13 Cálculo Numérico - Método dos Mínimos Quadrados

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CÁLCULO NUMÉRICO
- EAMB018 / ECIV019 -
Período Letivo: 2013-1
Carga Horária: 60h
Horários: 2ª feira (11:10 – 12:50)
4ª feira (11:10 – 12:50)
Professor: Eduardo Toledo de Lima Junior
limajunior@lccv.ufal.br
INTERPOLAÇÃO E AJUSTE
• Interpolação
• Características ?
2
Revisando….
AJUSTE OU APROXIMAÇÃO
3
Introdução
• Não existe a necessidade da função passar pelos
pontos conhecidos!
• É utilizado quando:
– Quando se deseja extrapolar ou fazer previsões em
regiões fora do intervalo considerado
– Quando os dados tabelados são resultados de
experimentos, onde erros na obtenção destes
resultados podem influenciar a sua qualidade
AJUSTE OU APROXIMAÇÃO
4
Introdução
• Dada uma tabela de pontos pertencentes a um 
intervalo (a,b).
• Deseja-se encontrar uma função q(x) que melhor se 
aproxime desses pontos.
• Esse é um modelo dito linear, pois os coeficientes a 
determinar (a1, a2, ..., an) aparecem linearmente em 
q(x), embora as funções gk(x) possam ser não 
lineares
AJUSTE OU APROXIMAÇÃO
5
Introdução
• Como escolher a função gk(x)?
• Observa-se o gráfico dos pontos tabelados
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
-10
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
2.8
3
AJUSTE OU APROXIMAÇÃO
6
Como escolher a função g(x)?
• Essas funções baseiam-se
em fundamentos teóricos dos
experimentos que
forneceram os dados;
Lei de Hooke -> função linear
* Vale o conhecimento do
ENGENHEIRO, acerca das
leis físicas
MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS
• Baseia-se na idéia de minimizar o resíduo (erros) 
entre os pontos dados e a função de ajuste.
• No caso do MMQ o resíduo é dado por:
• Seu mínimo, portanto, é:
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Idéia geral
valor real
valor aproximado
MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS
• Quando de deseja ajustar uma equação linear (uma 
reta), devemos encontrar uma q(x) da seguinte 
forma:
• Nesse caso temos duas derivadas parciais:
• Assim temos duas equações e duas incógnitas, 
formando o sistema linear nas incógnitas a1 e a2
8
Ajuste linear
MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS
9
Ajuste linear: Exemplo
• Encontrar a melhor reta que ajusta os valores da 
tabela abaixo:
x F(x)
2 2
4 11
6 28
8 40
MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS
10
Ajuste linear: Exemplo
• Resultado:
𝑞(𝑥) = 6.55𝑥 − 12.5
MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS
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Ajuste linear: Exemplo
• Encontrar a melhor reta que ajusta os valores da 
tabela abaixo:
x F(x)
0 1,0000
0,25 1,2840
0,5 1,6487
0,75 2,1170
1,00 2,7183
MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS
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Ajuste linear: Exemplo
• Resultado:
-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
-1
0
1
2
3
4
5
x
y
q(x) = 0.8997+1.7078x
MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS
• Caso em que q(x) é um polinômio (ajuste 
polinomial):
• A diferença em relação ao ajuste linear é unicamente 
o número de coeficientes a calcular
• Neste caso, os coeficientes ai são obtidos através do 
sistema formado pelas derivadas parciais :
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Ajuste polinomial
MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS
• Ou seja:
• Assim temos n equações e n incógnitas, formando o 
sistema linear nas incógnitas a1, a2, ..., an.
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Ajuste polinomial
MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS
• O sistema formado é do tipo:
15
Ajuste polinomial
MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS
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Ajuste polinomial: Exemplo
• Encontrar a melhor parábola que ajusta os valores 
da tabela abaixo:
x F(x)
0 1,0000
0,25 1,2840
0,5 1,6487
0,75 2,1170
1,00 2,7183
MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS
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Ajuste polinomial: Exemplo
• Resultado:
-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
0
1
2
3
4
5
6
7
x
y
q(x)=1.0051+0.8647x+0.8432x
2
INTERPOLAÇÃO
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Lista de exercícios!!
• Como andam as implementações dos métodos
apresentados em sala para interpolação
(Vandermonde, Lagrange, Newton)