Deformacoes barras isoladas

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Resistência dos Materiais – Prof. Nélvio Dal Cortivo 
DEFORMAÇÕES EM BARRAS ISOLADAS 
 
 
 
Considere a figura abaixo: 
 
 
• Na região de proporcionalidade: 
 
* σ = Eε ∴ε = σ/E 
* 
A
P=σ , 
AE
P=ε 
* 
AE
PL
AE
P
L
=∴== δδε (1) 
 
 
A equação (1) é válida para: 
 
• Barra homogênea (E constante em todo o corpo da barra); 
• Seção transversal constante; 
• Carga nos baricentros das extremidades da barra. 
 
* Para barra homogênea (E constante); seção transversal constante (A constante); Carga 
nas extremidades da barra. 
 
 
Definições 
 
• EA é a “rigidez” axial da barra 
 
• 1 L
AE
 é a “flexibilidade” da barra: é a deformação decorrente de uma carga unitária 
 
• 1 EA
L
 é a “rijeza” da barra: é a força necessária para produzir uma deformação unitária 
 
 
Obs: Havendo variações de cargas, seção transversal ou propriedades dos materiais, fica-se 
com a seguinte equação: 
 
∑=
i ii
ii
EA
LPδ ; 
 
Onde Pi, Li, Ai e Li são constantes dentro de cada elemento 
 
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Exemplo: 
 
500 KN 
 
* E = 200Gpa = 200 .109 Pa 
* Barra DC: Pdc = 200KN; A = 200mm² 
 
* Barra BC: Pbc = (200-300)KN = -100KN; A = 600mm² 
 
* Barra AB: Pab = (-100+500)KN = 400KN; A = 600mm² 
 
 
Solução: 
 
3 3 3
3
6 9 6 9 6 9
200.10 x0,4 ( 100.10 )x0,3 400.10 x0,3 2,75.10 2,75
200.10 x200.10 600.10 x200.10 600.10 x200.10
m mδ −− − −−= + + = = m 
 
 
 
 
Problema Resolvido 
 
 
 
 
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* Haste AB: Alumínio; A= 500mm²; E = 
70.109 Pa 
 
* Haste CD: Aço; A= 600mm²; E = 
200.109 Pa 
 
* Determinar: δB, δD, δE 
Solução: 
 
 
Forças internas e externas 
 
 
0AM =∑ ∴ RC x 0,2 + 30 x 0,6 = 0 ∴ RC = - 90 KN; FCD = 90 KN (tração) 
0CM =∑ ∴ RA x 0,2 - 30 x 0,4 = 0 ∴ RA = 60 KN; FAB = -60 KN (compressão). 
 
* Deslocamento em B: 
3
6
6 9
60.10 x0,3 514.10 0,514
500 10 x70.10B
m m
x
δ −−−= = − = − m 
* Deslocamento em D: 
3
6
6 9
90.10 x0,4 300.10 0,3
600.10 x200.10D
m mδ −−= = m= 
 
* Deslocamento em B: 
 
 
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mmxxx
x
x 7,73)200(3,0514,0200
3,0
514,0 =∴−=∴−= 
mm
x
x
x
x
E
E 928,1
7,73
)7,73400(3,0)400(3,0400
3,0
=+=+=∴+= δδ 
 
 
 
 
Problemas estaticamente indeterminados 
 
Nos casos em que as equações de equilíbrio fornecidas pela Estática não são suficientes 
para a determinação de todas as ações e reações das barras, tem-se uma estrutura 
“estaticamente indeterminada”. Neste caso as forças e as reações das barras só poderão ser 
calculadas se as deformações forem levadas em conta. 
 
Considere a figura abaixo: 
 
RA 
RB 
 (a) 
• Do equilíbrio estático tem-se apen
BR ? 
 
 
• Existem 2 métodos para a determin
 
 
Resistência dos Mate
=
 (b) 
 
 
 
as A BR R P+ =
ação das reaçõe
riais – Prof. Né
 
RA 
+
 (c) 
, mas quais são os valores de AR e 
s: flexibilidade e rigidez 
lvio Dal Cortivo 24
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Método da flexibilidade: 
 
a) Considere umas das reações como sendo redundante estática (no caso, RA). Esta, se 
removida, deixará a estrutura estável e estaticamente determinada. 
b) Verifique o efeito de “P” no ponto “A” da estrutura livre: 
PA
Pb
EA
δ = 
Obs.: A figura (b) tem por objetivo calcular o deslocamento no ponto “A” devido à 
carga “P” 
c) Analise o efeito da redundante “RA” no deslocamento de “A”: 
RA
A
A
R L
EA
δ = 
Obs.: A figura (c) tem por objetivo o cálculo do deslocamento no ponto “A” devido à 
reação “RA” 
d) Pela compatibilidade, 
P R PA AA A A AR
δ δ δ δ= − ∴ = ou 0
P R PA AA A A A AR
δ δ δ δ δ= + = ∴ = − 
e) Assim A A
R L PbR
EA EA L
= ∴ =Pb 
f) Da Estática : ; 0=Σ yF A BR R P+ = ∴ 
( )
B A B
Pb PL Pb P L b Pa PaR P R P R
L L L L
− −= − = − = = = ∴ =
L
 
 
 
Método da rigidez: 
 
(a) Considere o ponto “C” como junção das barras AC e BC 
 
(b) Tome os deslocamentos δC como sendo iguais para as duas barras (compatibilidade) 
 
(c) Como 
AE
bR
AE
aR BA
c ==δ , então: cA a
EAR δ= e cB b
EAR δ= → se 1Cδ = , então AR e 
BR são as forças necessárias para que haja um deslocamento unitário 
 
(d) Estude o equilíbrio do ponto “C” 
 
 
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→ PRR BA =+ ∴ Pb
EA
a
EA
cc =+ δδ 
 
(e) Tem-se finalmente: c
Pab
EAL
δ = ; 
L
PbRA = e L
PaRB = 
 
 
 
Exemplo: Determinar as reações de apoio para o caso da figura abaixo 
 
 
 RA 
RB 
 
• Solução pelo método da flexibilidade 
 
 
A A
D
C C
K
B B
Resistência dos M
 (a) 
RB 
 RB 
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 (b) (c) 
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Solução figura (b): 
 
 
 
 
 
 A 
 
 
 
 
 
 
* Barra BK: PBK = 0 KN; ABK = 400mm²; LBK = 150mm 
 
* Barra KC: PKC = 600 KN; AKC = 400mm²; LKC = 150mm 
 
* Barra CD: PCD = 600 KN; ACD = 250mm²; LCD = 150mm 
 
* Barra DA: PDA= (600+300) KN = 900 KN; ADA = 250mm²; LDA = 150mm 
D 
C 
K 
B 
 
3 3 3 3 3 3
6 6 6
600.10 x150.10 600.10 x150.10 900.10 x150.10 1,125.100
400.10 250.10 250.10P P
i i
B B
i i i
PL
A E E E E
δ δ
− − −
− − −= ∴ = + + + =∑ 9E
 
 
 
Solução da figura (c): 
 
 
 
 
 
3 3
6 6
x300.10 x300.10 1, 95.10
400.10 250.10RB
3
B B B
B
R R
E E
δ
− −
− −= + = RE
 
 
E
R
E
B10.95,110.125
39
∴=,1
 
 
 
 
 
 A 
 
 
* Barra BC: PBC = RB; ABC = 400mm²; LBC = 300mm 
 
* Barra CA: PCA = RB; ACA = 250mm²; LCA = 300mm 
 
 
C 
 
 
 B 
 
 RB 
 
 
 
 
Resistê
KNRB 57710.95,1
10.125,1
3
9
==
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Compatibilidade: 
 
0
P R P R P R P RB B BB B B B B B B B B B
δ δ δ δ δ δ δ δ δ= + = ∴ = − ∴ = − ∴ =
Da estática: 
Obs: a deformação total da barra nas 
extremidades é zero, mas a barra se 
deforma internamente sob o efeito dos 
carregamentos e das restrições de apoio 
 
 0VF =∑
RA – 300 – 600 + RB = 0 
RA = 300 + 600 – RB = 900 – 577 = 323KN 
 
. 
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Problemas envolvendo variações de tempe
 
 
LTT )..(∆= αδ , onde: α é o coeficiente de dilatação térmica; 
 
∆T = (Tf – T0) é a variação de temperatura; 
 
εT é a deformação térmica específica: 
 
 TLTL
L TTT
T
T ∆=∴∆==∴= αεαεδδε )(
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
• Em barras com restrições aos deslocamentos surgem tensões térmicas 
 
 
0
B B
B B
B T R T R
T R T R
δ δ δ δ δ
δ δ δ δ
= + = ∴ = − ∴
= − ∴ =
 
 
 
Exemplo: Calcular a tensão té
 
 
 
Resistência d
rmica normal média na barra abaixo: 
Dados: 
 
* G = 200GPa
 
* α = 12.10-6 
* E = 200Gpa
* Ti = 60 oF, 
* °C = 3
1,8
F° −
os Materiais – Prof. Nélvio D
ratura 
 
; 
/ °C 
 
Tf = 120 oF 
 2
al Cortivo 29
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Solução: 
 
Ti = 15,6 oC e Tf = 48,9 oC ; ⇒ ∆ 33,3oT C=
 
 
* Equilíbrio: RA + RB = 0 ∴ RA = - RB ; 
* Compatibilidade: δT = δRA ; 
 
δT = α. ∆T.L; 
 
 
 
* Tensão normal média: 
 
 MPa
A
F 80
10.613,1
900.12
4 === −σ
. .A ARA
R L R LT L
EA EA
δ α= ∴ ∆ =
3 4. . 12x33,3x200.10 x1,613.10 12,9AR T EA KNα −= ∆ = =
 
 
 
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