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Aula 05 DETERMINANTES - continuação • Teorema de Laplace • Propriedades dos determinantes • Teorema de Jacobi (propriedade 5) • Triangulação • Cálculo de Determinantes de ordem maior que 3 x 3 Teorema de Laplace Regra 1) Escolhe-se uma linha ou coluna qualquer (de preferência a que tiver maior número de zeros); 2) Em relação a cada elemento (da linha ou coluna escolhida), “elimina-se” a linha a coluna correspondente; 3) Com os elementos que sobraram, calcula-se o determinante (matriz 2x2); 4) Cada determinante calculado será multiplicado pelo valor do elemento inicialmente escolhido; Obs: se a soma da linha com a coluna for ímpar, multiplica-se por – 1 5) O determinante da matriz será a soma de todas as parcelas. USO do Teorema de Laplace 1) Quando a linha ou coluna selecionada possuir maior número de zeros 2) Para calcular determinantes de ordem maior do que 3 Calcule os determinantes a seguir por Laplace: Exercícios de determinantes Propriedades dos Determinantes Obs: se as linhas ou colunas forem proporcionais, o determinante também será igual a zero. Exercícios de determinantes Pág. 77 – Nº 1 1 – Calcule o valor dos determinantes a seguir, sem desenvolvê- los. Justifique a resposta. Exercícios de determinantes Pág. 77 – Nº 2 1 – Usando as propriedades, calcule os determinantes: Determinantes por Triangulação No cálculo de determinantes pelo processo do triangulação, o objetivo transformar a matriz dada em uma matriz trianular superior, ou seja, fazer com que os números abaixo da diagonal principal sejam iguais à ZERO (PROPRIEDADE 6). Além disso, que os dois primeiros números desta diagonal (a11 e a22) sejam iguais à UM. 1º passo Atribuir ao elemento a11 o valor UM Det. A = Atenção: qualquer “manobra” matemática de multiplicação ou divisão terá que ser “compensada” de maneira inversa na “parte exterior” da matriz (ver propriedade 4). Estabelecer uma operação matemática, tendo a primeira linha como referência, de tal forma que ao elemento a 21 seja atribuído o valor ZERO Det. A= 2 x 2º Passo Estabelecer uma operação matemática, tendo a primeira linha como referência, de tal forma que ao elemento a 31 seja atribuído o valor ZERO Det. A = 2 x 3º Passo Atribuir ao elemento a22 o valor UM Det. A = 2 x Atenção: qualquer “manobra” matemática de multiplicação ou divisão terá que ser “compensada” de maneira inversa na “parte exterior” da matriz (ver propriedade 4). 4º Passo Estabelecer uma operação matemática, tendo a segunda linha como referência, de tal forma que ao elemento a 32 seja atribuído o valor ZERO Det. A=2 x(-1) x 5º Passo Det. A = 2 x (-1) x O Determinante final da matriz será a multiplicação da diagonal principal, ou seja, 2 x -1 x 64 = - 128 6º Passo Calcule os determinantes a seguir por triangulação: Exercícios de determinantes Cálculo de Determinante de ordem maior que 3
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