Calculo Funcoes de Uma e Varias Variaveis-Ebook

Prévia do material em texto

Capítulo 5
Derivadas
5.1 Introdução
oconceitodederivadafoi introduzidoemmeadosdosséculosXVII eXVIII emestudos
deproblemasdeFísicaligadosaoestudodosmovimentos.Entreoutros,destacam-seneste
estudoo físicoematemáticoinglêsIsaacNewton(1642-1727),o filósofoematemáticoale-
mãoGottfriedLeibniz(1646-1716)eo matemáticofrancêsJoseph-LouisLagrange(1736-
1813- nasceuemTurim,naItália,masviveupraticamentetodasuavidanaFrança).
As idéiaspreliminarmenteintroduzidasnaFísicaforamaospoucossendoincorporadas
a outrasáreasdoconhecimento.Em EconomiaeAdministraçãoo conceitodederivadaé
utilizadoprincipalmenteno estudográficodefunções,determinaçãodemáximose míni-
mose cálculodetaxasdevariaçãodefunções.
Consideremosumafunçãof(x) esejamXo eXI doispontosdeseudomínio;sejamf(xo)
ef(xI) ascorrespondentesimagens(Figura5.1).
Figura 5.1: Variação de uma função.
Chamamosdetaxamédiadevariaçãodef, paraX variandodeXo atéXI' aoquociente:
f(Xt) - f(xo)
XI -Xo
• CAPÍTULO 5 - DERIVADAS 129
Tal taxamedeo ritmodevariaçãodaimagememrelaçãoàvariaçãodex.Observemos
aindaqueataxamédiadevariaçãodependedopontodepartidaXo edavariaçãodex, dada
porXI - Xo·
Usandoo símboloL'l paraindicarumavariação,podemosindicarataxamédiadevaria-
çãodefpela relação:
L'lf = f(Xl) - f(xo)
L'lx Xl - Xo
Exemplo5.1.Sejaa funçãof(x) =x2, opontoinicialdeabscissaXo =1eavariaçãoL'1x=2
(istoé,X variade 1a 3).A taxamédiadevariaçãodef paraessesvaloresé:
L'lf = f(3) - f(1) = 32 - 12 =4.
L'lx 3- 1 2
Issosignificaque,seX variar2unidades(apartirdeXo=1),avariaçãodef será4 vezes
maior,poisL'lf =8,enquantoL'lx =2 (Figura5.2).
Figura 5.2:Taxamédiadevariaçãoda funçãof(x) =x2•
9~------
Exemplo 5.2.Consideremosnovamentea funçãof(x) =x2 ecalculemosa taxamédiade
variaçãoapartirdeumpontogenéricodeabscissaXo =X eum acréscimotambémgené-
rico L'lx.
Resolução
Temos:
L'lf = f(x +L'lx) - f(x) = (x +L'lx)2- x2 = 2x· L'lx +(L'lx)2 =2\+L'lx.
L'lx L'lx L'lx L'lx
Assim,porexemplo,sequisermosa taxamédiadevariaçãoa partirdo pontox =5 e
comumavariaçãoL'lx =3,o resultadoserá2·5 +3= 13.
130 PARTE 2 - FUNÇÕES DE UMA VARIÁ VEL •
Exemplo 5.3.Suponhamosqueum objetosejaabandonadoa 2.000m de alturae quea
funçãofU) =2.000- 1Ot2 indiqueaalturadoobjetoemrelaçãoaosolo,t segundosapósele
serabandonado.
Temos:
• f(O) =2.000ef(5) = 1.750.Logo, nos5 primeirossegundos,o objetocaiu250m,pois
Ófl =2.000- 1.750=-250.
• Já nos 5 segundosseguintes,quandot varia de 5 a 10, o objeto caiu 750m, pois
b.h =f(5) - f(10) =1.750- 1.000=-750.
Issonosmostraque,paraumamesmavariaçãodet (5segundos),avariaçãodealturaé
diferente.A taxamédiadevariaçãodafunçãorepresentaavelocidademédiadoobjetoem
cadaintervalodetempoconsiderado.Assim:
No 1º intervalo,avelocidademédiaé b.fl = -250 =-50 m/s5 5
No 2ºintervalo,avelocidademédiaé b.h = -750 =-150 m/s.5 5
ográficodaFigura5.3ilustraasvariaçõesb.fl e b.f2,
Figura 5.3:Variação da função do Exemplo5.3.
f(t)
2.000
1.750
1.000 _______________~~~~~~~~~l~A"]~A":
5 10
Podemosaindaquerercalcularvelocidadesmédiasemintervalosdetempodeamplitu-
desdiferentes.Por exemplo,avelocidademédiaparat variandode5 a 8é:
b.f3 _ f(8) - f(5) = 1.360-1.750 =-130 m/s.
b.t - 8- 5 3
Muitasvezesestamosinteressadosnavelocidadedeumobjetonumdeterminadoins-
tante(velocidadeinstantânea).Assim, no exemploconsiderado,calculemosa velocidade
instantâneaparat =5 segundos.Paraisso,consideremosavelocidademédia(taxamédiade
• CAPÍTULO 5 - DERIVADAS 131
variação)paraamplitudesdevariaçãodotempocadavezmenores.Assim,parao intervalo
[5;5 +LH]teremos:
/),f _ f(5 +LH) - f(5)
/),t - /),t
/),f _ [2.000- 10(5+LH)2]- [2.000- 10. (5)2]
/),t - /),t
~~ = -100/),t-lO(LH)2 =-100-1O/),t.
Calculemosavelocidademédiaparavaloresde/),t cadavezmenores(Tabela5.1):
Tabela 5.1: Velocidade média para o Exemplo5.3.
Intervalo M
óf
M-[5;10]
5-150
[5;8]
3-130
[5;6]
1-110
[5;5,5]
0,5-105
[5;5,1]
0,1-101
[5;5,01]
0,01-100,1
Verificamosassimqueavelocidademédiaestáseaproximandode100m/s.A velocida-
deinstantâneaé,pois,o limiteparao qualtendeavelocidademédiaquandoo intervalode
tempotendeaO.Istoé,avelocidadeinstantâneanopontot =5 édadapor:
lim /),f = lim (-100- lO/),t)=-100.
b.f~O /),t b.f~O
Esselimitedataxamédiadevariaçãoquando/),t tendeazeroéchamadodederivadada
funçãof(t) nopontot =5.
5.2 O Conceito de Derivada
5.2. 1 Derivada de uma Função num Ponto
Sejaf(x) umafunçãoe Xo um pontode seudomínio.Chamamosdederivadadef no
pontoXo, seexistire for finito,o limitedadopor:
lim /),f = lim f(xo +/),x) - f(xo)
"'x~o /),x "'x~o /),x
Indica-seaderivadadef(x) nopontoXo porf(xo) ou 1(Xo) ouaindapor ~v (.\'0)'x X
132 PARTE 2 - FUNÇÕES DE U!vIA VARIÁVEL •
Exemplo5.4.Qualaderivadadef(x) =x2nopontoXo =3?
Temos:
f(3) = lim f(3 +tu) - f(3)
"'x~o ~x '
f(3) = lim (3+~x)2 - 32 ."'x~o ~x = l1m"'x~o 6~x +(~x)2 = lim (6 +~x) =6.~x "'x~o
Issosignificaqueumpequenoacréscimo~x dadoax, apartirdeXo =3,acarretaráum
correspondenteacréscimo~f queé aproximadamente6 vezesmaiorqueo acréscimo~x.
Exemplo5.5.Qualaderivadadef(x) =x2nopontoXo =-2?
Temos:
f(-2) = lim f(-2 +~x) - f(-2) ,
"'x~o ~x
f(-2) = lim ~(-_2_+_~_x)_2(_-2~)_2=lim _-_4_~_x_+_(_~~x)_2= lim (-4+~x) =-4.
"'x~o ~x "'x~o ~x "'x~o
Issosignificaqueumpequenoacréscimo~x dadoax, apartirdeXo =-2,acarretaráum
correspondentedecréscimo~f queéaproximadamente4 vezesmaiorqueo acréscimo~x,
emvalorabsoluto.
Exemplo5.6.Existeaderivadadafunçãof(x) =Ix I nopontoXo =O?
Temos:
f(O) = lim f(O +~x) - f(O) = lim f(~x) - f(O)
M~O ~x "'x~O ~x '
f(O) = lim I~xl.
"'x~ o ~x
Se~x tendeaOpeladireita,então~x >Oe I ~x I =~x econseqüentementeo limitevale1.
Se~x tendeaOpelaesquerda,então~x <Oe I ~x I =-~x econseqüentementeo limite
vale-l.
Como os limiteslateraissãodiferentes,concluímosquenãoexisteo limite para~x
tendendoazero.Assim,nãoexisteaderivadadef(x) nopontoXo =O.
5.2.2 FunçãoDerivada
Dadaumafunçãof(x), podemospensaremcalcularaderivadadef(x) numpontogené-
rico x, aoinvésdecalcularnumpontoparticularXo. A essaderivada,calculadanumponto
genéricox, chamamosdefunçãoderivadadef(x); o domíniodessafunçãoéo conjuntodos
valoresdex paraosquaisexisteaderivadadef(x). A vantagememcalcularafunçãoderiva-
daéquecomelapoderemoscalcularaderivadadef(x) emqualquerpontoXo,bastandopara
issosubstituir,nafunçãoderivada,x porXo.
•
Exemplo5.7.Quala funçãoderivadadef(x) =x'2?
Temos
f'(x) = lim f(x +t.x) - f(x)
t.x~o t.x
CAPÍTULO 5 - DERIVADAS 133
f'() r (x+t.X)2- x2 r 2xt.x+ (t.x)'2 r (2 A) 2x = 1m----- = 1m --~~- = 1m x +L.1X = X.
t.x~o t.x t.x~o t.x t.x~o
Assim,porexemplo,sequisermosaderivadanopontoXo =5, bastacalcularmosf'(5)
queéigualaIO.
É importanteaindaobservarque:
f'(x) ~ t.f, parat.x pequeno.
t.x
Dessaforma,sex =5 e t.x =0,1teremos
f(5) =10,
t.f=f(5,1)-f(5)=(5,1)2-52= 1,01
t.f = 1,01 = 10,1.t.x 0,1
Portanto,f'(5) ~ t.f
t.x·
1. Paracada funçãof(x), determinea derivadaf(xo) no pontoXo indicado:
a) f(x) =x2 Xo=4 e) f(x) =x2 - 4 Xo=O
1
b) f(x) =2x +3 Xo=3 f) f(x) = - Xo=2x
c) f(x) =-3x
d) f(x) =x2 - 3x
Xo =1
xo= 2
1
g) f(x) =-x
h) f(x) =x2 - 3x +4
xo=5
Xo =6
2. Determinea funçãoderivadaparacada funçãodo exercícioanterior.
3. Dada a função:
f(x) ={x, sex ~ 12, sex >1.
Mostreque não existef'(1).
4. Considerea funçãof(x) =21x I. Mostreque não existef'(0).
134 PARTE 2 - FUNÇÕES DE UMA VARIÁ VEL •
5.3 Derivada das Principais Funções Elementares
Vimosnoitemanteriorqueafunçãoderivadadef(x) =x2eraf(x) =2\:".Seconseguirmos
achara funçãoderivadadasprincipaisfunçõeselementaresesealémdissosoubermosachar
asfunçõesderivadasdesomas,diferenças,produtosequocientesdessasfunçõeselementares.
poderemosacharasderivadasdemuitasfunçõessemtermosquerecorrerà definição(que
muitasvezespodedarmuitotrabalho).Vejamosentãocomoqueissopodeserrealizado.
5.3. 1 Derivada da Função Constante
Sef(x) =c (funçãoconstante),entãof(x)=O,paratodox.
Demonstração
f(x +/).x)- f(x) c- c
f(x) = lim ------ = lim -- =Oparatodox.
L'.x ~ o /).x L'.x ~ o /).x
Exemplo5.8
f(x) =5 =>1'(x) =O,
f(x) =e2=>l'(x) =O.
5.3.2 Derivada da Função Potência
Sef(x) =x", então1'(x) =n . X"-I
Demonstração
Provemosessarelaçãono casoden serinteiroe positivo,emboraa propriedadeseja
válidaparatodonreal(desdequex> O).
Temos:
/).f =(x+/).X)" - x",
eusandoa fórmuladoBinômiodeNewton,
/).f= x" +(~)xlI-I . (/).x)l +(;)x"-2. (/).x)2+ ... +(n: l)xl .(/).X)"-I + (/).X)"-X",
~~ =(~)xlI-I +(~)xll-2. (/).X)I+... +C:1)x1 • (/).x)"-2 + (/).X),I-I.
Para/).x tendendoa zero,todosos termosdo 2º membrotendema zero,excetoo 1º.
Portanto:
f(x) = lim /).f =(n)xlI-I= n! x"-I=n.x"-I.L'.x~o /).x 1 l!(n-l)!
•
Exemplo5.9
CAPÍTULO 5 - DERIVADAS 135
5.3.3 Derivada da Função Logarítmica
Sef(x) =lnx, entãof' (x) = 1.- (parax> O).x
Demonstração
I1f =In(x +I1x) - In x,
=In x +I1x =ln(I + ~x),
logo
I1f = _I_In( I + I1x)I1x I1x x
1
=ln( I + I1XX tx.
Fazendom = I1x , entãoquandoI1x tendeaO,m tambémtendeaO.x
Portanto,
I
lim I1f = lim ln(l +m)/nr
"'x~O I1x m~O
[ I ...L]
= lim -ln(l +m)lIl
m~O X
I ...L
=- lim ln(l +m)lIlx m~O
I ...L
=-lnlim(l+m)lIl.
x m~O
Mas
...L
lim (l +m)11l=e,
111-0
136
então
ouseja,
PARTE 2 - FUNÇÕES DE UMA VARIÁ VEL
1· I:1f 1 1 11m - =- n e = -,
~x~ o I:1x x x
f(x) =~x
•
5.3.4 Função Seno e Função Cosseno
(a)Sef(x) =senx, entãof(x) =cosx paratodox real;
(b)Sef(x) =cosx, entãof'(x)=senx paratodox.
Demonstração
Provemoso item(a).
Temos,usandoasfórmulasdetransformaçãoemproduto,que
I:1f =sen(x +I:1x)- senx
1:1x (2X +1:1x)=2 sen2cos 2
Segue-seentãoque
f(x) = lim I:1f
~x~o I:1x
2 I:1x (2x +I:1x)
sen- cos ---
= lim 2 2
~x~ o 1:1x
= lim
~x~o
1:1xsen-
2
1:1x
2
. cos(2x; I:1x).
QuandoI:1xtendeaO,
logo
1:1xsen-
2-- tendea 1
~x
2
(2x+1:1x)ecos 2 tendeacosx,
f(x) = 1. cosx =cosx.
O item(b) temdemonstraçãoanáloga.
•
5.4 Propriedades Operatórias
CAPÍTULO 5 - DERIVADAS 137
As propriedadesoperatóriaspermitemacharasderivadasdesomas,diferenças,produ-
tosequocientesdefunçõeselementares.Sãoasseguintes:
(PI) Sef(x) =k· g(x) entãof(x) =k· g(x).
(P2)Sef(x) =u(x) +v(x) entãof(x) =u'(x) +v(x).
(P3)Sef(x) =u(x) - v(x) entãof(x) =u'(x) - v'(x).
(P4)Sef(x) =u(x) . v(x) entãof(x) =u(x) . v'(x) +u'(x) . v(x).
(P5)S f( ) = u(x) C f'( ) = v(x)· u'(x) - v'(x) . u(x)
e x ( ) enao x [ ( ) 2vx vx]
Demonstração
Provemosa (PI).
l'(x) = lim I1f
L'1x~o I1x
= lim f(x +I1x) - f(x)
L'1x~o I1x
= lim k· g(x +I1x) - k . g(x)
L'1x~ o I1x
=k lim g(x +I1x) - g(x)
L'1x~ o I1x
=k. lim I1g
L'1x~o I1x'
ou seja,
1'(x) =k· g'(x).
Provemosa (P2).Temosque:
I1f =f(x +I1x) - f(x)
=[u(x +I1x) +v(x +I1x)] - [u(x) +v(x)]
= [u(x +I1x) - u(x)] + [v(x +I1x) - v(x)],
doquesegue
I1f l1u 11V---+-
I1x - I1x I1x .
PassandoaolimiteparaI1x tendendoaO,
1· I1f r l1u r I1v1m- = 1m - + 1m -,
L'1x~ o I1x L'1x~ o I1x L'1x~ o I1x
istoé,
1'(x) =u'(x) +v(x).
138 PARTE 2 - FUNÇÕES DE UMA VARIÁ VEL •
A propriedade(P2)podeserestendidaaumasomade11funções,istoé:
Se
então
f'(x) =fí(x) +f2(x) +f2(x) + ... +J:,(x).
A demonstraçãoda(P3)é totalmenteanálogaàda(P2).
Provemosa (P4).Temos:
I1f =f(x +lu)- f(x)
= [u(x +I1x) . v(x +I1x)] - [u(x) . v(x)].
Como
l1u =u(x +I1x) - u(x),
11v =v(x +I1x) - v(x)
vemque
I1f = [u(x) +l1u] [v(x) +11v] - u(x)v(x)
= u(x) . v(x) + u(x) . 11v +v(x) . l1u + l1u . 11v - u(x)v(x)
= u(x) ·l1v +v(x) ·l1u +l1u ·l1v.
Portanto,
f'(x) = lim ~f =u(x)· lim ~v +v(x). lim ~u + lim l1u. ~v.tu-O ilX ,',x-O ilX ,',x-O ilX ,',x-O ilX
Mas
l1u =I1x· ~~ equandoI1x tendeaO,l1u tambémtendeaO.
Logo
f'(x) =u(x) . v'(x) +v(x) . u'(x).
A (P5) temdemonstraçãoanálogaà (P4).
Exemplo5.10
1
f(x) =5 ln x ~ f'(x) =5 . -;x
f(x) =x2 +senx ~ f'(x) =2x +cosx;
f(x) =x3 - cosX ~ f'(x) =3x2 +senx;
f(x) =x2 . senx ~ f'(x) =x2 . cosx +2x . senx;
(lnx)· cosx-(~). senxsenx I x
f(x) = lnx ~ f (x) = (lnx?
• CAPÍTULO 5 - DERIVADAS 139
=+.(~ií••~r.
5. Obtenhaa derivadade cada funçãoa seguir:
a) f(x) = 10 m)f(x) =x . senx
b) f(x) =..\.5 n) f(x) = x2 . ln x
c) f(x) =10.,.5 o) f(x) =(2x2- 3x +5)(2x - 1)
d) f(x) = ~x2 p) f(x) = se~x2 x-
e) f(x) =x2 +x3
g) f(x) =2x + 1
h) f(t) =3t2 - 6t-1O
i) f(u) =5u3 - 2u2 +6u +7·
j) f(x) =3 ln x +5
k) f(x) =10ln x - 3x +6
I) f(x) =5 senx +2 cosx - 4
) senxq f(x) =tgx=--cosx
x-I
r) f(x) =--x-2
2 5
s) f(x) = .~ + .,.2
2
t) f(x) =x3I I
u) f(x) =x3 +x4
v) f(x) =3-G+5V;;+ 10
w) f(x)=-G· senx
lnx
x) f(x) = -G
5.5 Função Composta - Regra da Cadeia
Consideremosa funçãof(x) =(x2 - 1)3.Poderíamosacharaderivadadef(x), desenvol-
vendoa expressãocubodeumadiferença.Todaviapoderíamosfazeru =x2 - 1e nossa
funçãoficariasobaformau3•Assim,paracalcularmosumaimagemdessafunção,procede-
mosemduasetapas:
• Paraumdadovalordex, uma1ªfunçãocalculaaimagemu=x2 - 1.
• Parao valordeu assimencontrado,uma2ªfunçãocalculaaimagemv =u3.
Dizemosquea funçãof(x) éumacomposiçãodessasduasfunções.
Paraocálculodaderivadadef(x), podemosusaroseguinteraciocíniointuitivo(ademons-
traçãoformalencontra-senoapêndice):
/1f = /1v . /1u
/1x /1u /1x .
Sobcondiçõesbastantegerais(emencionadasnoapêndice),quando/1x tendeazero,o
mesmoocorrecom/1u,deformaque:
f'(x) =v'(u) . u'(x),
istoé,
f'(x) =(derivadadev emrelaçãoa u).(derivadadeu emrelaçãoax).
140 PARTE 2 - FUNÇÕES DE UMA VARIÁ VEL •
A fórmulaacimaéconhecidacomoregradacadeia
Assim,no exemplodado,teremos:
f(x) =3u2 . U'
=3(x2 - 1)2. (2x)
= 6x(x2 - 1)2.
Exemplo5.11.Qualaderivadadef(x) =ln(3x+6)?
Fazendo-seu =3x+6, teremosv =ln u.Assim:
1 1 __ 1.3= _3_.
f(x) =- . u - 6 3x +6u 3x +
5.6 Derivada da Função Exponencial
Sef(x) =a'X,entãof(x) =aX ·ln a, paratodox real(coma> Oe a#- 1).
Demonstração
Consideremosafunção:
[(x) =lnf(x) =ln aX =x ln a.
Aplicando-searegradacadeia,teremos:
['(x) =_1_ -f'(x).
f(x)
Mas,poroutrolado:
['(x)=lna.
Conseqüentemente:
f' (x) =ln a ~ f' (x) =f(x) . ln a =aX • ln a.
f(x)
Exemplo5.12
f(x) =3x ~ f'(x) =]X. ln 3;
f(x) =eX ~ f' (x) =eX • ln e =eX, poisln e =1.
Exemplo 5.13.Se quisermoscalculara derivadadef(x) = e,2+ 3x - 5, poderemosfazer
u =x2 +3x - 5 eaplicararegradacadeia,istoé,
f' (x) =eU . ln e . u',
f'(x) =ex2+3x-5 . (2x +3).
• CAPÍTULO 5 - DERIVADAS 141
Exemplo 5.14.Vimos anteriormentequesef(x) =xn entãol'(x) =11 • xn - 1 e fizemosa
demonstraçãopara11inteiroepositivo.Mostremosquetalrelaçãoéválidaparaqualquer11
real(desdequex> O).
De fato,tomando-seo logaritmonaturaldeambososmembrosdef(x) =xn, teremos:
lnf(x) =ln xn =11 • ln x.
Derivandoambososmembrosemrelaçãoax, obteremos:
1
f(x) -f'(x) =11 •.1x'
eportanto
,1111 1f (;r)=- .f(x) =- .xn =11 • xn- .
X X
q) f(x) =-V 2x+ 1
r) f(x) =~2x + 1 3
s) f(x) =(6x2+2t+ 1)2
t) f(x) =-G+l+~~_r~~--3x-+-1
u) f(x) =--G +-G+l
v) f(x) = J 1nxeX
w) f(x) = J x + 13x-2
I) f(x) =ex2- 2<+I x) f(x) =1n-v3x2 +1
Função exponencialgeral - Quando temosumafunçãodo tipof(x) =u(xY(x), podemos
calculara derivadatomandoo Iogaritmode ambosos membrose aplicandoa regrada
cadeia. Por exemplo,sef(x) =x' teremos:
6. Obtenhaa derivadadasseguintesfunções:
a) f(x) =(2x - 1)3
b) f(x) =(2x- 1)4
c) f(x) =(5x2- 3x+5)6
( 1 1 Yd) f(x) = x2 +~ + 1
1
e) f(x) = (x2_ .
f) f(x) =1n(3x2- 2x)
g) f(x) =1n(x2- 3x+6)
h) f(x) =sen(x2- 3x)
i) f(x) =2x
j) f(x) =SX
k) f(x) =eX +}'
m) f(x) =}'2_4
n) f(x)=e~~l
o) f(x) =e' +e-x
p) f(x) = e'+e-x
1nf(x)=1nx'
Inf(x) =x . In x;
derivandoambosos membros,
1 1
-. f'(x) = l·lnx+x·-,
f(x) x
f'(x) =f(x) . [lnx + I],
f'(x) =xx. [lnx + 1].
142 PARTE 2 - FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL •
7. Calcule a derivadadas seguintesfunções:
a) f(x) =(xy2
b)f(x) =(x2+ 1)-'
c) f(x) =(x)lnx
5.7 Função Inversa
SeR for umarelaçãodeA emB, então
R-I = {(b,a) E B x AI(a, b) E A x B}
échamadarelaçãoinversadeR. Segue-sequeR-I C B x A, enquantoR C A x B.
SeR for dadopelodiagramadaFigura5.4,a relaçãoinversaserá
R-I ={(2,1),(3,1),(4,1),(3,2),(4,2),(4,3)}.
Figura 5.4: Relaçãode A em B.
I A/',~"B
VemosquenemR nemR-I sãofunções.
ConsideremosagoraosdiagramasdaFigura5.5.
Figura 5.5: Relaçõesde A em B.
9
j eg agorasãofunções.Considerej-I eg-I, istoé,asrelaçõesinversas.Vemosquej-I
nãoé função,poisaoelementoYl correspondemdoiselementosXI eX2' Mas g-I é função.
Então,sej éumafunçãodeA emB, considerearelaçãoinversaj-I . Sej-I for também
umafunção,elaédita funçãoinversadef
Pelovisto,acima,afunçãojadmitiráinversaj-I se,esomentese,j forbijetoradeA emB.
Observemosque,sej for umafunçãoemqueY =j(x) ej-I for a inversadef, então
X =j-I(y) se,e somentese,y = j(x). Além disso:
j-l(f(x)) =x paratodox E A, ej(f-l(y)) =y paratodoy E B.
• CAPÍTULO 5 - DERIVADAS 143
Graficamente,se(x,y) éumpontodográficodef, então(y, x) éumpontodográficode
f-I; logo,osgráficosde f e f-I sãosimétricosemrelaçãoàretay =x (Figura5.6).
Figura 5.6: Gráficos de uma função e sua inversa.
Exemplo5.15.Sejay =f(x) =3x+5.Entãocomoa funçãoébijetoradeR emR, existea
funçãoinversaf-I, eelaéobtidaisolando-sex narelaçãodada,istoé:
y =3x +5 =?X = Y - 53
Portanto,j-I(y) =x = y - 53 .
Sef(x) éumafunçãorealdefinidano intervalo[a, b] ecrescente(oudecrescente)nesse
intervalo,entãoexistiráainversaf-I, poisfé bijetora(Figura5.7).
Figura 5.7: Função crescenteem [a, b].
y
x
Além disso,sef(a) =c e f(b) =d, entãof-I serádefinidano intervalo[c, d].
Consideremos,agora,oproblemadaderivaçãodafunçãoinversa.O seguinteresultado,
cujademonstraçãoseencontranoApêndice,nosdáumamaneiradedeterminaraderivada
def-I, conhecendo-seaderivadadef
144 PARTE 2 - FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL •
Sejaf umafunçãodefinidano intervalo[a, b], derivávelecrescente(oudecres-
cente)nesseintervalo.Então,sef(x) >O(ouf(x) <O)paratodox E ]a, b [,temos:
Df-l(y) =f(~) ,
emqueporDf-l(y) indicamosaderivadadef-l(y).
'T' b' dx 1
.iam emescrevemos:dy = (~y
Exemplo5.16.Sejay =f(x) =x2, paratodox E [0,00[.Assim:
• x ={y,poisx ~ O;
• f(x) =2x;
• Df-l(y) = _1 = _1_.
2x 2{y
Exemplo5.17.Sey =f(x) =senx, nãoexisteainversadeI, poisexisteminfinitosvaloresde
x quecorrespondemaummesmoy. Mas senosrestringirmosaointervalo-~ :;;;;x:;;;; ~,2 2
a funçãoserácrescentenesseintervaloe conseqüentementeexistiráa funçãoinversa
(Figura5.8).
Figura 5.8: Função seno no intervalo[- ~; %J
y
1t,-2:
,
: ~---------J-l
1t X2
Comosen~ =1esen(- ;) =-1, afunçãoinversaserádefinidanointervalo[-1,1]e
recebeonomedefunçãoarcoseno;istoé,sey =f(x) =senx, entãox =f-l(y) =arcseny, em
que-1:;;;;y :;;;;1(Figura5.9).
•
Figura 5.9: Função arco seno.
f-l(y)
..1L~------
2
CAPÍTULO 5 - DERIVADAS 145
y
A derivadadef-1 édadapor:
'Df-1( )=_1_ = _1
Y f'(x) cosx
Comocosx =,j I - sen2x (raizquadradapositivapoiscosx >Opara- ~ :::;x:::; ; ),
teremos:
I __ 1
Df-1(y) =D arcseny = ,j I _ sen2x - ,j I _ y2 .
Exemplo5.18.Paraacharmosaderivadadafunçãoy =arcsen(3x2),podemosfazeru=3x2.
Assim,temosquederivary =arcsen(u).Tendoemcontao resultadodoexemploanteriore
a regradacadeia,teremos:
I .u' =
Y'=~
6x
,j I-9x4
8. Sey =f(x) =cosx, achea derivadadex =f-l(y) =arccosy, paraO :;;;:x :;;;:n.
9. Sey =f(x) =tgx, achea derivadadex =f-l(y) =arctgy, para- ~ <x <~.
2 2
10. Obtenha a derivadodas funções:
o) f(x) =arcsen(3x- 5) b) f(x) =arccos(~) c) f(x) =arctg(.2 - 5
11. Considerea funçãoexponencialy =f(x) =eT comoinversadafunçãologc..:'"~-:::.r=.:;._
Obtenho o derivadadef(x) usandoa derivadada funçãoinverso.
146 PARTE 2 - FUNÇÕES DE UMA VARIÁ VEL •
5.8 Interpretação Geométrica da Derivada
ConsideremosafunçãofeospontosP(xo,f(xo)) e Q(xo+&,f(xo +&))daFigura5.10.
A retaquepassaporPQ ésecanteaográficoeseucoeficienteangularé ~~.
Figura 5.10: Reta secante.
À medidaque~x se aproximade zero,a retasecantevai mudandoseucoeficiente
angular.
Consideremosa retaquepassaporP ecujocoeficienteangularédadopor:
Essareta(Figura5.11)échamadaderetatangenteaográficodefnopontoP (desdeque
f sejaderivávelemxo).
Figura 5.11: Retatangenteao gráfico de uma função.
Xo
Exemplo 5.19.,Obtenhaa retatangenteao gráficoda funçãof(x) =x2 no pontoP de
abscissa2.
Temosque,parax =2,f(2) =4.Logo, o pontoP temcoordenadasP (2,4).
Também!(x) =2x eportantol'(2)=4.Assim,aretatangentet temcoeficienteangular
iguala4.Logo suaequaçãoé
y - 4 =4(x - 2),ouseja,y =4x- 4. (Figura5.12)
• CAPÍTULO 5 - DERIVADAS 147
Figura 5.12:Reta tangente ao gráfico da
funçãof(x) =x2 no ponto(2,4).
2
5.9 Diferencial de uma Função
ConsideremosumafunçãofderivávelemXo. A variaçãosofridaporf, quandosepassa
dopontoXoaopontoXo+Llx, é:
Llf =f(xo +Llx) - f(xo)·
Consideremosaindaa retaPR, tangenteao gráficodef no pontoP(xo, f(xo)) e cujo
coeficienteangularém=f(xo).
No triânguloPRS daFigura5.13,temos
m =tga= RS _ RS
PS - Llx
ecomom =f (xo)
f (xo) = RS ou RS =f (xo) . Llx.
Llx
Figura 5.13:Definição de diferencial.
m ,d
Idf
__________________ uu_ V\ a ~ u~_
I~'S
: L\x :
, ,
I ,
I I
148 PARTE 2 - FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL •
Ao valorRS (quedependede~x) denominamosdiferencialdefno pontodeabscissaxo
eo indicamospordf Assim,
df =l'(xo) . ~x.
Observemosquedf dependede~xe éfácil perceberquequantomenorfor ~x,mais
próximodf estaráde~f Assim,podemosdizerque
df == ~f parapequenosvaloresde~x.
Dessaforma,a diferencialde umafunçãopodeserusadaparacalcularaproximada-
mentevariaçõesdef, parapequenosvaloresde~x.
Exemplo5.20.Consideremosa funçãof(x) =3x2 eospontosdeabscissa1e 1,01.A varia-
çãodef entreospontosdadosé
~f =f(1, 01)- f(1) =3 . (1,01)2- 3 . 12=0,0603.
A diferencialdefno pontodeabscissa1,para~x =0,01é
df =f'(1) . 0,01.
Como1'(x) =6x,f'(1) =6 e temosdf =6· (0,01)=0,06.Assim,df ==~f
12. Obtenhaa equaçãoda retatangenteao gráficodefnos pontosdeabscissasindicados:
a) f(x) =x2, xo=5
b) f(x) =x2 - 5x, Xo = 1
c) f(x) =2x +3, Xo =3
d) f(x) =x2 - 5x +6, Xo =2
e) f(x) =inx, Xo =e
x-i
f) f(x) =--3' Xo =3x+
13. Calcule a diferencialdas funçõesdadas nasseguintessituações:
a) f(x) =x2 Xo =2 e~x =O,i
b) f(x) =E Xo = 1e~x =0,02
x
c) f(x) =--l-x
d) f(x) =x in x - x
e) f(x) =e _x2
g) f(x) =senx,
h) f(x) =e-x2,
f) f(x) =cosx
11:
Xo= 4
Xo =1
Xo =2 e~x =0,1
Xo =a e~x =d
Xo =°e~x =0,01
11: 1
Xo =:3e~x ="2
• CAPÍTULO 5 - DERIVADAS 149
14. Dada a funçãof(x) =ax +b, mostrequedf =!J.fqualquerquesejax e qualquerque
seja !J.x.
15. Usandoo fato de que !J.f ==dI, calcule,aproximadamente:
a) eU.
b) O acréscimosofridopela área de um quadrado de lado x, quandox varia de 3
para 3,0l.
16. O custode fabricaçãodex unidadesde umprodutoé C(x)=2x2+5x+8.Atualmente
o nívelde produçãoé de 25 unidades.Calcule, aproximadamente,usandodiferencial
de função,quantovariao custose foremproduzidas25,5unidades.
17. O custodefabricaçãodex unidadesde umprodutoé C(x)=0,10 - 0,5x2+300x+100.
Atualmenteo nívelde produçãoé de 10unidadese o produtordesejaaumentá-Iapara
10,2unidades.Calcule, aproximadamente,usandodiferencialde função, de quanto
variao custo.
18. A função receitade umaempresaé R(x) =200x- 2x2,emquex é o númerode unida-
desproduzidas.Atualmenteo nívelde produçãoé de40 unidades,e a empresapreten-
de reduzira produçãoem0,6unidade.Usandodiferencialdefunção,dêaproximada-
mentea variaçãocorrespondenteda receita.
19. Uma empresaproduzmensalmenteumaquantidadede umprodutodada pelafunçãoI
de produçãoP(x) =2.000x2,em quex é a quantidadede trabalhoenvolvida(medida
emhomens-hora).Atualmentesão utilizados900homens-horapormês.Calcule,apro-
ximadamente,usandodiferencialdefunção,qualo acréscimonaquantidadeproduzi-
da quandose passaa utilizar950homens-hora.20. O custodefabricaçãodex unidadesde umprodutoé C(x)=O,lx3 - 0,5x2+300x+100.
Calcule, usandodiferencialde função,qualo custoaproximadode fabricaçãoda 21ª
unidade.
5.10 Funções Marginais
Em Economia eAdministração, dadaumafunçãof(x), costuma-seutilizar o conceitode
função marginalparaavaliaro efeito causadoemf(x) por umapequenavariaçãodex. Cha-
ma-se função marginal def(x) à função derivadadef(x). Assim, a função custo marginal é
a derivadadafunção custo,a função receitamarginaléa derivadadafunção receita,e assim
por diante.Veremosa seguir algumasfunções marginais e a sua interpretação.
Custo Marginal
Seja C(x) afunção custodeproduçãodex unidadesdeum produto.Chamamosdecusto
marginal à derivadade C(x). Indicamos o custo marginal por CmgCx).
Exemplo5.21.Consideremos a função custo C(x) =0,01x3 - 0,5x2 +300x+ 100.
O customarginal é dado por CmgCx)=C(x) =0,03x2- x +300.
Se quisermoso custo marginal parax =10,teremos
CmgClO) =0,03 . (10)2- 10+300 =293.
150 PARTE:! - FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL •
Esseresultadopodeserinterpretadodaseguinteforma:sendo
Cm/x) = lim ~C,~x-o LlX
tem-seque
Cm/X) == ~: (para~X pequeno).
Freqüentementeesse~X pequenoésupostocomoiguala 1.Assim,
ClI1g(X)== ~C =C(x + 1)- C(x).
Portanto,o customarginaléaproximadamenteigualàvariaçãodocusto,decorrenteda
produçãodeumaunidadeadicionalapartirdex unidades.
No exemplodado,ClI1g(lO)=293representa,aproximadamente,C(lI) - C(lO), ouseja,
o custodeproduçãoda 11ªunidade.
Receita Marginal
SejaR(x) a funçãoreceitade vendasdex unidadesde um produto.Chamamosde
receitamarginala derivadade R(x) em relaçãoa x. Indicamosa receitamarginalpor
RII1/x). Assim,
Exemplo5.22.DadaafunçãoreceitaR(x) =_2x2 + 1.000x, areceitamarginalé
RII1/x) =-4x + 1.000.
Sequisermosareceitamarginalnopontox =50,teremos
RlI1g(50)=-4 .(50)+ 1.000=800.
Esseresultadopodeserinterpretadodaseguinteforma:sendo
Rmg(x) = lim ~R,~x-o ~x
tem-seque
~R
Rmg(x) == - (para~x pequeno).~x
Supondo~x =1,vem:
Rm/x) ==~R =R(x + 1) - R(x).
Portanto,areceitamarginaléaproximadamenteigualàvariaçãodareceitadecorrente
davendadeumaunidadeadicional,apartirdex unidades.
No exemplodado,RII1/50) =800representaaproximadamenteR(51) - R(50), ouseja,o
aumentodareceitadecorrentedavendada51ªunidade.
• CAPÍTULO 5 - DERIVADAS 151
21. DadaafunçãocustoC(x) =50x+ 10.000,obtenhao customarginale interpreteo resultado.
22. Dada a funçãocustoC(x) =0,3x3 - 2,5x2+20x +200,obtenha:
o) o customarginalClIlg;
b) ClIli5) e a interpretaçãodo resultado;
c) ClIlg(lO) e a interpretaçãodo resultado.
23. Repitao exercícioanteriorpara a seguintefunçãocusto:cex) =O, lx2 +5x +200.
24. Dadaa funçãoreceitaR(x) =100x, obtenhaa receitamarginale interpreteo resultado.
25. Dada a função receitaR(x) =-4X2 +500x, obtenha:
o) a receitamarginalRlIlg;
b) RlIlg(lO) e a interpretaçãodo resultado;
c) RlIli20) e a interpretaçãodo resultado.
26. Sea função de demandafor p =20- 2x,obtenhaa receitamarginal.
27. Repitao exercícioanteriorcoma seguintefunçãode demanda:p =~ - 10.
x+ 30
28. Sep =a - bx for a funçãode demanda,obtenhaa receitae a receitamarginal.
29. Emcada caso, obtenhao customarginale esboceos respectivosgráficos:
o) cex) =2x + 100 c) cex) =2x3 - lOx2+30x + 100
b) cex) =x +200 d) cex) =3x3 - 5x2+20x + 100
30. Emcada caso, obtenhaa receitamarginale a receitamédiae esboceos respectivos
gráficos:
o) R(x) =lOx c) R(x) =_2x2 +600x
b) R(x) =6x d) R(x) =-10x2 + 1.000x
Observação:a receitamédiaRlIleé dada por RlIleCx)= R(x) .
x
Propensão Marginal a Consumir e a Poupar
Chamandodey a rendadisponívele, C o consumo,vimosqueC é funçãodey, e a
funçãoC(y) échamadadefunçãoconsumo.Denomina-sepropensãomarginalaconsumir
(eindica-seporP~g) aderivadadeC emrelaçãoay. Istoé:
P~g =C' (y).
Analogamente,vimosqueapoupançaS é tambémfunçãodey, e quea funçãoS(y) é
chamadadefunçãopoupança.Denomina-sepropensãomarginalapoupar(e indica-sepor
pf,zg) aderivadadeS emrelaçãoay,ou seja:
pf,Zg (y) =S'(y).
152 PARTE :2 - FUNÇÕES DE UMA VARIÁ VEL •
Exemplo5.23.Supondoquea funçãoconsumodeumafaI1l11iasejaC(y) =20 +0,4yO,75,
teremos
pfng (y) =0,3y-O,25.
Sequisermoso valordessapropensãoparay = 16,teremos
pfngC16) =0,3· (16tO,25 =0,3· (24tO,25 =0,15.
A interpretaçãoéanálogaàfeitaparaocustoeareceitamarginal,ouseja,aumentando-
seemumaunidadearendadisponível(de16para17),o aumentodoconsumoseráaproxi-
madamenteiguala0,15.
Comovimos,afunçãopoupançaédadaporS =y - C, ouseja,
S(y) =y - 20 - 0,4yO,75.
Assim,apropensãomarginalapouparé:
Sequisermoso valordessapropensãoparay =16,teremos:
p~gC16) = 1- 0,3· (16tO,25 = 1- 0,15=0,85.
Portanto,sea rendapassarde 16 para17,o aumentodapoupançaseráaproximada-
mente0,85.
Produtividade Marginal
ConsideremosumafunçãodeproduçãoP quedependadaquantidadex deum fator
variável.Chama-seprodutividademarginaldo fatoràderivadadeP emrelaçãoax.
Exemplo5.24.Consideremosafunç~odeproduçãoP(x) =50xO,5,emqueP éaquantidade
(emtoneladas)produzidapormêsdeumproduto,ex,o trabalhomensalenvolvido(medido
emhomens-hora).
A produtividademarginaldo trabalhoé
P'(x) =25·x-O,5.
Sex = 10.000,então
P'(10.000) =25· (10.000tO,5 =25· (104tO,5 =25· (10-2) =0,25.
Assim,seonúmerodehomens-horapassarde10.000para10.001,oaumentonaprodu-
çãomensalserá,aproximadamente,0,25tonelada.
• CAPÍTULO 5 - DERIVADAS 153
_~~.!r:<~!!':tl.~tI'r.~fr['~J..•• L -----------------
31. Dada a funçãoconsumoC =500+0,7y,obtenha:
a) a propensãomarginala consumire interpreteo resultado;
b) a propensãomarginala poupare interpreteo resultado.
32. Dada a função consumoC =30+0,4yO.5, obtenha:
a) a propensãomarginala consumirP;'g;
b) p;,gC64)e interpreteo resultado;
c) p}~g(64)e interpreteo resultado.
33. Repitao exercícioanteriorcom a seguintefunçãoconsumo:C =50+0,6· yO,5.
34. Dadaa funçãode produçãoP =500xO,5}emquex é o númerode homens-horaempre-
gadospormêseP, o númerode litrosproduzidosdeumprodutomensalmente,pede-se:
a) a produtividademarginaldo trabalhoparax=6.400e a interpretaçãodo resultado;
b) a produtividademarginaldo trabalhoparax= 8.100e a interpretaçãodo resultado.
35. A produçãoanualdealgodão (emtoneladas)de umagricultoréfunçãoda quantidade
x de fertilizanteempregada(emtoneladas),segundoa relaçãoP =100+200x - x2.
a) Determinea produtividademarginaldofertilizanteparax=50e interpreteo resultado.
b) Determinea produtividademarginaldofertilizanteparax=75e interpreteo resultado.
36. Considerea função de produçãoP(L) =500{L - 6L, em queP éa produçãomensal
(emtoneladas),e L, o númerode homens-horaempregados.
a) CalculeP'(L).
b) Calcule P'(l), P'(4), P'(9), P'(25) e P'(100).
Elasticidades
A funçãodedemandarelacionaopreçounitáriop comaquantidadedemandadax.Um
indicadordasensibilidadedevariaçãodademandaemrelaçãoaopreçopoderiaseraderi-
vadadex emrelaçãoap.Todavia,essaderivadadependedasunidadesdemedidautilizadas.
Assim,seaquedade$ 1,00porkg deabóborafizesseo consumidoraumentarem1kg por
mêsoconsumodesseproduto,arelaçãoconsumo/preçoseria1seoconsumofossemedido
emquilogramas,masseria1.000seo consumofossemedidoemgramas.Em razãodisso,
costuma-sedefinirum indicadordesensibilidadequeindependadasunidadesdemedida
utilizadas.Tal indicadoréchamadoelasticidade,epassaremosadefini-lo.
SuponhamosqueaumpreçoPo a quantidadedemandadasejaXo. Suponhamos,ainda,
queo preçosofraumavariação/)"p a partirdePo e, comoconseqüência,a quantidade
demandadasofraumavariação/)"x, apartirdeXo.
Consideremos:
• A variaçãoporcentualnopreço: /)"p .
Po
154 PARTE 2 - FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL •
A . - I .d d LlX• vanaçaoporcentuanaquantla e: -.
Xo
Chamamosdeelasticidadedademandanoponto(xo, Po) o número:
LlX
e =I lim Xo =Po llim LlX I.!1p~O Llp Xo !1p~O Llp
Po
O limitedentrodomóduloé ~; (derivadadaquantidadeemrelaçãoaopreço).O módulo
éintroduzidonadefiniçãoparaqueaelasticidaderesultenumnúmeropositivo,umavezque,
emgeral,dx <O. Observemosquealgunsautorespreferemfazeradefiniçãosemousododp
módulo.
Assim,
e=~ ·ldxl,Xo dp
emqueaderivadadx écalculadanoponto(xo' po).
dp
É importantesalientarquea elasticidadeé umacaracterísticado pontoda curvade
demandaenãodacurvaemsi.
Exemplo5.25.Seaequaçãodedemandafor dadaporx =500- lOp, teremos:
dx
dp =-10.
Portanto:
Po .10.e=
Xo
Assim,sePo =40,entãoXo =500- 400=100e
40e= -- ·10=4.
100
Isso significaque,paraLlp pequeno,4 ==
LlX
100
Llp
40
Admitindo ~~ = 1% (comoéusual),teremos
LlX 4fJ1 ( • A A A •• ")
100 ==- -/0 pOISL..1X e L..1p temSInaIScontranos.
• CAPÍTULO 5 - DERIVADAS 155
Em outraspalavras,seo preçofor 40 e sofrerumaumentoporcentualde 1%, a queda
porcentualnademandaserádeaproximadamente4%.
Demodoanálogo,seadmitíssemosumaumentoporcentualnopreçode2%(apartirde
40),aquedaporcentualnademandaseriadeaproximadamente8%.
See >I, ademandaéditaelásticano pontoconsiderado.SeO<e <I, ademandaé
dita inelástica,esee =I, ademandatemelasticidadeunitárianopontoconsiderado.
Paraa funçãodeoferta,define-seelasticidadedaofertaemrelaçãoaopreçodemodo
análogo:
lu
f= lim ~ = Po . dx,
6.1'-0 /),P Xo dp
Po
emque ~; écalculadanopontox =Xo ep =Po daequaçãodeoferta.
Nessecaso,o módulofoi omitido,pois : >O.
Exemplo5.26.Seaequaçãodeofertaforx =64+p2, então: =2p.
SequisermosaelasticidadeparaPo =6,entãoXo =64+62=100e dx =12,nopontoem
dp
quePo =6.
Assim,
6
f= 100·12 =0,72.
Dessemodo,paraumacréscimoporcentualde1% nopreço(apartirde6),o acréscimo
porcentualnaquantidadeofertada(apartirde 100)serádeaproximadamente0,72%.
_1~~.<~~i.~"rr.~fl'[:!.J-__ L _
37. Sea equaçãodedemandafordada porx= lOs-P, obtenhaa elasticidadeda demanda
paraP =5 e interpreteo resultado.
38. Resolvao exercícioanteriorparap =3.
39. Obtenhaa elasticidadeda ofertaparap =9, sabendoquea equaçãoda ofertaédadaI
porx =20- 0,05p+p2. Interpreteo resultado.
40. Resolvao exercícioanteriorparap = 16.
41. Considerea função de demandadada porp ={2õ0- x. Obtenha a elasticidadeda
demandaparax = 100e interpreteo resultado.
156 PARTE 2 - FUNÇÕES DE UMA VARIÁ VEL •
42. Considerea funçãode demandadada porp =,j 300- 2x.Obtenha a elasticidadeda
demandaparax = 132e interpreteo resultado.
43. Considerea funçãode demandap =,j100- x (emqueO <x <100).Paraquevalores
dex a demandaé:
a) elástica; b) inelástica.
44. A função de demandade um produtoép =50- 0,5qem quep é o preçounitárioe q
é a quantidadedemandada.
a) Ache a expressãoda elasticidadeda demandaemfunçãode q.
b) Ache o valorda elasticidadepara q =20,q =40, q =60, q =80 e q = 100.
c) Qual o limiteda elasticidadequandoq tendea zeropela direita?
45. A equaçãode demandade um produtoép = 120- 4x.
a) Obtenha a elasticidadeda demandaparap = 10.
b) Qual a quedaporcentualda demandaquando o preçosobe5% (a partirde 10)?
Façao cálculo por meioda elasticidadee tambémcalculediretamente.
46. A elasticidadeda demandaemrelaçãoao preçode umprodutoé 0,6.Qual a diminui-
ção porcentualna quantidadedemandadaquandoo preço:
a) sobe 1%; b) sobe 2%; c) sobe 5%.
47. A elasticidadeda demandaem relaçãoao preçode umbemé 2,4no pontoemquea
quantidadeé igual a 2.000unidades.Qual seráumvaloraproximadoda demandase
o preçosofreruma reduçãode 1%?
48. Considerea equação de demandax =4,em que k e a são constantespositivas.
p
Mostrequea elasticidadeda demandaemrelaçãoao preçoé constante,e dê o valor
dessaconstante.
49. Mostreque,sea equaçãode ofertaé da formax=k· paI em quek e a são constantes
positivas,entãoa elasticidadeda ofertaé constante.
50. Considereo gráficoabaixode umacurvadedemanda,sejata retatangenteao gráfico
no ponto P(xo, Po). Mostreque a elasticidadeda demandaem relaçãoao preço no
pontoP é dada por:
MP
e= -=
PN
p
M x
(Sugestão:usea semelhançaentreos triângulosMPS e NPR.)
•
5. 11 Derivadas Sucessivas
CAPÍTULO 5 - DERIVADAS 157
Seja1'(x)aderivadadef(x). Secalcularmosa funçãoderivadade1'(x), nospontosem
queelaexiste,chamaremosdederivadasegundadef(x) a essafunçãoe a indicamospor
1" (x).
Demodoanálogo,podemosdefinirderivadaterceira,quartaetc.A derivadadeordemn
def(x) serárepresentadaporf(Il)(x),sen for grande,evitandoo usodemuitas"linhas".
Exemplo5.27.Sef(x) =4x3- 2x2+6x - 4, teremos:
f'(x) = 12x2- 4x +6,
1"(x) =24x - 4,
1'''(x)=24,
f(4)(x) =Oetc.
51. Obtenha a derivadaterceiradas funções:
o) f(x) =6x3- 4x2- 10
b) f(x) =e-'
c) f(x) =e-X
d) f(x) =seux
e) f(x) =lux
f) f(x) =seux +cosx
g) f(x) =eX +e-x
5. 12 Fórmulas de Taylor e Maclaurin
Veremos,nesteitem,comoencontrarumasérieinfinitaqueconvergeparaumadada
função,ecomoutilizaressainformaçãoparacalcularumvaloraproximadodafunçãopor
meiode somasparciaisdestasérie.Assim, essemétodopodeserutilizadoparacalcular
valoresaproximados,por exemplo,de: log 35, ln 42,sen17°,e2o?1 etc.Esseé o método
geralmenteutilizadonosprogramasde computadore de calculadorasparao cálculode
determinadasfunções.
Chamamosdesériesdepotênciaassériesdotipo:
ao+ai .x +a2 . x2+a3 . x3+... = I all• xll•1l=0
As somasparciais51ldasériesãopolinômiosdadospor:
Paraum dadovalordex, assomasparciais50,51,52,... formamumaseqüênciaque
podeou nãoconvergirparaumnúmerodado.Verifica-seque,nassériesdepotências,as
somasparciaisconvergemparavaloresdex taisque-R <x <R.O númeroR échamadode
raiodeconvergênciadasérie.
158 PARTE Z - FUNÇÕES DE UMA VARIÁ VEL •
Consideremosumafunçãof(x) e umasériedepotênciasqueconvirjaparaf(x) num
certointervalode convergência.Determinemosos coeficienteao, aj, az, ... da sériede
modoque:
Temos:
• Parax =O::::}f(O) =ao.
• Derivandomembroa membro,verifica-sequea sériederivadaconvergepara1'(x)no
mesmointervalodeconvergência.Portanto:
1'(x) =ai +2azx +3a3xz+ ...
Parax =O::::}1'(0)=ai.
• Derivandomembroamembroa relaçãoanterior,obteremos:
1"(x) =2 . laz +3·2· 1. a3x+ ...
Parax =O::::}1"(O)=2 . 1 . az ::::}=a = 1"(O) = 1"(0)
z 2. 1 2!·
• Derivandomembroamembroa relaçãoanterior,obteremos:
f'" (x) =3 . 2 . 1 . a3+4 . 3 . 2 . a4x+ ...
1'" (O) 1'"(O)
Parax =O::::}1''' (O)=3 . 2 . 1 . a3::::}a3= -3-.-2-.-1= -3-! -
f(Il)(O)
• Procedendodemodoanálogo,verificamosqueall=, emquef(Il)(X) é aderivada
n!
deordemn def(x).
A sérieassimobtida,
f' (O) 1" (O) 1'"(O) f(Il)(O)f(O) +--x +__ xz +-_x3 + + x" + ..
1! 21 3! ... nl . ,
éconhecidacomosériedeTaylor(BookTaylor,matemáticoinglês,1685-1731)emtomo
dex = Oparaf(x). A fórmulaé tambémconhecidacomodesenvolvimentodeMaclaurin
(Colin Maclaurin,matemáticoescocês,1698-1746)paraa funçãof(x).
Quandousamosa somaparcialatéa derivadadeordemn, chamamoso resultadode
aproximaçãodeTaylordeordemn (oudeMaclaurin)paraf(x).
Exemplo5.28.Dadaa funçãof(x) =eX, teremos:
1'(x) =1"(x) =1'''(x) =... f(Il)(X) =eX•
Portanto,asériedeTay10r(oudeMaclaurin)emtomodex =Oparaf(x) = eX é:
11 1z 13 11l
+ -, x + -x + -, x + ... + -, x +...1. 21 3. n.
• CAPÍTULO 5 - DERIVADAS 159
Umaaproximaçãodeel,usandoumaaproximaçãode4ªordemé:
1 1 1 1 1 1 65
el == 1+ 1 . (11)+_(12) +_(13) + _(14) = 1+ 1+- +- + - = - ==271.
2 6 24 2 6 24 24 '
Exemplo5.29.Consideremosa funçãof(x) =(1 +x)ll.
Temos:
f(x) =11(1 +x)Il-1 =>f(O) =11,
f'(x) =11(11-1)(1 +x)Il-Z =>1'(0)=11(11-1),
f"(x) =11(11- 1)(11- 2)(1 +x)Il-3 =>f"(O) =11(11-1)(11-2).
A aproximaçãodeTaylor(oudeMaclaurin)atéa3ªordem,emtornodex =O,é:
(1 +x)1l== 1+~ x + 11(11- 1) x2+ 11(11- 1)(11- 2) .31 2 6·t .
Exemplo 5.30.Qual a aproximaçãoaté4ª ordemdef(x) =cosx, pela aproximaçãode
Tayloremtornodex =O?
Temos:
f(x) =-sen x=>f(O) =O,
f'(x) =-cos x =>1'(0)=-1,
f"(x) = senx =>f"(O) = O,
f'''(x) =cosx =>f"'(O) = 1.
Portanto:
-1 12 1 4
cosX - - 2"x + 24x .
Algumasvezes,porquestõesdeconvergência,costuma-seutilizarumasériedepotên-
ciasligeiramentediferentedaqueacabamosdeestudar.Trata-sedasérie:
aO+al(x-a)l+a2(x-a?+a3(x-a)3+ ... = I all·(x-a)ll,
Il=O
querecebeo nomedesériedeTayloremtornodex =a, emquea éumaconstante.
Comraciocínioanálogoaoanterior,dadaumafunçãof(x),emque:
f(x) =ao+al(x- a)1+a2(x- a)2+a3(x- a)3+...
devemoster:
• ao=f(a),
• a - f'(a)
1--1,-'
160
• a2 = f"(a)
2! '
PARTE:'. - FUNÇÕES DE U;vlA VARIÁ VEL •
flf/(a)
• a3 =~----,-",-
3! '
• e' f(II)( )genencamenteali =__ a.
11!
Assim,
f(x) =f(a) + fl(~) (x- a) + f'~\a)(x- a)2+ f"~~a)(x - a? + ...
Setomarmosostermosatéaquelaquetenhaderivadadeordem11, chamaremosasoma
parcialencontradadeaproximaçãodeTaylordeordem11, centradaema.
Exemplo5.31.Consideremosa funçãof(x) =~, e obtenhamosa aproximaçãodeTaylor,
de3ªordem,centradaema =4.
Temos:
f(x) =~ =>f(4) =2,
1 _.i 1
f(x) =2X 2 =>f(4) =4'
1 _.1 1
f'(x) = -4X 2 =>1'(4)=-32'
f"(x) =--ª-x-1=>f"(4) =_3_.8- 256
Portanto:
1 -1 3- - -
~;;;;:2++(x-4)'+ 322(x-4)2+ 2~6 (x-4)3,
_I =2 (x-4)' _ (x-4)2 (x-4)3
"X - + 4 64 + 512 .
Assim,porexemplo,umvaloraproximadode-{5seria:
2+1- __ 1 +_1_= 1.145=224.
4 64 512 512 '
52. Dê a fórmula de Taylor, centrada em x =O, para a função f(x) =senx.
53. Dê a fórmula de Taylor, centrodo em x =O, paro o função f(x) =In(l +x).
• CAPÍTULO 5 - DERIVADAS 161
54. Usandoumaaproximaçãode 3ªordemno exercícioanterior,calculeumvaloraproxi-
madode In 1,5.
55. Dê a fórmulade Taylor,centradaemx = I, da funçãof(x) =Inx. (Prova-sequeexistea
convergênciapara O <x ~ 2.)
56. Dê a sériede Taylorpara a funçãof(x) =cosx, centradaemx = ~.
57. Regrasde L'Hospital(GuillaumeFrançoisAntoinede L'Hospital,1661-1704,Matemá-
tico francês).
Essasregraspermitemo cálculo de limitesindeterminados,habitualmenteindicados
sob a forma ~ ou : (observemosque issoé apenasumanotaçãopara indicarque
numeradore denominadorconvergempara O ou 00). Tal regradiz o seguinte:
Sef(x) e g(x)são funçõesderiváveis,taisque lim ft~ é da forma ~ ou ..:::.,entãox-agx 00
lim f(x) =lim f;(x) , seexistiro limite lim f:t) . O mesmoresultadoé válidoparax-a g(x) x-a g (x) x-a g x)
x tendendoa infinito.
Outrasformasde indeterminação,comoa simbolizadaporO . 00, podemserreduzidas
às duasanteriores,antesda aplicaçãoda regra.
Exemplos:
lim senx =O
x-O 2
I
b) Sequisermoscalcularo limite lim xx,observemosqueeleconduza umaindetermi-
x-+oo
naçãodo tipo000. Paraprocedermosao cálculodesselimite,calculemoso limitedo
logaritmonaturalda função,ou seja:
) r x - senx lia 1m 1 = m
x - o x- x - o
I-cosx
2x
I
lim XX = 1.
1
I· I 1 r I I r In x r x O1m n XX = 1m- n x = 1m -- = 1m- = .
X-oo .\"-00 .X x-oo X X-oo 1
Como o limitedo logaritmonaturalda função é O, concluímosque o limiteda
funçãoé I, istoé:
x-oo
Calcule os seguinteslimitesusandoa Regrade L'Hospital:
a) lim < e) lim [_1_2- - ~ ] (Useo fatode quex2 sen2x ==x4)x-= e' x-o sen x x
b) r In x f) r t1m-,-o 1mx-x-oo e' x-+O
c) lim (secx - tg x)
r_lI
. 2
d) lim ~
x-O· cotgx
Capítulo 6
Aplicaçõesde Derivadas
6. 1 Crescimento e Decrescimento de Funções
Vimos no Capítulo3 o conceitodefunçãocrescentee decrescente,bemcomoo de
máximosemínimos.Vamos,nestecapítulo,estudardequeformaessesassuntossevinculam
com o conceitodederivadas.Existemtrêsteoremasbásicossobreo assunto(o primeiro
delestemsuademonstraçãofeitanoApêndiceB).
Tcorcma6.1
(Teoremado valor médio)- Suponhaquef(x) sejaumafunçãocontínuano in-
tervalo[a, b] e derivávelno intervalo]a, b[. Então,existeumpontoc pertencente
aointervalo]a, b[ talque1'(c) = f(~) - f(a).
VejaaFigura6.1.Geometricamente,o resultadoéevidente.A retaAB temcoeficiente
angularf(b) - f(a) . No intervalo]a, b[ existeumpontoc, talquea retat,quetangenciaob-a
gráficodef(x) nopontodeabscissac, éparalelaà retaAB. Assim,asretaste AB terãoo
mesmocoeficienteangular;e comoo coeficienteangulardaretat é dadoporl'(c), segue
quef'(c) = f(b)-f(a).b-a
Figura6.1:Ilustraçãodo teoremado valor médio.
a c x
• CAPíTULO 6 - APLICAÇÕES DE DERI\ADAS ' é3
Exemplo6.1.Consideremosa funçãof(x) =x2 +5x definidano intervalo[1,3]. Determi-
nemoso pontoe talque/(e) = f(3) - f(1) .3 - 1
Temos,f(1)=6,f(3) =24e/(x) =2x +5.
Queremosacharo númeroe talque:
/(e)=2e+5= 24-6_ . =9.
Resolvendoaequaçãoacimaencontramose=2.
Teorema6.2
Se,paratodox E ]a, b[ tivermos/(x) >O,entãof(x) écrescenteemtodointervalo
]a, b[.
Demonstração
ConsideremosdoispontosarbitráriosXl eX2 dointervalo]a, b[ e taisqueXl <X2' Como
f(x) éderivávelem]a, b[, tambémo seráem]Xl> X2[' Assim,peloteoremadovalormédio,
haveráumvalore E ]XI> X2[ talque
Mas,porhipótese,/(e) >O.Portanto
TendoemcontaqueXl <X2 (eportantoX2 - Xl >O),concluímosque
Assim,f(x) serácrescenteem]a, b[ (Figura6.2).
Figura 6.2: Função crescente.
---------
f(X2) ~__ m_m_m
164 PARTE 2 - FUNÇÕES DE UMA VARIÁ VEL •
Teorema6.3
Separatodox E ]a, b[ tivermosf'(x)<O,entãof(x) serádecrescenteno intervalo
]a, b[.
A demonstraçãoéanálogaàdoTeorema6.2.
É fácil perceber,então,queos Teoremas6.2e 6.3nosfornecemuminstrumentopara
obterosintervalosdecrescimentoedecrescimentodeumafunção,bemcomoparaencon-
trarseuspontosdemáximoedemínimo,casoexistam.
Exemplo6.2.Consideremosa funçãof(x) =x2- 4x. Temos
f'(x) =2x - 4.
• Sinaldef:
• Comportamentodef:
8 2EB
,
•
, ~i/ ,
Usamosa simbologia:
__ Funçãocrescente
--- Funçãodecrescente
Assim,a funçãof(x) édecrescenteem]-00, 2[ ecrescenteem]2,00[.Comoelaé con-
tínuaem2,concluímosquex =2 éumpontodemínimodef(x).
3
Exemplo6.3.Consideremosa funçãof(x) = ~ - 2x2+3x + 10.3
Temosquef(x) =x2- 4x +3.
• Sinaldef :
•
• Comportamentodef:
CAPÍTULO 6 - APLICAÇÕES DE DERIVADAS 165
e 3
I I____i----i----, ,
Assim,J(x) écrescenteem]-00,I[ e ]3,oo[ ef(x) édecrescenteem]1,3[. Comof(x) é
contínuaemI e3, seguequeI épontodemáximo,e3 épontodemínimo.
Notemosquex = I é um pontode máximorelativoe x = 3 é um pontode mínimo
relativo.Alémdisso,nãohápontodemáximoabsoluto,poisafunçãoécrescentedepoisde
3, comimagensqueacabamsuperandof(I). Da mesmaforma,nãohápontodemínimo
absoluto.
Suponhamosaindaqueo domíniodafunçãosejarestritoaosnúmerosreaisentreOe5,
istoé,D =[O,5].Nessascondições,é fácilperceberquex =Otambémépontodemínimo
relativo,ex =5 tambémépontodemáximorelativo.Além disso,como
34 50
f(O) = 1O,J(l)= 3,f(3) = 10ef(5) =3'
concluímosqueo gráficodef(x) temo aspectodaFigura6.3.
Conseqüentemente,no intervalo[0,5],x=5 éumpontodemáximoabsolutoex=Oe
x =3 sãopontosdemínimoabsolutos.
Figura 6.3:Gráfico da funçãof(x) =.>2/3 - 2X2 +3x+ 10no
intervalo[O,5].
50/3 ~----------------
34/3
10
o 5
Esseexemploserveparalembrarmosquequandoumafunçãoédefinidanumintervalo
fechado[a, b], alémdospontosinterioresaodomínio,podemosterpontosdemáximoede
mínimonosextremosx = a ex =b.Além disso,podemosverificarseexistempontosde
máximooumínimoabsolutos.
166 PARTE 2 - FUNÇÕES DE UMA VARIÁ VEL •
Exemplo6.4.Consideremosa funçãof(x) =~ =x-2.x
Temos
f(x) =-2x-3 = -23 .x
Parao estudodosinaldef(x), precisamosinicialmenteestudaro sinaldeg(x) =x3.
Comoo numeradordef(x) é-2, seguequeo sinaldef(x) é:
o
I 8 •
Assim,f(x) é crescenteem]-00, O[e decrescenteem]0, 00[.O pontox =Onãoé de
máximo,poisa funçãonãoédefinidaparax =O(portanto,nãoécontínuaparax =O).
Exemplo 6.5. Uma empresaproduz um produto com um custo mensal dado por
C =~x3 - 2x2+lOx+20.Cadaunidadedoprodutoévendidaa$ 31,00.Qualaquantidade3
quedeveserproduzidae vendidaparadaro máximolucromensal?
Resolução
O lucromensalédadopor
L =R - C =3lx - (~ x3- 2x2+ 10x+20).
Portanto
Derivandoafunçãolucro,teremos:
L' =_x2 +4x+21.
• SinaldeL' :
• CAPÍTULO 6 - APLICAÇÕES DE DERIVADAS 167
• ComportamentodeL:
-3 7
1 I Ir
_____ 1 i _, ,
Comoxépositivo(quantidade),concluímosqueopontodemáximo(relativoeabsoluto)
éx =7.Assim,paratero máximolucro,aempresadevevender7 unidadespormês.
Exemplo 6.6.Um monopolista(produtorúnicodeum certobem)temum customensal
dadopor C =S +2x +0,0Ix2. A funçãodedemandamensalép =-0,05x +400.Qual o
preçoquedevesercobradoparamaximizaro lucro,sabendo-seque:
a) acapacidademáximadeproduçãomensaléde2.000unidades?b) acapacidademáximadeproduçãomensalé de4.000unidades?
Resolução
O lucroédadopor:
L =R - C =px - C,
L =(-O,OSx+400)x- (S +2x+0,Olx2),
L =-0,06x2 +398x- S.
DerivandoL teremos
L' =-0,12x +398.
• SinaldeL' :
• ComportamentodeL:
3.316,7----.--
a) Pelo comportamentodeL, concluímosqueo máximodeL ocorre,nestecaso,para
x =2.000,poisO :oSx :oS 2.000.
b) Pelo comportamentode L, concluímosqueo máximode L ocorre,nestecaso,para
x =3.316,7,poisO :oS x:oS 4.000.
1. Obtenha os intervalos de crescimento e decrescimento das funções e determine os even-
tuais pontos de máximo e de mínimo:
a) f(x) =3x +4
b) f(x) =-2x +6
168
c) f(x) =x2 - 3x
d) f(x) =1-x2
PARTE 2 - FUNÇÕES DE UMA VARIÁ VEL
k) f(x) =-2x3
1
I) f(x) =_x44
x4 x2
m) f(x) =- - - + 104 2
1
n) f(x) =-x
•
e) f(x) =x2- 4x +6
x3 7
f) f(x) =3-2x2+12x +3
x3 3
g) f(x) =3-2x2+2x + 1
x3
h) f(x) =- - +4x +6
3
x3
i) f(x)=-- +4x2+10
3
j) f(x) =x3
o) f(x) = x - 1x-2
p) f(x) = _xx-3
q) f(x) =e-x2
r) f(x) =~
x2 + 1
s) f(x) =(x - l)(x - 2)(x - 3)
2. Dada a função receita R(x) =_2x2 + lOx, obtenha o valor de x que a maximiza.
3. Dada a função de demanda p =40 - 2x, obtenha o preço que deve ser cobrado para
maximizar a receita.
4. Com relação ao exercício anterior, qual o preço que deve ser cobrado para maximizar o
lucro, se a função custo for C =40 +2x?
5. A função custo mensal de fabricação de um produto éC = x3 - 2x2+ lOx +10, e o preço3
de venda ép =13. Qual a quantidade que deve ser produzida e vendida mensalmente
para dar o máximo lucro?
6. A função custo mensal de fabricação de um produto é C =x3 - 2x2+ lOx +1 e a função3
de demanda mensal do mesmo produto ép =10-x.Qual o preço que deve ser cobrado
para maximizar o lucro?
7. A função de demanda de um produto ép =100- 2x,e o único produtor tem uma função
custo C =500 +3x.
a) Que preço deve ser cobrado para maximizar o lucro, se o governo cobrar do produ-
tor um imposto de $ 1,00 por unidade vendida?
b) Se a empresa maximizar o lucro, que imposto o governo deve cobrar para maximizar
a receita tributária?
• CAPÍTULO 6 - APLICAÇÕES DE DERIVADAS 169
8. Dada a funçãof(x) = lOx - x2, obtenhaseuspontosde máximoe mínimorelativose
absolutos,sabendo-seque o domínioé D =[O, 6].
9. Resolvao exercícioanteriorconsiderandoa funçãof(x) = x3 - 2x2 + 12x + 5 e o3 2
domínioD =[O, 00[.
3
10. Dada a (unçãocustoC=~ - 6x2+60x+20,mostrequetorfunçãoésemprecrescente3
e temum pontode mínimoparax =O.
11. Com relaçãoao exercícioanterior,obtenhao customarginale mostreque eletemum
pontode mínimoparax =6.
12. Considerea funçãocustoC =0,lx3 - 4x2+70x+50. Mostreque tal funçãoé sempre
crescente.
13. A função demandamensalde umprodutoép =40- O,lx, e a função customensalé
3
C =~ - 7x2+60x+50.
3
a) Obtenhao valordex que maximizao lucro,e o correspondentepreço.
b) Mostreque, para o valor de x encontradono itemanterior,a receitamarginalé
igual ao customarginal.
14. Dada a função custoanual de umaempresaC(x)=40x- lOx2+x3:
a) Ache o customédioCme(x) = C(x) .
x
b) Acheos intervalosdecrescimentoedecrescimentodo customédio,indicandoeven-
tuaispontosde máximoe mínimo.
3
15. Repitao exercícioanteriorcoma funçãocustoC = x3 - 4x2+30x.
16. Dada a função custoC =20+3x,mostreque o customédioé sempredecrescente.
17. Dada a funçãocustomensalde fabricaçãode umprodutoC =40 +5x:
a) Mostreque o customédioé sempredecrescente.
b) Qual o customédiomínimo,sea capacidadeda empresaé produzirno máximo60
unidadespor mês?
18. O customensaldefabricaçãodex unidadesde umprodutoé C(x)=0,lx2 +3x+4.000.
a) Obtenhao customédio.
b) Paraquevalor dex o customédioé mínimo?
c) Resolvao itemanterior,supondo que a capacidade da empresaé produzirno
máximo180unidadespor mês.
d) Idemao itemanterior,sea capacidadefor de 250unidadespor mês.
19. Uma empresatemumacapacidadede produçãomáximade 200unidadespor sema-
na. A função de demandado produtoé p =-O,2x +900 e a função custosemanalé
C =500- 8x+x2. Qual o preçoque deveser cobradopara maximizaro lucro?
170 PARTE 2 - FUNÇÕES DE UMA VARIÁ VEL •
20. Uma empresaopera num mercadoem que o preço de venda é constantee igual a
$ 20,00.Seucustomarginalmensalé dado por Cmg=3.\2- 6x+ 15.Qual a produção
mensalque dá o máximolucro?
21. O custoanual de fabricaçãode x unidadesde um produtoé C =O,OL~+5x+200.
Obtenha o valor dex que minimizao customédio.
22. Dada a funçãocustoanual C =x3 - 20x2+400x:
a) Obtenha o customédioe o customarginal.
b) Mostreque, no pontode mínimodo customédio,o customédioé igual ao custo
marginal.
23. Um monopolistatemumcustomédiomensaldado por Cme=x2 - lOx +60, emquex
é a quantidadeproduzida.A função de demandadesseprodutoé p =50- 3x. Que
preçodevesercobrado para maximizaro lucromensal?
24. Um produtorobservouque, quando o preço unitáriode seu produtoera $ 5,00,a
demandamensalera3.000unidadese, quandoo preçoera$6,00,a demandamensal
era 2.800unidades.
a) Qual a equaçãode demandaadmitindo-afunçãodo 1ºgrau?
b) Qual o preçoquedevesercobrado para maximizara receitamensal?
x
25. A funçãode demandamensalde umprodutoép =20e-2,emquep é o preçounitário
e x a demandamensal.Qual o preçoque maximizaa receitamensal?
26. A equaçãodedemandadeumprodutoéx=200-2p. Mostrequea receitaé maximizada
quando a elasticidadeda demandaé iguala 1.
27. Numa cidadeestima-seque o númerode habitantesdaquia t anosseja:
N =50- _4_ milharesde pessoas
t +2
a) Qual a estimativapara daquia 8 anos?
b) MostrequeN cresceem relaçãoa t a taxasdecrescentes.
c) Qual o númerode habitantesa longo prazo?
28. Uma empresaproduzP =50-{N toneladasmensaisde um produto,utilizandoN ho-
mens-horade trabalho. Mostre que a produtividademarginaldo trabalho, dP, édN
decrescentecomN.
29. Um consumidorconseguecerto nívelde satisfaçãoconsumindox unidadesde um
produtoA e y de umprodutoB; os valoresdex e y se relacionampor meioda curva
de indiferençay = l.§....Se cada unidadedeA custa$2,00e cada unidadede B custa
x
$ 1,00,qual a combinaçãoque dará ao consumidoraquele nívelde satisfaçãoa um
customínimo?
• CAPÍTULO 6 - APLICAÇÕES DE DERIVADAS 171
30. Um bancocaptadinheiropagandoa seusaplicadoresumataxaanualde jurosiguala
i e repassaessevalor captadoà taxa de 24% ao ano. Sabendo-seque a quantia
captadaC é dada por C =1.000i,obtenhao valorde ique maximizao lucroanualdo
banco.
31. Um investidoraplicaseupatrimônioemduasaçõesA eB; eleaplicaumaporcentagem
x na açãoA e (l-x) na ação B. A lucratividadeesperada(J.L) e o riscoda carteira(()2)
são dados por:
J.L =0,15- 0,07x
()2 =0,0047x2- 0,0068x+0,0025.
a) Quais as porcentagensque o investidordeveaplicaremA e B para ter o menor
riscopossível?
b) Nas condiçõesdo itema,qual a lucratividadeesperadada carteira?
6.2 Concavidade e Ponto de Inflexão
Dizemosqueo gráficode umafunçãof(x), derivável,écôncavoparacimano inter-
vala] a, b[ separatodox E ]a, b[ o gráficodafunçãonesteintervalo(excetoo pontode
abscissax) permaneceacimadatangenteaográficonopontodeabscissax (Figura6.4a).
Dizemosqueográficodeumafunçãof(x), derivável,écôncavoparabaixonointer-
vala] a, b[ separatodox E ]a, b[ o gráficodafunçãonesteintervalo(excetoo ponto
de abscissax) permaneceabaixoda tangenteao gráfico no ponto de abscissax (Fi-
gura6.4b).
Figura 6.4: Concavidade(a)paracimae (b)parabaixo.
f(x) f(x)
~I I
II
I
a c
(a)
x a
(b)
b x
Consideremosagorao gráficoda Figura 6.4a.O pontoc é um pontode mínimoe
f'(c) =O, poisatangenteaográficopor c éparalelaaoeixox; parapontosàesquerdadec,
atangenteaográficoterácoeficienteangularnegativo,eportantol'(x) <O paraa <x <c.
Parapontosàdireitadec,atangenteaográficoterácoeficienteangularpositivo,e,portanto,
1'(x)>O parac <x <b.
À medidaquenosdeslocamosdeA paraB, ocoeficienteangulardaretatangenteaumen-
tará,passandodevaloresnegativos,à esquerdadec, paravalorespositivos,àdireitadec.
172 PARTE 2 - FUNÇÕES DE UMA VARIÁ VEL •
Da mesmamaneiraqueaprimeiraderivadamedea taxadevariaçãodafunção,asegunda
derivadamedea taxadevariaçãodaprimeiraderivada.Assim,comoa primeiraderivada
(geometricamente,o coeficienteangulardatangente)estácrescendo,suaderivadaserápo-
sitiva,istoé,asegundaderivadaserápositiva.Portantof" (x) >O,paratodox E ]a, b[,pois
nesteintervalo1'(x)estácrescendo.Em particular,f" (c)>O,istoé,nopontodemínimoa
segundaderivadaépositiva.
Um argumentoanálogomostraque,parao gráficodaFigura6.4b, f" (x) <Oparatodo
x E ]a, b[.
Resumindo:
• Sef" (x) >Oparatodox E ]a, b [, o gráficodef(x) écôncavoparacimaem[a, b].
• Sef"(x) <Oparatodox E ]a, b [, ográficodef(x) écôncavoparabaixoem[a, b].
ConsideremosagoraaFigura6.5,emqueo pontoc é talqueo gráficodafunçãotem
concavidadesdenomescontráriosàesquerdaeàdireitadec.Dizemosqueo gráficomuda
deconcavidadeemc e estesediz pontodeinflexãodef(x).
Figura 6.5: Pontosde inflexão.
y y
c x c x
Notemosque,parac serpontodeinflexão,f" (x) <Oparax <c e f" (x) >Oparax >c;
ouentãof" (x) >Oparax <c e f" (x) <Oparax >c.
Nessascondições,f" (c) =O,pois f" (x) mudadesinalemc.
Observação
No queestamosconsiderando,f(x), l'(x) e f" (x) sãofunçõescontínuasemuminterva-
lo contendoc.O argumentoheurísticoaquiutilizadopodeserdemonstradorigorosamente,
e o leitorinteressadopoderáencontrarasdemonstraçõesrelevantesnoApêndice.
Exemplo(•.7.Consideremosafunçãof(x) =x3 - 6x2 +4x - 10eestudemosseucomporta-
mentonoquediz respeitoàconcavidade.
Temos:
1'(x) =3x2 - 12x+4 e f"(x) =6x - 12.
•
• Sinaldef" :
• Comportamentodef:
CAPÍTULO 6 - APLICAÇÕES DE DERIVADAS 173
•
b) f(x) =4 _x2
c) f(x) =.0- 9x2+6x- 5
d) f(x) =_x3 + 12x2- 4x+ 1
Portanto,f écôncavaparabaixono intervalo]-00, 2[ ecôncavaparacimaem]2, 00[.
Além disso,x =2 éumpontodeinflexão.
32. Obtenha os intervalosem que cada função é côncavapara cima ou côncavapara
baixo,indicandoeventuaispontosde inflexão:
a) f(x) =x2 +3x f) f(x) = XI - 2.0+ .lx2 +512 3 2
1
g) f(x) =-x ,x-
h) f(x)=e-z
i) f(x) = x + 1x-I
e) f(x) =-x3 - 8x2+3
6.3 Estudo Completo de uma Função
A construçãodo gráficodeumafunçãoé umdosobjetivosimportantesdo estudode
derivadas.Os elementosnecessáriosparatalfim constamdoroteiroaseguir:
a) Determinaçãododomínio.
b) Determinaçãodasintersecçõescomoseixos,quandopossível.
c) Determinaçãodosintervalosdecrescimentoedecrescimentoe depossíveispontos
demáximoe mínimo.
d) Determinaçãodosintervalosemquea funçãoécôncavaparacimaouparabaixoe
depossíveispontosdeinflexão.
e) Determinaçãodoslimitesnosextremosdodomínioedepossíveisassíntotas.
f) Determinaçãodoslimiteslateraisnospontosdedescontinuidade(quandohouver)e
possíveisassíntotas.
174 PARTE :1 - FUNÇÕES DE UMA VARIÁ VEL •
3
Exemplo6.8.Façamoso estudocompletodafunçãof(x) =~ - 2X2+3x +5.
3
Temos:
a) D=R.
b) Intersecçãocomeixoy: x =O ~ f(O) =5.
3
Intersecçãocomeixox: y =O ~ ~ - 2x2+3x +5 =O (equaçãodedifícil solução).3
c) 1'(x) =x2 - 4x +3.
• Sinaldel':
81\ 8/81
1",,----/3
• Comportamentodef:
-e
/i~i/
8 3 81~
1épontodemáximoef(l) = li; 3 épontodemínimoef(3) =5.
Observemosquenãohápontosdemáximooumínimoabsolutos.
d) 1"(x) =2x - 4
• Sinalde1":
..
e Comportamentode f:
2 épontodeinflexãoef(2) = 1;.
r. ~ •...•.....
• CAPÍTULO 6 - APLICAÇÕES DE DERIVADAS 175
e) }~~f(x) =}~~_;3 =00,}~~=f(x)=}~~=~3 =-00.
f) Pontosdedescontinuidade:nãohá.
Comessasinformaçõesépossívelesboçaro gráficodef(x) (Figura6.6).
Figura 6.6: Gráfico da funçãoI(x) =x3/3- 2r+3x+5.
x
Temos:
•EEJ"" 8 /EEJ
-1~1
• SinaldeD:
Exemplo6.9.Façamosumestudocompletodafunçãof(x)=x +1-.x
a)D=R-{O}.
b) Intersecçãocomeixoy: nãoexiste,pois f(x) nãoestádefinidaparax =O.
Intersecçãocomeixox: y =O::::}x +1-=O::::}x2 =-1.x
Tal equaçãonãoadmitesoluçãoreal;portantoo gráficonãointerceptao eixox.
1 x2 - 1
c) f(x) =1--? = --2-.x- x
FazendoN =x2 - 1eD =x2, teremos:
• SinaldeN:
o
176
Quadroquociente:
PARTE 2 - FUNÇÕES DE UMA VARIÁ VEL
x
-1O1
N
+--+
D
++++
f(x)
+--+
I I •
, ,
, ,/;~;~i/
, ,
, ,
, ,
, ,
•
-1 épontodemáximoef(-I) =-2; 1épontodemínimoef(I) =2.
d) f"(x) =-4.x
• Sinaldex3:
• Sinaldef" .
• Comportamentodef:
e
e o
T
o
• CAPÍTULO 6 - APLICAÇÕES DE DERIVADAS 177
ObservemosqueO nãoépontodeinflexão,poisO nãopertenceaodomínio.
e) }!..~f(x)=}!..~(x+ ~)=00; x~~=f(x)=x~~jx + ~) =-00.
f) lim f(x) =00; lim f(x) =-00.x-o+ x-o-
Com essasinformações,obtemoso gráficoda função(verFigura6.7).Notemosque
nãoexistempontosdemáximonemmínimoabsolutos.
Figura 6.7: Gráficodafunçãof(x) =x + llx.
-1
--,
II
II
I
I
/\'-2
33. Faça umestudocompletoe esboceo gráficodasfunções:
a) f(x) = .~ - 2-x2+4x +2 k) f(x) =2x + _1
3 2 2x
b) f(x) =.~- 3x I) f(x) =1.- +~
x 9
c) f(x) =5 +x - i3 m) f(x) =1.- +~ +2
x 9
4
d) f(x) =_~+x2 - x - 1 n) f(x) =- +x +5
x
e) f(x) = 2x4- 4x2
f) f(x) =-3.0- 6x2
g) f(x) =(x - 1)3
h) f(x) = (x - 1)4
i) f(x) =1.- +4x
1
j) f(x) = x _ 1
16
o) f(x) = - +x (x >O)
x
p) f(x) = _x2
(x -
q) f(x) =e--~
r) f(x) = __x
x2 + 1
5) f(x) =X - e-x
178 PARTE 2 - FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL •
34. Dada a funçãocustoC(x) =2x3 - 6x2+ 100x+400,esboceseugráfico.
35. Dada a funçãocustoC(X) =2x+ 100:
a) Obtenha o customarginal;
b) Obtenha o customédio;
c) Esboceos gráficosdas funçõesobtidasem a e b.
36. Dada a funçãocustoC(x) =x3 - 3x2+ lOx:
a) Obtenha o customarginal;
b) Obtenhao customédio;
c) Mostreque,no pontode mínimodo customédio,o customarginalé igualao custo
médio.
37. Repitao exercícioanteriorcoma seguintefunçãocusto:
C(x) =2x3 - 12x2+30x
6.4 Máximos e Mínimos por Meio da Segunda Derivada
Intuitivamente,podemosnotarquequandoumpontoc, interioraodomínio,édemáxi-
mooudemínimo,a tangenteaográficodafunçãof(x) correspondenteéhorizontal,econ-
seqüentementef'(c)=O(desdequeafunçãosejaderivávelnoponto).
Surge,porém,umproblema:sesoubermosquef' (c) = O,comosaberse c é pontode
máximo,demínimoounemdemáximonemdemínimo?
SuponhamosqueCo e c) sejampontosdemáximoe demínimo,respectivamente(Fi-
gura6.8).
Figura 6.8: Pontosde máximoe mínimo.
y y
A/ : ---....I ] :
I I II I II I I
I I I
___ B----1
a b x a b x
SendoCo um pontodemáximo,entãonasvizinhançasde Co a funçãoé côncavapara
baixoe,portanto,fl/(c)<O.
Analogamente,sendoCj umpontodemínimo,entãonasvizinhançasdec) a funçãoé
côncavaparacimae,portanto,r(c) >O.
Dessaforma,umpontoc talquef' (c)=Opodeserclassificadocomopontodemáximo
oudemínimo,deacordocomr(c) <Oour(c) >O.
• CAPÍTULO 6 - APLICAÇÕES DE DERIVADAS 179
Observemosque,se o domíniofor o intervalo[a, b] os pontosa e b (extremosdo
domínio)deverãoseranalisadosàparte.NaFigura6.8daesquerda,x =a ex =b sãopontos
demínimoe,nadadireita,sãopontosdemáximo.Assim,o raciocíniopormeiodaderivada
igualazeroéválidaapenasparapontosinterioresdodomínio.
O argumentoheurísticoutilizadopodeserrigorosamentedemonstrado,e o leitorinte-
ressadopoderáencontrarasdemonstraçõesrelevantesnoApêndiceB.
Exemplo6.10.EncontreospontosdemáximoemínimodafunçãoJ(x) = x3 - 2x2+4x+3.3 2
Temosque
f'(x) =x2 - 5x+4.
Impondoquef'(x)=O, teremos:
x2 - 5x+4 =O, cujasoluçãoéx = 1oux =4.
Por outrolado,I" (x)=2x- 5.Assim:
1"(1) =-3 <O :::::>x = 1épontodemáximo;
JI/(4) =3> O:::::> x =4 épontodemínimo.
Exemplo6.11.Deseja-seconstruirumaáreadelazer,comformatoretangular,e 1.600m2
deárea.Quaisasdimensõesparaqueo perímetrosejamínimo?
Sejamx ey asdimensõesdoretângulo.
x
Temos
x . y = 1.600equeremosminirnizaro perímetroP =2x+2y.
De xy =1.600tiramosy = 1.600. Substituindoessevalordey emP, obtemos:x
P =2x+ 2. 1.600=2x+ 3.200
x x
E ... f - P() 2x 3.200mresumo,queremosmInlllllZara unçao x = + --o x
Assim,
180 PARTE :2 - FUNÇÕES DE UMA VARIÁ VEL •
ImpondoqueP' (x) =O,teremos
2 3.200 O . 2 1600--?- = , ouseja,x = ..x-
Logo
x =40 ou x =-40 (a respostanegativanãoconvém,pois x, sendocomprimentodo
retângulo,énecessariamentepositivo).
Paraconfirmarmosquex =40éefetivamenteumpontodemínimo,calculamosP" (x):
PII(X) = 6.4?0 e P"(40) = 6.4~0>Ox 40
Portantox =40édefatopontodemínimo.
Comoxy = 1.600=}40y= 1.600e,portanto,y =40.
Assim,asdimensõesdoretângulosãox =40m e y =40m.
38. Obtenhaos pontosde máximoou de mínimo(quandoexistirem)dasfunçõesabaixo:
x3
a) f(x) =x2 - 4x+5 d) f(x) =- - +4x+63
1
b) f(x) =6x- x2 e) f(x) =x +-
x
x3 7
c) f(x) =- - _x2 +6x+5
3 2
39. Deseja-seconstruiruma piscinaretangularcom 900m2 de área. Quais as dimensões
para que o perímetroseja mínimo?
40. Obtenha dois númeroscujo somaseja 100e cujo produtoseja máximo.
41. Um fabricantede conservasusa latascilíndricascujos volumesdevemser iguais a
500em3. Quais devemseras dimensões(alturae raiodasbases)maiseconômicasdas
latas(istoé, aquelasque dão a menorárea da superfície)?
42. De todosos retângulosde perímetroiguala 100m, qual o de área máxima?
43. Qual o númerorealpositivoque,somadoa seuinverso,dá o menorresultadopossível?
44. Um homemdesejaconstruirumgalinheirocomformatoretangular,usandocomo um
dos ladosumaparededesuacasa.Quais asdimensõesquedevemserutilizadaspara
que a áreaseja máxima,sabendo-seque ele pretendeusar20m de cerca?
45. Com relaçãoao exercícioanterior,seelequisesseconstruirumgalinheirocomáreade
16m2, quais as dimensõesque utilizariama menor quantidadede materialpara a
cerca?
• CAPÍTULO 6 - APLICAÇÕES DE DERIVADAS 181
46. Emgeral as panelasde alumínioexistentesno comérciotêmformatocilíndrico(sem
tampa)com uma alturali igual ao raio da base r. Mostre que, para uma panelade
volumeV, o menorconsumode materialé obtidoquando li =r.
47. Um reservatóriodeáguatembasequadradae formatode prismaretocomtampa.Seu
volumeé 10m3 e o custodo materialutilizadona construçãoé $ 100,00porm2 . Quais
asdimensõesdo reservatórioqueminimizamo custodo materialutilizadonaconstrução?
48. Resolvao exercícioanteriorsupondoo reservatóriosemtampa.
49. Uma caixaabertaé feitaa partirde umpedaçoquadradode papelão,com 72emde
lado. A caixa é construída removendo-seum pequeno quadrado de cada canto
(osladosdo quadradotêma mesmamedida)e dobrando-separacimaas abasresul-
tantes(verfigura abaixo).Quais as dimensõesda caixade volumemáximoque pode
serconstruída?
72I
I
__ J X
x'
1__ -X
x
72x
X
--I
.---
IX
XII
I
50. A receitamensaldevendasdeumprodutoéR(x) =30x-x2 eseucustoé C(x) =20+4x.
a) Obtenha a quantidadex que maximizao lucro.
b) Mostre, para o resultadoobtido acima, que o custo marginalé igual à receita
marginal.
51. Suponhaquea função receitasejaR(x) =60x e a funçãocustoseja C(x) =2x3 - 12x2+
+50x +40.
a) Obtenha a quantidadex que deveservendidapara maximizaro lucro.
b) Mostreque,parao resultadoobtidoacima,o customarginalé igualà receitamarginal.
52. Resolvao exercícioanteriorsupondoquea função receitasejaR(x) =-3x2 +50x.
53. Proveque, se existex tal quex seja interiorao domínioe o lucroseja máximo,então
para essevalor de x a receitamarginalé igual ao customarginal(desdeque ambos
existampara essevalor dex).
Sugestão:considerea definiçãoL(x) =R(x) - C(x) e deriveambos os membrosem
relaçãoa x.
54. A produçãode bicicletasde umaempresaé dex unidadespor mês,ao custodado por
C(x) = 100+3x. Se a equaçãode demandafor p =25- x , obtenhao númerode3
unidadesque devemser produzidase vendidaspara maximizaro lucro.
182 PARTE 2 - FUNÇÕES DE UMA VARIÁ VEL •
55. O custode produçãodex unidadesde umprodutoé C(x) =ax2+bx +c e o preçode
vendaép. Obtenha o valor dex que maximizao lucro.
56. Resolvao exercícioanteriorsupondoquep =a- ~.x.
57. O custode umafirmaé C(x) =0,lx2 +5x+200,e a equaçãode demandaép =10-~.20
Determinex para que o lucroseja máximo.
58. O preçodevendaporunidadede umprodutoép =50.Seo custoé C(x) =1.000+3x +
+0,5x2, determineo pontode máximolucro.
59. Se a função receitade um produtofor R(x) =_2x2 +400x, obtenhao valor de x que
maximizaa receita.
60. A receitamédiadevendasde um produtoé RmeCx)=-4x +600.Obtenhao valordex
que maximizaa receita.
61. Se a equaçãode demandade um produtoé p = 100- 2x, obtenhao valor de x que
maximizaa receita.
62. Um grupode artesãosfabricapulseirasde umúnicotipo.A umpreçode $ 100,00por
unidade, a quantidadevendida é 40 unidadespor dia; se o preço por unidade é
$ 80,00,a quantidadevendidaé 60.
a) Admitindolineara curvadedemanda,obtenhao preçoquedevesercobradopara
maximizara receitados artesãos.
b) Seosartesãostêmumcustofixode$ 1.000,00pordia, e umcustoporpulseiraigual
a $40,00,qual o preçoquedevemcobrarpara maximizaro lucrodiário?
63. A equaçãode demandade umprodutoép =1.000- x e seucustomensalé C(x) =20x +
+4.000.
a) Qual preçodeveser cobrado para maximizaro lucro?
b) Se, para cada unidadevendida,a empresativerde arcarcom umimpostoigual a
$ 2,00,que preçodevesercobradopara maximizaro lucro?
64. Dada a função custoC(x) =-.l x3 - 16x2+ 160x+2000:
3
a) Ache o pontode inflexãoXl destafunção;
b) Mostreque o pontode mínimodo customarginalé Xl'
65. Deseja-seconstruirum prédio com mandares.O custodo terrenoé $ 1.000.000,00,
e o custode cada andar é $25.000+ 1.000m (m =1,2,3 ...).
Quantos andaresdevemserconstruídospara minimizaro custopor andar?
66. EmMicroeconomia,a funçãoutilidadedeumconsumidoré aquelaquedáo graudesatis-
façãodeumconsumidoremfunçãodasquantidadesconsumidasdeumou maisprodutos.
A função utilidadede um consumidoré U(x) =10x . e-o.!xem que x é o númerode
garrafasde cervejaconsumidaspormês.Quantasgarrafaseledeveconsumirpormês
para maximizarsua utilidade(satisfação)?
• CAPÍTULO 6 - APLICAÇÕES DE DERIVADAS 183
67. A equaçãode demandade umprodutoép =30- 51n x.
a) Ache a função receitaR(x).
b) Ache o valor dex que maximizaa receita.
c) Achea receitamarginalRmg(x), e mostrequeelaé sempredecrescente,masnunca
se anula.
68. Uma empresaoperaem concorrênciaperfeita(o preçode vendaé determinadopelo
mercado,sem que a empresatenha condiçõesde alteraressevalor). O seu custo
mensalmarginalé Cmg(x) =3x2 - 6x + 15, e o preço de venda é $ 20,00.Qual a
produçãomensalque dá lucromáximo?
69. Uma empresatem uma capacidadede produçãode, no máximo,200unidadespor
semana.A funçãodemandado produtoép =-0,2x+900,e o custosemanalé dado
por C(x) =500- 8x +x2. Qual preço que deveser cobrado para maximizaro lucro
semanal?
70. Um monopolista (único produtorde determinadoproduto)tem uma função custo
mensaldada por C(x) =2x +0,Olx2. A função de demanda mensalpelo produtoé
p =-0,05x+400. Qual preçodeveser cobrado para maximizaro lucro,sabendo-se
que:
a) a capacidademáximade produçãoé 2.000unidadespor mês.
b) a capacidademáximade produçãoé 4.000unidadespor mês.
71. A equaçãodedemandadeumprodutoéx=200- 2p.Mostrequea receitaé maximizada
quando E = 1, emque E é a elasticidadeda demandaem relaçãoao preço.
72. Quando o preçounitáriode umprodutoép, entãox unidadessão vendidaspor mês.
SendoR(x) a funçãoreceita,mostreque dR =x(1 - E), emque E é a elasticidadeda
dp
demandaem relaçãoao preço.
Sugestão:considerea definiçãode receitaR =P . x e deriveambos os membrosem
relaçãoa p usandoa regrada derivadado produto.Lembre-sede que a elasticidade
da demandaédada por E =- -.E . dx , emqueo sinalnegativofoi colocado paraque
x dp
It d . T . d.x Oo resu a o sela pOSIIVO,pOIS- < .
dp
73. Modelo do lote econômico- Uma empresautiliza5 mil unidadesde determinada
matéria-primaporano, consumidodeformaconstanteao longodo tempo.A empresa
estimaque o custopara manteruma unidadeem estoqueseja $ 4,00ao ano. Cada
pedido para renovaçãode estoquecusta$ 100,00.
a) Qual o custoanual para manter,pedire totalde estoque,seo lotede cada pedido
tiver200unidades?E 500unidades?E 1.000unidades?
b) Qual a quantidadepor loteque minimizao custototalanual de estoque?
184 PARTE 2 - FUNÇÕES DEUJ\1A VARIÁ VEL •
Resolução:
O custo para manterestoqueenvolve,além dos custosde armazenagem,seguro,
deterioraçãoe obsolescência,o custode empatardinheiroem estoque(o dinheiro
poderia,por exemplo,ser aplicadoa juros).
Por outro lado, como o consumode matéria-primaocorrede maneiraconstanteao
longo do tempo,podemosadmitirqueo gráficodo estoqueemfunçãodo tempotem
o aspectoda Figura6.9,sendox a quantidadedo lote.
Figura 6.9: Função estoque.
estoque
x
tempo
Como o estoquese iniciacomx unidadese vai diminuindoatézero,concluímosqueo
estoquemédioé 1.Assim:
Custo anual para manter:~. 4 =2x.2
Custo anual para pedir: 5.000 . 100.x
Custototalanual de estoque=custode manter+custode pedir.
Custototalanual de estoque=2x+_5_0_0_.0_0_0x
a) Sex =200,teremos:
custoanual para manter=2.200=400;
custoanual para pedir= _5_0~_à_~0_0_=2.500;
custototalanual de estoque.=2.900.
Sex =500,teremos:
custoanual para manter=2.500= 1.000;
ti d' 500.000 1000
cuso anua para pe Ir= -5-0-0- =. ;
custototalanual de estoque=2.000.
Sex = 1.000,teremos:
custoanual para manter=2 . 1.000=2.000;
ti d' 500.000 500
cuso anua para pe Ir= -1-.0-0-0-= ;
custototalanual de estoque=2.500.
• CAPÍTULO 6 - APLICAÇÕES DE DERIVADAS 185
b) Sejax a quantidadedo loteque minimizao custototalde estoque.O custototal
anual é dado por:
C(x) =2x + 500.000x
DerivandoC(x) e igualandoa zero,teremos:
C(x) =2 - 500.?00=o.
x
Logo,2x2=500.000e x2=250.000=>x =500 (a raiznegativanão faz sentido)
Poroutro lado:
C" (x) = 1.000;000e C"(500)= 1.000.~00>O,x 500
o que confirmaserx =500o loteque minimizao custototalanual de estoque.
74. Umaempresausa8.000componenteseletrônicosporano empregadosdeformacons-
tanteao longo do tempo.O custopara manterumaunidadeem estoqueé$ 1,00por
ano. Cada pedidode renovaçãode estoquecusta$ 1.000,00.
a) Obtenha o custo para manter,pedire total anual de estoquepara os seguintes
lotes:2.000,6.000e 8.000.
b) Qual a quantidadepor loteque minimizao custototalanual de estoque?
75. No modelodo loteeconômico,sejaA a quantidadeanualconsumidode umitem,B o
custoanual de manteruma unidadee C o custode cada pedido. Mostreque o lote
econômico(aqueleque minimizao custototalde estoque)é dado por:
x = J 2~C
76. Com relaçãoao exercícioanterior,mostreque, no loteeconômico,o custode manter
é igual ao de pedir.
Capítulo 7
Integrais
7.1 Integral Indefinida
No Capítulo5 resolvemoso seguinteproblema:dadaa funçãof(x) determinamossua
derivada1'(x) =g(x). O problemaqueestudaremosnestecapítuloéo inverso:dadaafunção
g(x), obterumafunçãof(x)talque1'(x)=g(x). Dizemosquef(x) éumaprimitivadeg(x).
No exemploacima,dadaa funçãog(x) =2x, devemosacharumafunçãof(x) tal que
l'(x) =2x.Esseprocedimentoéchamadodeintegração.É claroquef(x) =x2 éumasolução,
masnãoaúnica,poissefI (x) =x2 +5,entãotambémfí (x) =2x =g(x).
SefI (x) for outraprimitivadeg(x), entãofí (x) =g(x), logol'(x) - fí (x) = O. Daqui,
segue-seque [f(x) - fI (x)]' = O, ou seja,f(x) - fI (x) = c, emquec é umaconstante.Em
resumo,sef(x) efI(x) foremduasprimitivasdeg(x), entãoelasdiferemporumaconstante,
istoé,fl(X) =f(x) +c.
Chamamosde integralindefinidadeg(x), e indicamospelo símbolof g(x)dx a uma
primitivaqualquerdeg(x) adicionadaaumaconstantearbitráriac.Assim:
f g(x)dx =f(x) +c,
emquef(x) éumaprimitivadeg(x), ouseja,f'(x)=g(x).
Dessaforma,parao exemplodado,temos:
f 2xdx =x2 +c.
Exemplo7.1
f 3x2dx =x3 +c,pois (x3)' =3x2;
f 5dx=5x +c,pois(5x)' =5;
f eXdx =eX +c,pois (e-\)' =eX.
UsandoosresultadosdoCapítulo5,podemosobterasintegraisindefinidasdasprinci-
paisfunções,quedecorremimediatamentedasrespectivasregrasdederivação.
xn+1 xn+I
a) Sen éinteiroediferentede-I, entãofx"dx = -- +c,poisaderivadade -- éx".n+l n+l
• CAPÍTULO 7 - INTEGRAIS 187
b) f -1dx =lnx +c,parax> O, poisaderivadadelnx é-1.x x
Observemosque sex <O, f -1dx = ln(-x) + c. Assim, de modogeral,podemosx
escrever:
f -1dx =ln Ix 1+ c.
x
f xa+ic) Paraqualquerreala ~ -1, xa dx = ---+ c. (x> O)a+l
d) f cosxdx =senx +c, poisaderivadadesenx écosx.
e) f senxdx =-cos x +c, poisaderivadade-cos x ésenx.
f) f eX dx =eX +c, poisaderivadadeeX éeX•
g) f ~ dx =arctgx +c, poisaderivadadearctgx é _1_2.+x l+x
h) f ~ dx =arcsenx +c, poisaderivadadearcsenx é .~ ' para-1 <x <1.l-x~l-xk
7.2 Propriedades Operatórias
Essapropriedadedecorredo fatodeque:
(P2) f [fi (x) - h(x)]dx =ffi(X)dx - fh(x)dx.
A demonstraçãoéanálogaàda(Pl).
(P3)f c .f(x)d:r =c . ff(x)dx.
Essapropriedadedecorredofatodeque:
d
d) c .f(x)dx =c .f(x) e
d d
dx [c. ff(x)dx] =c· dx ff(x)dx =c .f(x).
188 PARTE 2 - FUNÇÕES DE UMA VARIÁ VEL •
Exemplo7.2
x3 x2
a) f (x2 - 2x +5)dx =f x2dx - 2 f xdx +5 f dx =3-22+5x +c;
(x3+8) 1 x3b) f -x- dx =f x2dx +8 f -; dx =3-+81nI x I +c.
1. Obtenha as integrais indefinidas a seguir:
a) f 2x3dx
b) f (xz+3x)dx
c) f (xz- 3x)dx
d) f (5-x)dx
e) f 5dx
f) f (3x3- 2xz+8x- 6)dx
g) f 2cL-rx
h) f ( XZ + :)dx
i) f (seux +cosx)dx
2X
2. Mostre que f 2xdx= - +c.lu 2
3. Mostre que f --f!-dx =lu(xz+3) +c.x +3
j) f ([3+xZ- 5x)dx
k) f --hdx
I) f 5v.;dx
m) f (~+ ~)dx
n) f (xZ-~: +5)dx
o) f (_l_z +xZ)dXl+x
p) f 2édx
q) f (3e'+x3)dx
r) f (seux - 5e')dx
5. Sabendo-se que o custo marginal é CmgCx)=0,08x+3 e que o custo fixo é $ 100,00,
obtenha a função custo.
Resolução
Sabemos que CmgCx)=C'(x). Assim:
C(x)=f CmgCx)dx.
Logo
C(x)=f (0,08x+3)dx,
XZ
C(x)=0,08- +3x+c,
2
C(x)=0,04x2+3x+c.
Como o custo fixo é $ 100,00, segue que C(O) =c = 100 =>c = 100.
Portanto, a função custo é C(x)=0,04x2+3x+ 100.
• CAPÍTULO 7 - INTEGRAIS 189
6. Sabendo-seque o customarginalé CmgCx)=O,lx + 5 e que o custofixo é $ 500,00,
obtenhaa função custo.
7. Sabendo-seque o customarginalé CmgCx)=2 e que o custofixo é igual a $200,00,
obtenhaa função custo.
8. Sabendo-sequeo customarginalé CmgCx)=6x2 - 6x +20e queo custofixoé $400,00,
obtenha:
a) a funçãocusto; b) o customédioparax =5.
9. Repitao exercícioanteriorpara a seguintefunção customarginal:
Cmg(x)=4x2 - 6x +30
10. Sabendo-seque a receitamarginalé RmgCx)=50- x, obtenhaa função receita.
Lembre-sedequea receitamarginalé a derivadada funçãoreceitae queparax =O a
receitavale O.
11. Sabendo-seque a receitamarginalé Rmix) =20- 2x, obtenha:
a) a função receita; b) a função receitamédia.
12. Sabendo-seque a receitamarginalé RmgCx)=100,obtenha:
a) a função receita; b) a função receitamédia.
13.Sabendo-sequeo customarginalé CmgCx)=2, a receitamarginalé Rmix) =5 e o custo
fixoé $ 100,00,obtenha:
a) a função lucro; b) o valordex parao qualo lucroé nulo.
14. Sabendo-seque o customarginalé 2 e a receitamarginalé Rmix) = 10- 2x, obtenha
o valordex que maximizao lucro.
15.Se o customarginalé Cmix) =0,08x +4, obtenhaa função custo,sabendo-seque,
quando são produzidas10unidades,o custovale$70,00.
16.A produtividademarginalde umfatoré -2x +40 (xé a quantidadedo fator).Obtenha
a funçãode produçãosabendo-seque,quandox =10,são produzidas300unidades
do produto.
Lembre-sede que a produtividademarginalé a derivadada função de produção.
I
17.A produtividademarginalde umfatoré 10x-z.Obtenhaa funçãode produçãosaben-
do-se que, sex =O, nenhumaunidadeé produzida.
18.A propensãomarginala consumiré dadaporP~g(y)=0,8,emquey éa rendadisponível.
Obtenhaa funçãoconsumosabendo-seque,quandoy =O, o consumoé $ 100,00.
19. Com relaçãoaos dadosdo exercícioanterior,obtenhaa função poupança.
20. A propensãomarginala consumiré dada porP~g(Y) = l-.y-~.2
Sabendo-seque,quandoy =O, o consumoé 50, pede-se:
a) a funçãoconsumo; c) a propensãomarginala poupar.
b) a função poupança;
190 PARTE :1 - FUNÇÕES DE UMA VARIÁ VEL •
7.3 IntegralDefinida
Sejaf(x) umafunçãoeg(x) umadesuasprimitivas.Portanto,
f f(x)dx =g(x) +c.
Definimos a integral definida de f(x) entre os limites a e b como a diferença
g(b) -