MAT193 Séries Temporais e ajustamento

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Análise das séries cronológicas
Edleide de Brito e Andrea A. Prudente
MAT193 - Introdução à Estatística Econômica
Instituto de Matemática
Departamento de Estatística
Universidade Federal da Bahia
2015.2
Edleide & Andrea (UFBA) Séries 2015.2 1 / 27
Séries Introdução
Análise das séries cronológicas
A importância da análise e previsão de séries temporais na ciência,
engenharia e negócios tem crescido e continua como interesse atual
de engenheiros, cientistas e economistas.
SÉRIE TEMPORAL OU CRONOLÓGICA: série em que as observa-
ções do fenômeno em estudo são realizadas em instantes distintos e
sucessivos de tempo.
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Séries Introdução
Análise das séries cronológicas
Informalmente, uma série temporal pode ser vista como um conjunto
de observações Y , cada uma observada em um instante particular t .
Em séries temporais o instante em que é efetuada cada uma das obser-
vações necessita ser registrado e será utilizado na análise/modelagem
da série, por isso a designação de série temporal.
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Séries Exemplos
Exemplos
A característica mais importante deste tipo de dados é que as obser-
vações vizinhas são dependentes e estamos interessados em analisar e
modelar esta dependência. Enquanto em modelos de regressão, por
exemplo, a ordem das observações é irrelevante para a análise, em
séries temporais a ordem dos dados é crucial.
Exemplo
X produção anual de automóveis em um país;
X cotações de ações em uma bolsa de valores;
X vendas realizadas por um supermercado em um período de
tempo.
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Séries Preparação
Preparação dos dados
Ao analisarmos uma série temporal estamos tentando identificar a
presença de dependência no tempo (fazer previsões para observações
futuras com base nas observações passadas):
Y = f (t), em que Y é função do tempo t .
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Séries Objetivo
Objetivo da análise das séries
A análise das séries temporais permite:
Investigar o mecanismo gerador da série;
Fazer previsões futuras do fenômeno;
Descrever apenas o comportamento da série;
Procurar periodicidade relevantes nos dados.
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Séries Componentes
Componentes das séries cronológicas
Uma série temporal é composta por quatro componentes:
Tendência (T);
Sazonalidade (S);
Variação cíclica (C);
Variação aleatória (E).
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Séries Tendência
Tendência (T)
A tendência secular ou simplesmente tendência são os movimentos
que se relacionam com a direção geral desenvolvida pelo gráfico da
série.
Exemplo
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Séries Outros componentes
Componentes da série temporal
X Sazonalidade (S)
A variação sazonal ou simplesmente sazonalidade são os movimentos
de curto prazo que se repetem periodicamente no gráfico da série.
X Variação cíclica (C)
A variação cíclica são os movimentos de longo prazo (maiores ou
iguais a um ano) que se repetem periodicamente ou não no gráfico
da série.
X Variação aleatória, irregular ou errática (E)
A variação aleatória reflete a ocorrência de eventos casuais como tem-
pestades, enchentes, greves, etc. São picos de crescimento ou de de-
créscimo que surgem no gráfico da série “inesperadamente”.
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Séries Decomposição ST
Decomposição das componentes de uma série temporal
Ao analisarmos uma série temporal queremos identificar o modelo
que melhor descreve o seu comportamento.
A ideia é definirmos um modelo que identifique cada componente da
série temporal, ou seja, que faça a decomposição das componentes da
série:
Y = f (t) = f (T ,S ,C ,E) .
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Séries Hipóteses
Hipótese aditiva
O modelo da série temporal pode ser escrito na forma aditiva:
Y = T + S +C + E ,
os movimentos sazonais, cíclicos e aleatórios são independentes da
tendência, ou seja, os efeitos são aditivos.
Exemplo: Para vendas de brinquedos, suponha que o aumento esperado nas vendas nos
meses de dezembro é de um milhão de reais em relação à média anual. Então as previsões
para os meses de dezembro dos próximos anos deve somar a quantia de um milhão de
reais à uma média anual para levar em conta esta flutuação sazonal. Neste caso, tem-se
sazonalidade aditiva.
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Séries Hipóteses
Hipótese aditiva - Ilustração
A variação cíclica não se altera em torno da tendência.
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Séries Hipóteses
Hipótese multiplicativa
O modelo da série temporal pode ser escrito na forma multiplicativa:
Y = T × S ×C × E ,
os movimentos sazonais, cíclicos e aleatórios são proporcionais a ten-
dência, ou seja, os efeitos são multiplicativos.
Exemplo: Suponha agora que o aumento esperado nos meses de dezembro seja de 30%.
Então o aumento esperado (em valor absoluto) de vendas em dezembro será pequeno ou
grande dependendo da média anual de vendas ser baixa ou alta. Nas previsões para os
próximos meses de dezembro deve-se multiplicar a média anual pelo fator 1, 3. Neste
caso, tem-se sazonalidade multiplicativa.
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Séries Hipóteses
Hipótese multiplicativa - Ilustração
A variação cíclica se altera em torno da tendência.
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Determinação Determinação
Determinação e eliminação dos componentes
cronológicos
Para determinarmos as componentes da série temporal, iremos tra-
balhar, principalmente, com a hipótese aditiva, mas um modelo mul-
tiplicativo pode ser transformado em um modelo aditivo através da
transformação logarítmica (como foi feito em ajustamento estatís-
tico).
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Determinação Tendência
Determinação da tendência por médias móveis e pelo
método dos mínimos quadrados
Para determinarmos a tendência de uma série temporal podemos uti-
lizar dois métodos:
i) Método de médias móveis
ii) Método dos mínimos quadrados (ajustamento estatístico)
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MM MM
Método de médias móveis
O método de médias móveis utiliza como previsão para um determi-
nado período no futuro a média das observações passadas. As médias
móveis podem ser simples, centradas ou ponderadas. Para o método
de médias móveis centradas que são o que iremos utilizar no nosso
curso podemos definir sua expressão como:
yt =
xt−k + . . . + xt + . . . + xt+k
n
,
em que k =
n − 1
2
e n representa o número de observações incluídas
na média yt .
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MM Observações
Observações
O objetivo do método de médias móveis é suavizar as varia-
ções da série por um processo de sucessivas médias (aritmética,
geométrica, etc.).
Este método não permite fazer previsões sobre valores futuros
da série.
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MM Exemplo
Exemplo
Os dados a seguir apresentam a Carga Tributária Bruta* - CTB (%)
no Brasil de 2000 até 2009.
Ano CTB (%)
2000 30,4
2001 31,9
2002 32,4
2003 31,9
2004 32,8
2005 33,8
2006 34,1
2007 34,7
2008 34,9
2009 33,7
*Soma de tudo o que o governo recebe em impostos, contribuições e taxas, dividida pela
quantidade de riqueza produzida no país (PIB).
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MM Gráfico
Gráfico da série
A seguir o gráfico da série:
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MM Gráfico 2
Gráfico da série retirando a tendência
A seguir o gráfico da série, após retirar a tendência:
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MMQ MMQ
Método dos Mínimos Quadrados
Uma ferramentamatemática utilizada para obter a equação que re-
presenta tendência de uma série está relacionada ao método dos mí-
nimos quadrados (MMQ).
O procedimento de ajuste consiste em estimar os parâmetros que
definem a equação que melhor se ajusta aos pontos observados.
A escolha da função depende de um estudo do comportamento da
série, sendo que esta pode apresentar comportamento exponencial,
por exemplo, e o ajuste de uma reta não seria recomendado.
Edleide & Andrea (UFBA) Séries 2015.2 22 / 27
MMQ Modelos
Modelos
Já vimos como ajustar um modelo de regressão a duas variáveis x e
y anteriormente.
Ŷ = a + b · t no caso do modelo de regressão linear;
Ŷ = a + b · t + c · t2 no caso do modelo de regressão quadrático;
ŷ = A+ b ·T no caso do modelo de regressão geométrico;
ŷ = A+B · t no caso do modelo de regressão exponencial.
Observações:
A variável X foi substituída pelo tempo (t) em que a observação foi
coletada.
y = log10Y , A = log10 a , B = log10 b e T = log10 t .
A vantagem da determinação da tendência pelo MMQ é que podemos
fazer previsões.
Edleide & Andrea (UFBA) Séries 2015.2 23 / 27
MMQ Exemplo
Exemplo
Para os dados do exemplo anterior, ajuste o modelo de regressão
linear simples e o quadrático. Identifique qual o melhor modelo e
faça a previsão para a tendência de 2010.
Edleide & Andrea (UFBA) Séries 2015.2 24 / 27
MMQ Equações
Equações

a = Y¯ − b t¯
b =
∑
ti Yi −
∑
ti
∑
Yi
n∑
t2i −
(
∑
ti )
2
n

∑
Yi = n a + b
∑
ti + c
∑
t2i∑
ti Yi = a
∑
ti + b
∑
t2i + c
∑
t3i∑
t2i Yi = a
∑
t2i + b
∑
t3i + c
∑
t4i
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MMQ Cálculos
Cálculos
i t t Y t2 t3 t4 t ∗Y t2 ∗Y
1 2000 1 30,4 1 1 1 30,4 30,4
2 2001 2 31,9 4 8 16 63,8 127,6
3 2002 3 32,4 9 27 81 97,2 291,6
4 2003 4 31,9 16 64 256 127,6 510,4
5 2004 5 32,8 25 125 625 164,0 820
6 2005 6 33,8 36 216 1296 202,8 1216,8
7 2006 7 34,1 49 343 2401 238,7 1670,9
8 2007 8 34,7 64 512 4096 277,6 2220,8
9 2008 9 34,9 81 729 6561 314,1 2826,9
10 2009 10 33,7 100 1000 10000 337,0 3370
Total - 55 330,6 385 3025 25333 1853,2 13085,4
Edleide & Andrea (UFBA) Séries 2015.2 26 / 27
Fim
Fim
Edleide & Andrea (UFBA) Séries 2015.2 27 / 27
Análise das séries cronológicas: sazonalidade
Edleide de Brito e Andrea A. Prudente
MAT193 - Introdução à Estatística Econômica
Instituto de Matemática
Departamento de Estatística
Universidade Federal da Bahia
2015.2
Edleide & Andrea (UFBA) Sazonalidade 2015.2 1 / 14
Sazonalidade Sazonalidade
Determinação das variações sazonais
Para determinarmos a sazonalidade de uma série temporal iremos
primeiro remover a tendência através do MMQ e em seguida iremos
calcular os desvios:
di = yi − ŷi = yobservado − yestimado .
Os desvios calculados desta forma conterão as demais componentes
da série:
di = y −T = S +C + E .
As variações sazonais serão encontradas calculando-se as médias mensais
(semanais, trimestrais, semestrais, etc. - períodos inferiores a um ano) dos
desvios.
Edleide & Andrea (UFBA) Sazonalidade 2015.2 2 / 14
Exemplo
Notas de Aulas - Pág. 108
Exemplo - Tendência estimada
ŷL = 234264+ 14353 t , em que t = 1, . . . , 180.
Exemplo - Gráfico observado X estimado
Exemplo - Desvio e sazonalidade
Exemplo - Sazonalidade
Após encontrar os valores para a componente sazonalidade, podemos
melhorar as previsões para observações futuras eliminando, além da
tendência a componente sazonal.
Exemplo - Gráfico final
Componentes Componentes
Avaliação das variações cíclicas e irregulares
Para determinar as variações cíclicas (movimentos longos - maiores
ou iguais a um ano), a série temporal deve ser suficientemente longa,
para que o movimento seja determinado. As variações cíclicas podem
ser eliminadas utilizando os mesmos métodos usados para eliminar a
sazonalidade ou utilizando análise de Fourier (ou espectral).
Em geral, as séries temporais são analisadas buscando determinar e
eliminar as componentes tendência e sazonalidade, pois a maioria das
séries temporais não possuem outras componentes periódicas além da
sazonalidade.
Edleide & Andrea (UFBA) Sazonalidade 2015.2 9 / 14
Componentes Componentes
Avaliação das variações cíclicas e irregulares
Se as componentes tendência, sazonalidade e variação cíclica forem
determinadas e eliminadas da série, sobrará apenas a componente
irregular ou aleatória.
No nosso curso iremos apenas identificar as componentes tendência
e sazonalidade e, relembrando, apenas descrevemos a série temporal,
na disciplina Introdução à Econometria, a série será analisada com
mais detalhes.
Edleide & Andrea (UFBA) Sazonalidade 2015.2 10 / 14
Exercício
Os dados a seguir contém os valores trimestrais de vendas (em milhões de reais) de um
fabricante de eletrodomésticos. Usando o modelo aditivo obtenha os componentes da
série (T e S) e faça a previsão de vendas para os quatro trimestres seguintes.
Período Trimestre Vendas
1 I 20
2 II 18
3 III 22
4 IV 24
5 I 24
6 II 22
7 III 26
8 IV 29
9 I 28
10 II 25
11 III 31
12 IV 34
13 I 32
14 II 29
15 III 35
16 IV 38
17 I 36
18 II 32
19 III 40
20 IV 43
21 I 40
22 II 36
23 III 44
24 IV 48
Exercício - gráfico
Contas - exercício
Trimestre t y y ∗ t t2
I 1 20 20 1
II 2 18 36 4
III 3 22 66 9
IV 4 24 96 16
I 5 24 120 25
II 6 22 132 36
III 7 26 182 49
IV 8 29 232 64
I 9 28 252 81
II 10 25 250 100
III 11 31 341 121
IV 12 34 408 144
I 13 32 416 169
II 14 29 406 196
III 15 35 525 225
IV 16 38 608 256
I 17 36 612 289
II 18 32 576 324
III 19 40 760 361
IV 20 43 860 400
I 21 40 840 441
II 22 36 792 484
III 23 44 1012 529
IV 24 48 1152 576
TOTAL 300 756 10694 4900
MÉDIA 12,5 31,5
Fim
Fim
Edleide & Andrea (UFBA) Sazonalidade 2015.2 14 / 14