Simetria e Teoria de Grupos

Prévia do material em texto

UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA
INSTITUTO DE QUÍMICA
DEPARTAMENTO DE QUÍMICA GERAL E INORGÂNICA
Simetria e Teoria 
de grupos
Prof. Dr Kleber Queiroz Ferreira
Semestre Letivo Suplementar
GRUPO: Coleção de elementos que estão relacionados por certas
regras. Não tem necessariamente significado físico.
➢ DEFINIÇÕES 
GRUPO DE SIMETRIA QUÍMICA: GRUPO PONTUAL: Os
elementos são operações de simetria realizadas sobre uma espécie
poliatômica.
3. Existe a lei associativa A(BC) = (AB)C.
4. Cada elemento deve ter um recíproco no grupo. AA-1 = A-1A = E
2. Deve existir um elemento no grupo que comuta com os outras.
Identidade E. EA = AE = A
➢ PROPRIEDADES DE GRUPOS MATEMÁTICOS
1. O produto (combinação) de dois elementos de um grupo deve ser um
elemento do grupo.
• Não é um produto aritmético.
• Não é necessariamente comutativa AB = BA só em grupos
Abelianos).
SIMETRIA DE ESPÉCIES POLIATÔMICAS
▪ Operação de simetria  Uma ação executada sobre uma figura, objeto,
espécie poliatômica etc que a deixa aparentemente inalterada
(indistinguível).
▪ Elemento de simetria  Está associado a
uma operação de simetria. Uma entidade
geométrica (ponto, linha ou plano) em
relação ao qual a operação de simetria é
executada.
O
H
H
180 o
C 2
1. Rotação
2. Reflexão
3. Inversão 
SIMETRIA DE ESPÉCIES POLIATÔMICAS
O
H
H
180 o
C 2
Todas as operações que deixam um ponto da espécie imóvel  Simetria de
grupo de ponto  Grupos Pontuais
Grupos Espaciais  deixam uma linha da espécie imóvel
OPERAÇÕES DE SIMETRIA E ELEMENTOS DE SIMETRIA
Elemento de simetria Operação de simetria Símbolo
Identidade inalterado E
n-ésimo eixo de 
simetria
Rotação por 2/n Cn
Plano especular Reflexão 
Centro de inversão Inversão i
n-ésimo eixo de 
rotação imprópria
Rotação por 2/n 
seguida por reflexão 
perpendicular ao eixo 
de rotação
Sn
GRUPOS ESPACIAIS: mais outros elementos de simetria de
translação (plano de deslizamento, eixo parafuso)
O
H
H
*
*
H
O
H
Reflexão
v
B
H
H
H
*
*
H
H
H
B
*H H
H
B
C3
+
C3
+
C3
-
120o
C C
Hc
HdHb
Ha Hd
Hc Ha
Hb
CC
i
C6.
v
h
d
C
Ha
Hb
Hd
Hc Hb
Ha
Hc
Hd
C
Hd
Hc
Ha
Hb
C
C4
h
Eixo quádruplo de rotação imprópria S4 na molécula CH4
https://symotter.org/gallery
https://symotter.org/gallery
GRUPOS PONTUAIS
G1 = E
G2 E A
E E A
A A E
G3 E A B
E E A B
A A E B/A
B B A/B E
AA = E ou AA = B?
G3 E A B
E E A B
A A B E
B B E A
G(1)4 E A B C
E E A B C
A A B C E
B B C E A
C C E A B
G(2)4 E A B C
E E A B C
A A E C B
B B C E A
C C B A E
Subgrupos G2: E,A; E,B; E,C
Subgrupo G3: E,D,F
Subgrupo G1: E
O
H H
 '

C2
E: C2:  ’
C2v D4h
C'2
h
Xe
F
F F
F
C4
C"2
C2
v
'v
S4
E: C4: C2 (=C4
2): S4: i: 2C2’: 2C2”: h: v: v’
E: C4: C2: S4: i: 4C2:  ’
BCl3, NH3, trans-CH3CH=CHCH3, trans-[Co(NH3)4ClBr]
+, trans-[Co(en)2C2]+
O
H H*
 '

C2
C2v E C2  ’
E E C2  ’
C2 C2 E ’ 
  ’ E C2
’ ’  C2 E
E.C2 = C2
.C2 = ’
Tabela de multiplicação
XeF4: S4
2, S4
3, S4
4, C4
2, C4
3, C4
4, 2, I2
C2.= ’
Comutam C2 e 
GRUPOS PONTUAIS
1. O número 4 indica a ordem do eixo principal
2. A letra h indica um plano horizontal
3. A letra D indica que existe n (neste caso n=4) eixos 
perpendiculares ao eixo principal Cn (neste caso C4)
D4h
C'2
h
Xe
F
F F
F
C4
C"2
C2
v
'v
S4
E C4 C2 S4 i 4C2  ’
Benzeno D6h e BCl3?
GRUPOS ESPACIAIS: outros elementos 
de simetria
Dnh
GRUPOS PONTUAIS
D4h
C'2
h
Xe
F
F F
F
C4
C"2
C2
v
'v
S4
E C4 C2 S4 i 4C2  ’
Benzeno D6h e BCl3?
GRUPOS ESPACIAIS: outros elementos de simetria
Dnh
C
H
H
H
H
H
H
Configuração staggered D3d
C
C
H
H
H
H
H
H
d
d
d
C2
C3
H
H
H
H
H
H
C
C
C o n fig u ra ç ã o e c lip sa d a D 3 h 
 h
GRUPOS PONTUAIS
Grupo pontual Elementos de simetria Exemplos
C∞v E: C∞: ∞ v (linear) HCl
D∞h E: C∞: ∞ v: i (linear) CO2
C1 E POClFBr
Ci E, i HClBrC-CHClBr (stargg)
Cs E, h H2C=CClBr
Cn (n = 2-8) 
Dn (n = 2-6)
Eixo Cn H2O2 (C2) [Co(en)3]
3+ (D3)
Sn
(n = 4,6,8)
Eixo Sn 1,3,5,7-tetrafluorociclooctatetraeno 
(S4)
Cnh(n = 2-4) eixo Cn (se n par tem divisor)
e 1 perpendicular h: Sn
trans-C2H2Cl2 (C2h)
Grupo pontual Elementos de simetria Exemplos
Cnv(n = 2-6) eixo Cn: n v perpendiculares SO2Cl2 (C2v): 
POCl3(C3v)
Dnh(n = 2-6) eixos Cn ┴ : n planos v e h: 
(se n par tem i)
PtCl4 (D4h): 
N2O4(D2h)
Dnd(n = 2-6) eixos Cn : n planos d e S2n H2C=C=CH2 (D2d)
Td 3 C2 ┴: 8 C3: 6 : 6 S4 SiCl4
Oh 6 C2 ┴: 8 C3: 6 C4 : 9 : 6 S4 : 8 
S6: i
[RuCl6]
3-
Ih 12 C5: 20 C3: 15 C2 : 15 : 12 
S10 : 20 S6: i
C60 (fulerano)
GRUPOS PONTUAIS
Grupo de “baixa simetria”
Grupo de “alta simetria”
Eixo de rotação de maior ordem
Eixo C2 perpendicular ao 
eixo de rotação de maior 
ordem
C1, Ci, Cs
sim
não
Grupos D
sim
não
Cn
td, Oh, C∞v, D∞h,
Ih
sim
sim
h?
Dnh
não
d?
sim não
Dnd Dn
Grupos C ou S2n
h?sim
Cnh
não
v?sim
não
Cnv
S2n?sim
S2n
não
Cn
Fluxograma I: 
TABELAS DE CARACTERES E REPRESENTAÇÕES 
IRREDUTÍVEIS
x
z
C2
z
x
y
O
H H*
 '

C2C2s = 1s xzs =1s yzs =1s
C2v E C2 (xz) (yz)
A1 1 1 1 1 z (s, PZ)
TABELAS DE CARACTERES E REPRESENTAÇÕES 
IRREDUTÍVEIS
x
z
C2
z
x
y
O
H H*
 '

C2C2Px = -1Px xzPx =1Px yzPx =-1Px
C2v E C2 (xz) (yz)
B1 1 -1 1 -1 x (Px)
C2v E C2 (xz) ’ (yz)
E E C2  ’
C2 C2 E ’ 
  ’ E C2
’ ’  C2 E
C2v E C2 (xz) ’ (yz)
A 1 1  
A 1 1 - -
B  - 1 -1
B  - -1 1
EPy =1Py
C2Py =-1Py
xzPy =-1Py
yzPy =1Py
C2v E C2 (xz) (yz)
B2 1 -1 -1 1 y (Py)
C3v E C3 C3 v ´v ´´v
T1 1 1  1 1 1
T2
T3
T4
T5
T5
C3v E 2C3 3v
A1 1 1  z x
2 + y2, z2
A2 1 1 - Rz
  - 0 (x, y), (Rx, Ry) (x
2 - y2, xy), (xz, yz)
D4 E C4 C4
3 C2 C´2(1) C´2(2) C´´2(1) C´´2(2)
E E 1 C4 1
C4 C4
1
C2
1
E 
1
C43
1
C´´(1)
-1
C´´(2) 
-1
C´(1)
-1
C´´(2)
-1
C4
3
C'2
h
Xe
F
F F
F
C4
C"2
C2
v
'v
S4
EPz =1Pz
C2Pz =1Pz
xzPz =1Pz
yzPz =1Pz
C2v E C2 (xz) (yz)
A1 1 1 1 1 z (Pz)
Totalmente simétrico: 
assim como orbital sC2v E C2  ’
A1 1 1  
A2 1 1 - -
B  - 1 -1
B  - -1 1
Edxy =1dxy
C2dxy =1dxy
xzdxy =-1dxy
yzdxy =-1dxy
Propriedades
1) h (ordem) = n0 de operações
2) classe = operações com mesmos caracteres
3) N0 de repres. Irredutível = n0 classe
4) Soma dos quadrados das dimensões ( caracteres de E) = h
EPz =1Pz
C2Pz =1Pz
xzPz =1Pz
yzPz =1Pz
C2v E C2 (xz) (yz)
A1 1 1 1 1 z (Pz)
Totalmente simétrico: 
assim como orbital sC2v E C2  ’
A1 1 1  
A2 1 1 - -
B  - 1 -1
B  - -1 1
Edxy =1dxy
C2dxy =1dxy
xzdxy =-1dxy
yzdxy =-1dxy
Propriedades
5) Soma dos quadrados dos caracteres (para alguma represent. Irredutível.)
multiplicados pelos n0 de operações na classe = h
6) Repesent. Irred. Ortogonais  soma dos produtos dos carcters (juntos) para
cada par de represent. Irredutível = 0 (ex. A1xA2 = 0)
7) A1 = totalmente simétrica
C3v E 2C3 3v
A1 1 1  z x
2 + y2, z2
A2 1 1 - Rz
  - 0 (x, y), (Rx, Ry) (x
2 - y2, xy), (xz, yz)
C2v E (I) C2  ’ Transla., Rota., 
Vibrac., OA/OM
A1 1 1   z x
2, y2, z2
A2 1 1 - - Rz xy
B  - 1 -1 x, Ry xz
B  - -1 1 y, Rx yz
h = ordem do grupo = 4
N = número de operações
de simetria na classe (todas
= 1)
h = ordem do grupo =
3
N = número de
operações de simetria
na classe (1, 2, 3)
C3v E 2C3 3v
A1 1 1  z x
2 + y2, z2
A2 1 1 - Rz
  - 0 (x, y), (Rx, Ry) (x
2 - y2, xy), (xz, yz)
C2v E (I) C2  ’ Transla., Rota., 
Vibrac., OA/OM
A1 1 1   z x
2, y2, z2
A2 1 1 - - Rz xy
B  - 1 -1 x, Ry xz
B  - -1 1 y, Rx yz
A1 = simétrica em relação a rotação C2
perpendicular ao eixo principal, 
A2 = anti (se não existir o C2 perpendicular;
A e B = 1 dimensão;
E = 2 dimensões; 
T (F) = 3 dimensões
A = simétrica em relação a Cn, 
B = anti-simétrica:
g (gerade) = simétrica em 
relação a i, 
u (ungerade) = anti-
simétrica:
Td E(I) 6S4 3C2 8C3 6d
A1 1 1  1 x
2+ y2+ z2 (s)
A2 1 -1   -1
  0 2 -1 0 x2- y2, z2 (d)
T (F1) 3  -1 0 -1 Rx, Ry, Rz
T (F2) 3 -1 -1 0 1 x, y, z (p)
xy, xz, yz (d)
T
h = ordem do grupo = 5
N = número de operações de simetria na classe (1, 6, 3, 8, 6)
Oh E 6C4 3C4
2 8C3 6C2 i 6S4 3h 8S6 6d
A1g 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 x
2+ y2+ z2 (s)
A1u 1 1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1
A2g 1 -1 1 1 -1 1 -1 1 1 -1
A2u 1 -1 1 1 -1 -1 1 -1 -1 1
Eg 2 0 2 -1 0 2 0 2 -1 0 x
2- y2, z2 (d)
Eu 2 0 2 -1 0 -2 0 -2 1 0
T1g 3 1 -1 0 -1 3 1 -1 0 -1 R
T1u 3 1 -1 0 -1 -3 -1 1 0 1 T x, y, z (p)
T2g 3 -1 -1 0 1 3 -1 -1 0 -1 xy, xz, yz (d)
T2u 3 -1 -1 0 1 -3 1 1 0 -1
h = ordem do grupo = 10
N = número de operações de simetria na classe (1,6,3,8,6,1,6,3,8,6)
Cv E 2C
z
2/ C
z
2  v
+(A1) 1 1 1 1 x
2+ y2+ z2, z2
(s, d)
Tz
-(A2) 1 1 1 -1 Rz (p)
(E1) 2 2cos -2 0 xz, yz (p, d)
Tx, Ty
Rx, Ry
(E2) 2 2cos2 2 0 x
2- y2, xy (d)
(E3) 2 2cos3 -2 0
h = ordem do grupo = 4
N = número de operações de simetria na classe (1, 2, 1,)
REPRESENTAÇÕES REDUTÍVEIS
C2v E C2  ’
A1 1 1   z X
2, y2, z2
A2 1 1 - - Rz xy
B  - 1 -1 x, Ry xz
B  - -1 1 y, Rx yz
A + A 3 3 -1 -1
 3 1 1 -1 ???
Nem sempre é Fácil !!!
=
classesastodas
IRh
Nvezesden
..
10 ... 
 5 3 -1 1 
2A1 + 2A2+ B2
h = ordem do grupo
R = caractere da
representação redutível
I = caractere da
representação irredutível
N = número de operações
de simetria na classe
APLICAÇÕES DOS CONCEITOS DE SIMETRIA
1. Classificar a molécula como polar ou quiral.
➢ Molécula polar  É uma molécula com um momento dipolar
elétrico permanente.
✓ Uma molécula polar não pode ter um centro de inversão 
Distribuição de carga igual em todos os pontos opostos
diametralmente ao centro.
✓ Uma molécula polar não pode ter um momento de dipolar
elétrico perpendicular a qualquer plano especular ou
perpendicular a qualquer eixo de rotação.
Moléculas dos grupos D tem um eixo Cn e um eixo C2 perpendicular 
a Cn ou um plano h perpendicular ao eixo Cn  Portanto é apolar.
C l
C l
C lC l
P
C l
P C l5 , D 3 h
▪ Tem eixo Cn e um eixo C2 ou um plano h perpendicular a Cn.
A
B
BB
B
A B 4 , D 4 h
R u
R u ( C p ) 2
i
Molécula quiral  É uma molécula que não pode ser sobreposta
em sua própria imagem especular (opticamente ativas: gira o plano
de luz polarizada).
Enantiômeros = molécula quiral e sua imagem especular.
1. Uma molécula quiral não deve ter um eixo de rotação impróprio Sn.
Observar que  = S1 e i = S2 (eixos impróprios disfarçados).
Ex. CH4 e Ni(CO)4 não são quirais
CHBrClF é quiral, pois é do grupo C1.
[Ru(en)3]
2+ D3: H2O2 (C2) e POClBr2 C1 são quirais
Conhecem outras???
Grupos que tem Sn:Dnh,Dnd,Td e Oh.
O O
O
O
C r
O
O
O
O
O
O
O
O
[C r(o x )3]
3 - , D 3
(E , C 3, 3 C 2)
O íon complexo é quiral  Opticamente ativo.
Ru Ru
APLICAÇÃO EM LIGAÇÃO QUÍMICA - TOM
C2v E C2  ’ H2O
A1 1 1   z X
2, y2, 
z2
A2 1 1 - - Rz xy
B  - 1 -1 x, Ry xz
B  - -1 1 y, Rx yz
 2 0 2 0
A + B
O
H H*
 '

C2
B1: Ha - Hb
A1: Ha +Hb
1 -1 1 -1
1 1 1 1
E C2
 '
Combinação Linear Adaptado a Simetria (SALCs)  Grupo de orbitais
B1: Ha - Hb
A1: Ha +Hb
1 -1 1 -1
1 1 1 1
E C2
 '
Combinação Linear Adaptado a Simetria (SALCs)  Grupo de orbitais
E C2  '
1 1 1 1
1111
s (A1)
pz (A1)
1-11 -1
px (B1)
1-1-11
py(B2)
Oxigênio
2s(A 1 )
2p
A 1 B 1 B 2
1sA 1
B 1
O
2H
H 2O
2a 1
1b 1
3a 1
1b 2
4a 1
2b 1E
NH3 e BF3
APLICAÇÃO PARA VIBRAÇÕES MOLECULARES
N0 de
átomos
Total de 
graus de 
liberdade
GL translacional GL rotacional GL 
vibracional
N (linear) 3N 3 2 3N – 5
Ex: HCN 9 3 2 4
N (não linear) 3N 3 3 3N – 6
3 (H2O) 9 3 3 3
NH3
C3v E 2C3 3v
A1 1 1  z x
2 + y2, z2
A2 1 1 - Rz
  - 0 (x, y), (Rx, Ry) (x
2 - y2, xy), (xz, yz)
 12 0 2
VIBRAÇÕES ATIVAS NO IV
Se o modo vibracional
corresponde a uma representação
irredutível que tem a mesma
simetria (o transforma) que as
coordenadas cartesianas (x, y, z)
❑ Quais modos vibracionais da amônia são ativos no IV?
C3v E 2C3 3v
A1 1 1  z x
2 + y2, z2
A2 1 1 - Rz
  - 0 (x, y), (Rx, Ry) (x
2 - y2, xy), (xz, yz)
Movimento vibracional que altera o 
centro de carga da molécula em alguma 
direção (x, y, z) resulta na mudança do 
momento de dipolo