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17/09/2021 22:25 Ead.br https://unp.blackboard.com/webapps/late-course_content_soap-BBLEARN/Controller?ACTION=OPEN_PLAYER&COURSE_ID=_730841_1&PA… 1/29 ANÁLISE COMBINATÓRIA EANÁLISE COMBINATÓRIA E PROBABILIDADEPROBABILIDADE BINÔMIO DE NEWTON EBINÔMIO DE NEWTON E EXPANSÃO MULTINOMIALEXPANSÃO MULTINOMIAL Autor: Me. Luciane Aparecida Marostegan Revisor : E la ine Stur ion I N I C I A R 17/09/2021 22:25 Ead.br https://unp.blackboard.com/webapps/late-course_content_soap-BBLEARN/Controller?ACTION=OPEN_PLAYER&COURSE_ID=_730841_1&PA… 2/29 introdução Introdução Nesta unidade, desenvolvemos quatro tópicos importantes: coe�cientes binomiais e suas propriedades, triângulo de Pascal e suas propriedades, fórmula do desenvolvimento do binômio de Newton e o termo geral no desenvolvimento do mesmo e expansão multinomial, conhecida como polinômio de Leibniz, seus coe�cientes e teorema. Vamos mostrar, primeiramente, que os coe�cientes binomiais são os elementos do triângulo de Pascal, isto é, os coe�cientes binomiais no desenvolvimento do binômio de Newton de ordem n correspondem à linha n do triângulo de Pascal. Veremos o teorema de Newton e, em seguida, o termo geral no desenvolvimento do binômio de ordem n. Utilizaremos exemplos para melhor compreensão da teoria e algumas aplicações em outras áreas do conhecimento, por exemplo na informática (na utilização da criptogra�a, largamente empregada por bancos para segurança contra fraudes) e na genética, dentre outras. 17/09/2021 22:25 Ead.br https://unp.blackboard.com/webapps/late-course_content_soap-BBLEARN/Controller?ACTION=OPEN_PLAYER&COURSE_ID=_730841_1&PA… 3/29 Para desenvolvermos o binômio de Newton, é necessário sabermos o que são os coe�cientes binomiais, suas propriedades e o triângulo de Pascal. Os coe�cientes binomiais são os elementos de que compõem o triângulo de Pascal, e esses coe�cientes são combinações, que vimos na Unidade I em análise combinatória. Vamos iniciar o desenvolvimento do binômio de Newton. Seja um número natural. Já conhecemos o desenvolvimento de para alguns valores de : Binômio de NewtonBinômio de Newton n (x+ y)2 n = 1(x+ y)0 = 1x+ 1y(x+ y)1 = 1 + 2xy+ 1(x+ y)2 x2 y2 = 1 + 3 y+ 3x + 1(x+ y)3 x3 x2 y2 y3 = 1 + 4 y+ 6 + 4x + 1(x+ y)4 x4 x3 x2y2 y3 y4 17/09/2021 22:25 Ead.br https://unp.blackboard.com/webapps/late-course_content_soap-BBLEARN/Controller?ACTION=OPEN_PLAYER&COURSE_ID=_730841_1&PA… 4/29 Vamos escrever os coe�cientes das expressões desenvolvidas a seguir: 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 Se �zermos as combinações , , vamos obter os seguintes resultados: Vamos tornar =. Vejamos como �cam os resultados: Cn,0 ,Cn,1 ,Cn,2 ,Cn,3 Cn,4 = = 1Cn,0 n! 0! = = nCn,1 n! 1! (n− 1)! = =Cn,2 n! 2! (n− 2)! n (n− 1) 2! = =Cn,3 n! 3! (n− 3)! n (n− 1) (n− 2) 3! =Cn,4 n! 4! (n− 4)! n (n− 1) (n− 2) (n− 3) 4! n = 3 = = 1C3,0 3! 0! = = 3C3,1 3! 1! (3 − 1)! = = = 3C3,2 3! 2! (3 − 2)! 3 (3 − 1) 2! 17/09/2021 22:25 Ead.br https://unp.blackboard.com/webapps/late-course_content_soap-BBLEARN/Controller?ACTION=OPEN_PLAYER&COURSE_ID=_730841_1&PA… 5/29 As combinações acima são os coe�cientes do binômio de Newton de grau 3. Vamos tornar agora. Vejamos os resultados: As combinações acima são os coe�cientes do binômio de Newton de grau 4. Portanto, os coe�cientes dos binômios são iguais aos resultados das combinações. Vamos, a seguir, ver a de�nição de coe�cientes binomiais. = = = 1C3,3 3! 3! (3 − 3)! 3 (3 − 1) (3 − 2) 3! n = 4 = = 1C4,0 4! 0! = = 4C4,1 4! 1! (4 − 1)! = = = 6C4,2 4! 2! (4 − 2)! 4 (4 − 1) 2! = = = 4C4,3 4! 3! (4 − 3)! 4 (4 − 1) (4 − 2) 3! = = 1C4,4 4! 4! (4 − 4)! 4 (4 − 1) (4 − 2) (4 − 3) 4! 17/09/2021 22:25 Ead.br https://unp.blackboard.com/webapps/late-course_content_soap-BBLEARN/Controller?ACTION=OPEN_PLAYER&COURSE_ID=_730841_1&PA… 6/29 De�inição Coe�icientes Binomiais “Dados dois números naturais, , com , de�nimos o Coe�ciente Binomial e indicamos por . O número é dito numerador e o número é chamado denominador de ” (IEZZI et al., 2005, p. 395). Casos particulares: 1° Quando , temos 2º Quando , temos 3º Quando , temos Os coe�cientes binomiais têm aplicação no estudo do desenvolvimento de , como veremos adiante. Outra de�nição do coe�ciente binomial: “Sejam O símbolo denota o número de subconjuntos de k elementos de um conjunto de n elementos” (SCHEINERMAN, 2011, p. 117). Figura 2.1 - Isaac Newton Fonte: radiantskies / 123RF. n e p n ≥ p = Cn,p n!p!(n−p)! n p Cn,p p = 0 = = 1, ∀n ∈ ℵCn,0 n! 0!(n−0)! p = 1 = = = n, ∀n ∈ ℵCn,1 n! 1!(n−1)! n(n−1)! (n−1)! p = n = = = 1, ∀n ∈ ℵCn,n n! n!(n−n)! n! n! 0! (x+ y)n n, k ∈ ℵ. Cn,k 17/09/2021 22:25 Ead.br https://unp.blackboard.com/webapps/late-course_content_soap-BBLEARN/Controller?ACTION=OPEN_PLAYER&COURSE_ID=_730841_1&PA… 7/29 Coe�icientes Binomiais Complementares Segundo Iezzi et al. (2005, p. 396), “dois Coe�cientes Binomiais de mesmo numerador, e são complementares quando a soma de seus denominadores é igual ao numerador, isto é, ”. Propriedade: 1. Se os coe�cientes binomiais .e são complementares, isto é, , então eles são iguais. 2. = , sendo números naturais, tais que . Vamos ver dois exemplos para �car mais fácil o entendimento: Exemplo 1. Calcule: Solução: Note que os pares de coe�cientes binomiais: . são complementares, e, portanto, iguais. Então, temos: S = + + + As três primeiras parcelas são iguais a zero, portanto: Exemplo 2. Ao resolvermos a equação , chegamos a duas possibilidades: Cn,p , Cn,q p+ q = n Cn,p Cn,q p+ q = n Cn,p ⇔ (p = q ou p+ q = n)Cn,q n, p e q n ≥ p e n ≥ q S = +C6,0 + +C6,1 C6,2 − −C6,3 C6,4 −C6,5 C6,6 eC6,0 C6,6 eC6,1 C6,5 e$C6,2 C6,4 −C6,0 C6,6 −C6,1 C6,5 −C6,2 C6,4 C6,3 S = = = = = = = 20C6,3 6! 3!(6−3)! 6! 3!3! 6⋅5⋅4⋅3! 3!3! 6⋅5⋅4 3⋅2⋅1 120 6 =C10,x C10,4 x = 4 ou x+ 4 = 10 → x = 6 17/09/2021 22:25 Ead.br https://unp.blackboard.com/webapps/late-course_content_soap-BBLEARN/Controller?ACTION=OPEN_PLAYER&COURSE_ID=_730841_1&PA… 8/29 praticar Vamos Praticar Vamos aplicar o conceito de coe�ciente binomial complementar, isto é, dizemos que dois coe�cientes de mesmo numerador são complementares quando a soma de seus denominadores é igual ao numerador. Utilizando essa de�nição, resolva a equação e assinale a alternativa correta. a) b) c) d) e) =C21,x+5 C21,−2x+17 S = {1, 4} S = {1} S = {4} S = {−2} S = {16} 17/09/2021 22:25 Ead.br https://unp.blackboard.com/webapps/late-course_content_soap-BBLEARN/Controller?ACTION=OPEN_PLAYER&COURSE_ID=_730841_1&PA… 9/29 Segundo Iezzi et al. (2005, p. 397), “os coe�cientes binomiais podem ser dispostos em linhas, formando uma tabela. Nela os coe�cientes de mesmo numerador agrupam-se em uma mesma linha e coe�cientes de mesmo denominador agrupam-se em uma mesma coluna”, como a seguir: Linha 0 Linha 1 Linha 2 Linha 3 Linha 4 … Linha n ... Triângulo de PascalTriângulo de Pascal → C0,0 → C1,0C1,1 → C2,0C2,1C2,2 → C3,0C3,1C3,2C3,3 → C4,0C4,1C4,2C4,3C4,4 → Cn,0Cn,1Cn,2Cn,3Cn,4 Cn,n 17/09/2021 22:25 Ead.br https://unp.blackboard.com/webapps/late-course_content_soap-BBLEARN/Controller?ACTION=OPEN_PLAYER&COURSE_ID=_730841_1&P… 10/29 Segundo Iezzi et al. (2005, p. 398), “calculando os valores dos coe�cientes binomiais, obtemos o que se costuma chamar de Triângulo Aritmético de Pascal”: 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 ……………………………… Blaise Pascal foi matemático, �lósofo e escritor. O triângulo foi descrito por ele em 1653. Observando o triângulo, temos que, a partir da linha nº 3, qualquer elemento é obtido pela soma de dois elementos da linha anterior (o elemento imediatamente acima e o anterior a ele). Lembrando que sempre o primeiro e o último elemento de cada linha é igual a 1. Figura 2.2 - Triângulo de Pascal Fonte:Peter Hermes Furian / 123RF. 17/09/2021 22:25 Ead.br https://unp.blackboard.com/webapps/late-course_content_soap-BBLEARN/Controller?ACTION=OPEN_PLAYER&COURSE_ID=_730841_1&P… 11/29 Propriedades do Triângulo de Pascal A seguir, apresentamos algumas das mais importantes propriedades do triângulo de Pascal. 1ª) Segundo Iezzi et al. (2005), toda linha começa e termina por 1. De fato, o 1º elemento de uma linha qualquer é , e o último elemento dessa linha é 2ª) Ainda de acordo com Iezzi et al. (2005), em uma mesma linha, os coe�cientes binomiais equidistantes dos extremos são iguais; Linha 5 saiba mais Saiba mais Uma Nota Histórica Pascal (Blaise) (1623-1662), francês, foi matemático, �lósofo e escritor. Reencontrou, aos doze anos, as primeiras proposições da geometria de Euclides; aos dezesseis anos, escreveu um Tratado das secções cônicas, que assombrou Descartes; aos dezoito anos, inventou uma máquina de calcular. Devem-se a ele, ainda, as leis da pressão atmosférica e do equilíbrio dos líquidos, o triângulo aritmético, o cálculo das probabilidades, a prensa hidráulica. Entretanto, a mais antiga referência que se conhece do triângulo deve-se ao chinês Yang Hai, em livros datados de 1261 a 1275. O livro indicado a seguir traz uma in�nidade de fatos históricos de muitos matemáticos e, claro, de Isaac Newton, Pascal e Leibniz, que vimos nesta unidade. É muito importante termos conhecimento do contexto histórico para assim entendermos a construção de toda a matemática que sabemos hoje. ACESSAR = 1, ∀k ∈ ℵCk,0 = 1, ∀k ∈ ℵCk,k C5,0C5,1C5,2C5,3C5,4C5,5 http://www.mat.ufmg.br/ead/wp-content/uploads/2016/08/introducao_a_historia_da_matematica.pdf 17/09/2021 22:25 Ead.br https://unp.blackboard.com/webapps/late-course_content_soap-BBLEARN/Controller?ACTION=OPEN_PLAYER&COURSE_ID=_730841_1&P… 12/29 1 5 10 10 5 1 Linha 6 1 6 15 20 15 6 1 Note que os coe�cientes equidistantes dos extremos são complementares e, portanto, iguais. 3ª) A partir da linha 3, qualquer elemento (exceto as extremidades) é igual à soma de dois elementos da linha anterior: o elemento imediatamente acima e o anterior a esse elemento (IEZZI et al., 2005) (à esquerda): 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 Essa propriedade, utilizada na construção do triângulo, é uma expressão da relação de Stifel: , ou ainda Exemplo 1. Para calcular podemos utilizar a relação de Stifel: = 4ª) A soma dos elementos da linha n é : C6,0C6,1C6,2C6,3C6,4C6,5 C6,6 + Cn,p Cn,p+1 =Cn+1,p+1 = + , ∀n ≥ pCn,p Cn−1,p Cn−1,p−1 + , C10,4 C10,5 +C10,4 C10,5 = = = = = 462C11,5 11! 5!6! 11⋅10⋅9⋅8⋅7⋅6! 5!6! 11⋅10⋅9⋅8⋅7 5⋅4⋅3⋅2⋅1 55440 120 2n 17/09/2021 22:25 Ead.br https://unp.blackboard.com/webapps/late-course_content_soap-BBLEARN/Controller?ACTION=OPEN_PLAYER&COURSE_ID=_730841_1&P… 13/29 1 = = 1 1 1 = = 2 1 2 1 = = 4 1 3 3 1 = 1 4 6 4 1 = = 16 Teorema das Linhas Segundo Morgado (2006): , temos: ... = . Ou seja, a soma dos elementos da linha n vale . Teorema das Colunas Conforme Morgado (2006), ... = Ou seja, a soma dos elementos de uma coluna do triângulo iniciando no primeiro elemento da coluna é igual ao elemento que está na coluna posterior, na linha que está abaixo dessa soma. Teorema das Diagonais Segundo Morgado (2006), ... = . Ou seja, a soma dos elementos de uma diagonal do triângulo de Pascal é igual ao elemento que está imediatamente abaixo da última parcela. A notação 20 21 22 = 823 24 ∀n ∈ ℵ + + +Cn,0 Cn,1 Cn,2 Cn,3+Cn,4+ +Cn,n 2 n 2n + + +Cp,p Cp,p+1 Cp,p+2 Cp,p+3+Cp,p+4+ +Cp,p+n Cp+1,p+n+1. + + +Cn,0 Cn+1,1 Cn+2,2 Cn+3,3+Cn+4,4+ +Cn+p,p Cn+p+1,p Σ 17/09/2021 22:25 Ead.br https://unp.blackboard.com/webapps/late-course_content_soap-BBLEARN/Controller?ACTION=OPEN_PLAYER&COURSE_ID=_730841_1&P… 14/29 Dada uma sequência , podemos escrever a soma de seus n primeiros termos usando a notação de somatória ou notação-sigma. Essa notação tem seu nome derivado da letra (sigma maiúscula do alfabeto grego, que corresponde à letra S). A notação é assim usada: O lado esquerdo da igualdade é lido: “A soma de ”. A letra k é chamada índice da somatória; a ideia é substituir k na expressão d epelos inteiros 1, 2, 3, …, n e somar as expressões que assim resultam, obtendo, então, o lado direito da igualdade. Exemplos: A. . B. = C. D. Determine o sexto termo no desenvolvimento binomial de . Solução: Para , a fórmula do termo geral nos dá o sexto termo do desenvolvimento: = = E. Determine o coe�ciente de no desenvolvimento binomial de Solução: , , , . . . ,a1 a2 a3 an Σ = + + +. . . + Σnk=1ak a1 a2 a3 an para k de 1 at nak é ak = + + + + = Σ5k=1k 2 12 22 32 42 52 55 Σ4k=1 1 k + + + =11 1 2 1 3 1 4 25 12 = + + = 1 + 5 + 10 = 16Σ2k=0C5,k C5,0 C5,1 C5,2 ( + )x−−√ 1x 15 k = 5 = ⋅ ⋅T6 C15,5 ( ) 1 x 5 ( )x−−√ 15−5 = ⋅ ⋅T6 C15,5 (x) −5 (x)5 ⋅ 1 = = = =C15,5 C15,5 15! 5!(15−5)! 15⋅14⋅13⋅12⋅11⋅10! 5!10! 15⋅14⋅13⋅12⋅11 5⋅4⋅3⋅2⋅1 = 3003360360 120 a8 (a+ )1 a 12 17/09/2021 22:25 Ead.br https://unp.blackboard.com/webapps/late-course_content_soap-BBLEARN/Controller?ACTION=OPEN_PLAYER&COURSE_ID=_730841_1&P… 15/29 Vamos determinar o termo do desenvolvimento . O termo geral do desenvolvimento é dado por: Para obter o termo em , fazemos: Trata-se, então, do terceiro termo: O coe�ciente de é = praticar Vamos Praticar Envolvendo os coe�cientes binomiais, há uma relação que é importante na resolução de problemas sobre tais coe�cientes: a relação de Stifel. Baseando-se nessa relação, resolva o problema a seguir e selecione a alternativa correta. Se um número natural é tal que , então é: a8 = ⋅ ⋅Tp+1 C12,p ( ) 1 a p a12−p = ⋅Tp+1 C12,p a 12−2p a8 12 − 2p = 8 p = 2 = ⋅T3 C12,2 a 8 a8 C12,2 = = = = 66 12! 2!(12−2)! 12⋅11⋅10! 2!10! 12⋅11 2 132 2 n + + =C10,5 C10,6 C11,7 C12,( −2)n2 n 17/09/2021 22:25 Ead.br https://unp.blackboard.com/webapps/late-course_content_soap-BBLEARN/Controller?ACTION=OPEN_PLAYER&COURSE_ID=_730841_1&P… 16/29 a) Igual a 6 ou -6. b) Um número par. c) Um número quadrado perfeito. d) Divisor de 15. e) Um número maior do que 10. Segundo Boyer (1996, p. 270), o teorema Binomial, descoberto em 1664 ou 1665, foi descrito em duas cartas de 1676 de Newton a Henry Oldenburg, secretário da Royal Society, e publicado por Wallis (dando o crédito a Newton) na Álgebra de Wallis de 1685. 17/09/2021 22:25 Ead.br https://unp.blackboard.com/webapps/late-course_content_soap-BBLEARN/Controller?ACTION=OPEN_PLAYER&COURSE_ID=_730841_1&P… 17/29 Binômio de Newton é o nome dado a todo binômio da forma tal que e é chamado ordem ou grau do binômio. Seja tem- se que: + + +...+ em que a) Utilizando o símbolo de somatórios, pode-se escrever: b) Número de parcelas: o desenvolvimento de tem n+1 parcelas ou termos. c) Cálculo dos coe�cientes: seja n e k números naturais com , o coe�ciente binomial é de�nido por = Analogamente, para o desenvolvimento de Teorema de NewtonTeorema de Newton (x+ y)n n ∈ ℵ x, y ∈ R e n ∈ ℵ, = (x+ y)n Cn,0xny0 Cn,1xn−1y1 Cn,2xn−2y2 Cn,nx0yn x e y ∈ Re n ∈ ℵ T1 T2 T3 Tn+1 = $$(x+ y)n ∑ k=0 n Cn,k x n−kyk (x+ y)n 0 ≤ k ≤ n Cn,k n! k!(n−k)! (x− y)n 17/09/2021 22:25 Ead.br https://unp.blackboard.com/webapps/late-course_content_soap-BBLEARN/Controller?ACTION=OPEN_PLAYER&COURSE_ID=_730841_1&P… 18/29 O termo é chamado termo geral do binômio, pois, atribuindo valores para obtemos todos os termos do desenvolvimento. Observações: 1ª) Na expressão do termo geral, o expoente de é sempre dado pela diferença entre o numerador e o denominadordo coe�ciente binomial, e o expoente de é igual ao denominador desse coe�ciente. 2ª) Na expressão do termo geral, o 1º termo do desenvolvimento é obtido fazendo-se ; o 2º termo é obtido fazendo-se ; e assim por diante. Assim, se quisermos determinar o p-ésimo termo, basta fazer Exemplo: Se quisermos saber o termo em no desenvolvimento de , basta usarmos o termo geral, que é: ( = = , para Assim: Assim, o termo de no desenvolvimento dado é: = $$(x− y)n (−1)k∑ k=0 n Cn,k x n−kyk ⋅ ⋅Cn,k xn−k yk k (k = 0, 1, 2, 3, . . . ,n) , x y k = 0 k = 1 k = p− 1. x4 (x+ )1 x√ 16 ⋅ ⋅C16,k x16−k 1 x√ )k ⋅C16,k x 16−k x k 2 ⋅C16,k x16− 3k 2 k = 0, 1, 2, . . . , 16 16 − = 4 ⇒ k = 83k2 x4 ⋅ = ⋅ = 12870C16,8 x4 16! 8!8! x4 x4 17/09/2021 22:25 Ead.br https://unp.blackboard.com/webapps/late-course_content_soap-BBLEARN/Controller?ACTION=OPEN_PLAYER&COURSE_ID=_730841_1&P… 19/29 praticar Vamos Praticar Muitas vezes, estamos interessados em determinar apenas um termo especí�co do desenvolvimento do binômio de Newton, sem precisar escrever todos os termos. Assim, se quisermos determinar o p-ésimo termo, basta tomarmos Para �xar esse tópico, determine qual é o termo independente de x no desenvolvimento do binômio e selecione a alternativa correta. a) 210. b) 10. c) 6. reflitaRe�ita São muitas as aplicações do binômio de Newton e triângulo de Pascal em diversas áreas do conhecimento. Uma das mais citadas na bibliogra�a é a aplicação na genética, no caso de herança quantitativa, ou poligênica, isto é, quando participam dois ou mais pares de genes. Os genes que fazem parte da herança são chamados de poligenes. Nesse tipo de herança poligênica, existe um padrão de distribuição que segue o binômio de Newton 〖(p+q)〗^n. Faça uma re�exão sobre o que você entendeu dessa aplicação e quais outras aplicações poderiam ser elencadas. Para re�etir, acesse o seguinte link: http://bit.ly/2U2BK46 k = p− 1. ( − )x2 1 x3 10 https://repositorio.unesp.br/bitstream/handle/11449/155330/000881835.pdf?sequence=1&isAllowed=y 17/09/2021 22:25 Ead.br https://unp.blackboard.com/webapps/late-course_content_soap-BBLEARN/Controller?ACTION=OPEN_PLAYER&COURSE_ID=_730841_1&P… 20/29 d) 4. e) 0. 17/09/2021 22:25 Ead.br https://unp.blackboard.com/webapps/late-course_content_soap-BBLEARN/Controller?ACTION=OPEN_PLAYER&COURSE_ID=_730841_1&P… 21/29 O desenvolvimento multinomial caracteriza-se em substituir o binômio de Newton por uma soma de k monômios quaisquer. Em resumo, queremos calcular os coe�cientes de cada um dos monômios obtidos na expansão de uma expressão do tipo , onde são inteiros positivos. Vamos ilustrar por meio de um exemplo: Exemplo 1. Encontre o coe�ciente de no desenvolvimento de . = Pelo princípio fundamental da contagem, temos maneiras de escolher uma variável de cada fator. Portanto, antes de agruparmos os termos repetidos, teríamos uma soma de 81 parcelas. Por outro lado, várias parcelas são iguais. Em particular, o coe�ciente de é igual ao número de parcelas nas quais escolhemos uma vez a variável , duas vezes a variável e Expansão Multinomial –Expansão Multinomial – Polinômio de LeibnizPolinômio de Leibniz ( + +. . . + )x1 x2 xk n k e n x zy2 (x+ y+ z)4 (x+ y+ z)4 (x+ y+ z) ⋅ (x+ y+ z) ⋅ (x+ y+ z) ⋅ (x+ y+ z) = 8134 x zy2 x y 17/09/2021 22:25 Ead.br https://unp.blackboard.com/webapps/late-course_content_soap-BBLEARN/Controller?ACTION=OPEN_PLAYER&COURSE_ID=_730841_1&P… 22/29 uma vez a variável . Isso é precisamente o número de anagramas de e, portanto, pode ser obtido por meio da seguinte fórmula: Logo, o coe�ciente de na expansão é igual a 12. De forma mais geral, , todos os termos do desenvolvimento de são da forma onde são inteiros não negativos tais que . De forma mais geral ainda, dados naturais , com , temos que todos os termos do desenvolvimento de ( são da forma onde e são inteiros não negativos. De fato, temos: ( ( ( Coe�icientes Multinomiais Em analogia aos coe�cientes binomiais, dado um inteiro e inteiros não negativos tais que , de�nimos o número multinomial, , como o coe�ciente de na expansão de Por outro lado, utilizando a notação de somatórios, obtemos a fórmula: ( = Vamos agora determinar como calcular o valor dos coe�cientes multinomiais de forma direta. Note que, se �zermos , teremos = e fazendo a aplicação do binômio de Newton, teremos que o coe�ciente de (ou ) no desenvolvimento desse binômio ( é: z xyyz = = = 12P 1,2,14 4! 1!2!1! 24 2 x zy2 (x+ y+ z)4 ∀n ∈ ℵ (x+ y+ z)n xaybzc a, b e c a+ b+ c = n n e k k ≥ 2, e k vari veis , , . . . , á x1 x2 xk + +. . . +x1 x2 xk) n ⋅ ⋅. . . ⋅xn11 x n2 2 x nk k + +. . . + = nn1 n2 nk +. . . + =x1 xk) n +. . . + )⋅. . . ⋅x1 xk +. . . + )x1 xk n vezes k ≥ 2 n e , , . . . ,n1 n2 nk + +. . . + = nn1 n2 nk Cn, , ,...,n1 n2 nk . . . x n1 1 x n2 2 x nk k ( + +. . . +x1 x2 xk) n + +. . . +x1 x2 xk) n . . . Σ + +...+ =nn1 n2 nk Cn, , ,...,n1 n2 nk x n1 1 x n2 2 x nk k k = 2 +n1 n2 n xn11 x n2 2 xn11 x n−n1 2 +x1 x2) n 17/09/2021 22:25 Ead.br https://unp.blackboard.com/webapps/late-course_content_soap-BBLEARN/Controller?ACTION=OPEN_PLAYER&COURSE_ID=_730841_1&P… 23/29 = = Para o caso geral, vale o seguinte teorema que veremos a seguir. Teorema Multinomial Dados inteiros não negativos tais que , o coe�ciente de no desenvolvimento de ( é igual a : = Exemplo: Qual o coe�ciente de no desenvolvimento de ( E o coe�ciente de no mesmo desenvolvimento? Solução: Basta aplicar o teorema multinomial diretamente: = Observe que pode ser visto como = praticar Vamos Praticar Se quisermos calcular os coe�cientes de cada um dos monômios obtidos na expansão de uma expressão do tipo , onde são inteiros Cn, ,n1 n2 Cn,n1 = n! !(n− )!n1 n1 n! ! !n1 n2 , , . . . ,n1 n2 nk + +. . . + = nn1 n2 nk ⋅ ⋅. . . ⋅x n1 1 x n2 2 x nk k + +. . . +x1 x2 xk) n Cn, , ,...,n1 n2 nk n! ! !... !n1 n2 nk wx3y4z2 x+ y+ z+ w ? )10 x6y4 C10, 3,4,2,1 = = 12600 10! 3!4!2!1! 10⋅9⋅8⋅7⋅6⋅5⋅4! 3!4!2!1! x6y4 x6y4z0w0 C10, 6,4,0,0 = = 21010!6!4!0!0! 10⋅9⋅8⋅7⋅6!! 6!4! ( + +. . . + )x1 x2 xk n k e n 17/09/2021 22:25 Ead.br https://unp.blackboard.com/webapps/late-course_content_soap-BBLEARN/Controller?ACTION=OPEN_PLAYER&COURSE_ID=_730841_1&P… 24/29 positivos, faremos = . Com base nesse conceito, calcule o coe�ciente de no desenvolvimento de ( e assinale a alternativa correta. a) 10.710. b) 17.010. c) 6.480. d) -6.480. e) 180. Cn, , ,...,n1 n2 nk n! ! !... !n1 n2 nk x4 1 + 3x− 2x2)10 17/09/2021 22:25 Ead.br https://unp.blackboard.com/webapps/late-course_content_soap-BBLEARN/Controller?ACTION=OPEN_PLAYER&COURSE_ID=_730841_1&P… 25/29 indicações Material Complementar FILME O jogo da imitação Ano: 2015 Comentário: O �lme trata de decodi�car mensagens criptografadas. Sistemas criptográ�cos são usados em transmissão de informação sigilosa, como acessos de internet banking, por exemplo. O binômio de Newton é um importante auxílio à informática, utilizando os dados probabilísticos para a escolha de uma medida adequada.f T R A I L E R 17/09/2021 22:25 Ead.br https://unp.blackboard.com/webapps/late-course_content_soap-BBLEARN/Controller?ACTION=OPEN_PLAYER&COURSE_ID=_730841_1&P… 26/29 LIVRO Matemática Gelson Iezzi, Osvaldo Dolce, David Degenszajn e Roberto Périgo Editora: Atual Comentário: esse livro trata de uma grande parte do conteúdo abordado de forma detalhada, com as demonstrações dos principais teoremas e propriedades e também uma in�nidade de exercícios e exercícios resolvidos para um melhor entendimento e aprofundamento da unidade. 17/09/2021 22:25 Ead.br https://unp.blackboard.com/webapps/late-course_content_soap-BBLEARN/Controller?ACTION=OPEN_PLAYER&COURSE_ID=_730841_1&P… 27/29 conclusão Conclusão Vimos, nesta unidade, o famoso binômio de Newton, suas propriedades e aplicações, assim como a construção do triângulo de Pascal a partir dos coe�cientes binomiais. Abordamoso conteúdo de forma a apresentarmos exemplos, para que o aluno tivesse a oportunidade de desenvolver o raciocínio lógico, a �m de então formalizarmos as de�nições, propriedades e teoremas. Esse modo de abordagem do conteúdo facilita o entendimento do aluno. A atividade no �nal de cada tópico ajudará o aluno a �xar todo o conteúdo abordado, bem como a leitura do artigo e a análise do �lme sugerido. O conjunto �nal desta unidade dará uma excelente base para as próximas etapas. referências Referências Bibliográ�cas BOYER, C. B. História da Matemática. São Paulo: Edgard Blucher, 1996. IEZZI, G. et al. Matemática: volume único. São Paulo: Atual, 2005. MOL, R. S. Introdução à História da Matemática. Belo Horizonte: CAED- UFMG, 2013. Disponível em: http://www.mat.ufmg.br/ead/wp- http://www.mat.ufmg.br/ead/wp-content/uploads/2016/08/introducao_a_historia_da_matematica.pdf 17/09/2021 22:25 Ead.br https://unp.blackboard.com/webapps/late-course_content_soap-BBLEARN/Controller?ACTION=OPEN_PLAYER&COURSE_ID=_730841_1&P… 28/29 content/uploads/2016/08/introducao_a_historia_da_matematica.pdf. Acesso em: 9 dez. 2019. MORGADO, A. C. de O. et al. Análise combinatória e probabilidade. 9. ed. Rio de Janeiro: IMPA, 2006. SCHEINERMAN, E. Matemática discreta: uma introdução. São Paulo: Cengage Learning, 2011. SILVA, P. H. Usos do Binômio de Newton em diferentes contextos. 2016. 41 f. Trabalho de Conclusão de Curso (Graduação em Matemática) – Faculdade de Engenharia, Universidade Estadual Paulista, Guaratinguetá, 2016. Disponível em: https://repositorio.unesp.br/bitstream/handle/11449/155330/000881835.pdf? sequence=1&isAllowed=y. Acesso em: 27 nov. 2019. http://www.mat.ufmg.br/ead/wp-content/uploads/2016/08/introducao_a_historia_da_matematica.pdf https://repositorio.unesp.br/bitstream/handle/11449/155330/000881835.pdf?sequence=1&isAllowed=y 17/09/2021 22:25 Ead.br https://unp.blackboard.com/webapps/late-course_content_soap-BBLEARN/Controller?ACTION=OPEN_PLAYER&COURSE_ID=_730841_1&P… 29/29
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