EQUAÇÕES DE 1º E 2º GRAU E DE 2º GRAU COM UMA VARIÁVEL - EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

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MATEMÁTICA
Aula 1 – Revisão
Prof. Anderson
AULA 1 – Revisão
Assuntos
ƒ Equação do 1º grau com uma variável . 
ƒ Sistemas de equações do 1º grau com duas variáveis .
ƒ Equação do 2º grau com uma variável . 
AULA 1 – Revisão
Equação do 1º grau com uma variável 
ƒ Denomina-se equação do 1º grau com uma variável toda 
equação que pode ser escrita da forma ax + b = 0, com a ≠ 0, 
onde a e b são números reais conhecidos. 
ƒ O número b também é denominado termo independente, pois 
não está acompanhado de x.
ƒ Exemplos
a) na equação 3x + 4 = 0, temos a = 3 e b = 4. Compare:
ax + b = 0
3x + 4 = 0
b) na equação –x + 3 = 0, temos a = -1 e b = 3. Compare:
ax + b = 0
-1x + 3 = 0
AULA 1 – Revisão
Equação do 1º grau com uma variável 
Resolução da equação
ƒ Resolver uma equação é achar o valor de uma incógnita que 
torna verdadeira a igualdade, isto é, achar o seu conjunto 
verdade V ou conjunto solução, S.
ƒ Exemplo: Determine a solução da equação 2x + 4 = 10.
ƒ Solução
• 2x + 4 = 10
• 2x = 10 – 4
• 2x = 6
• x = 3
• Portanto S = { 3}
AULA 1 – Revisão
Equação do 1º grau com uma variável 
Exercícios de Fixação
1. Determine a solução de cada equação abaixo:
a.
b.
c.
d.
e.
19114 =−x
882 =−x
1113 −=+− x
18335 +−=+− xx
4
12
5
1
10
12 xx +−=−−
AULA 1 – Revisão
Equação do 1º grau com uma variável 
Exercícios de Fixação
Solução:
a. 4x – 11 = 19
4x = 19 +11
4x = 30
x = 30 = 15
4 2
b. 2x – 8 = 8
2x = 8 + 8
2x = 16
x = 16
2
x = 8
AULA 1 – Revisão
Equação do 1º grau com uma variável 
Exercícios de Fixação
Solução:
c. -3x + 11 = -1
-3x = -1 - 11
-3x = -12
x = -12 
-3 
x = 4
d. -5x + 3 = -3x +18
-5x + 3x = 18 -3
-2x = 15
x = 15
-2
AULA 1 – Revisão
Equação do 1º grau com uma variável 
Exercícios de Fixação
Solução:
e. 2x – 1 – 1 = 2 – 1 + x
10 5 4
ƒ Obs: Nas equações com mais de um denominador, para sua 
resolução, deve-se simplificá-los ao denominador 1.
ƒ Para tal deve-se achar o mínimo múltiplo comum (MMC) dos 
mesmos, no caso atual é 20.
ƒ Multiplica-se todos os numeradores pelo MMC, no caso atual 
a equação ficará da seguinte forma: 
40x – 20 – 20 = 40 – 20 + 20x
10 5 4 Simplificando:
4x – 2 – 4 = 40 – 5 – 5x
AULA 1 – Revisão
Equação do 1º grau com uma variável 
Exercícios de Fixação
4x + 5x = 40 – 5 + 2 + 4
9x = 41
X = 41
9 
AULA 1 – Revisão
Sistemas de equações do 1º grau com duas variáveis
ƒ Quando duas equações do 1º grau estão relacionadas entre si, 
temos um sistema de equações do 1º grau com duas variáveis.
ƒ Exemplos:
a)
b) 
ƒ Cabe ressaltar que o conjunto solução de um sistema de 
equações é sempre formado por um par ordenado (x,y), ou seja, 
escrevemos em 1º lugar o valor de x, e depois o valor de y.
⎩⎨
⎧
=−
=+
2
12
yx
yx
⎩⎨
⎧
=+
=−
10
52
yx
yx
AULA 1 – Revisão
Resolução dos sistemas
ƒ Existem dois métodos para resolução dos sistemas de equações 
do 1º grau com duas variáveis: o método da substituição e o da 
adição. 
Método da substituição exemplo:
ƒ Resolver o sistema:
1
2
ƒ 1º passo: escolhe-se uma das equações e isola-se uma das 
variáveis; por exemplo, isolamos o x na equação (2).
Sistemas de equações do 1º grau com duas variáveis
⎩⎨
⎧
=−
=+
4
12
yx
yx
yx
yx
+=
=−
4
4
AULA 1 – Revisão
Resolução dos sistemas
ƒ 2º passo: substitui-se o valor isolado na outra equação e 
encontra-se o valor da variável restante; no caso substituímos x
na equação (1) pelo valor encontrado (x = 4 + y), e encontramos 
o valor de y. 
Sistemas de equações do 1º grau com duas variáveis
4
82
4122
1224
124
12)4(
12
=
=
−=
=+
=++
=++
=+
y
y
y
y
yy
yy
yx
AULA 1 – Revisão
Resolução dos sistemas
ƒ 3º passo: Substitui-se o valor encontrado em qualquer uma das 
equações; no caso substituímos na equação (2).
ƒ Portanto o conjunto solução é o par ordenado (8,4).
ƒ S = {(8,4)} 
Sistemas de equações do 1º grau com duas variáveis
8
44
44
4
=
+=
=−
=−
x
x
x
yx
AULA 1 – Revisão
Método da adição 
ƒ Aplicaremos o método no mesmo problema anterior.
ƒ Solução
ƒ As duas equações apresentam termos opostos: y na primeira e –
y na segunda.
ƒ 1º passo: Ao somarmos as equações, cancelamos a variável y,
encontrado o valor da variável x.
Sistemas de equações do 1º grau com duas variáveis
8
2
16
162
4
12
=
=
=
=−
=+
x
x
x
yx
yx
+
AULA 1 – Revisão
Método da adição 
ƒ Um outro caso:
1
2
ƒ Solução: Não adianta somar as equações, pois não há termos 
opostos. É necessário, portanto, usar um artifício.
ƒ Multiplicamos a 1ª equação por 2.
Sistemas de equações do 1º grau com duas variáveis
⎩⎨
⎧
−=−
=+
22
112
yx
yx
)2( 112 ×=+ yx
⎩⎨
⎧
−=−
=+
22
2224
yx
yx
AULA 1 – Revisão
Método da adição 
ƒ Observe que agora, as duas equações apresentam termos 
opostos (2y na 1ª e -2y na 2ª ).
Sistemas de equações do 1º grau com duas variáveis
+
4
5
20
205
22
2224
=
=
=
−=−
=+
x
x
x
yx
yx
AULA 1 – Revisão
Método da adição 
ƒ Substituindo x = 4 na 2ª equação temos: 
ƒ Portanto, o par ordenado (4,3) é a solução do sistema.
ƒ S = {(4,3)} 
Sistemas de equações do 1º grau com duas variáveis
3
2
6
26
224
224
22
=
=
=
=+
−=−
−=−
y
y
y
y
y
yx
AULA 1 – Revisão
Sistemas de equações do 1º grau com duas variáveis
Exercícios de Fixação
1. Resolva o sistema abaixo, usando o método da substituição:
a.
2. Resolva o sistema abaixo, usando o método da adição:
a.
⎩⎨
⎧
=+
=+
72
265
yx
yx
⎩⎨
⎧
−=−
−=+
263
32
yx
yx
AULA 1 – Revisão
Sistemas de equações do 1º grau com duas variáveis
Exercícios de Fixação
Solução:
1.
x = 26 – 5y
2.(26 – 5y) + y = 7
52 – 10y + y = 7
-10y + y = 7 – 52
-9y = -45
y = -45
-9
y = 5
⎩⎨
⎧
=+
=+
72
265
yx
yx
AULA 1 – Revisão
Sistemas de equações do 1º grau com duas variáveis
Exercícios de Fixação
Solução:
x = 26 – 5y
x = 26 – 5.(5)
x = 26 – 25
x = 1
S = {(1,5)}
AULA 1 – Revisão
Sistemas de equações do 1º grau com duas variáveis
Exercícios de Fixação
Solução:
1.
3x Î (2x + y = –3)
6x + 3y = -9
6x + 3y = -9 
x – 3y = -26 
7x = -35
x = -35
7
x = -5
⎩⎨
⎧
−=−
−=+
263
32
yx
yx
+
AULA 1 – Revisão
Sistemas de equações do 1º grau com duas variáveis
Exercícios de Fixação
Solução:
2x + y = -3
2.(-5) + y = -3
-10 + y = -3
y = -3 + 10
y = 7
S = {(-5,7)}
AULA 1 – Revisão
ƒ Chamamos de equação do 2.° grau à equação do tipo:
ƒ ax2 + bx + c = 0
ƒ Com a, b, c R e a ≠ 0.
ƒ Sendo:
ƒ a = coeficiente de x2
ƒ b = coeficiente de x
ƒ c = termo independente
Equação do 2º grau com uma variável
AULA 1 – Revisão
ƒ Exemplos:
a) Na equação x2 + 2x + 5 = 0, temos a = 1, b = 2 e c = 5.
ƒ b) Na equação 3x2 – 3x – 9 = 0, temos a = 3, b = -3 e c = -9.
ƒ c) Na equação 2x + 3x2 + 1 = 0, temos a = 3, b = 2 e c = 1.
Cuidado! Observe que a equação não está escrita na forma ax2
+ bx + c = 0
Compare:
ax2 + bx + c = 0
2x + 3x2 + 1 = 0
Equação do 2º grau com uma variável
AULA 1 – Revisão
Resolução da equação do 2º grau
ƒ Para encontrarmos as raízes (solução) da equação do 2º grau 
completa, basta aplicarmos a fórmula de Báskara.
ƒ A expressão b2 – 4ac é representada pela letra grega ∆ (delta), e 
é chamada discriminante.
ƒ A existência ou não de raízes depende, exclusivamente, do 
discriminante.
ƒ Se ∆ > 0, a equação tem duas raízes reais e diferentes.
ƒ Se ∆ = 0, a equação tem duas raízes reaise iguais.
ƒ Se ∆ < 0, a equação não tem raízes reais.
Equação do 2º grau com uma variável
a
acbbx
2
42 −±−=
AULA 1 – Revisão
Exercícios Resolvidos
1. Resolva a equação: x2 - 5x + 6 = 0
Solução:
ƒ Sabemos que: a = 1, b = -5 e c = 6
ƒ Vamos calcular o valor do discriminante:
ƒ ∆ = b2 – 4ac
ƒ ∆ > 0 → duas raízes reais e distintas.
Equação do 2º grau com uma variável
1
2425
614)5( 2
=∆
−=∆
⋅⋅−−=∆
AULA 1 – Revisão
Exercícios Resolvidos
ƒ Para encontrarmos as raízes, aplicaremos a fórmula:
ƒ Portanto as raízes são 2 e 3; logo S = {2,3}.
Equação do 2º grau com uma variável
a
acbbx
2
42 −±−=
12
1)5(
⋅
±−−=x
⎪⎩
⎪⎨
⎧
==+=
==−=
±=
3
2
6
2
15''
2
2
4
2
15'
2
15
x
x
x
AULA 1 – Revisão
Exercícios Resolvidos
2. Resolva a equação x2 + 4x + 4 = 0
Solução:
ƒ Sabemos que a = 1, b = 4 e c = 4
ƒ ∆ = b2 – 4ac
ƒ ∆ = 0 → As duas raízes são reais e iguais.
Equação do 2º grau com uma variável
0
1616
41442
=∆
−=∆
⋅⋅−=∆
AULA 1 – Revisão
Exercícios Resolvidos
ƒ Portanto, as duas raízes são iguais a -2; logo
ƒ S = { -2}
Equação do 2º grau com uma variável
a
acbbx
2
42 −±−=
12
04
⋅
±−=x ⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=−=+−=
−=−=−−=
±−=
2
2
4
2
04''
2
2
4
2
04'
2
04
x
x
x
AULA 1 – Revisão
Exercícios Resolvidos
3. Resolva a equação 2x2 + 2x + 1 = 0
Solução:
ƒ Sabemos que: a = 2, b = 2 e c = 1
ƒ ∆ = b2 – 4ac
ƒ ∆ < 0 → não existem raízes reais
ƒ S = 
Equação do 2º grau com uma variável
4
84
21422
−=∆
−=∆
⋅⋅−=∆
∅
AULA 1 – Revisão
Equação do 2º grau com uma variável 
Exercícios de Fixação
1. Resolva a equação abaixo:
a. x2 + 3x – 10 = 0
Solução
ƒ x = -(3) +/- (3)2 – 4*(1 * -10)
2* (1)
x’ = -3 – 7 = -5
2
x’’ = -3 + 7 = 2
2
ƒ S = { -5, 2}
Equação do 2º grau com uma variável
AULA 1 – Revisão
a
acbbx
2
42 −±−=
a. x2 + 3x – 10 = 0