INEQUACOES

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Inequações
Diferente das equações, as inequações são expressões matemáticas que apresentam em sua configuração sinais de desigualdade. Veja: 
>: maior que 
<: menor que 
≥: maior ou igual que 
≤: menor ou igual que 
As inequações são utilizadas em cálculos envolvendo restrições ao valor da incógnita. Por exemplo, ao resolvermos a equação 2x + 5 > 11, descobrimos que seu valor é correspondente a x > 3, de modo a respeitar a condição da inequação. 
Os sinais de desigualdade podem ser utilizados em qualquer expressão matemática envolvendo incógnitas, como funções do 1º grau, do 2º grau, exponenciais, logarítmicas, trigonométricas, modulares. 
As inequações também possuem gráficos representados no plano cartesiano. Na construção deles devemos levar em consideração o sinal da desigualdade. 
	 Denominamos inequação toda sentença matemática aberta por uma desigualdade.
Intervalos
Uma propriedade importante dos números reais é que se apresentam ordenados: 0 é menor do que 1, -3 é menor do que -2,5, e assim por diante; podemos visualizar esta propriedade observando a reta real. Quando três números reais estão ordenados dizemos que um está entre os outros e assim teremos intervalos. 
Em resumo teremos: 
	Intervalos
	Gráfico
	Exemplo
	Aberto (a,b)
	. ( ) .
 a b 
	(-2,1) . ( ) .
-2 < x < 1 -2 1
	Fechado [a,b]
	. [ ] .
 a b
	[-3,2] . [ ] .
-3≤ x ≤ 2 -3 2
	Semi-aberto (a,b] ou [a,b)
	. ( ] .
 a b
	[4,9) . [ ) .
4 ≤ x < 9 4 9
 
	Além de intervalos finitos, encontraremos intervalos infinitos. O símbolo ∞, chamado infinito, não é um número real. É usado aqui por razões de notação.
Exemplo
 ( representa-se x > -2 ou (-2, ∞)
 -2
 ] representa-se x ≤ 1 ou (- , 1]
 1
   
Inequações de primeiro grau
As inequações do 1º grau com uma variável podem ser escritas numa das seguintes formas:
, , , , como  a e b reais 
Exemplo 1
Construir o gráfico da inequação x + 4 ≥ 0, de acordo com a raiz da função. 
	y = 0 
x + 4 ≥ 0 
x ≥ – 4 
S= [-4, ∞)
	
Exemplo 2
Determinando o gráfico da inequação –2x + 7 > 0. 
	–2x + 7 > 0 
–2x > –7 
x < –7/2 
x < –3,5 
S= (- , - 3,5)
	
Dizemos que uma inequação do 1° grau é simultânea quando aparecer duas desigualdades numa só sentença. 
Exemplo: 2 < 3x + 1 < 7
2 - 1 < 3x < 7 - 1
1 < 3x < 6
1< x < 2 S = (1/3, 2)
3
Inequações de segundo grau
Uma inequação do 2° grau na incógnita x é uma expressão do 2° grau que pode ser escrita numa das seguintes formas:
	ax² + bx + c > 0
ax² + bx + c < 0
	ax² + bx + c ≥ 0
ax² + bx + c ≤ 0
Para resolvermos uma inequação do segundo grau devemos estudar o sinal da função correspondente equação.
1. Igualar a sentença do 2° grau a zero;
2. Localizar e (se existir) as raízes da equação no eixo x.
3. Estudar o sinal da função correspondente, tendo-se como possibilidades:
	a > 0
	a < 0
	
	
	
	
	
	
Exemplo 1: Resolva a inequação -x² + 4 ≥ 0.
	Solução:
-x² + 4 = 0.
x² - 4 = 0.
x1 = 2
x2 = -2
	 
Exemplo 2: x2 +x - 2 ≥ 0
	X1 = -2
X2 = 1
	
 S = (- ,, -2] U [1, )
Exercícios
1. Determinar os intervalos de números que satisfaçam as desigualdades abaixo. Fazer a representação gráfica.. 
	a) 3 – x < 5 + 3x
b) 2x – 5 < 1 + 3x + 1 - x
 3 4 3
c) 2 > -3 -3x -7 
d) 5 < 3
 x 4
e) 6(x – 5) – 2(4x +2) ≥ 80 
	f) 3(x – 1) x + 5 < 2x + 4
g) x - 1 - 1 < 2(1 - 3x) - 5
 2 4 3 6
2. Se –1< 2x + 3 <1, então 2 – x está entre:
a) 1 e 3		b) –1 e 0		c) 0 e 1 		d) 1 e 2 		e) 3 e 4
3. Resolva as seguintes inequações do 2º grau, sendo U = R:
a) – x² + 9 ≤ 0
b) x² - 3x – 4 < 0
c) – x² + 2x – 4 > 0
d) x² - 16 0
e) (3x – 1)(x + 1) ≥ 0
f) (x + 5)(x – 5) < 0
g) (x – 2)² < 2x – 1
Respostas
	1.
a){ x > - 1/2}
b) {x < 68/19}
c) {- 5/3 < x ≤ 4/3}
d) {x > 20/3}
	e) {x ≤ - 57}
f) {1 < x ≤ 4}
g) {x < 7/30}
2) e
	3.
a) (- , -3]U[3, )
b) (-1,4)
c) ɸ
d) [-4, 4]
	e) (- , - √1/3]U[√1/3, )
f) (-5,5)
g) (1,5)
Inequação Produto 
Resolver uma inequação produto consiste em encontrar os valores de x que satisfazem a condição estabelecida pela inequação. Para isso utilizamos o estudo do sinal de uma função.
Exemplo:(2x + 6).( – 3x + 12) > 0. 
	y1 = 2x + 6 
2x + 6 = 0 
2x = – 6 
x = –3 
	
	y2 = – 3x + 12 
–3x + 12 = 0 
–3x = –12 
x = 4 
	
Verificando o sinal da inequação produto (2x + 6)(– 3x + 12) > 0. Observe que a inequação produto exige a seguinte condição: os possíveis valores devem ser maiores que zero, isto é, positivo.
S= {x Є R / –3 < x < 4} = (-3,4)
 
Inequação quociente 
Na resolução da inequação quociente utilizamos os mesmos recursos da inequação produto, o que difere é que, ao calcularmos a função do denominador, precisamos adotar valores maiores ou menores que zero e nunca igual a zero. 
 
	y1 = x + 1 
x + 1 = 0 
x = –1 
	
	y2 = 2x – 1 
2x – 1 = 0 
2x = 1 
x = 1/2 
	
S = {x Є R / –1 ≤ x < 1/2 } = [-1, 1/2)
c) (2x2 - 3x + 10).( -5x2 + 8x - 4) > 0 
Exercícios
Resolva as inequações:
a) (2x - 2).(5x+10) > 0
b)(3x+2).(2x-5).(-x+4) ≤ 0
c) 2x - 6 ≥ 0
 - x + 5 
d) x + 3 ≤ 1
 5x -1
e) (-3x2 - 6x).(x + 3) ≥ 0
f) x2 - 1 ≥ 1
 x2 - 5x + 6
g) 4x - 1 < x2 + 2x ≤ 3x + 6
h) - x2 + 9x - 20 ≤ 0
 2x - 6
Respostas
a) S = {x Є R / x < -2 ou x > 1}
b) S = {x Є R / –2/3 ≤ x ≤ 5/2 ou x ≥ 4}
c) S = [3,5)
d) S = (- , 1/5)U[1, )
e) S = {x Є R / x ≤ -3 ou –2 ≤ x ≤ 0}
f) S = {x Є R / 7/5 ≤ x < 2 ou x > 3}
g) S = {x Є R / x < -8 ou x > 7}