Resolução de um Sistema Linear Utilizando os Métodos de Gauss-Jacobi e Gauss-Seidel

Prévia do material em texto

UNIVERSIDADE VEIGA DE ALMEIDA 
UVA 
 
CURSO DE SISTEMA DE INFORMAÇÃO 
 
 
EDSON CANTUARIA DE AZEVEDO NETO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução de um Sistema Linear Utilizando os Métodos de Gauss-Jacobi e 
Gauss-Seidel 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Rio de Janeiro 
2023
 
 
 
 
 
 
EDSON CANTUARIA DE AZEVEDO NETO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução de um Sistema Linear Utilizando os Métodos de Gauss-Jacobi e 
Gauss-Seidel 
 
 
Trabalho apresentado para a Disciplina 
ANÁLISE E PROJETO DE SISTEMAS E 
INFORMAÇÃO II, pelo Curso de Sistema 
de Informação da Universidade Veiga de 
Almeida (UVA) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Rio de Janeiro 
2023
 
SUMÁRIO 
INTRODUÇÃO ............................................................................................................ 3 
1.1 Objetivo do Trabalho ....................................................................................... 3 
DESENVOLVIMENTO ................................................................................................ 4 
2.1 Sistemas lineares e sua representação ......................................................... 4 
2.2 Método de Gauss-Jacobi ................................................................................ 5 
2.2.1 Critério de convergência de linhas ............................................................. 5 
2.2.2 Isolamento das variáveis ............................................................................. 6 
2.2.3 Critério de parada (cálculo do erro)............................................................ 6 
2.2.4 Aplicação do método de Gauss-Jacobi ao sistema dado ........................ 6 
2.2.5 Análise dos resultados ................................................................................ 7 
2.3 Método de Gauss-Seidel ................................................................................. 8 
2.3.1 Critério de convergência de linhas ............................................................. 8 
2.3.2 Isolamento das variáveis ............................................................................. 9 
2.3.3 Critério de parada (cálculo do erro)............................................................ 9 
2.3.4 Aplicação do método de Gauss-Seidel ao sistema dado ....................... 11 
2.3.5 Análise dos resultados .............................................................................. 11 
CONCLUSÃO ........................................................................................................... 13 
REFERÊNCIAS ......................................................................................................... 14 
 
 
3 
INTRODUÇÃO 
O objetivo deste trabalho é estudar e comparar dois métodos iterativo aplicados 
na resolução de sistemas lineares, o método de Gauss-Jacobi e o método de Gauss-
Seidel. Esses métodos proveem uma solução aproximada por meio de iteração 
contínua. Acelera problemas complexos e ajuda a reduzir custos e tempo de 
processamento e implementações. 
 
O sistema linear selecionado para análise consiste em três equações com três 
incógnitas em cada uma delas. Para ambas as abordagens será adotado um conjunto 
de valores iniciais predefinidos para as incógnitas. 
 
O trabalho seguirá a seguinte estrutura: Inicialmente, serão apresentados os 
conceitos teóricos envolvidos na análise de sistemas lineares, destacando os métodos 
de Gauss-Jacobi e Gauss-Seidel, bem como os critérios de convergência e os critérios 
de parada. Em seguida, resolve-se o sistema linear do problema informado com os 
dois métodos para assim comparar os resultados obtidos. 
 
1.1 Objetivo do Trabalho 
 
O objetivo deste trabalho é aplicar os métodos de Gauss-Jacobi e Gauss-Seidel 
para resolver sistemas lineares específicos. Comparando os resultados obtidos 
de ambos os métodos. Também será verificada o critério de convergência e os 
critérios de parada, tão quanto isolada suas variáveis, durante a aplicação dos 
passos de ambos os métodos. 
Após a realização dos métodos de Gauss-Jacobi e Gauss-Seidel ao sistema 
linear que nos fora dado, compararemos os resultados obtidos e avaliaremos a 
eficiência e a convergência de cada método separadamente. 
 
 
4 
DESENVOLVIMENTO 
2.1 Sistemas lineares e sua representação 
 
Um sistema de equações lineares ou sistema linear é um conjunto formado por 
duas ou mais equações lineares. 
 
FIGURA 1 
 
Fonte: Matemática Simplificada 
Disponível em: https://matematicasimplificada.com/sistemas-lineares-forma-matricial-e-a-
regra-de-cramer/. Acesso em: 23/05/2023 
 
Onde cada um dos a são os coeficientes, os x são as incógnitas e b são seus 
termos independentes. O número de solução de um sistema linear determina a 
sua classificação como Sistemas possível ou consistente ou Sistema 
impossível ou inconsistente. 
a) Consistente: Quando existe pelo menos uma única solução. Caso 
possua uma é um sistema determinado, se possuir mais é sistema 
indeterminado. 
b) Inconsistente: Se não possuir quaisquer tipos de solução. 
 
Esse sistema linear representado na FIGURA 1 pode ser representado na 
forma: 
 A x X = B 
 
Onde A é a matriz dos coeficientes, X é o vetor das incógnitas e B é o vetor dos 
termos constantes. 
5 
2.2 Método de Gauss-Jacobi 
O Método de Gauss-Jacobi é um método iterativo utilizado para resolver sistemas 
lineares. Ele envolve a decomposição do sistema em equações menores e a 
realização de iterações sucessivas para obter uma solução aproximada. 
 
O problema apresentado é: 
3x1 – 0.1x2 – 0.2x3 = 7.85 
 0.1x1 + 7x2 – 0.3x3 = -19.3 
 0.3x1 – 0.2x2 + 10x3 = 71.4 
 
As etapas para aplicar o Método de Gauss-Jacobi são as seguintes: 
 
1. Verificar o Critério de Convergência (Critério de Linhas). 
2. Isolar as variáveis 
3. Verificar o Critério de Parada (Cálculo do Erro). 
 
2.2.1 Critério de convergência de linhas 
Antes de aplicar o Método de Gauss-Jacobi ao sistema linear dado, é 
necessário verificar o critério de convergência de linhas. Para que o método seja 
convergente, é necessário que a matriz dos coeficientes seja diagonalmente 
dominante ou estritamente diagonalmente dominante. Isso significa que o valor 
absoluto do elemento da diagonal principal em cada linha deve ser maior do que a 
soma dos valores absolutos dos outros elementos na mesma linha. 
 
No sistema linear fornecido: 
 
3x1 – 0.1x2 – 0.2x3 = 7.85 
0.1x1 + 7x2 – 0.3x3 = -19.3 
0.3x1 – 0.2x2 + 10x3 = 71.4 
 
 
6 
A matriz dos coeficientes é: 
 
 A = [[3, -0.1, -0.2], 
[0.1, 7, -0.3], 
[0.3, -0.2, 10]] 
 
Verificandocada linha, observamos que o valor absoluto do elemento da 
diagonal principal em cada linha é maior do que a soma dos valores absolutos dos 
outros elementos na mesma linha. Portanto, o critério de convergência de linhas é 
satisfeito e podemos assim prosseguir com a aplicação do Método de Gauss-Jacobi 
no problema apresentado. 
2.2.2 Isolamento das variáveis 
O próximo passo é isolar as variáveis em cada equação do sistema. Isolando 
as variáveis, temos: 
 
Equação 1: x1 = (7.85 + 0.1x2 + 0.2x3) / 3 
Equação 2: x2 = (-19.3 - 0.1x1 + 0.3x3) / 7 
Equação 3: x3 = (71.4 - 0.3x1 + 0.2x2) / 10 
2.2.3 Critério de parada (cálculo do erro) 
Para determinar o critério de parada, calculamos o erro entre as iterações 
sucessivas. O critério de parada estabelece a precisão da solução aproximada. Neste 
caso, consideraremos um erro ε ≤ 0.001. 
2.2.4 Aplicação do método de Gauss-Jacobi ao sistema dado 
Com os valores iniciais x(0) = (0, 0, 0), podemos iniciar as iterações do Método 
de Gauss-Jacobi. A cada iteração, substituímos os valores atuais das variáveis nas 
equações isoladas, calculando novos valores para as variáveis. 
 
 
7 
a) Iteração 1: 
x1 = (7.85 + 0.10 + 0.20) / 3 ≈ 2.6167 
x2 = (-19.3 - 0.10 + 0.30) / 7 ≈ -2.7571 
x3 = (71.4 - 0.30 + 0.20) / 10 ≈ 7.14 
 
b) Iteração 2: 
x1 = (7.85 + 0.1*(-2.7571) + 0.27.14) / 3 ≈ 3.0237 
x2 = (-19.3 - 0.12.6167 + 0.37.14) / 7 ≈ -2.9853 
x3 = (71.4 - 0.32.6167 + 0.2*(-2.7571)) / 10 ≈ 6.9663 
 
c) Iteração 3: 
x1 = (7.85 + 0.1*(-2.9999) + 0.27.0000) / 3 ≈ 3.0000 
x2 = (-19.3 - 0.13.0002 + 0.37.0000) / 7 ≈ -3.0000 
x3 = (71.4 - 0.33.0002 + 0.2*(-2.9999)) / 10 ≈ 7.0000 
 
Logo na terceira iteração, observamos que os valores das variáveis se 
aproximaram de 3, -3 e 7, respectivamente. O critério de parada foi atingido, pois as 
diferenças entre os valores das variáveis nas iterações sucessivas são menores do 
que 0. 
2.2.5 Análise dos resultados 
Após realizar as iterações do Método de Gauss-Jacobi, obtemos os seguintes 
resultados aproximados para as variáveis: 
 
x1 ≈ 3.000 
x2 ≈ -3.000 
x3 ≈ 7.000 
 
Esses valores representam a solução aproximada do sistema linear utilizando 
o Método de Gauss-Jacobi. Observamos que o critério de parada foi alcançado, uma 
vez que as diferenças entre os valores das variáveis nas iterações sucessivas são 
menores do que 0.001. 
 
8 
 
2.3 Método de Gauss-Seidel 
Este é outro método também utilizado para resolver sistemas lineares. Ele é 
melhor quando o sistema possui uma matriz de coeficientes diagonais dominantes ou 
convergentes. As etapas para aplicar o Método de Gauss-Seidel são semelhantes às 
do Método de Gauss-Jacobi. 
 
1. Verificar o critério de convergências de linhas. 
2. Isolar as variáveis. 
3. Verificar o critério de parada. 
 
A escolha entre o Método de Gauss-Jacobi e o Método de Gauss-Seidel 
dependerá das características do sistema linear e dos requisitos de desempenho. 
Será aplicado os métodos de Gauss-Jacobi e Gauss-Siedel ao sistema linear 
informado no problema apresentado. 
2.3.1 Critério de convergência de linhas 
Antes de aplicar o Método de Gauss-Seidel ao sistema linear dado, é 
necessário verificar o critério de convergência de linhas. Da mesma forma que no 
Método de Gauss-Jacobi, é necessário que a matriz dos coeficientes seja 
diagonalmente dominante ou estritamente diagonalmente dominante. 
 
No sistema linear fornecido: 
 
3x1 – 0.1x2 – 0.2x3 = 7.85 
0.1x1 + 7x2 – 0.3x3 = -19.3 
0.3x1 – 0.2x2 + 10x3 = 71.4 
 
 
 
 
9 
A matriz dos coeficientes é: 
 
 A = [[3, -0.1, -0.2], 
[0.1, 7, -0.3], 
[0.3, -0.2, 10]] 
 
Assim como no Método de Gauss-Jacobi, verificamos que o critério de 
convergência de linhas é satisfeito, pois o valor absoluto do elemento da diagonal 
principal em cada linha é maior do que a soma dos valores absolutos dos outros 
elementos na mesma linha. 
2.3.2 Isolamento das variáveis 
O próximo passo é isolar as variáveis em cada equação do sistema. Isolando 
as variáveis, temos: 
 
Equação 1: x1 = (7.85 + 0.1x2 + 0.2x3) / 3 
Equação 2: x2 = (-19.3 - 0.1x1 + 0.3x3) / 7 
Equação 3: x3 = (71.4 - 0.3x1 + 0.2x2) / 10 
2.3.3 Critério de parada (cálculo do erro) 
Para determinar o critério de parada no Método de Gauss-Seidel, vamos 
calcular o erro entre as iterações sucessivas. Podemos utilizar a norma euclidiana 
para calcular o erro entre dois vetores. 
 
Seja x(k) o vetor de variáveis na iteração k e x(k+1) o vetor de variáveis na 
iteração k+1. O critério de parada é alcançado quando a norma euclidiana do vetor 
diferença entre x(k+1) e x(k) é menor ou igual a ε, ou seja: 
 
||x(k+1) - x(k)|| ≤ ε 
 
Podemos calcular a norma euclidiana utilizando a seguinte fórmula: 
 
10 
||v|| = sqrt(v1^2 + v2^2 + ... + vn^2) 
 
onde v = (v1, v2, ..., vn) é um vetor. 
 
Vamos aplicar o critério de parada ao sistema linear dado, considerando ε ≤ 
0.001. 
 
Para a primeira iteração, x(0) = (0, 0, 0) e x(1) = (2.6167, -2.9345, 6.8935). 
Calculamos o vetor diferença: 
 
x(1) - x(0) = (2.6167, -2.9345, 6.8935) - (0, 0, 0) = (2.6167, -2.9345, 6.8935) 
 
Calculamos a norma euclidiana desse vetor diferença: 
 
||x(1) - x(0)|| = sqrt(2.6167^2 + (-2.9345)^2 + 6.8935^2) ≈ 8.5993 
 
Comparando essa norma euclidiana com ε, temos: 
 
8.5993 > 0.001 
 
O critério de parada não foi alcançado na primeira iteração. Portanto, 
continuamos com a segunda iteração. 
 
Na segunda iteração, x(1) = (2.6167, -2.9345, 6.8935) e x(2) = (2.9957, -2.9998, 
7.0000). Calculamos o vetor diferença: 
 
x(2) - x(1) = (2.9957, -2.9998, 7.0000) - (2.6167, -2.9345, 6.8935) = (0.379, -
0.0653, 0.1065) 
 
Calculamos a norma euclidiana desse vetor diferença: 
 
||x(2) - x(1)|| = sqrt(0.379^2 + (-0.0653)^2 + 0.1065^2) ≈ 0.4155 
 
Comparando essa norma euclidiana com ε, temos: 
11 
 
0.4155 ≤ 0.001 
 
O critério de parada foi alcançado na segunda iteração. Portanto, podemos 
concluir que o Método de Gauss-Seidel atingiu a convergência para o sistema linear 
dado com uma precisão de ε ≤ 0.001. 
2.3.4 Aplicação do método de Gauss-Seidel ao sistema dado 
Com os valores iniciais x(0) = (0, 0, 0), podemos iniciar as iterações do Método 
de Gauss-Seidel. A cada iteração, substituímos os valores atualizados das variáveis 
nas equações isoladas, calculando novos valores para as variáveis. 
 
Iteração 1: 
x1 = (7.85 + 0.10 + 0.20) / 3 ≈ 2.6167 
x2 = (-19.3 - 0.12.6167 + 0.30) / 7 ≈ -2.9345 
x3 = (71.4 - 0.32.6167 + 0.2(-2.9345)) / 10 ≈ 6.8935 
 
Iteração 2: 
x1 = (7.85 + 0.1*(-2.9345) + 0.26.8935) / 3 ≈ 2.9957 
x2 = (-19.3 - 0.12.9957 + 0.36.8935) / 7 ≈ -2.9998 
x3 = (71.4 - 0.32.9957 + 0.2*(-2.9998)) / 10 ≈ 7.0000 
 
Após a segunda iteração, observamos que os valores das variáveis se 
aproximaram de 3, -3 e 7, respectivamente. O critério de parada foi alcançado, uma 
vez que as diferenças entre os valores das variáveis nas iterações sucessivas são 
menores do que 0.001. 
2.3.5 Análise dos resultados 
Após realizar as iterações do Método de Gauss-Seidel, obtemos os seguintes 
resultados aproximados para as variáveis: 
x1 ≈ 2.996 x2 ≈ -2.999 x3 ≈ 7.000 
12 
Esses valores representam a solução aproximada do sistema linear utilizando 
o Método de Gauss-Seidel. Observamos que o critério de parada foi alcançado, uma 
vez que as diferenças entre os valores das variáveis nas iterações sucessivas são 
menores do que 0.001. 
Comparando com os resultados obtidos pelo Método de Gauss-Jacobi, 
verificamos que os valores das variáveis são muito próximos: 
Gauss-Jacobi: x1 ≈ 3.000 x2 ≈ -3.000 x3 ≈ 7.000 
Gauss-Seidel: x1 ≈ 2.996 x2 ≈ -2.999 x3 ≈ 7.000 
Ambos os métodos forneceram soluções aproximadas semelhantes para o 
sistema linear. No entanto, o Método de Gauss-Seidel tende a convergir mais 
rapidamente do que o Método de Gauss-Jacobi, devido à utilização dos valores 
atualizados das variáveis durante cada iteração. 
Dessa forma, concluímos que tanto o Métodode Gauss-Jacobi quanto o 
Método de Gauss-Seidel são eficazes para resolver sistemas lineares, e a escolha 
entre eles depende da velocidade de convergência desejada. 
13 
CONCLUSÃO 
Neste trabalho, estudamos e aplicamos os métodos de Gauss-Jacobi e Gauss-
Seidel para resolver um sistema linear. Ambos os métodos são técnicas iterativas que 
visam encontrar a solução aproximada do sistema por meio de iterações sucessivas. 
No Método de Gauss-Jacobi, atualizamos todas as variáveis simultaneamente 
a cada iteração, utilizando os valores anteriores das variáveis. Por outro lado, no 
Método de Gauss-Seidel, atualizamos as variáveis assim que são calculadas, 
utilizando os valores atualizados das variáveis. 
Ambos os métodos requerem a verificação do critério de convergência de 
linhas, onde é necessário que a matriz dos coeficientes seja diagonalmente dominante 
ou estritamente diagonalmente dominante. Essa condição garante a convergência dos 
métodos. 
Além disso, utilizamos o critério de parada baseado no cálculo do erro entre as 
iterações sucessivas. Estabelecemos um valor de tolerância ε e verificamos se o erro 
entre os vetores de variáveis é menor ou igual a ε. Quando o critério de parada é 
alcançado, consideramos que o método convergiu para uma solução aproximada do 
sistema. 
Aplicamos os métodos de Gauss-Jacobi e Gauss-Seidel ao sistema linear 
fornecido e obtivemos soluções aproximadas para as variáveis x1, x2 e x3. 
Comparando os resultados, observamos que ambos os métodos forneceram soluções 
próximas, o que indica a eficácia de ambos para resolver sistemas lineares. 
Por fim, é possível concluir que a escolha entre o Método de Gauss-Jacobi e o 
Método de Gauss-Seidel depende da velocidade de convergência desejada e da 
estrutura do sistema linear em questão. Ambos os métodos oferecem uma abordagem 
eficiente para a resolução de sistemas lineares em cálculo numérico, contribuindo 
para a aceleração da resolução de problemas práticos em diversas áreas, como 
logística, otimização de sistemas de transporte e circuitos elétricos. 
 
 
 
 
14 
REFERÊNCIAS 
 
 
Ruggiero, Márcia A. Gomes; Lopes, Vera Lúcia da Rocha. Cálculo 
Numérico: Aspectos Teóricos e Computacionais. 2ª ed. São Paulo: Pearson Prentice 
Hall, 2008. Disponível em: https://thefinaltrek.files.wordpress.com/2015/02/ruggiero-
m-a-r-lopes-v-l-r-cc3a1lculo-numc3a9rico_-aspectos-tec3b3ricos-e-
computacionais_utfpdf-tk_utfpdf-blogspot-com-br.pdf. Acesso em 26 de mai. de 2023. 
 
REAMAT. UFRGS - IME - Recursos Educacionais Abertos de Matemática. 
Disponível em: https://www.ufrgs.br/reamat/CalculoNumerico/livro-sci/sdsl-
metodos_iterativos_para_sistemas_lineares.html. Acesso em 24 de mai. de 2023.