Cap 2

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CRISTALOGRAFIA 
CAPÍTULO II 
SIMETRIA CRISTALOGRÁFICA 
 
 
2.1. OPERAÇÕES DE SIMETRIA 
 
1. rotação em torno de um eixo; 
2. reflexão sobre um plano; 
3. rotação em torno de um eixo, combinada com inversão (inversão rotatória) 
 
 
2.2. ELEMENTOS DA SIMETRIA 
 
Plano de simetria é um plano imaginário que divide um cristal em duas metades, 
simetricamente iguais (Ex.: figura 7) 
 
Eixo de simetria de rotação é uma linha imaginária que atravessa um cristal como 
se fosse um eixo, no qual pode-se girar o cristal, o qual repetirá a mesma geometria duas ou 
mais vezes após uma rotação de 360º (Ex. figura 8). Se o cristal apresentar duas repetições 
geométricas, num giro completo, diremos que ele possui um eixo de simetria binária. Se três - 
eixo de simetria ternário (sistemas trigonais), quatro - quaternário (sistema tetragonais), e se 
seis - senários (sistemas hexagonais). Caso não haja repetição dizemos que o cristal possui um 
eixo de simetria unitário. 
 
Centro de simetria é um ponto imaginário no centro de um cristal que eqüidista 
através de uma linha imaginária qualquer que o intercepta, de dois pontos nas superfícies do 
cristal. Faces e arestas semelhantes, paralelas e simetricamente opostas indicam um centro de 
simetria (Ex. figura 9) 
 
Eixo de simetria de inversão rotatória: Este elemento combina uma rotação em um 
eixo com inversão através do centro (Ex.: figura 10) 
 
 
 
EXERCÍCIOS DE ASSIMILAÇÃO 
Descreva, se possível com suas palavras: 
Operações de simetria; 
Elementos de simetria; 
 
Efetuar a notação de simetria dos modelos cristalográficos distribuídos em sala de aula. 
 
 
 
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2.3. NOTAÇÃO DE SIMETRIA 
 
 
Elementos de simetria Notação 
Eixo de simetria de rotação mAn onde m = 1, 2, 3 ... e n = 2, 3, 4 ou 6
Plano de simetria mP 
Centro de simetria C 
 
 
Exemplo: C, 3A4, 4A3, 6A2, 9P é a notação de simetria de um cristal que possui um centro 
de simetria, três eixos de simetria quaternária de rotação, quatro eixos de simetria ternária de 
rotação, seis eixos de simetria binária de rotação e nove planos de simetria. 
 
 
2.3.1. Notação com símbolos Hermann-Mauguin (internacional) 
 
 
Elementos de simetria Símbolos Hermann-Mauguin 
Eixo de simetria de rotação 1, 2, 3, 4 ou 6 
Eixo de simetria de inversão rotatória 6,4,3,1 (ler: um barra, três barra etc.) 
Plano de simetria m 
 
 
¾ Um cristal que apresente um eixo de simetria de rotação e um plano de simetria 
perpendicular a ele, deverá receber a seguinte notação, por exemplo: 2/m, 4/m, ou 6/m; 
 
¾ Para os sistemas - isométrico, hexagonal, tetragonaI e monoclínico – o primeiro símbolo 
faz referência ao eixo principal de simetria, como 4 no símbolo 4mm; 
 
¾ No sistema tetragonal, o segundo e terceiro símbolos referem-se aos elementos de simetria 
axial e diagonal, respectivamente. Como exemplo, na classe escalenoédrica, 2 refere-se ao 
eixo binário coincidente com o eixo cristalográfico a; e m, a um plano de simetria na 
posição 45°; 
 
¾ No sistema hexagonal, o segundo e o terceiro símbolos referem-se, respectivamente, aos 
elementos de simetria axial e axial alterno. Assim, na classe dihexagonal-piramidal, 
existem três planos de simetria verticais, nos quais estão os três eixos cristalográficos, e 
três planos de simetria adicionais, verticais, a 30° nas posições axiais alternas; 
 
¾ No sistema ortorrômbico, os símbolos referem-se aos elementos de simetria na ordem a, 
b, c. Por exemplo, na classe rômbico-piramidal mm2, os eixos a e b jazem nos planos de 
simetria verticais c o eixo c é um eixo de simetria binário. Esta ordem é mais significativa 
para indicar grupos espaciais do que para indicar classes de cristais; 
 
¾ No sistema isométrico, a segunda e a terceira parte da notação refere-se, respectivamente, 
aos elementos de simetria ternária e binária; 
 
 
 
 
 3
2.4. Classes de Simetria 
 
 A tabela abaixo apresenta, em sua primeira coluna, os 07 (sete) sistemas cristalinos 
geometricamente possíveis (Bravais, 1948) - já estudados no item “estrutura dos cristais”. Na 
segunda coluna, encontram-se as trinta e duas combinações possíveis dos vários elementos de 
simetria, ao que denominamos as trinta e duas classes de simetria (grupos de pontos). 
Destacam-se ainda, em cor diferenciada, as quinze classes de simetrias mais comuns na 
natureza; ou seja, aquelas nas quais a maioria dos minerais conhecidos cristalizam-se. 
Finalmente, na terceira e quarta colunas podemos encontrar as respectivas notações de 
simetrias mais usuais. 
 
Sistema cristalino classe cristalina simetria Hermann-Mauguin 
Isométrico 
• Hexaoctaédrica 
• Icositetraédrica pentagonal 
(giroédrica) 
• Hexatetraédrica 
• Diploédrica (didodecaédrica) 
• Tetartoédrica 
(pentagonododecaédrica 
tetraédrica) 
C, 3A4, 4A3, 6A2, 9P 
 
3A4, 4A3, 6A2 
3A2, 4A3, 6P 
C, 3A2, 4A3, 3P 
 
 
3A2, 4A3 
4/m 3 2/m 
 
432 
43m 
2/m 3 3 
 
 
23 
Hexagonal 
• Bipiramidal-dihexagonal 
• Trapezoédrica-hexagonal 
• Piramidal-dihexagonal 
• Bipiramidal-ditrigonal 
• Bipiramidal-hexagonal 
• Piramidal-hexagonal 
• Bipiramidal-trigonal 
C, 1A6, 6A2, 7P 
1A6, 6A2 
1A6, 6P 
1A3, 3A2, 4P 
C, 1A6, 1P 
1A6 
1A3, 1P 
6/m 2/m 2/m 
6 2 2 
6mm 
6 m2 
6/m 
6 
6 
Romboédrica 
• Escalenoédrica-hexagonal 
• Trapezoédrica-trigonal 
• Piramidal-ditrigonal 
• Romboédrica 
• Piramidal-trigonal 
C, 1A3, 3A2, 3P 
1A3, 3A2 
1A3, 3P 
C, 1A3 
1A3 
3 2/m 
3 2 
3m 
3 
3 
Tetragonal 
• Bipiramidal-ditetragonal 
• Trapezoédrica-tetragonal 
• Piramidal-ditetragonal 
• Escalenoédrica-tetragonal 
• Bipiramidal-tetragonal 
• Piramidal-tetragonal 
• Biesfenoédrica-tetragonal 
C, 1A4, 4A2, 5P 
1A4, 4A2 
1A4, 4P 
3A2, 2P 
C, 1A4, 1P 
1A4 
1AP4 
4/m 2/m 2/m 
4 2 2 
4mm 
4 2m 
4/m 
4 
4 
Ortorrômbico 
• Bipiramidal-rômbica 
• Biesfenoédrica-rômbica 
• Piramidal-rômbica 
C, 3A2, 3P 
3A2 
1A2, 2P 
2/m 2/m 2/m 
2 2 2 
mm2 
Monoclínico • Prismática 
• Esfenoédrica 
• Domática 
C, 1A2, 1P 
1A2 
1P 
2/m 
2 
m 
Triclínico • Pinacoidal • Pedial 
C 
Sem simetria 
1 
1