FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA BINOMIO DE NEWTON

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Fundamentos da Matemática
 BINÔMIO DE NEWTON
 
 Formula de binômio de Newton
 Gabriel Tebaldi Santos 
RA: 160508
 
 Sumário
Introdução...............................................................................................3
Biografia de Newton...............................................................................4
Binômio de Newton................................................................................5
Números Binomiais.................................................................................8
Biografia Blaise Pascal...........................................................................10
Triângulo de Pascal.................................................................................11
 
Introdução
 
 Em matemática , binômio de Newton permite escrever na forma canônica o 
polinômio correspondente à potência de um binômio . O nome é dado em homenagem 
ao físico e matemático Isaac Newton .
 Entretanto deve-se salientar que o binômio de Newton não foi o objeto de estudos de 
Isaac Newton . Na verdade o que Newton estudou foram regras que valem para (α + b)
ⁿ quando o expoente n é fracionário ou inteiro negativo , o que leva ao estudo de series 
infinitas.
 
Biografia de Isaac Newton
 Isaac Newton (1642-1727) foi cientista inglês. Descobriu a "Lei da Gravitação Universal". 
É considerado um dos maiores estudiosos da história. Estudou e publicou trabalhos sobre 
mecânica, astronomia, física, química e matemática e alquimia. Também descobriu o cálculo 
infinitesimal. Há também escritos seus sobre teologia.
 Isaac Newton (1642-1727) nasceu numa pequena aldeia da Inglaterra, no dia 25 de dezembro 
de 1642. Nasceu prematuro e ficou órfão de pai. Com dois anos foi morar com sua avó. Era um 
aluno mediano na escola, mas desde cedo manifestava interesse por atividades manuais. Fez um 
moinho de vento, que funcionava e um quadrante solar de pedra, que se encontra na Sociedade 
Real de Londres. Com 14 anos volta para casa de sua mãe.
 Com 18 anos é aceito no Trinity College, da Universidade de Cambridge. Passou quatro 
anos em Cambridge e recebeu seu grau de Bacharel em Artes, em 1665. Tornou-se amigo do 
Professor Isaac Barrow, que o estimulou a desenvolver suas aptidões matemáticas. Durante 
dezoito meses a universidade fica fechada, em consequência de uma epidemia de peste 
bubônica, que assolou a Inglaterra e matou um décimo da população.
 Isaac Newton voltou para casa de sua mãe e durante esse tempo desenvolveu as leis básicas da 
Mecânica, estudou os corpos celestiais, descobriu a lei fundamental da gravitação, inventou os 
métodos de cálculo diferencial e integral, e estabeleceu os alicerces de suas grandes descobertas 
ópticas. Passou o resto da vida científica ampliando essas descobertas. Em 1667, volta para a 
universidade, torna-se professor de Matemática, sucedendo o professor Isaac Barrow.
 Dedicou-se a pesquisar os raios luminosos. Chegou a conclusão que a luz é o resultado do 
veloz movimento de uma infinidade de minúsculas partículas emitidas por um corpo luminoso. 
Ao mesmo tempo descobriu que a luz branca resulta da mistura das sete cores básicas. Inventou 
um novo sistema matemático de cálculo infinitesimal, aperfeiçoou a fabricação de espelhos e 
lentes, fabricou o primeiro telescópio refletor, descobriu as leis que regem os fenômenos das 
marés, numa época que as atividades econômicas dependiam da navegação marítima.
 Em 1684 o famoso astrônomo Edmund Halley visitou Newton a fim de debater as teorias 
de Kepler, sobre os movimentos planetários. Halley comprovou que Newton elaborara 
detalhadamente uma das mais fundamentais de todas as leis, a "Lei de Gravitação Universal". 
Halley convenceu Newton a publicar suas descobertas e prontificou-se a pagar todos os custos. 
O resultado foi intitulado "Philosophiae Naturalis Principia Mathematica", publicado em 1687, 
em três volumes, escrita inteiramente em latim, a língua científica da época.
 Nessa obra também tratou questões sobre pressão atmosférica, velocidade do som e 
a densidade do ar. Fez previsões para o fim do mundo baseadas nas escrituras bíblicas, 
especialmente, no livro de Daniel, e que o acontecimento seria no ano de 2060, do calendário 
gregoriano.
 Isaac Newton fez fortuna na Bolsa Londrina. Em 1699 a Rainha Ana nomeou-o diretor da 
Casa da Moeda. Foi eleito duas vezes membro do Parlamento. Em 1703 foi eleito presidente 
da Sociedade Real, que congregava os mais célebres pensadores da época, tornando-se 
vitalício. Foi sócio correspondente da Academia Francesa de Ciências. Em 1705, a Rainha lhe 
concede o título de "Sir". Foi o primeiro cientista a receber tal honra. Isaac Newton faleceu 
em Londres, no dia 20 de março de 1727. Seu funeral foi grandioso. Seis nobres membros 
do Parlamento inglês carregaram seu ataúde, até a Abadia de Westminster, onde repousa até 
hoje seus restos mortais. Em sua homenagem foi erguida em Cambridge, uma estátua com os 
dizeres: "Ultrapassou os humanos pelo poder de seu pensamento".
 
Binômio de Newton
Nos inteiros a multiplicação de termos iguais, chamada de potenciação, é em geral definida 
por meio de indução: 
Dados não nulos e m,n naturais quaisquer, valem as seguintes propriedades.
As provas seguem imediatamente das definições acima e do princípio de indução.
 Outra operação nos números naturais que também é frequentemente definida por
indução é fatorial. Para cada inteiro não negativo n , definimos o fatorial de n , denotado por n!,
da seguinte forma:
Teorema 1: Sejam dados n inteiro positivo e conjuntos A e B com n elementos. O conjunto de
todas as bijeções f : A à B tem n! elementos.
 A afirmação é óbvia quando n =1. Suponha que a afirmação seja verdadeira para conjuntos 
com k elementos, vamos provar que o resultado se mantém para conjuntos com (k +1) 
elementos. 
Para um elemento fixado, existem (k +1) possibilidades de escolha para a
imagem de a por um bijeção. Para cada uma dessas escolhas, existem k ! bijeções f : AàB
(pela hipótese de indução). Segue que o número total de bijeções é (k +1) . k ! = (k +1)!,
concluindo assim a prova do teorema.
 O fatorial é fundamental no binômio de Newton. Para m ≥ n inteiros não nulos,
Definimos
 
Afirmamos que para m inteiro não negativo dado e n inteiro tal m ≥ n , tem-se que 
é um inteiro. A idéia da demonstração é usar indução sobre m . Se m = 1, então as
possibilidades para n são n = 0 ou n = 1, donde
Suponha que a afirmação seja verdadeira para m , vamos provar que também vale para
 
(m+1) .
De fato, uma conta simples mostra que:
Pela hipótese de indução, as parcelas são inteiros, donde é
inteiro. Isto termina a prova do teorema.
Agora estamos prontos para apresentar o teorema do binômio de Newton. Embora o
resultado seja válido para vamos enunciá-lo apenas para o caso 
Teorema 2 (Binômio de Newton) Dados inteiros a e b e um natural n , tem-se
Demonstração: A igualdade é claramente verdadeira para n = 1. Suponha que a afirmação seja
verdadeira para n e vamos provar que também é verdadeira para (n + 1) . Como
A primeira soma pode ser escrita como:
A segunda soma pode ser escrita como:
Assim, temos que
 
Concluindo desse modo a prova do teorema.
 Algumas propriedades importantes decorrem do Binômio de Newton.Vejamos
algumas imediatas.
•
Tomando a = b = 1 no binômio de Newton obtemos que: 
•
Tomando a = -b = 1no binômio de Newton obtemos que: 
 Um resultado importante que decorre do binômio de Newton é a desigualdade de
Bernoulli.
Teorema 3 (Desigualdade de Bernoulli) Se x ≥ -1 e n natural, então vale a seguinte
desigualdade
(1+ x)ⁿ ≥ 1+ nx .
Demonstração: A prova pode ser feita por indução sobre n . Notemos que a desigualdade se
verifica claramente quando n = 1. Por outro lado,
 
NUMEROS BINÔMIAIS:
Número binomial é todo número da forma: 
n e o numerador e p e o denominador do binomial
Para p = 0 ,
Para p = 1,
Para p = n,
Exemplos:
Binomiais consecutivos
 Dois binomiais são consecutivos se tem mesmo numerador e denominadores consecutivos.
 são binomiais consecutivos.
 são binomiais consecutivos
 são binomiais consecutivos.
Propriedade (Relação de Stifel)
 A soma de dois binomiais consecutivos resulta num binomial cujo numerador e uma unidade
maior que o numerador dos binomiais somados, e cujo denominador e o maior dos 
denominadores
envolvidos na soma.
 
Binomiais complementares:
 Dois binomiais de mesmo numerador são complementares se a soma de seus denominadores
resulta o numerador.
 são complementares
 são complementares.
Propriedade:
Binomiais complementares so iguais.
 
Igualdade:
 
Biografia Blaise Pascal:
Blaise Pascal (1623-1662) foi um matemático, físico, filósofo e escritor francês. O seu pai 
era diretor da repartição de impostos da cidade de Clermont-Ferrand e Pascal, aos 19 anos, 
construiu a primeira máquina de calcular do mundo para ajudar o pai nos
cálculos dos impostos.
 
 A máquina de calcular de pascal era feita por uma série de engrenagens , a cada uma das quais 
correspondiam os números de 0 a 9. As rodas estavam concebidas de tal forma qua a cada dez 
voltas da primeira correspondia uma volta da segunda , a dez voltas da segunda correspondia 
uma da terceira e assim por diante. O sistema inventado por Pascal foi sendo aperfeiçoado e 
ainda hoje é utilizado- por exemplo, nos conta-quilômetros mecânicos .
 
 O nome de Pascal esta também associado a um arranjo triangular de números que se reveste 
de propriedades notáveis e que de há muito era conhecido dos matemáticos . Este triangulo 
aritmético aparece pela primeira vez em textos indianos do século III A.C. , ou seja , 200 anos 
antes de Pascal. Surge também em obras do matemático árabe Alkhayyami (c. 1150 d.C) , do 
chinês Yang Hui (c. 1250 d.C.) e do italiano Tartaglia (1556).
 
 No entanto , o estudo exaustivo que pascal fez deste triangulo , no âmbito da teoria das 
probabilidades , fez com que o seu nome lhe ficasse doravante associado.
 
O Triângulo de Pascal
Arranjando todos os coeficientes binomiais em um esquema triangular:
Podemos substituir cada coeficiente binomial por um valor numérico, para obter uma outra 
versão do Triângulo de Pascal 
Identidades do Triângulo de Pascal
Uma propriedade do Triângulo de Pascal é que todo número no Triângulo (exceto os 1’s na 
fronteira) é a soma dos dois números imediatamente acima dele.
 
Provando a identidade abaixo usando a propriedade visto acima :
 
Assim, é possível substituir :
Por conseguinte obtêm-se a soma:
que é 0, pois o segundo termo em cada parênteses se cancela com o primeiro termo do próximo 
parêntese.
O que será obtido se forem adicionados e subtraídos os coeficientes binomiais de forma 
alternada?
Aplicando o mesmo truque anterior, obtêm-se :
Aqui todos os termos se cancelam exceto o último:
 
 
Qual é a soma dos quadrados dos elementos em cada linha?
Pode-se reconhecer esses números como os números na coluna do meio do triângulo de Pascal.
Daí os exemplos acima sugerem a seguinte identidade:
É claro que os poucos experimentos acima não provam que essa identidade sempre se verifica, 
portanto é necessária uma prova.
Comece com o primeiro elemento na n-ésima linha, e some os elementos andando para baixo 
diagonalmente para a direita.
 
Esses números são exatamente os números na próxima linha diagonal da tabela.
Se desejamos por isso numa fórmula, obtemos:
Para provar essa identidade, pode-se usar indução sobre k.
Aluno : Gabriel Tebaldi Santos RA: 160508
Bibliografia 
 http://www.dma.uem.br/kit/arquivos/arquivos_pdf/binomionewton.pdf
http://produvasf.webs.com/Mat_em/BINOMIO_DE_NEWTON.pdf
http://matspc.no.sapo.pt/Pascal.PDF
http://www.brasilescola.com/matematica/binomio-newton.htm
http://www.cultura.ufpa.br/dicas/biome/biopdf/biotri.pdf
http://www.cin.ufpe.br/~gdcc/matdis/aulas/binomial