IEE Aula 11 Probabilidade Condicional

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PROBABILIDADE
CONDICIONAL, INDEPENDÊNCIA E TEORMA DE BAYES
Disciplina: INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA ECONÔMICA
Professor: WALDEMAR SANTA CRUZ OLIVEIRA JR
UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNABUCO - UFPE
Curso: ECONOMIA
PROBABILIDADE CONDICONAL
em que P(B)>0.
Leia a probabilidade de A dado B.
Exemplo: Uma faculdade tem 250 alunos, destes 100 são homens, 40 são homens e estudam Estatísticas e 80 são mulheres e estudam Física. Qual a probabilidade de selecionar um aluno e:
a) Este ser homem, sabendo-se que estuda Estatística
b) Este estudar Física, dado que é mulher
Disciplina
Sexo
E
F
Total
H
M
Total
Exemplo: Uma faculdade tem 250 alunos, destes 100 são homens, 40 são homens e estudam Estatísticas e 80 são mulheres e estudam Física. Qual a probabilidade de selecionar um aluno e:
a) Este ser homem, sabendo-se que estuda Estatística
b) Este estudar Física, dado que é mulher
Disciplina
Sexo
E
F
Total
H
40
60
100
M
70
80
150
Total
110
140
250
Exemplo: Uma faculdade tem 250 alunos, destes 100 são homens, 40 são homens e estudam Estatísticas e 80 são mulheres e estudam Física. Qual a probabilidade de selecionar um aluno e:
a) Este ser homem, sabendo-se que estuda Estatística
b) Este estudar Física, dado que é mulher
Disciplina
Sexo
E
F
Total
H
40
60
100
M
70
80
150
Total
110
140
250
Exemplo: Uma faculdade tem 250 alunos, destes 100 são homens, 40 são homens e estudam Estatísticas e 80 são mulheres e estudam Física. Qual a probabilidade de selecionar um aluno e:
a) Este ser homem, sabendo-se que estuda Estatística
b) Este estudar Física, dado que é mulher
Disciplina
Sexo
E
F
Total
H
40
60
100
M
70
80
150
Total
110
140
250
Obs1: Da definição temos que
Obs2: A probabilidade condicional de fato é uma medida de probabilidade.
P( A ∩ B) = P(A|B)P(A)=P(B|A)P(B) 
0 ≤ P(A|B) ≤ 1
Dem: A ∩ B está contido em B, logo P(A ∩ B) ≤ P(B), portanto,
2) P(Ω|B)=1
3)
Ω ∩ B = B, logo P(Ω ∩ B)=P(B), portanto,
Exemplo: Uma urna contem 3 bolas vermelhas e duas brancas. Seleciona-se duas bolas sem reposição. Qual a probabilidade de aparecer: nenhuma bola branca? Uma bola branca? duas bolas brancas?
Espaço Amostral Ω={BB, BV, VB, VV}
P(nenhuma Branca)=0,3 P(uma Branca)=0,3+0,3=0,6 P(duas brancas)=0,1
EVENTOS INDEPENDENTES: Dois eventos são independentes se
Exemplo: No lançamento de 3 moedas os eventos: A - a primeira moeda é cara e B - aparece cara na 2ª e 3ª moedas são independentes.
Exemplo: No lançamento de um dado considere os seguintes eventos: A – O 1º dado é par; B – O 2º dado é dois; C – O 1º dado é ímpar; D – O 2º dado é cinco ou seis. Pede-se:
a) P(A|B)
b) P(A|C)
c) P(A|D)
EVENTOS MUTUAMENTE INDEPENDENTES: Três eventos são independentes se as condições abaixo são satisfeitas:
Exemplo: No lançamento de três moedas considere os eventos
A: aparece cara na primeira moeda
B: aparece cara na segunda moeda
C: aparece coroa na terceira moeda
Estes três eventos são mutuamente independentes.
Exemplo: Podemos ter as condições 2), 3) e 4) satisfeitas, mas, a condição 1) não ser satisfeita. Seja o espaço amostral Ω={a,b,c,d}. Considere os eventos A{a,d}; B={b,d} e C={c,d}. Então, a condição 1) não é satisfeita, porem as outras três condições são satisfeita. Logo esses eventos não são mutuamente independentes.
Partição: Seja Ω = A1 U A2 U ... U An, de forma que P(Ai)>0 para todo i=1,2,... e Ai ∩ Aj= { }, para todo i diferente de j, então, dizemos que a coleção de conjuntos A1, A2, ..., An forma uma partição do espaço amostral Ω.
OBS: Podemos estender esse conceito para uma coleção infinita A1, A2, ....
OBS: 
Teorema da Probabilidade Total: Sejam A1, A2,...,An, uma partição de Ω, então, para qualquer conjunto B de Ω temos que
P(B)=P(B|A1)P(A1)+P(B|A2)P(A2)+...+P(B|An)P(An)
Dem. Observe que B = (B ∩ A1) U (B ∩ A2) U ... U (B ∩ An) 
Portanto, P(B) = P((B ∩ A1) U (B ∩ A2) U ... U (B ∩ An) )=
 = P(B ∩ A1) + P(B ∩ A2) + ... + P(B ∩ An)
 
Exemplo: Uma urna contem 3 bolas brancas e 2 amarelas, outra urna contem 4 bolas brancas e 2 amarelas. Escolhe-se uma urna e retira-se uma bola, qual a probabilidade da bola retirada ser branca?
Exemplo: Uma urna contem 3 bolas brancas e 2 amarelas, outra urna contem 4 bolas brancas e 2 amarelas. Escolhe-se uma urna e retira-se uma bola, qual a probabilidade da bola retirada ser branca?
Teorema de Bayes: Sejam A1, A2 , . . . , An uma partição de Ω e B um evento qualquer de Ω, então, para qualquer i = 1, . . . , n, temos que
Ou seja,
Dem.
Exemplo: Uma urna contem 3 bolas brancas e 2 amarelas, outra urna contem 4 bolas brancas e 2 amarelas. Escolhe-se uma urna e retira-se uma bola, sabendo-se que a bola retirada foi branca, qual a probabilidade de ter vindo da urna I?
Exemplo: Uma urna contem 3 bolas brancas e 2 amarelas, outra urna contem 4 bolas brancas e 2 amarelas. Escolhe-se uma urna e retira-se uma bola, sabendo-se que a bola retirada foi branca, qual a probabilidade de ter vindo da urna I?
Exemplo: Três máquinas M1, M2 e M3 fabricam o mesmo tipo de parafusos. A probabilidade da máquina M1 fabricar um parafuso com defeito é 0,2, já M2 é 0,1 e M3 é 0,15. Sabendo-se que de um lote de 50 parafusos 20 vieram de M1, 25 de M2 e o restante de M3. Seleciona-se um parafuso.
a) Qual a probabilidade do parafuso ser defeituoso?
b) Sabendo-se que o parafuso é defeituoso qual a probabilidade dele ter sido fabricado pela máquina M1? E pela máquina M2? E pela máquina M3?