�� � E E � � � . Em tal caso � ��� � fl � � � � � � � ) ,/" � � � � : � � � � ��� � fl � � � � � � � ) ,/" � � � � � � ) ,/" � � � � � 3 � � � ) ,/" � � � 3 � � "('*) � � � � 3 � ) , . � � fl " ? Estamos no caso 2: θ d a x ; onde 7 � � � e � � � � � fl � . Logo, )-,/. � �$� � � � � � � . Substituin- do: � � � � ��� � fl � � � � � � � � � fl � fl " ? 6.6. MÉTODO DE SUBSTITUIÇÃO TRIGONOMÉTRICA 251 [3] � � � � 3 H�� � � . Seja � � � � ) , . � � ; então, � � � � � "('*) � � � ; H�� � E E � � � . Neste caso, � 3 �H�� � � �%� "(' ) � � : � � � � 3 �H�� � � � 3 � � � � � fl " ? Estamos no caso 1: θ xa c � onde " � � � � � � � � � ; logo, )-,/. � �&� � � � ; então, � 7�� " ) , . � � � � � . Substituindo no resultado da integral: � � � � 3 H�� � � � 3 � 7�� " )-,/. � � � � fl " ? [4] � � � � � � � � H 3 . Reescrevendo a integral: � � � � � � ��� � H � � � . Seja � � � � )-, " � � ; então, � �I� � � ) ,/" � ��� � � � � ; = E E � � � ou ( � E E � � � ). Neste caso, � � H � � � � � � )-, " � � � H 3 ��� � � � � � � � : � � � � � � H 3 � 3 � � )-, " � � � � � � � � 3 � � "('*) ,/" � � � � 3 � �. " ' ) ,/" � � H " ' � � � � � fl " ? Estamos no caso 3: θ x e 1/3 � onde , � � � � H � � ; logo, "(' )-, " � �$� � � � � � � � � e "(' � � � ��� � � � � � � � . Substituindo no resultado da integral: � � � � � � H 3 � 3 � �. "(' )-, " � � H "(' � � � � � fl#" � 3 �. � � � ��H 3 � � fl 3 � � � fl " ? [5] � � � � � � � � H 3 . Seja �fi� � ) ,/" � � ; então, � � � � )-, " � ��� � � � � ; = E E � � ou � E E � � � � . Neste caso � � � H 3 �%� � � � � e: � � � � � � � � H 3 � 3 � � � ) ,/" � � � � 3 3 � � fl#) , . � � "(' ) � � � fl0" ? Estamos no caso 3: θ x 4 e � onde , � � � � H 3 ; logo, ) , . � � " ' ) � �$� � � � � � � � � � . Para calcular , devemos ter cuidado, pois � � � H 3 é definida para � �#� e �fiE H � . Se � � � , então ) ,/" � � � � � � 3 e � 7�� " )-, " � � � , onde = E E � � . Se �GE H � , então ) ,/" � � � � � E H 3 e � 7�� "() ,/" � � � , onde � � E E� . Mas � E E � � � e ) ,/" ��� � H � � )-, " � � ; logo, para � E H � , � � � HI7�� " )-, " � � � , onde � E E � � � ; substituindo no resultado da integral: i) � �#� : � � � � � � � � H 3 � 3 3 � � 7�� " ) ,/" � � � fl � � � � H 3 � � � fl " ? ii) �FE H � : � � � � � � � � H 3 � 3 3 � � H 7�� " )-, " � � � fl � � � � H 3 � � � fl " � 8 onde " � � � � fl " . 252 CAPÍTULO 6. INTEGRAÇÃO INDEFINIDA [6] � � � � � H �$��H � � � � � . Primeiramente completamos os quadrados: � H �$��H � � � ��HL��� fl � � � ; fazendo � �%� fl � , temos � � � � � . Substituindo na integral: � � � � � H �$��H � � � � � � � � � � ��H � � � � � ? Seja � � � ) , . � � ; então � � � � "(' ) � � � ; H � � E E � � � e � ��H � � � � � � � � "(' ) � � � . � � � � � H �$��H � � � � � � 3 � � )-, " � � � � � � � � � � fl#" ? Estamos no caso 1: � � � �$� � � � � � � � � � � � � � � � � � � . Substituindo no resultado da integral: � � � � � H �$��H � � � � � � � fl � � � � H �$��H � � fl0" ? [7] � � � �$� � fl � � fl#� � � . Completando os quadrados: � � � fl � � fl%� � �9��� fl 3 � � fl 3 ; fazendo � � � fl 3 , temos � � � � � . Substituindo na integral: � � � �$� � fl � � fl � � � � � � � H 3 � � � � � fl 3 � � ? Seja � � � � ��� � � ; então � � � � � ) ,/" � � � � e � � � � fl 3 � ) ,/" � � : � � � H 3 � � � � � fl 3 � � � 3 � � � � � � )-, " � � H � ) ,/" � ��� � � 3 � )-, " � � H 3 � �. ) ,/" � � fl � � � � � fl " ? Estamos no caso 2: � � � ��� � � � � ��� fl 3 � e )-, " � ��� � �$� � fl � � fl#� . Substituindo no resultado da integral: � � � �$� � fl � � fl#� � ��� 3 � � �$� � fl � � fl#� H 3 � �. � �$� � fl � � fl#� fl � ��� fl 3 � � fl " ? 6.7 Método para Integração de Funções Racionais Um polinômio ������� de coeficientes reais pode ser sempre expresso como um produto de fatores lineares e/ou quadráticos. Naturalmente esta decomposição depende essencialmente do grau de ������� . i) ��������� ����HI7 � ������HI7 � � ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ��� H67 � ou ii) �������+� ����HI7 ��������H6: � � ? ? ? ? ? ? ? ? ����H : � � ou iii) ��������� � 7 � � fl :;� fl " ����� H � � � ? ? ? ? ? ? ��� H ��� � ou iv) �������+� � 7+� � fl : � fl " ���$����H � � � ? ? ? ? ? ? ��� H ��� � . 6.7. MÉTODO PARA INTEGRAÇÃO DE FUNÇÕES RACIONAIS 253 Exemplo 6.9. [1] ���������%� � H � � fl � � ����H � ����� H 3 � . [2] ���������%��� fl � � � fl#� � fl � � ��� fl 3 � � ��� fl � � . [3] ���������%��� H � � fl ��H 3 � ��� � fl 3 ������H 3 � . [4] ���������%� � fl � � H�� � � fl � � � H � � �9� fl � � � H � � � � fl ��H 3 � � ��� � fl 3 � � ����H � ����� fl � � . Seja uma função racional ������� � ����� . A decomposição de uma função racional em frações mais simples, depende do modo em que o polinômio � ����� se decompõe em fatores lineares e/ou quadráticos. Se numa função racional o grau de ������� é maior ou igual ao grau de � ����� , então podemos dividir os polinômios. De fato, se � � 7 � � ������� � K � � 7 � � � ����� � então ��������� � ������� ����� fl�� ����� 8 onde � � 7 � � � ����� ��E � � 7 � � � ����� � ; então, ������� � ����� ��� ����� fl � ����� � ����� ? Logo, basta estudar o caso em que: � �*7 � � ������� � E � � 7 � � � ����� � 8 pois, caso contrário efetuamos a divisão dos polinômios. Caso 1: ��� �� se decompõe em fatores lineares distintos. Então: � ������� ����HI7 � �(����HI7 � � ? ? ? ? ? ? ��� HI7 � onde 7� � são distintos dois a dois; então � �����$� ������� � ����� � � � ����HI7 � � fl � � ����HI7 � � fl ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? fl � ����HI7 � onde � � 8�� � 8�? ? ? ? ? ? ?�� são constantes a determinar. � � ����� � � � � ������� � ����� � � ��� � � � � ����HI7 � � fl � � � � � ����HI7 � � fl ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? fl � � � � ����H67 � ? Calculemos � � � � � ����HI7� � . Fazendo � �%��H 7� ; então, � � � � � � � �. �� � � fl " � �. �� ��HI7� � fl " ; logo: � � ����� � � ��� � �. �� ��HI7 � � fl � � �. �� ��HI7 � � fl ? ? ? ? ? ? ? fl � �. �� ��H67 � fl " onde � � 8�� � 8�? ? ? ? ? ? ?�� são constantes a determinar. 254 CAPÍTULO 6. INTEGRAÇÃO INDEFINIDA Exemplo 6.10. Calcule as seguintes integrais: [1] � � � � � fl � � � H ��H � � � � fl � ��H 3 = � � . Observe que � �*7 � � ������� � � � �*7 � � � ����� � . Dividindo os polinô- mios: ��� flG� � � H ��H � � � � fl � ��H 3 = � ��� fl � � fl � ��H � � � fl � ��H 3 = ? A seguir, aplicamos o método à última parcela da direita: �&� � ��� fl � � � � fl � � ��H�� � � fl � ��H 3 = � � � � � � fl � � fl � � ��H�� � � fl � ��H 3 = � � ? Calculemos � � ��H � � � fl � ��H 3 = � � . Fatorando: � � fl � ��H 3 = � ��� fl � ������H�� � ; temos: � ��H � � � fl � ��H 3 = � � � � fl#� fl � � ��H � � � � ����H � � fl � � ��� flG� � � � fl � ��H 3 = ? Comparando os numeradores: � � H � ��� � ���4H � � fl � � ��� fl � � . As raízes do polinômio � ����� são � � � e � � H � ; agora substituimos cada raiz na última expressão. Se � � � teremos ��� � � � e � � � � � . Se �F� H � , então H 3 � � H � � � e � � � � � � . Logo, podemos decompor a fração inicial em: � ��H � � � fl � ��H 3 = � 3 � �J��� fl#� � fl � �J����H � � ? Então, pelo Caso 1: � � ��H � � � fl � ��H 3 = � � � 3 �� �. �� � fl#� � fl � � �. �� ��H � � ? A integral procurada é: �&� � � � fl � � fl 3 � � �. �� � fl#� � fl � � �. �� ��H � � fl " ? [2] � � � � ��� H� � � H� � ��H 3 � � H � � � H � � � � . Note que � � 7 � � ������� �&� � � 7 � � � ����� � . Dividindo os polinô- mios: � � � H� � � H� � ��H � � � � ��� � H�� � � H � ��� fl ���$� � H � � ��H 3 � ? Então: � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �&fl � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ? �&� � � � � fl � �$� � H � � ��H 3 � � H � � � H � � � � � � � fl � �$� � H�� � ��H 3 � � H � � � H � � � � ? Aplicando o método à última parcela da direita, calculemos � � � � � � � H � � ��H 3 � � H � � � H � � � � . Primei- ro observemos que ���JH � � � H � � �%� ����HI� ����� fl � � : �$� � H � � ��H 3 � � H�� � � H � � � � � � fl � � ��H � fl � � � fl � � � � ����H � ����� fl � � fl � � � ��� fl � � fl � � � ����H � � � � H � � � H � � ? 6.7. MÉTODO PARA INTEGRAÇÃO DE FUNÇÕES RACIONAIS 255 Comparando os numeradores: �$� � H � � � H 3 ��� � ��� fl � ����� H�� � fl � � � ��� fl � � fl � � � ��� H�� � ; as raízes do polinômio � ����� são � � = , ��� � e � � H � ; agora substituimos cada raiz na última expressão. Se �fi� = , então, � � � � ; se �F� � então, � � � H � � e se �fi� H � , então, � � � � � � . A fração inicial pode ser decomposta em: �$� � H � � ��H 3 � � H � � � H � � � � � H � � ����H � � fl 3 � � ��� fl � � ? Pelo Caso 1, temos: � � � � �. �� � ��H � � �. �� ��H �� � fl � � � �. �� � fl � � fl#" . A integral procurada é: �&� � � fl � . �� � �$H � � �. �� ��H �� � fl 3 � � . �� � fl � � fl " ? Nos exemplos anteriores a forma de determinar os coeficientes é equivalente a resolver um sistema de equações. Consideremos o exemplo 2. �$� � H�� � ��H 3 ��� � ��� fl � ����� HI� � fl � � � ��� fl � � fl � � � ����H � � . Ordenando o segundo membro em potências de � , temos: �$� � H � � � H 3 � � � � fl � � fl � � � � � fl fl � H � � � fl � � � H � � � � � H � � � Comparando os polinômios e sabendo que dois polinômios são iguais se e somente se os coeficientes dos termos do mesmo grau são iguais, temos que resolver o seguinte sistema: A B C B D � � fl � �+fl � � �%� � � � H � � �+fl � � � � � � � � � � 3 8 que tem como solução: � � � � , � � � H � � e � � � � � � . [3] � � � � � H67 � 897 �� = . � � 7 � � ��� � � � E � � 7 � � � � � � � ; e � � HI7 � � � � H67 ��� ��fl 7 � ; aplicando o método: 3 � � HI7 � � � � � HI7 fl � � � fl 7 � � � � � fl 7 � fl � � � � HI7 � � � H67 � ? Comparando os numeradores: 3 � � � � ��fl 7 � fl � � � � H#7 � ; as raízes do polinômio � � � � são � � 7 e � � H 7 ; agora substituimos cada raiz na última expressão. Se � � 7 , então, � � � � � � e se � � H&7 , então, � � � H � � � . A fração inicial pode ser decomposta em: 3 � � H67 � � 3 � 74� � HI7 � H 3 � 7 � � fl 7 � ? Pelo Caso 1, temos: � � � � � H67 � � 3 � 7 �. �� � HI7� �$H �. �� � fl 7 ��� fl#" � 3 � 7 �. � � � HI7 � fl 7 � � � fl " Aplicamos esta última fórmula para completamento de quadrados. 256 CAPÍTULO 6. INTEGRAÇÃO INDEFINIDA Exemplo 6.11. Calcule as seguintes integrais: [1] � � � � � H � � . Como � � H � � � ����H � � � H � : � � � � � HI� � � � � � ����H � � � HI� ? Fazendo � �%��H � , temos � � � � � . Substituindo: � � � � � H � � � � � � � � H � � 3 � �. � � � H � � fl � � � � fl#" � 3 � �. � � ��HI� � � � � fl0" 8 onde as últimas igualdades são obtidas pela fórmula anterior. [2] � � � � H � � H � � . Completando os quadrados � H � � H � � � � HG��� fl � � � e fazendo � �%� fl � , temos � � � � � . Substituindo: � � � � H � � H � � � H � � � � � H�� � H 3 . � � � H � � fl � � � � fl " � H 3 �. � � ��H 3 � fl#� � � � fl#" 8 onde as últimas igualdades são obtidas pela fórmula anterior. Caso 2: ��� �� se decompõe em fatores lineares, alguns deles repetidos. Seja ��H67� o fator linear de � ����� de multiplicidade � e � a maior potência da fatoração. Então, a cada fator linear repetido associamos uma expressão do tipo: � � ����HI7 � fl � � ����H67 � � fl ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? fl � � ����HI7 � � onde � � 8�� � 8�? ? ? ? ? ? ?�� � são constantes a determinar. Em tal caso, integrando esta expressão obte- mos: � � �. �� ��H67 � � H � � ��HI7 fl ? ? ? ? ? ? ? fl � � � 3 H � �(����H67 @� � � � Os fatores lineares não repetidos são tratados como no caso 1. Exemplo 6.12. Calcule as seguintes integrais: [1] � � � � fl �$� fl � � � fl � � � fl � � � . Como � � 7 � � ������� � E � �*7 � � � ����� � e ��� fl � � � fl � � � ��� fl 3 � � . O fator ��� fl 3 � tem multiplicidade 2 e o fator � é como no caso 1. � � � fl �$� fl � � � fl � � � fl � � � � � fl � � � fl 3 fl � � ��� fl 3 � � ? Comparando os numeradores: � � � fl �$� fl � ��� � ��� fl 3 � � fl � � � ��� fl 3 � fl � � � . As raízes do polinômio � ����� são: �L� = e �L��H 3 ; agora, substituimos cada raiz na última expressão. Se �0� = , então � � � � e se � � H 3 , então � � � H 3 . Falta determinar � � . Para calcular o valor 6.7. MÉTODO PARA INTEGRAÇÃO DE FUNÇÕES RACIONAIS 257 da constante � � , formamos o sistema de equações, obtido da comparação dos coeficientes dos polinômios. � � � fl �$� fl � � � � �$fl � � � � � fl ��� � � fl � �+fl � � � � fl � � ; então: AB C BD � � fl � � �� � � � fl � ��fl � � �%� � � � � Como sabemos os valores de � � e � � obtemos, facilmente, � � � 3 ; então: � � � fl �$� fl � � � fl � � � fl � � � � fl 3 � fl 3 H 3 ��� fl 3 � ��� logo, � � � � fl �$� fl � � � fl � � � fl � � � � �. � � � � fl � � � � � fl 3 � fl 3 fl#" ? [2] � ��� fl � ��H 3 � � H �$� � � � . Como � � 7 � � ������� � E � � 7 � � � ����� � ; � � H �$� � � � � ����H � ����� fl � � . O fator � tem multiplicidade 2 e os fatores ��H � 8 � fl � são como no caso 1. ��� fl � ��H 3 � � H � � � � � � ��H ��fl � � � fl ��fl � � � fl � � � � ? Comparando os numeradores: � � fl � �6H 3 � � � � � ��� fl � � fl � � � � ��� H � � fl � � � ��� fl � �����0H � � fl � � ���6H � ����� fl � � ; as raízes do polinômio � ����� são: �F� = , �fi� � e �fi� H � . Agora substituimos cada raiz na última expressão. Se � � = , então � � � � � ; se � � � , então � � � � � � � e se � �2H � , então � � � � � � � . Falta determinar � � . Para calcular o valor da constante � � , formamos o sistema de equações obtido da comparação dos coeficientes dos polinômios. � � fl � ��H 3 � � � � fl � ��fl � � � � � fl ��� � � H � � � fl � � � � � fl ? ? ? ? � note que o coeficiente da potência cúbica nos dá o valor de � � . De fato, sendo � � fl � � fl � � � 3 , então � � � H � � . ��� fl � ��H 3 � � HI�$� � � 3 � 3 ��� H � � fl 3 � 3 ��� fl � � H � �$� fl 3 �$� ��� logo: � ��� fl � ��H 3 � � H �$� � � � � 3 � 3 �. � � ��H � � � � fl 3 � 3 �. � � � fl � � � � H � � �. � � � � � � H 3 �$� fl0" . Caso 3: � � �� se decompõe em fatores lineares e fatores quadráticos irredutíveis, sen- do que os fatores quadráticos não se repetem A cada fator quadrático 7 � � fl : � fl " de � ����� associamos uma expressão do tipo: � � fl�� 7+� � fl :�� fl " onde � 8 � são constantes a determinar. Os fatores lineares são tratados como no caso 1 e 2. 258 CAPÍTULO 6. INTEGRAÇÃO INDEFINIDA Exemplo 6.13. Calcule as seguintes integrais: [1] Calcule �&� � � � � fl � � fl � = � � fl � � fl �$� fl � � � . Primeiramente observamos que � � 7 � � ������� � E � � 7 � � � ����� � . Fatorando � � fl � � fl �$� fl � � � ��� fl 3 ����� � fl � � . O único fator quadrático irredutível é � � fl � ; o fator � fl 3 é como no caso 1. � � � fl � � fl � = � � fl � � fl � � fl � � � � � fl 3 fl � � fl � � � fl � ? Comparando os numeradores: � � � fl � � fl � = ��� � ��� � fl � � fl � � � fl�� ����� fl 3 ��� � � � fl � � � � fl � � fl�� � � fl � � � fl�� . A raiz real do polinômio � ����� é ��� H 3 ; agora substituimos esta raiz na última expressão. Se � � H 3 , então � � � � . Formamos o sistema de equações, obtido da comparação dos coeficientes dos polinômios: � � fl � � � , logo � � � e � fl � � � implica em � � = . � � � fl � � fl � = � � fl � � fl �$� fl � � � � fl 3 fl � � � � fl � ? Portanto: � � � �. �� � fl 3 � fl � � � � � fl � � � � . �� ��� fl 3 � � � ��� � fl � � � � fl " , onde a última inte- gral é resolvida usando substituição simples. [2] Calcule �&� � � � � fl#� � fl � � � fl � � fl ��H � � � . Primeiramente observamos que � � 7 � � ������� � E � � 7 � � � ����� � . Fatorando � � fl � � fl ��H � � � ��� H 3 ����� � fl � � fl � � . O único fator quadrático irredutível é � � fl � � fl � . O fator � H 3 é como no caso 1. � � � flG� � fl � � � fl � � fl ��H � � � � ��H 3 fl � � fl � � � fl � � fl � ? Comparando os numeradores: � � � flfi� � fl � ��� � ��� � fl � � fl � � fl � � � fl � ����� H 3 � � � � � fl � � � � fl ��� � � H � fl � � � fl � � � H � ; a raiz real do polinômio � ����� é �L� 3 ; substituindo esta raiz na última expressão: Se �L� 3 , então � � � � � � . Formamos o sistema de equações, obtido da comparação dos coeficientes dos polinômios: � � fl � � � ; logo � � � � e � � � H � �%� ; logo � � � � . Então: � � � flG� � fl � � � fl � � fl ��H � � 3 3 ����H 3 � fl 3 � fl � � � fl � � fl � � � logo: �&� 3 3 . � � ��H 3 � � � fl 3 � � fl � � � fl � � fl � � � 8 onde a última integral é resolvida usando substituições; de fato: � � fl � � fl � � ��� fl 3 � � fl � . Então, considere � �%� fl 3 ; logo � � � � � e: 6.7. MÉTODO PARA INTEGRAÇÃO DE FUNÇÕES RACIONAIS 259 � � fl � � � fl � � fl � � � � � � fl � � � fl � � � � � � � � fl � � � fl � � � � fl � � � ? A segunda integral é imediata, pois: � � � � fl � � � � � � � 7�� " � � � � � � fl "�� � � � � 7�� " � � � fl 3 � � � fl "�� ? Na primeira integral fazemos ��� � � fl � ; logo � � � � � � � : � � � � fl � � � � 3 � � � � � � 3 � �. �� � � fl "�� � 3 � �. �� � � fl � � fl � � fl#" � e: �&� 3 3 �. � � ��H 3 � � � fl 3 3 � �. � � � � fl � � fl � � � � fl � � � � 7�� " � � � fl 3 � � � fl " . [3] Calcule � � � � ��� fl 3 3 ��H 3 ��� � fl 3 �(��� � fl �$� fl 3 � � � � . Observemos que � � 7 � � ������� � E � � 7 � � � ����� � ; � � fl 3 e � � fl �$� fl 3 � são fatores quadráticos irredutíveis. Temos: � ��� fl 3 3 ��H 3 ��� � fl 3 ����� � fl � � fl 3 � � � � � � fl � � � � fl 3 fl � � � fl�� � � � fl �$� fl 3 � ? Comparando os numeradores: � � � fl 3 3 ��H 3 � � �� fl � � � � � fl ��� � � fl � � fl � � � � � fl � 3 � � � fl � � � fl � � � � fl � 3 � � � fl � � � . Formando o sistema de equações, obtido da comparação dos coeficientes dos polinômios: AB B B B C B B B B D � � fl � � � � � � � fl � � fl � � � = 3 � � � fl � � � fl � � � 3 3 3 � � � fl � � � H 3 Resolvendo o sistema: � � � 3 , � � � H 3 , � � � � e � � � H � ; logo: � ��� fl 3 3 � H 3 ��� � fl 3 ����� � fl �$� fl 3 � � � ��H 3 � � fl 3 fl � ��H � � � fl �$� fl 3 � ? Integrando, após a decomposição da função integranda, obtemos quatro integrais, a primeira é resolvida por substituição simples, a segunda é imediata, a terceira e quarta são resolvidas por completamento de quadrados. �&� �. � ��� � fl �$� fl 3 � � � � � fl 3 � H � � 7�� " � � � fl � � � HI7�� " � � ����� fl " ? 260 CAPÍTULO 6. INTEGRAÇÃO INDEFINIDA Caso 4: � � �� se decompõe em fatores lineares e fatores quadráticos irredutíveis, sen- do que alguns dos fatores quadráticos se repetem Se um fator quadrático 7 � � fl :;� fl " de � ����� tem multiplicidade � , a esse fator quadrático associamos uma expressão do tipo: � � � fl�� � 7+� � fl :�� fl " fl � � � fl � � � 7+� � fl :�� fl " � � fl ? ? ? ? ? ? ? ? ? fl ��� � fl � � � 7 � � fl :�� fl#" � � onde � 8 � são constantes a determinar, � � 3 8 ? ? ? ? 8 � . Os outros fatores são tratados como nos casos 1, 2 e 3. Exemplo 6.14. Calcule as seguintes integrais: [1] Calcule � ��� fl � fl � � ��� � fl 3 � � � � . Primeiramente observamos que � � 7 � � ������� � E � � 7 � � � ����� � e � � fl 3 é o único fator quadrático irredutível, de multiplicidade 2. ��� fl � fl � � ��� � fl 3 � � � � � fl � � � fl � � � � fl 3 fl � � � fl � � ��� � fl 3 � � ? Comparando os numeradores: � � fl � fl � � � � fl � � � ��� fl � � � � fl ��� � fl � � fl � � � � � fl � � � fl � � � � fl � . Formando e resolvendo o sistema de equações obtido da comparação dos coeficientes dos polinômios e lembrando que � ����� tem uma raiz real � � = , obtemos, � � � , � � � H � , � � � 3 , � � � H � e � � � = ? Logo: � � � � � � � � � � � � � � � � � H � � � � � � � � H � � � � � � � � � . Calculando as integrais correspondentes: � ��� fl � fl � � ��� � fl 3 � � � � � . � � � � � fl 3 � fl 7�� " � � ����� fl 3 � � fl 3 fl " ? [2] Calcule �&� � � � fl ��� fl �$� � fl �$� � fl � � fl � ��� � fl � � � � � . Primeiramente observamos que � � 7 � � ������� � E � � 7 � � � ����� � e � � fl � é o único fator quadrático irredutível, de multiplicidáde 3. � � fl �9� fl �$� � fl �$� � fl � � fl � ��� � fl � � � � � � fl � � � fl � fl � � fl � ��� � fl � � � fl � � fl � ��� � fl � � � ? Formando e resolvendo o sistema de equações obtido da comparação dos coeficientes dos po- linômios; obtemos, � � 3 , B=1 8�� �%� e � � � � � � = ? Logo: � � � � � � fl � � � fl � � � � � fl ��fl � � � ��� � fl � � � � � 8 e �&� �. � � � � fl � � fl � � � 7�� " � � � � � � H 3 ��� � fl � � � fl#" . 6.8. MUDANÇA: TANGENTE DO ÂNGULO MÉDIO 261 6.8 Mudança: Tangente do Ângulo Médio Se a função integranda envolve expressões do tipo: 7 fl : )-,/. ����� , 7 fl : "(' ) ����� ou combinações destas, utilizamos a mudança � � � � � � � ; logo: ) , . ������� � � 3 fl � � 8 " ' ) ������� 3 H � � 3 fl � � e � � � � � � 3 fl � � ? Por exemplo: � � � 7 fl : )-,/. ����� � � � � � 7 � 3 fl � � � fl �$: � 8 � � � 7 fl : " ' ) ����� � � � � � 7 � 3 fl � � � fl : � 3 H � � � ? Exemplo 6.15. [1] Calcule � � � � fl#) , . ����� . Neste caso 7 � � e : � 3 ; logo: � � � � fl )-,/. ����� � � � � � � fl � fl 3 � � � � � fl 3 � � � fl � � � � � � � 7�� " � � � � ��� ��fl 3 � � � fl " � � � � � 7�� " � � � � ��� � � � � � fl 3 � � � fl#" ? [2] Calcule � � � 3 H "(' ) ����� fl#) , . ����� . Utilizando as mudanças: � � � � ��� � � ��� � � � � ��� � � � � � � � � � � � � � H � � � � � � � ; logo: � � � 3 H "(' ) ����� fl#) , . ����� � � 3 � H 3 � fl 3 � � � � �. � � fl 3 � fl " � �. 3 H " ' ) ����� 3 H "(' ) ����� fl#) , . ����� � fl " ? 6.9 Aplicações da Integral Indefinida 6.9.1 Obtenção de Famílias de Curvas Seja �G� � ����� uma função derivável. O coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de � no ponto ��� 8 � ����� � é � � ����� . Inversamente, se um coeficiente angular é dado por � � � � ����� , por integração determina-se uma família de funções: �L� � ����� fl " , onde " é uma constante arbitrária. Exemplo 6.16. [1] Obtenha a equação de uma família de curvas, sabendo que o coeficiente angular da reta tangente à cada curva, num ponto, é igual a menos duas vezes a abscissa do ponto. Obtenha a equação da curva que passa pelo ponto � 3 8 3 � . 262 CAPÍTULO 6. INTEGRAÇÃO INDEFINIDA Temos � � ��H � � ; integrando: � ��H � � � � ��� H � � fl " ? No ponto � 3 8 3 � , tem-se 3 � ��� 3 � � H 3 fl " ; então, " � � e � � H � � fl � . [2] Em todos os pontos de uma curva ��� � ����� tem-se que � � � � � � H 3 . Obtenha a equação da curva, se esta passa pelo ponto � 3 8 3 � e a reta tangente nesse ponto é paralela à reta � fl 3 � ��� 3 � . Temos � � � �%� � H 3 ; integrando: � � � � ��� � H 3 � � � � � � � H � fl " ? O coeficiente angular da reta: � fl 3 � � � 3 � é H � � � e a reta tangente à curva no ponto (1,1) é paralela a esta reta: H � � � � � � � 3 ��� � � H 3 fl " ; logo, " � � � � e � � � � � � HI� fl � � � . Integrando novamente: �0� � � � � H � � � fl � � � � fl " (azul). Usando o fato de que ��� 3 � � 3 temos " � �� e �#� � � � � H � � � fl � � � � fl � � (verde). -2 -1 1 2 -1 1 2 Figura 6.5: 6.9.2 Outras aplicações Exemplo 6.17. [1] A taxa de produção de uma mina de cobre � anos após a extração ter começado foi calculada como � � � �&� � = � , ��� � � mil toneladas por ano. Determine a produção total de cobre ao final do ano � . Seja � � ��� � � a produção total ao final do ano � ; então, a taxa de produção é � � � � � � � � ; logo, � � � � �+� � � � �+� � = � , ��� � � ; integrando: ��� � ��� � = � � , ��� � � � � fl " � � = = = , ��� � � � = ? 3 ��H 3 � fl " ? Ao final do ano zero a produção é zero; logo, ��� = � � = , donde obtemos " � � = = = ; portanto, a produção total de cobre ao final do ano � é dada por: ��� � ��� � = = = , ��� � � � = ? 3 ��H 3 � fl � = = = ? [2] A temperatura de um líquido é � � � . Coloca-se o líquido em um depósito cuja temperatura, mantida constante é igual a � � � . Passados � minutos a temperatura do líquido é � = � . Sabendo 6.9. APLICAÇÕES DA INTEGRAL INDEFINIDA 263 que a velocidade de resfriamento é proporcional à diferença que existe entre a temperatura do líquido e a do depósito, qual é a temperatura do líquido após 3 � minutos? Seja � � � � � � a temperatura do líquido no instante � , � � = �4� � � � e � � � � � � = � . A velocidade de resfriamento é proporcional à diferença que existe entre a tenperatura do líquido e a do depósito. Então, � � � � �$� � � � � � � H � � � , � � = . Devemos determinar � � � � . � � � � � � � � � � H � � � ��� � � � � fl " . Como � � � � � � � � � � , então: � � � � � � � � � � H � � � ��� � � � � H � � � �. � � � � � H�� � � � logo, �. � � � � � H�� � �+� � � fl " ; então: 1 �. � � � = �$H � � �+� �. � � = ��� " �. � � � � �$H � � �+� �. ��� � ��� � � fl �. � � = � 8 donde � � H 3 � . ��� � ; logo, �. � � � � � H � � ��� . � � =�� � � � � � e � � � ��� � �&flG� =�� � � � � ; então: � � 3 � �+� � 3 � 3 � � ? [3] (Lei de resfriamento de Newton): A taxa de variação da temperatura � � � � � � de um corpo é proporcional à diferença entre a temperatura ambiente � (constante) e a temperatura � � � � � � , isto é: � � � � � � � � H � � � � � 8 � � � = � ? ��� � Para determinar � , integramos ��� � em relação a � : � � � � H � � H � � � � fl " � obtendo �. � � H ����� H � � fl " � logo, � � � ����� fl � , � � � . Se a temperatura inicial é � � = ��� � � ; então, � � � � H � e: � � � ����� fl � � � H ��� , � � � ? [4] (Crescimento populacional inibido): Considere uma colônia de coelhos com população inicial � � numa ilha sem predadores. Se a população � � � � � � é pequena, ela tende a crescer a uma taxa proporcional a si mesma; mas, quando ela se torna grande, há uma competição crescente por alimento e espaço e � cresce a uma taxa menor. Estudos ecológicos mostram que a ilha pode suportar uma quantidade máxima de � � indivíduos, se a taxa de crescimento da população � é conjuntamente proporcional a � e a � � H � ; logo: � � � � � � � � � � H � � 8 � � � = � ? ��� � � Para determinar � , integramos ��� � � em relação a � , aplicando o método de frações parciais: � � � � � � � H � � � � � � � fl#" � logo, 3 � � � � � � fl � � � � � H ��� � � � fl#" � 264 CAPÍTULO 6. INTEGRAÇÃO INDEFINIDA e: . � � � � H � �$� � � ��� fl "�� ? Como � � = ��� � � , "�� � �. ����� � � � ��� � ; então, . � � � � H � ��� � � � � fl �. � � � � � H � � � � logo, � � � � � � ��� �� � � � � � � ��� donde: � � � �$� � � � � � � fl � ��� H � � � , � � � � � 8 que é uma função logística de população limite � � . 6.10 Exercícios 1. Calcule as seguintes integrais usando a tabela e, em seguida, derive seus resultados para conferir as respostas: (a) � � ��� fl � �(��� fl 3 ��� � (b) � � � � � fl#� � � � � (c) � 3 � � � � � (d) � ��� � � fl 3 � � � � (e) � � � ����H � � fl 3 � � � (f) � ��� � fl 3 �(��� � H � � � � � � � (g) � ��� � H � � � � � � � � (h) � 3 � � fl � � � (i) � 3 � � � fl � � � (j) � � � � � HI� � (k) � � � � ������� � (l) � � � � � ��H � ��� � � � (m) � 3 = � � � (n) � , � fl � , � � � (o) � � , ��� � � (p) � � � � � H 3 � � � � � � (q) � � 3 � � fl � � � � � � � (r) � � � � � � � � (s) � � � � � fl 3 � � (t) � ��� � fl � � � H 3 � � � � � 2. Calcule as seguintes integrais usando o método de substituição: (a) � � � � � � H 3 � � (b) � � � � � fl 3 � � (c) � � � fl#� � � (d) � ��� � : HI7 � (e) � ��� :JHI7�� � � ��� (f) � � � � � � � fl � � � (g) � � � � H � � � � � � � (h) � ��� � : fl 7�� � � (i) � � � � 7 fl : � � � � 6.10. EXERCÍCIOS 265 (j) � �. ����� fl � � � � (k) � )-,/. ��� ��� "(' ) � ��� ����� � (l) � � � � � � � ) ,/" � � � � � � � (m) � "(' ) � 7 ��� � � � : fl#) , . � 7 ��� (n) � 3 � � �. ����� � � � � (o) � ��� � 3 fl � � � � (p) � � � , � � � � (q) � 7�� "() , . � � � � � 3 H�� � ��� (r) � , � , � � fl 3 � � (s) � ) , . � � � � H " ' ) � � � � � (t) � � fl � ��� � fl ��� � � � (u) � � � � . ����� (v) � , � � � � � ��� � 3 H � � � � (w) � )-,/. � . ����� � � � � (x) � " ' ) � � � fl 3 � � 3 fl � � � (y) � � � � � � ��fl � � � (z) � � � "(' ) � � � � � � 3. Calcule as seguintes integrais, usando as substituições dadas: (a) � � � � � � � H � 8 use ��� � � )-, " � � � (b) � � � , � fl 3 8 use � � H �. � � � (c) � � � � � � fl 3 8 use ��� � � fl 3 (d) � � � � � 3 H � � 8 use ��� ) , . � � � (e) � � �3 fl � � 8 use � � 3 fl � � (f) � � � � 3 fl � � � 8 use � � 3 fl � � � 4. Calcule as seguintes integrais usando o método de integração por partes: (a) � � , � � � (b) � � � ) , . ����� � � (c) � � , � � 3 fl ��� � � � (d) � , � � "(' ) � � � � � � (e) � )-,/. � �. ����� � � � (f) � 7�� "("(' ) ��� ����� � (g) � � � " ' ) ������� � (h) � � 7�� " � � ����� � � (i) � )-, " � ������� � (j) � ����H 3 � , � � � � (k) � , � � � � � (l) � ��� � 3 HI� � � � (m) � � " ' ) ,/" � ����� � � (n) � � )-, " ������� � ����� � � (o) � � � ) , . � � ����� � (p) � � � "(' ) ��� ����� � (q) � � � , � � � (r) � ��� � H � � fl ��� , � � � � (s) � � � )-,/.fiff ����� � � (t) � � 7�� � )-,/.fiff ��� ��� � � (u) � � � , � � � � (v) � � 7�� " ) , . ����� � 3 HI� � � � (w) � � ) ,/" � ������� � (x) � . � ����� � � (y) � � � �. ������� � (z) � � � � fl 3 � � 266 CAPÍTULO 6. INTEGRAÇÃO INDEFINIDA 5 Calcule as seguintes integrais usando primeiramente o método de substituição e depois, integração por partes: (a) � � 3 fl � � � � (b) � � � � "(' ) ��� � � � � (c) � " ' ) � �. ����� � � � (d) � , � � � � (e) � ) , . � � ��� � � (f) � � � , � � � � 6 Calcule as seguintes integrais que envolvem potências de funções trigonométricas: (a) � )-,/. � ����� "(' ) � ����� � � (b) � � � � ����� ) ,/" � ����� � � (c) � )-,/. � ����� "(' ) � ����� � � (d) � ) , . � ����� � "('*) ����� � � (e) � )-,/. ����� � � � ����� � � (f) � � "(' � � � ��� ��� fl#" ' � � � ��� ���;� � � (g) � " ' ) � ����� ) , . � ����� � � (h) � ) , . � � 7 ����� � (i) � ) , . � � � � " ' ) � � � � ��� (j) � ) , . � ����� " ' ) � ����� � � 5. Calcule as seguintes integrais, usando substituição trigonométrica: (a) � � 3 �H � � � � � � (b) � � � � � � � � H�� (c) � � � � � � � H � � (d) � � � � � � H � (e) � � � � � � � HI� � (f) � � � � � ��HI� � � � (g) � � 3 H�� � � � � � � � � � (h) � � � ��� ��H � � � � � (i) � � � � fl � � � (j) � � � � 3 fl � � � � 3 H � � (k) � � � � 3 H � � � � 3 fl � � (l) � � � � � � � � H � (m) � �-��� ��� � � fl � � � � � � (n) � � � 3 fl � � fl � ����� � (o) � , � � , � fl 3 � � (p) � � fl 3 � � � H 3 � � (q) � � � � � � � � fl � 6. Usando primeiramente o método de substituição simples, seguido do método de substi- tuição trigonométrica, calcule as seguintes integrais: � 7 � � ) , . ����� ��� � H "(' ) � ����� � � � � � � :(� � � � � � � �. ����� � � H � � � � � " � � "('*) ����� � � fl#) , . � ����� � � 6.10. EXERCÍCIOS 267 [ 7. Completando quadrados e usando substituição trigonométrica, calcule as seguintes inte- grais: (a) � � � � H � fl � ��H � � � (b) � � � 3 H � fl � � � � � (c) � � � ��� � fl � � fl � � � � � (d) � � � � � � fl � � fl#� (e) � � � � � � H ��H 3 (f) � � � fl � � �$� � fl � � fl 3 � � (g) � � � � �$��H � � H � (h) � 3 H � � � � ��H � � fl � � � (i) � � � � � H � � fl � � � (j) � � fl � � � � fl � fl � � � � 8. Calcule as seguintes integrais, usando frações parciais: (a) � � � � � fl � (b) � � � � � � H 3 (c) � � � fl � � � ��� � fl � � � � � (d) � � � fl � � ��� � fl 3 � � � � (e) � � � � � fl � � (f) � � � fl ��H 3 ��� � fl 3 � � � � (g) � �9� fl � � � H � � fl � � fl 3 ��� � fl ���(��� � fl 3 � � � (h) � � � � � ��� � fl 3 � (i) � � fl 3 ��� � fl � � fl#� � � � � (j) � ��� fl � fl 3 � � 3 fl � � � � � (k) � ��� fl 3 ��� � H � � fl#� � � � � (l) � � � ��� fl 3 �(��� � fl � fl 3 � � (m) � � � � � fl � � (n) � � � fl 3 � � H � fl 3 � � (o) � � � � � H � � � fl � � � H � (p) � � � � H 3 � � (q) � � � � H � � � fl � ��H 3 � � fl � � � � � (r) � � � fl � � � fl � � � H � fl � � � fl � � � fl � � � � (s) � � � fl � � ��� � fl � � fl � � � � � (t) � � � � � fl � � � fl �-� fl#� (u) � � � H � � fl � � � fl � � fl#� � � � (v) � � ��� fl � � fl ��H 3 � � H 3 � � 9. Calcule as seguintes integrais: 268 CAPÍTULO 6. INTEGRAÇÃO INDEFINIDA (a) � " ' ) ����� �. � ) , . ����� � � � (b) � � � � � � (c) � � � "(' ) ��� � � � � (d) � � � ����� )-, " � ������� � (e) � " ' ) � � ��� "(' ) ���$��� � � (f) � � � ��� � fl � � � � � (g) � � � � � � fl �$� fl � (h) � , � � ��H , � � � � (i) � � � fl � � � � fl � � � fl � � � (j) � ��H � ��� � fl � � fl � � � � � (k) � � � fl 3 � ��� � fl 3 � � � (l) � )-,/. ����� "(' ) � ����� � fl "(' ) � ����� � � (m) � � � ��� fl 3 � � � � (n) � � � �$� � fl 3 � � H � (o) � � � fl � � � fl � � � � (p) � � � � H �$� fl � ����H 3 ����� � fl 3 � � � (q) � ��� � � � � fl 3 � � (r) � � � � fl 3 � � (s) � � � ��� � fl � � � � � fl � (t) � � � ����H 3 � � � � fl � ��H�� (u) � � � � � � � � ��� ��� � � ��� � � � � � ��� (v) � � "(' ) � � � � � � fl#)-,/. ����� � � (w) � 3 H � � � ����� ) ,/" � ����� fl � � ����� � � (x) � � � ��� fl � � � ��H 3 � � 10. Calcule as seguintes integrais: (a) � � � )-,/. ����� H "(' ) ����� (b) � � � )-,/. ����� fl "(' ) ����� (c) � � � � fl#" ' ) ����� (d) � "(' ) ����� � � ) , . �����
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