LISTA DE POLINÔMIOS - EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

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Polinômios – Exercícios Resolvidos 
 
 
Exercícios Resolvidos 
 
Exercício Resolvido 01) Determine o resto da divisão do polinômio 31 13 3x x x x+ + + por 2 1x − . 
 
Solução: 
 
Sabemos que ( ) ( ) ( ) ( )31 13 3 2 1 1x x x x Q x x Ax B+ + + = ⋅ − + + , para x∀ ∈? . 
 
Fazendo 1x = em (1): ( )4 2A B+ = . 
Fazendo 1x = − em (1): ( )4 3A B− + = − . 
 
Somando (2) e (3): 0 e 4B A= = . Logo o resto seria da forma 4x . 
 
Exercício Resolvido 02) Determinar a em função de n , sabendo-se que ( )21x − é um divisor de 
1 1n nx ax ax−− + − . 
 
Solução: 
 
Sabemos que ( ) ( ) ( )21 1 1 1n nx ax ax Q x x−− + − = ⋅ − , para x∀ ∈? . 
 
Derivando (1) com relação a x , temos: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )21 21 2 1 ´ 1 2n nnx a n x a Q x x Q x x− −− ⋅ − + = ⋅ − + ⋅ − . 
 
Fazendo 1x = em (2), temos: ( )1 0
2
nn a n a a
n
− ⋅ − + = ⇒ = − . 
 
Exercício Resolvido 03) (IME 1997) Determinar o resto da divisão do polinômio ( )cos nx senϕ ϕ+ ⋅ por 
( )2 1x + , onde n∈? . 
 
Solução: 
 
Sabemos que ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2cos 1 1nx sen Q x x Ax Bϕ ϕ+ ⋅ = ⋅ + + + . 
 
Fazendo x i= em (1): ( )cos ni sen A i Bϕ ϕ+ ⋅ = ⋅ + . Como ( ) ( ) ( )cos cosni sen n i sen nϕ ϕ ϕ ϕ+ ⋅ = + ⋅ , 
devemos ter necessariamente ( )A sen nϕ= e ( )cosB nϕ= . Logo o resto procurado é da forma 
( ) ( )cossen n x nϕ ϕ⋅ + . 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício Resolvido 04) (IME 2001) Determine todos os números inteiros m e n tais que o polinômio 
3 32 m n m n mx a x a−+ − é divisível por x a+ . 
 
Solução: 
 
Sabemos que ( ) ( ) ( )3 32 1m n m n mx a x a Q x x a−+ − = ⋅ + . 
 
Fazendo x a= − em (1): ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3
3 13
32 0 2 1 0
n
m m n m mn m
n
aa a a a a
a
− +⎡ ⎤− + − − = ⇒ − ⋅ + + − =⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦
. A solução 
para 0a = é trivial. Supondo, portanto, 0a ≠ , teremos de ter ( ) ( )
3
1
32 1 0
n
m
n
a
a
++ + − =− . Se m é ímpar, 
teríamos: ( )
3
33 0
n
n
a
a
+ =− . Como ( )
3
3 1
n
n
a
a
= ±− , teríamos um absurdo. Portanto, devemos ter m par. 
 
Exercício Resolvido 05) Sejam , e a b c as raízes da equação 3 24 12 7 5 0x x x+ + + = . Determinar o valor 
de 3 3 3a b c+ + . 
 
Solução: 
 
Pela Fórmula de Newton, podemos escrever: 3 2 1 04 12 7 5 0S S S S+ + + = , onde k k kkS a b c= + + , sendo 
k∈? . Como ( ) ( ) ( ) ( )2 22 7 112 3 2 4 2S a b c ab ac bc= + + − + + = − − ⋅ = . Portanto, podemos chegar à 
seguinte conclusão: 
( )
3
66 21 15
15
4
S
− + −= = − . 
 
 
Exercício Resolvido 06) (IME 2004) Considere o polinômio ( ) 3P x x ax b= + + , de coeficientes reais com 
0b ≠ . Sabendo que suas raízes são reais, demonstrar que 0a < . 
 
Solução: 
 
Já que ( )P x possui três raízes reais, sua primeira derivada terá necessariamente duas raízes reais. 
Suponhamos, por absurdo, que 0a > . Como ( ) 2´ 3P x x a= + , não existe x∈? tal que ( )´ 0P x = . 
Naturalmente se 0a = , ( )P x possuiria raízes complexas. Portanto, devemos ter 0a < . c.q.d 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício Resolvido 07) Seja ( ) ( )1
0
1
n
k
n
k
P x k x
−
=
= +∑ , onde x∈? . Provar que ( ) ( )lim nnP x P x→+∞= não 
possui raízes no intervalo ( )1,1− . 
 
Solução: 
 
Seja ( )1,1x∈ − . Notando que 11 1
0 1
nn
k
k
x xx
x
+− +
=
−= −∑ , podemos derivar essa expressão com relação a x . 
Teremos portanto: ( ) ( ) ( ) ( )( )
111
2
0
1 1 1
1
1 1
n nnn
k
k
x n x x xd x xk x
dx x x
++−
=
⎡ ⎤− + − − −⎛ ⎞− ⎣ ⎦+ = =⎜ ⎟− −⎝ ⎠∑ . Assim, teremos 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
11
2 2
0
1 1 1 1lim 1 lim
1 1
n nn
k
n nk
x n x x x
P x k x
x x
+−
→+∞ →+∞=
⎡ ⎤− + − − −⎣ ⎦= + = =− −∑ , que obviamente não possui 
raízes no intervalo ( )1,1− . c.q.d 
 
Exercício Resolvido 08) Provar que ( )
0 1
2 2
1 0
2 2 1
n n
j k
j k
n n
j k
+
= =
⎛ ⎞⎛ ⎞− =⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠⎝ ⎠∑∑ . 
 
Solução: 
 
Seja ( )
0
2
1
2
n
j
n
j
n
a
j=
⎛ ⎞= − ⎜ ⎟⎝ ⎠∑ e ( )1
2
1
2 1
n
k
n
k
n
b
k=
⎛ ⎞= − ⎜ ⎟−⎝ ⎠∑ . Assim teremos: 
 
i) ( )
0 1
2 2
1
2 2 1
n n
j k
n n
j k
n n
a b
j k
+
= =
⎛ ⎞⎛ ⎞− = ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠⎝ ⎠∑∑ 
ii) ( )21 n n ni a ib+ = − (Verifique essa assertiva!) 
 
Como ( ) ( ) ( ) 22 2 2 24 2 1 2nn n n n n ni i a b a b i⎡ ⎤− = = + = − − ⋅⎣ ⎦ , concluímos que ( )2 2 4 nn na b− = − e 0n na b = . E 
está, portanto, demonstrado. 
 
Desafios 
 
Desafio 01) Seja 3n ≥ um natural ímpar. Mostre que o único polinômio ( )P x de coeficientes reais que 
satisfaz a relação ( ) ( ) ( )1
0
1 
nn n k
k
n
P x P x x x
k
−
=
⎛ ⎞⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ = + ∀ ∈⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎝ ⎠∑ ? é dado por ( )P x x= . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Desafio 02) Seja ( )P x um polinômio de coeficientes reais. Provar que se 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )´ ´´ ´´ ´ 0 P x P x P x P x x− − + ≥ ∀ ∈? então ( ) ( )0 P x x≥ ∀ ∈? .