APRESENTAÇÃO - JUROS - COMO CALCULAR?

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Matemática
Financeira
(Juros Simples x Juros Compostos)
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Taxa de Juros
FORMA PORCENTUAL
• Na forma porcentual a taxa de juros é aplicada a centos do
 capital.
Ex.: 12% ao ano.
FORMA UNITÁRIA
• Na forma unitária a taxa de juros é aplicada a unidades do
 capital.
Ex.: 0,12 ao ano.
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JUROS SIMPLES
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CÁLCULO DO JURO
- Ao valor aplicado;
- Ao tempo de aplicação.
JURO SIMPLES
• A remuneração pelo capital inicial 
 (o principal) é diretamente proporcional:
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CÁLCULO DO JURO
• FÓRMULA BÁSICA:
J = C . i . n
onde:
 J = Juro
C = Capital inicial (Principal)
 i = Taxa de Juros (na forma unitária)
 n = prazo de aplicação (na mesma unidade que a taxa)
EXEMPLO
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Exemplo
Suponhamos que se tome emprestada a quantia de $1.000,00, a juros simples, pelo prazo de 2 anos e à taxa de 10% a.a. Qual será o valor a ser pago como juro ?
Resolução: Capital Inicial (C) = 1.000,00
		Taxa de juros (i) = 10% a.a. 
		Número de períodos (n) = 2 anos
TOTAL DE JUROS = 20%
VALOR DOS JUROS = 1000 X 0,2 = $200
		
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MONTANTE
JURO SIMPLES
• Montante é a soma do juro mais o capital
 aplicado.
M = C + J
onde:
C= principal
n= prazo de aplicação
i = taxa de juros
M = C(1 + in) = C. FATOR
EXEMPLO
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Exemplo
Qual é o montante de um capital de $ 1.000,00 aplicado à taxa
de 10 % a.a. pelo prazo de 2 anos ?
Resolução: Capital Inicial (C) = 1.000,00
		Taxa de juros (i) = 0,10 a.a. 
		Número de períodos (n) = 2 anos
	E sendo:
		M = C(1+in) 
	Substituindo-se os valores, tem-se:
		
		M = 1.000(1+0,10 x 2)
		M = 1.000 x 1,20
		M = $ 1.200,00
Ou então, como você sabe, a taxa de 10% ao ano, para juros simples, em dois anos, gera um ganho de 20%, o que corresponde ao FATOR 1,2. Logo, 1000 x 1,2 = $1200.
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TAXA PROPORCIONAL
JURO SIMPLES
A taxa i1 (referida ao período n1) é proporcional à taxa i2 (referida ao período n2) se:
Ou, do mesmo modo, se:
Ou ainda:
EXEMPLO
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Exemplo
Verificar se as taxas de 5% ao trimestre e de 20% ao ano são 
proporcionais.
Resolução: 
	Temos: i1 = 5% a.t. 
		 i2 = 20% a.a. 
		 n1 = 3 meses
		 n2 = 12 meses
	
	Vejamos: 
				
	
Logo, as taxas dadas são proporcionais.
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Exemplo
Sendo dada a taxa de juros de 24% ao ano, determinar a taxa
proporcional mensal.
Resolução: 
	Temos: i1 = 24% a.a. 		 n1 = 12 meses
		 i2 = ?
		 n2 = 1 mês
	
	E, como: 
				
	
i = 24 : 12 = 2% a.m.
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TAXAS EQUIVALENTES
Duas taxas de juros são equivalentes se:
• aplicadas ao mesmo capital;
• pelo mesmo intervalo de tempo.
=> Ambas produzem o mesmo juro.
	
No regime de juros simples, as taxas de juros 
proporcionais são igualmente equivalentes.
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JURO EXATO
Juro Exato é aquele em que:
• o período a que se refere a taxa está expresso em 
dias.
• é adotada a convenção do ano civil.
EXEMPLO
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Exemplo
Qual é o juro exato de um capital de $ 10.000,00 que é aplicado
por 40 dias e à taxa de 36% a.a. ?
Resolução: 
	
	
A TAXA SERÁ DE 36% : 365 = 0,09863 % AO DIA
PARA 40 DIAS, TEREMOS 0,09863 % X 40 = 3,94521%
J = 10 000 X 0,0394521 = $ 394,52
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JURO COMERCIAL
Juro comercial é aquele em que:
• o período a que se refere a taxa está expresso em dias.
• é adotada a convenção do ano comercial (360 dias):
EXEMPLO
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Exemplo
Calcular o juro comercial correspondente ao exercício do item an-
terior.
Resolução: 
	
	
Observe que, nas mesmas condições de aplicação, o juro comer-
cial é maior que o juro exato.
Taxa = (36 %: 360) x 40 = 4%
CÁLCULO DOS JUROS SIMPLES
0,04 X 10 000 = $ 400,00
	
	
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JUROS COMPOSTOS
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Juros Compostos
Juros Simples:
• Apenas o capital inicial rende juros;
• O Juro é diretamente proporcional ao tempo e à taxa.
Juros Compostos:
• O Juro gerado pela aplicação, em um período, será 
incorporado;
• No período seguinte, o capital mais o juro passa a ge-
rar novos juros;
• O regime de juros compostos é mais importante, por-
que retrata melhor a nossa realidade.
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Diferença entre os regimes de capitalização
Co= 1000,00
i= 20 % a.a.
n= 5 anos
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Plan1
		n		Juros Simples				Juros Compostos
				Juro por Período		Montante		Juro por período		Montante
		0		0		1000.00		0		1000.00
		1		1000 x 0,2 = 200		1200.00		1000 x 0,2 = 200		1200.00
		2		1000 x 0,2 = 200		1400.00		1200 x 0,2 = 240		1440.00
		3		1000 x 0,2 = 200		1600.00		1440 x 0,2 = 288		1728.00
		4		1000 x 0,2 = 200		1800.00		1728 x 0,2 = 346		2074.00
		5		1000 x 0,2 = 200		2000.00		2074 x 0,2 = 414,80		2488.80
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Gráf1
		1000		1000
		1200		1200
		1400		1440
		1600		1728
		1800		2074
		2000		2488.8
TEMPO (ANOS)
MONTANTE
GRÁFICO COMPARATIVO: JUROS SIMPLES X JUROS COMPOSTOS
Plan1
		
		
		
		1000.00		1000.00
		1200.00		1200.00
		1400.00		1440.00
		1600.00		1728.00
		1800.00		2074.00
		2000.00		2488.80
Plan1
		
TEMPO (ANOS)
MONTANTE
GRÁFICO COMPARATIVO: JUROS SIMPLES X JUROS COMPOSTOS
Plan2
		
Plan3
		
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Uma questão: Será que, pelo que vimos no gráfico anterior, podemos então concluir que os montantes gerados, sob as mesmas condições e sobre o mesmo capital, a juros simples e a juros compostos ou são iguais ou o montante dos juros compostos será maior?
Para ajudar na resposta, vamos incluir na tabela e no gráfico anterior mais uma linha. Vamos calcular os dois montantes para um prazo de 15 dias após o início da aplicação, ou seja, após meio mês.
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Plan1
		n		Juros Simples		Juros Compostos
				JUROS SIMPLES		JUROS COMPOSTOS
				Montante		Montante
		0		1000.00		1000.00
		0.5		1000 x 1,1 = 1100		1000 x 1,2^0,5= 1095,45
		1		1000 x 1,2 = 1200		1000 x 1,2 = 1200
		2		1000 x 1,4 = 1400		1000 x 1,2^2 = 1440
		3		1000 x 1,6 = 1600		1000 x 1,2^3 =1728
		4		1000 x 1,8 = 1800		1000 x 1,2^4 =2074
		5		1000 x 2,0 = 2000		1000 x 1,2^5 = 2488,8
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Gráf2
		1000		1000
		1100		1095.45
		1200		1200
		1400		1440
		1600		1728
		1800		2074
		2000		2488.8
TEMPO (ANOS)
MONTANTE
GRÁFICO COMPARATIVO: JUROS SIMPLES X JUROS COMPOSTOS
Plan1
		
		
		
		1000.00		1000.00
		1100.00		1095.45
		1200.00		1200.00
		1400.00		1440.00
		1600.00		1728.00
		1800.00		2074.00
		2000.00		2488.80
Plan1
		
TEMPO (ANOS)
MONTANTE
GRÁFICO COMPARATIVO: JUROS SIMPLES X JUROS COMPOSTOS
Plan2
		
Plan3
		
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Montante 
O cálculo do montante, em juros compostos
é dado pela fórmula:
M = montante ao fim de “n” períodos
C = capital inicial
n = número de períodos
i = taxa de juros por período, efetiva
F = fator de correção da taxa i
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Exemplo
Uma pessoa toma $ 1.000,00 emprestado sob taxa efetiva 2% a.m. pelo prazo de 10 meses com capitalização composta. Qual o montante a ser devolvido ? 
Resolução: 	C = 1.000
		i = 2% a .m.
		n = 10 meses
Temos: 	 
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Valor Atual e Valor
Nominal
• O Valor Atual corresponde ao valor da aplicação
em uma data inferior à do vencimento.
• O Valor Nominal é o valor do título na data do 
seu vencimento.
V = valor atual
N = valor nominal
i = taxa de juros
n = número de períodos que antecedem o vencimento do título
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Exemplo
a) Por quanto devo comprar um título, vencível daqui a 5 me-
ses, com valor nominal de $ 1.131,40, se a taxa de juros com-
postos corrente for de 2,5% a.m. ?
Resolução: 
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N = 1.131,40
i = 2,5 % a.m.
n = 5 meses
Portanto, se comprar o título por $ 1.000,00, não esta-
rei fazendo mau negócio.
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Exemplo
b) Uma pessoa possui uma letra de câmbio que vence daqui a
1 ano, com valor nominal de $ 1.344,89. Foi-lhe proposta a tro-
ca daquele título por outro, vencível daqui a 3 meses e no valor
de $ 1.080,00. Sabendo-se que a taxa corrente de mercado é 
de 2,5% a.m., pergunta-se se a troca proposta é vantajosa.
Resolução: 
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Exemplo
O valor atual na data focal zero da letra de câmbio que vence
em 12 meses é dado por:
Calculemos agora o valor atual na data zero, da letra que vence
em 3 meses:
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Comparando os dois valores atuais constatamos que:
Ou seja, o título que vence em 3 meses tem um valor atual um
pouco maior que o que vence em 12 meses. Portanto, a troca
seria vantajosa.
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TAXAS COMPOSTAS
Os diversos tipos de taxas para juros compostos.
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TAXA NOMINAL
É uma taxa “simbólica” para juros compostos e usada apenas como referência para cálculos rápidos da taxa efetiva. É fácil determinar quando a taxa é nominal, pois ela estará sempre referida a uma unidade de tempo, distinta da unidade que define o período de capitalização. Ex: 24% ao ano, com capitalização mensal.
TAXA EFETIVA
É a taxa de juros compostos que já está referida à mesma unidade de tempo que o período de capitalização. Ex: 1% ao mês, com capitalização mensal; 24% ao ano, com capitalização anual; 0,5% quinzenal, com capitalização quinzenal.
Importante: A passagem da taxa nominal para a taxa efetiva (que é a usada na fórmula dos juros compostos) é feita de modo proporcional, como nos juros simples, por convenção, para facilitar os cálculos.
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Exemplo: Um capital de R$ 5000,00 foi investido, capitalizado trimestralmente, sob taxa de 20% ao ano. Obtenha o montante final dessa aplicação, sabendo-se que ela foi feita por um prazo de 2 anos.
2 anos = 8 trimestres
Lembre-se: Você nunca poderá usar a TAXA NOMINAL nos cálculos com juros compostos.
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TAXAS EQUIVALENTES
São taxas efetivas, que geram montantes iguais, aplicadas ao mesmo capital e no mesmo prazo.
Exemplo: 4% ao mês é equivalente a 8,16% ao bimestre. Veja, por exemplo, que se aplicarmos essas duas taxas sobre um capital de R$ 1000,0, para um investimento de um ano, vão gerar os seguintes montantes:
Na prática, quando queremos determinar uma taxa que seja equivalente a outra, com capitalização distinta, usamos apenas os fatores de correção, já que ao igualar os montantes, os capitais (que são iguais) serão cancelados. Vejamos dois exemplos disso.
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EX. 1: Qual a taxa bimestral equivalente a 15,9693% ao ano?
Como um ano tem 6 bimestres, é claro que o fator bimestral (procurado), elevado ao expoente 6, terá de ser igual ao fator anual, vejamos:
EX. 2: Qual a taxa mensal equivalente a 0,05% ao dia?
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