Calc2 Aula3

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Cálculo	2	
Aula	3	
Profa	Ana	Carolina	
Imagine que se deseje: 
•  saber a posição de uma partícula em um dado instante 
conhecida sua velocidade; 
 
•  a quantidade de água escoada durante um certo período 
conhecendo-se a taxa à qual a água está escoando em um 
tanque; 
 
•  deduzir o tamanho de uma população de bactérias em um 
certo momento futuro conhecendo-se a taxa à qual ela 
cresce. 
Primitivas 
Nos casos anteriores, o problema resume-se em encontrar 
uma função F cuja derivada é uma função conhecida f. 
 
Definição: Uma função F é denominada uma primitiva de f 
no intervalo I se F '(x) = f (x) para todo x em I. 
	
 Ex : f (x) = x2. Vamos encontrar primitivas de f (x).
F (x) = 1
3
x3 é uma primitiva de f (x), pois F '(x) = x2.
G(x) = 1
3
x3 +35; H (x) = 1
3
x3 − 40 também são primitivas de 
f (x) pois suas derivadas resultam em f (x).
Teorema: Se F for uma primitiva de f em um intervalo 
I, então a primitiva mais geral de f em I é 
F(x) + C 
onde C é uma constante arbitrária. 
 
Voltando à função f(x) = x2, vemos que a primitiva geral 
de f é 
 
 
 
ou seja, na verdade existe uma família de funções 
primitivas de f (x), dadas por F(x) + C, onde F(x) é uma 
delas. 
F (x) = 1
3
x3 +C
Agora	é	com	você!	
Por	meio	de	tenta:va	e	erro,	encontre	uma	primi:va	para	
cada	uma	das	funções	abaixo:	
a) f (x) = 2x
b) f (x) = x
c) f (x) = 5
d ) f (x) = −2
e) f (x) = 2x +5
f ) f (x) = 3x2
g) f (x) = x2
h) f (x) = x3
i) f (x) = 3
2
x
j) f (x) = x
k) f (x) = cos(x)
l) f (x) = sen(x)
m) f (x) = cos(2x)
n) f (x) = sen(3x)
o) f (x) = 3cos(2x)− 4sen(3x)
p) f (x) = cos(2x)+ x2 +5
q) f (x) = ex
r) f (x) = e2x
s) f (x) = 4e2x + e+ x
t) f (x) = 1
x
u) f (x) = 2
x
+
1
x2
Mais exercícios
1) f (x) = x x +5( )
2) f (x) = 2−3x( )
2
3) f (x) = 1
3x
x −1( )
4) f (x) = 1
x
5) f (x) = 2x + 1
2x
6) f (x) = 3x
5 + 2x2 + x3
x2
Encontre a função f (x), conhecendo sua derivada e seu valor para 
um determinado x.
7) f '(x) = 5x4 − 2x5 f (0) = 4
8) f '(x) =1−6x f (0) = 8
9) f '(x) = 3 x − 1
x
 f (1) = 2
10) f '(x) = 3
x2
 f (1) = 0
11) f '(x) = 4 x f (4) = 21
Desafio	
Uma partícula se desloca ao longo de um eixo coordenado
com aceleração a =12 t − 3
t
,t > 0, sendo t medido em segundos
e a em m/s2. Sabendo que s(1) = 0 m e v(4) = 40m/s, determine:
a)A velocidade em termos de t.
b)A posição em t = 3s.