Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
1 3ª Lista de Exercícios – 2011 Lembre que a derivada de uma função y = f(x) em um ponto xo, é a taxa de variação instantânea em xo , ou seja, o o oxx oo 0x o xx )x(f)x(f lim x )x(f)xx(f lim)x´(f . 1. Para cada uma das funções a seguir calcule f ´(a), usando a definição, caso exista. a) f(x) = senx ; a = 0 b) y = x 2 – 3x ; a = 2 c) f(x) = 3 x ; a = 0 d) y = 1 3 x ; a = 2 2. Determine a derivada de cada uma das funções a seguir, usando definição: a) f(x) = 2x 2 – 3x +1 b) f(t) = 1t c) y = 2 d) y = x 1 Interpretação geométrica da derivada de uma função f no ponto xo : f´(xo) representa o coeficiente angular da reta tangente à curva y = f(x) no ponto P0 = ( xo , f(xo)) 3. Considere a função f(x) = x 2 – 2x. a) Mostre, usando a definição, que f´(x) = 2x – 2 b) Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto em que xo = 2 c) Determine o ponto desta curva onde a reta tangente é horizontal. d) Para que pontos desta curva a reta tangente forma um ângulo agudo? 4. Use os resultados obtidos na questão 2 para determinar a equação das retas tangente e normal ao gráfico da função f , em cada caso a seguir: a) f(t) = 1t no ponto onde a reta tangente é paralela à reta r: y = (1/2) x + 1 b) f(x) = 1/x no ponto do 3º quadrante onde a reta tangente é perpendicular à 1ª bissetriz. Observação: A reta normal a uma curva num ponto Po é a reta que passa por Po e é perpendicular à reta tangente neste ponto. Interpretação física da derivada de uma função f no ponto x0: Suponha que um ponto P percorra uma reta de modo que a sua posição num instante t seja dada por s(t). A velocidade média do ponto P no intervalo de tempo de to a to + t é dada por t )t(s)tt(s v oo m . A velocidade instantânea do ponto P no instante to é dada por v(to) = o o tt tt )t(s)t(s lim o = t )t(s)tt(s lim oo 0t . UNIFACS - UNIVERSIDADE SALVADOR Cursos de Engenharia Disciplina: Cálculo Diferencial Profs. Fernanda Laureano 2 5. Uma bola é atirada no ar com uma velocidade de sm /40 e sua altura em metros após t segundos é dada por: 2 t16t40y . a) Encontre a velocidade média para o período de tempo que começa quando 2t e dura: (i) s1,0 (ii) s01,0 b) Encontre a velocidade instantânea quando 2t . 6. O deslocamento (em metros) de uma partícula movendo-se ao longo de uma reta é dado pela equação do movimento 2t6t4)t(s 3 , onde t é medido em segundos. Encontre a velocidade da partícula nos instantes 2t,1t,at . 7. Usando as regras de derivação, determine a expressão da derivada de cada uma das seguintes funções: a) f(x) = 3x5 3x5 3 2 b) f(x) = x2x513x 1x 32 c) y = x 2x 1x 2 + ln5 d) y = x 5 + xsen 3 – 3 tgx e) y = 3xcos3 x 5 2 f) y = 4 x – 6 4 x 2 x 2 1 1xsec 2 g) x3 5 sen.xy h) f(x) = sen x cos x + x cosec x i) 5tg)xcos(xseny 55 j) lnx3xy 52 k) 32 1x x3x y l) 2 2 )2x( x3x y m) x 5 cosy 2 n) 2 x 5 cosy 8. Determine a expressão da derivada indicada, e o seu valor no ponto dado: a) ox 2 dx dy e dx dy ,xu ),u(senuy b) )1(' )uf( , 1x 1x+ =(x)u , u)u(f 2 3 2 c) )x(f ' , x1 )x(f no ponto 4x o 9. Determine 2x4x4)1x2(f)x25(f sendo ),3(f 22 . 10. Ache a expressão da derivada de cada uma das seguintes funções: a) xcos 3 2 e 5y tgx xsec b) y = 2 ln x – (log x) / 2 + xlog ln5 5 c) y = )3x(log 3 2 x3 5 xarccos d) x3x3 3.2y 3 e) xxcos xeey f) 5e.5x.5y x5x g) 33x 3x3y h) 4x3x 2 e2y i) 3 2 3 x 5 x3xlogy j) x4x35y 2x4 2 x3 k) arctgx.x.3y 3x l) )1xcos( arc( ln)x(f 3 m) )x(gcotarcy n) )]xcotg( arc[log)x(f 3 o) )x2(arcsen1)x(f 3 p) ) 2 x(arctg 3x)x(f 11. (Derivadas de ordem superior) Encontre a expressão das derivadas indicadas a) 3 2 y x3 ; y ; b) x xey ; y ; c) )x()fou( e )1()fou( , onde f(u) = u 2 e u(x) = x 3 – 4 12. (Derivada na forma implícita) Calcule a expressão e o valor no ponto dado das derivadas indicadas abaixo: a) )3P(1, ponto no dx dy , 4yx 22 e dy dx b) 1x5x4y3y 24 ; dx dy no ponto P (–1,0) c) 2 π ordenada de ponto no , dx dy , 0sen(y) 4 1 xy d) 1 ordenada de ponto no , y , exye y 13. Determine uma equação da reta tangente e da reta normal ao gráfico de ,x1xy 3 no ponto de abscissa x0 = 1. Respostas: 1. a) 1; b) 1 ; c) não existe; d) –3 2. a) 4x – 3 b) 1t2 1 c) 0 d) 2 x 1 3. b) y = 2x – 4 c) P = (1, –1) d) P = (a, a2 – 2a) , onde a >1 4. a) t: y = (1/2)x+1 ; n: y = – 2x +1 (b) t: y = –x – 2 ; n: y = x 5. a) i) –23,9 m/s; ii) –23,99m/s ; b) –24m/s 6. v(a) = (12a2 + 6)m/s; v(1) = 18m/s; v(2) = 54m/s 7. a) y´= 2 3x5 20 b) y´= (x 2 – 1) (3x – 1) (15x2+2) + 3(x2 – 1) (5x3 +2x) + 2x(3x – 1) (5x3+2x) c) y´= x2 1 2)(x 22xx 22 2 d) y´= 5 4 x – 3cossecx.cotgx – (sec2x)/3 4 e) y’= 3 x10senx3 f) y’ = 7 3 24 3 x 12 x2 )1x(sec tgx.xsec2 x4 1 g) x3 5 cosx3x3 5 seny h) y´= cos 2 x – sen2x + cosec x – x cosec x cotg x i) )(cos. 544 xsenx5xxsen5y j) 3x2x3x5y 42 k) 2 2 2 2 )1x( 3x2x 1x x3x 3y l) 3 )2x( 6x y m) x 5 sen.x 5 cos2y n) x 5 .x 5 sen2y 2 8. a) )]xcos(x)x(sen[x2 dx dy 222 ; ox dx dy = 2 ; b) 22 2 3 2 )1x( xx21 . 1x 1x 3 2 )x()uf( ; 3 1 )1()uf( ; c) xxx4 1 )x(f ; 24 3 )4(f . 9. 2 10. a) 2 xsec.e 35ln.5tgx.xsecy 2tgx xsec b) y’= x 1 ln102x 1 x 2 c) 5ln3x 3ln3x3 x13 2ln2 y x3 x2 2 xcosar d) 1x3 x3x3 3 3ln22ln.2 y e) xxxcos xeee.senxy f) xx4x5 e55x55ln5xy g) 2x x33ln3y h) 4x3x 2 e3x22y i) 42 x 15 3ln)x3x( 3x2 y j) 4x65ln.5).4x6(y x4x3 2 k) 2 3x 23x x1 x.3 arctgx)x3x.3(ln3y l) )1xarccos(.)1x(1 x3 )x(f 323 2 m) )x1(x2 1 y n) )x(arccotg).x1.(x).3ln(.2 1 )x(f o) 6 2 x41 x6 )x(f p) 4 )xarctan( x1 3).3ln(.x2 1)x(f 2 11. a) x32 2.)2(ln3y b) )x3(ey x ; c) )8x5(x6)x()fou( 3 ; 18)1()fou( 12. a) y x y ; 3 3 y p ; x y x ; 3x q b) 3y4 5x8 dx dy 3 ; 1y p c) ycos4 4 y ; 1y p 13. Tangente )1(89 xy ; Normal )1x( 8 1 9y d) xe y y y ; e 1 y p
Compartilhar