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Prof. José Carlos Morilla 1 Tensões de Cisalhamento na Flexão Tensões de Cisalhamento na Flexão Nos pontos de uma seção transversal de uma barra submetida à flexão simples, além de uma tensão normal, atua também uma tensão de cisalhamento. Não é difícil entender a presença desta tensão de cisalhamento. Deve-se lembrar que a presença de uma força cortante está relacionada à presença de tensões de cisalhamento nos pontos da seção. O que não se pode pressupor é que a tensão de cisalhamento seja a mesma para todos os pontos da seção. A distribuição destas tensões recebe a influência do momento fletor que atua na seção. Tome-se por exemplo uma barra solicitada à flexão, como mostra a figura 1. figura 1 – Barra submetida à flexão simples Aplicada a força ocorrerão deformações nos pontos da barra que produzirão deslocamentos nas suas seções transversais como mostra a figura 2. figura 2 – Barra fletida submetida à flexão simples Para que a barra da figura 2, assuma esta forma curva, é necessário que o comprimento das linhas paralelas ao eixo se modifiquem. É possível notar que a parte superior da barra fica com um comprimento maior que a parte inferior. Para que esta mudança de comprimento ocorra é necessário que estas linhas tenham variações de comprimento diferentes. Assim, quando se toma, fibras da barra perpendiculares ao plano do momento, se nota a presença de tensões de cisalhamento entre estas fibras; decorrentes da diferença na variação de comprimento. Estas tensões podem ser observadas na figura 3 figura 3 – Tensões de Cisalhamento na flexão simples. A premissa, que as tensões não são constantes para todos os pontos da seção, fica clara na medida em que se observa a fibra neutra da barra. Acima dela ocorre uma tração e abaixo uma compressão, devendo existir portanto diferença entre as tensões de cisalhamento nestas posições. Determinação das Tensões de cisalhamento na flexão simples normal. Seja um elemento de barra, de comprimento dx, solicitado por uma flexão simples, como mostra a figura 4. P P Posição Inicial Posição Final Tensões de Cisalhamento Prof. José Carlos Morilla 2 Tensões de Cisalhamento na Flexão figura 4 – Elemento de barra submetido a uma flexão simples. Quando se toma dois pontos quaisquer, correspondentes, nas seções transversais do elemento, nota-se que as tensões normais neles desenvolvidas são ligeiramente diferentes. Isto pode ser observado na figura 5 figura 5 – Tensões em pontos correspondentes no elemento de barra submetido a uma flexão simples. A tensão normal no ponto pertencente à seção da esquerda vale: z M y (1) A tensão normal no ponto pertencente à seção da direita vale: z dMM y (2) Note-se que existe uma diferença de tensão: z dM d y (3) Quando se toma um trecho da área da seção transversal ( A ), obtido por meio de um corte paralelo ao eixo,que contenha os pontos em estudo, como mostra a figura 6, o equilíbrio de cada parte “separada pelo corte” só pode ser verificado caso existam tensões de cisalhamento na superfície do corte, como mostra a figura 7. figura 6 – Corte de largura b, no elemento de barra submetido a uma flexão simples. figura 7 – Tensões de cisalhamento na superfície de corte. Prof. José Carlos Morilla 3 Tensões de Cisalhamento na Flexão Assim, para que o equilíbrio aconteça é necessário que a resultante das tensões de cisalhamento, que atuam na área do corte, tenha o mesmo valor da resultante das tensões normais que aparecem no trecho de área A . Considerando que a tensão de cisalhamento não varia na área de corte é possível escrever: Adddxb A (4) Substituindo-se a expressão 3 na expressão 4, se encontra: Adz dM dxb A y Como dM e Iy são constantes para a área A , a expressão fica: Adz dM dxb Ay (5) Na expressão 5, a integral Adz A é o Momento Estático da área A em relação ao eixo y da seção ( syM ). Pode-se então escrever: sy y dM dxb M sy y dxb dM M Lembrando que V dx dM se encontra: y sy b V M (6) Lembrando que, em um ponto, as tensões de cisalhamento de planos perpendiculares entre si, possuem mesmo valor e sinais opostos, a tensão de cisalhamento que irá atuar no plano da seção do ponto estudado é: y sy b V M (7) A figura 8 mostra estas tensões. figura 8 – Tensões de cisalhamento na superfície de corte e na seção transversal. OBSERVAÇÕES 1. Note-se na expressão 7 que, para uma dada seção transversal, a tensão de cisalhamento que atua em seus pontos depende, apenas do corte efetuado. Este corte define seu comprimento (b) e define a área A . 2. Como o par (y;z) é central de inércia, o momento estático da seção transversal em relação a qualquer um destes eixos é igual a zero. Assim, quando se divide esta área em duas partes, os momentos estáticos destas partes, em relação a um destes eixos, possuem o mesmo valor e sinais contrários. Desta forma, ao se efetuar um corte, qualquer que seja a parte da área da seção transversal, considerada como A , a tensão de Prof. José Carlos Morilla 4 Tensões de Cisalhamento na Flexão cisalhamento encontrada terá o mesmo valor. 3. Pelo resultado obtido na expressão 7 e pelo que se pode observar na área A da figura 8, uma tensão de cisalhamento negativa é aquela de sentido tal que ela “entra” no corte. 4. Na figura 8 é possível observar ainda que a tensão de cisalhamento obtida pela outra parte da seção tem sinal oposto (neste caso é positiva). 5. Quando o sinal é positivo para a tensão de cisalhamento, seu sentido é tal que a tensão “sai” do corte. 6. Note-se ainda, que embora as tensões, determinadas por A e pela outra parte da seção, tenha sinais e posições relativas ao corte opostas, seus sentidos perante à seção são os mesmos. 7. A tensão de cisalhamento possui direção perpendicular ao corte efetuado. 8. Como dito na observação 1, a tensão de cisalhamento é função do corte efetuado. Assim, para um mesmo ponto se obtêm tensões de cisalhamento diferentes para diferentes cortes que contenham este ponto. Isto pode ser observado na figura 9. figura 9 – Tensões de cisalhamento em um ponto para cortes diferentes. 9. As tensões de cisalhamento em pontos de um mesmo corte, são iguais. 10. Pode-se observar, pelas expressões 6 e 7, que a tensão de cisalhamento é inversamente proporcional o comprimento do corte. Assim, em um ponto da seção, a tensão máxima de cisalhamento que nele atua é perpendicular ao corte de menor comprimento que contenha o ponto. 11. Pelas expressões 6 e 7, observa- se, ainda, que a tensão de cisalhamento é diretamente proporcional ao momento estático em relação ao eixo, em torno do qual a seção “gira”. Lembrando do que foi dito na observação 2, é possível afirmar que a máxima tensão de cisalhamento ocorre quando o corte coincide com este eixo. ou seja; a máxima tensão de cisalhamento ocorre nos pontos da linha neutra e tem direção perpendicular a esta linha. 12.Observando-se as figura 5 e 8 nota-se que a tensão de cisalhamento de um ponto, obtida por meio de um corte perpendicular à direção da força cortante, tem sentido oposto a esta força cortante. Lembra-se aqui que: A dAV onde A é a área da seção transversal.
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