AP1 PreCalculoEng 2015 2 gabarito CEDERJ

Prévia do material em texto

Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
AP1 – PRE´-CA´LCULO PARA ENGENHARIA – 19/09/2015
Nome: Matr´ıcula:
Po´lo: Data:
Atenc¸a˜o!
• Identifique a Prova, colocando Nome, Matr´ıcula, • O desenvolvimento das questo˜es pode ser a la´pis. No entanto,
Polo e Data; as respostas devera˜o estar necessariamente a` caneta;
• E´ expressamente proibido o uso de calculadoras; • E´ expressamente proibido o uso de corretivo nas respostas.
• Devolver a prova e a folha de respostas ao res-
ponsa´vel;
Questa˜o 1 [2,0 pontos]
Determine a, b, c, d sendo p(x) = x2 + ax+ b e q(x) = cx2 + x+ d sabendo que:
• 0 e´ uma das ra´ızes de p;
• grau(p(x) + q(x)) = 1;
• as ra´ızes de p(x)− q(x) sa˜o 0 e 1.
Soluc¸a˜o:
Por hipo´tese, 0 e´ raiz de p(x), assim, p(0) = 02 + a · 0 + b = 0. Logo, b = 0.
Por outro lado, p(x)+ q(x) = (c+1)x2+(a+1)x+(b+d). Como o grau do polinoˆmio p(x)+ q(x)
e´ igual a 1, temos que c+ 1 = 0. Portanto, c = −1.
Ale´m disso, p(x) − q(x) = (1 − c)x2 + (a − 1)x + (b − d). Como b = 0, c = −1 e as ra´ızes de
p(x) − q(x) sa˜o 0 e 1, temos que 0 = p(0) − q(0) = b − d e 0 = p(1) − q(1) = 2 + a − 1. Logo,
d = 0 e a = −1. Portanto, a = −1, b = 0, c = −1 e d = 0.
Questa˜o 2 [2,0 pontos] Sabe-se que o custo C para produzir x unidades de certo produto e´ dado
por: C(x) = x2 − 50x+ 2000. Nessas condic¸o˜es, calcule:
a. a quantidade de unidades produzidas para que o custo seja m´ınimo.
b o valor m´ınimo do custo.
Soluc¸a˜o:
a. A quantidade de unidades produzidas para o custo m´ınimo e´ dada pelo x do ve´rtice, ou seja,
xv = − b2a = −
(−50
2·1
)
= 25.
b. Para determinar o valor m´ınimo, basta substituir a quantidade obtida no item anterior na expressa˜o
C(25) = 252 − 50 · 25 + 2000 = 1375.
Logo, o custo m´ınimo e´ de R$1375, 00.
Questa˜o 3 [2,0 pontos]
Considere E(x) =
1 + 1
x+1
x− 4
x
. Fac¸a o que se pede.
a. [0,8] Simplifique E(x).
CA´LCULO 1 AP1 2
b. [1,2] Estude o sinal da expressa˜o E(x) =
1 + 1
x+1
x− 4
x
Soluc¸a˜o:
a.
1 +
1
x+ 1
x− 4
x
=
x+1
x+1
+
1
x+ 1
x2
x
− 4
x
=
x+ 2
x+ 1
x2 − 4
x
=
x+ 2
x+ 1
· x
x2 − 4 =
(x+ 2)
(x+ 1)
· x
(x− 2)(x+ 2) =
x
(x+ 1)(x− 2)
b. Pelo item (a), E(x) =
x
(x+ 1)(x− 2) .
Os nu´meros que zeram cada uma das parcelas sa˜o: −1, 0, 2.
Ordenando esses nu´meros: −1 < 0 < 2.
Repare que para x = −1 e x = 2, o denominador se anula, e, por isso, a expressa˜o na˜o esta´ definida.
Logo, temos a seguinte tabela de sinais.
x < −1 −1 < x < 0 0 < x < 2 x > 2
x − − + +
x+ 1 − + + +
x− 2 − − − +
x
(x+ 1)(x− 2) − + − +
Observando a tabela,
E(x) =
x
(x+ 1)(x− 2) > 0 em (−1; 0) ∪ (2;+∞)
E(x) =
x
(x+ 1)(x− 2) = 0, para x = 0
E(x) =
x
(x+ 1)(x− 2) < 0 em (−∞;−1) ∪ (0; 2)
E(x) =
x
(x+ 1)(x− 2) na˜o esta´ definida para x = −1 e x = 2.
Questa˜o 4 [ 2,0 pontos]
Considere a equac¸a˜o
√
2|x+ 1| − 1 = x+ 1.
Fac¸a o que se pede:
a) [1,0] Determine os valores reais de x para os quais existe
√
2|x+ 1| − 1, no conjunto dos nu´meros
reais.
b) [1,0] Resolva a equac¸a˜o.
Soluc¸a˜o:
a) Para que a expressa˜o
√
2|x+ 1| − 1 possa ser calculada e´ preciso que 2|x+ 1| − 1 ≥ 0.
Mas, 2|x+ 1| − 1 ≥ 0 ⇔ 2|x+ 1| ≥ 1 ⇔ |x+ 1| ≥ 1
2
⇔ x ≥ −1
2
ou x ≤ −3
2
.
Logo, x ∈ (−∞,−3
2
) ∪ (−1
2
,+∞).
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
CA´LCULO 1 AP1 3
b) Para resolver a equac¸a˜o, ale´m de 2|x+1|−1 ≥ 0 , x+1 ≥ 0, tendo em vista que na equac¸a˜o acima,
o lado esquerdo e´ raiz quadrada. Logo, a igualdade e´ satisfeita para
x ∈ ((−∞;−3
2
] ∪ [−1
2
; +∞) ∩ [−1;+∞), ou seja, para todo x ∈ [−1
2
; +∞).
Resolvendo a equac¸a˜o:√
2|x+ 1| − 1 = x + 1 ⇒ (
√
2|x+ 1| − 1)2 = (x + 1)2 ⇒ 2|x + 1| − 1 = (x + 1)2 =
x2 + 2x+ 1
Se x+ 1 ≥ 0, enta˜o |x+ 1| = x+ 1.
2|x+1|−1 = x2+2x+1⇒ 2(x+1)−1 = x2+2x+1⇒ 2x+2−1 = x2+2x+1⇒ x2 = 0⇒ x = 0
Como x = 0 ∈ [−1
2
; +∞), temos que 0 e´ uma poss´ıvel soluc¸a˜o da equac¸a˜o.
Como elevamos a equac¸a˜o ao quadrado, precisamos verificar se, de fato, x1 = 0 e´ soluc¸a˜o da equac¸a˜o
original.
Testanto x1 = 0 na equac¸a˜o original.√
2|0 + 1| − 1 = √1 = 1 = 0 + 1. Logo, x = 0 e´ soluc¸a˜o da equac¸a˜o
√
2|x+ 1| − 1 = x+ 1.
Se x+ 1 < 0, enta˜o |x+ 1| = −(x+ 1). Como a equac¸a˜o pode ser resolvida para x ∈ [−1
2
; +∞),
neste caso, a equac¸a˜o na˜o possui soluc¸a˜o.
Logo, o conjunto soluc¸a˜o da equac¸a˜o
√
2|x+ 1| − 1 = x+ 1 e´ 0.
Questa˜o 5 [2,0 pontos]
Fac¸a o que se pede.
a) [1,0 pt] Determine a equac¸a˜o da reta r que passa pelo ponto A = (−1, 3) e pelo ponto B, onde
B e´ o ponto sime´trico do ponto C = (2,−2) com relac¸a˜o ao eixo x.
b) [1,0 pt] Determine a equac¸a˜o da reta s, que passa pelo ponto A = (−1, 3) e e´ perpendicular a`
reta y + 2x+ 3 = 0.
Soluc¸a˜o:
a) Como o ponto B e´ sime´trico do ponto C = (2,−2) em relac¸a˜o ao eixo x, temos que B = (2, 2).
O coeficeinte angular da reta que passa pelos pontos A = (−1, 3) e B = (2, 2) e´
mr =
2− 3
2− (−1) = −
1
3
.
Logo, y − 3 = −1
3
(x− (−1))⇒ y = −x
3
+ 8
3
e´ a equac¸a˜o da reta que passa pelos pontos A e B.
b) Como a reta s e´ perpendicular a` reta de equac¸a˜o y = −2x + 3, temos que o coeficiente angular
da reta s e´: ms = − 1−2 =
1
2
.
Assim a equac¸a˜o da reta s e´ dada por y − 3 = 1
2
(x− (−1))⇒ y = x
2
+
1
2
+ 3 =
x
2
+
7
2
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ