9 Cálculo Numérico - Método de Gauss Jacobi

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CÁLCULO NUMÉRICO 
- EAMB018 / ECIV019 - 
Período Letivo: 2013-1 
Carga Horária: 60h 
Horários: 2ª feira (11:10 – 12:50) 
 4ª feira (11:10 – 12:50) 
Professor: Eduardo Toledo de Lima Junior 
 limajunior@lccv.ufal.br 
REVISÃO DOS MÉTODOS DIRETOS 
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Eliminação de Gauss 
 
 
Escalonamento sem pivoteamento 
 
• Repetir da primeira até a penúltima coluna; 
• Repetir para as linhas abaixo da diagonal principal; 
• Aplicar operação elementar com o objetivo de zerar o 
elemento 
da linha corrente abaixo da diagonal principal; 
• Alterar linha da matriz dos coeficientes; 
• Alterar linha do vetor das constantes. 
REVISÃO DOS MÉTODOS DIRETOS 
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Eliminação de Gauss 
 
 
Escalonamento com pivoteamento 
 
• Repetir da primeira até a penúltima coluna; 
• Verificar a necessidade de se fazer o pivoteamento; 
• Procurar uma linha adequada; 
• No caso de encontrar, fazer a permuta das linhas; 
• Verificar a necessidade de se fazer o escalonamento da 
coluna corrente; 
• Repetir para as linhas abaixo da diagonal principal; 
• Aplicar operação elementar com o objetivo de zerar o 
elemento da linha corrente abaixo da diagonal principal; 
• Alterar linha da matriz dos coeficientes; 
• Alterar linha do vetor das constantes. 
MÉTODOS ITERATIVOS 
4 
Visão geral: 
 
 
 Geram uma seqüência de vetores {x}k, a partir de uma aproximação 
inicial {x}0. 
 
Seja o sistema linear Ax=b, onde: 
• A: matriz dos coeficientes, nxn; 
• b: vetor de termos constantes, nx1; 
• x: vetor de incógnitas, nx1. 
 
Converte-se para um sistema do tipo x = Cx + g, sendo 
• C é uma matriz nxn; 
• g é um vetor nx1. 
MÉTODOS ITERATIVOS 
5 
Visão geral: 
 
 
 Sequência de convergência: 
 
MÉTODOS ITERATIVOS 
6 
Visão geral: 
 
 
 Critério de parada para os métodos iterativos: 
 
• xk seja suficiente próximo de xk-1 
 
• Número máximo de iterações. 
MÉTODOS ITERATIVOS: GAUSS-JACOBI 
7 
Método de Gauss-Jacobi 
 
 
Idéia principal: 
 
Cada nova aproximação é calculada a partir da 
respectiva equação do sistema, utilizando-se do vetor 
aproximação da iteração anterior. 
MÉTODOS ITERATIVOS: GAUSS-JACOBI 
8 
Método de Gauss-Jacobi 
 
 Isolando-se cada termo do seguinte sistema: 
MÉTODOS ITERATIVOS: GAUSS-JACOBI 
9 
Método de Gauss-Jacobi 
 
 
Generalizando-se: 
MÉTODOS ITERATIVOS: GAUSS-JACOBI 
10 
Método de Gauss-Jacobi 
 
 
Aplicando-se a idéia de procedimento iterativo: 
MÉTODOS ITERATIVOS: GAUSS-JACOBI 
11 
Método de Gauss-Jacobi 
 
 
Exemplo: 
= = 
MÉTODOS ITERATIVOS: GAUSS-SEIDEL 
12 
Método de Gauss-Seidel 
 
 
Idéia principal: 
 
Cada coordenada do vetor correspondente à nova 
aproximação é calculada a partir da respectiva 
equação do sistema, utilizando-se as coordenadas do 
vetor aproximação da iteração anterior, quando essas 
ainda não foram calculadas na iteração corrente, e as 
coordenadas do vetor aproximação da iteração 
corrente, no caso contrário. 
MÉTODOS ITERATIVOS: GAUSS-JACOBI 
13 
Método de Gauss-Seidel 
 
 Isolando-se cada termo do seguinte sistema: 
MÉTODOS ITERATIVOS: GAUSS-JACOBI 
14 
Método de Gauss-Seidel 
 
 
Generalizando-se: 
MÉTODOS ITERATIVOS: GAUSS-JACOBI 
15 
Método de Gauss-Seidel 
 
 
Exemplos: 
= 
= 
= 
= 
MÉTODOS ITERATIVOS: GAUSS-SEIDEL 
16 
Condição de suficiência para convergência dos métodos iterativos: 
 
 
Sempre converge?? 
 
Ao se utilizar um método iterativo para solucionar um 
sistema de equações lineares deve-se tomar cuidado pois, 
dependendo do sistema em questão, e da estimativa 
inicial escolhida, o método pode não convergir para a 
solução do sistema. 
 
Utilizemos os critérios!! 
Basta atender a pelo menos um dos critérios existentes 
para que a convergência ocorra independentemente da 
aproximação inicial escolhida. 
MÉTODOS ITERATIVOS: GAUSS-SEIDEL 
17 
Critérios de convergência: 
 
 
Calcula-se valores para as, onde 1 <= s <= n 
 
O critério é satisfeito quando o valor máximo de todos os as for 
inferior a 1 (Obs.: se as_max for igual a 1 o critério não é satisfeito) 
 
Critério das linhas: 
MÉTODOS ITERATIVOS: GAUSS-SEIDEL 
18 
Critérios de convergência: 
 
 
Critério das colunas: 
 
 
 
 
 
Critério das Sassenfeld: 
 
MÉTODOS ITERATIVOS: GAUSS-SEIDEL 
19 
Critérios de convergência: 
 
 Pode-se permutar as linhas da matriz dos coeficientes, de forma 
que a nova disposição atenda ao(s) critério(s) 
 
Ou seja, apesar do fato de que a ordem das equações não 
modifica a solução exata do sistema, as sequências de solução 
geradas pelos métodos iterativos dependem da disposição das 
equações 
 
As condições apresentadas são suficientes, mas não necessárias. 
Logo, pode haver convergência em sistemas que não obedeçam 
aos critérios 
 
Se o critério de Sassenfeld é atendido, o das linhas também o será 
 
Quanto menor o valor do parâmetro de Sassenfeld, mais rápida 
será a convergência 
MÉTODOS ITERATIVOS: GAUSS-SEIDEL 
20 
Critérios de convergência: 
 
 
Exemplos critério das linhas: 
= 
= 
2.25 
1.4 
3 
MÉTODOS ITERATIVOS 
21 
Exercícios extra-sala: 
 
 
Fazer as implementações dos métodos apresentados 
na aula de hoje.