geometria de massas
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geometria de massas


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1 
Engenharia da Computação 
 
4º / 5° Semestre 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS \u2013 APOSTILA 01 
Prof Daniel Hasse 
 
 
 
 
 
Características Geométricas de Figuras Planas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SÃO JOSÉ DOS CAMPOS, SP 
Mecânica dos Materiais Ricardo Gaspar 
 
44
5 CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS DE FIGURAS PLANAS 
 
 O dimensionamento e a verificação da capacidade resistente de barras, como de 
qualquer elemento estrutural dependem de grandezas chamadas tensões, as quais se 
distribuem ao longo das seções transversais de um corpo. Daí vem a necessidade de se 
conhecer claramente as características ou propriedades das figuras geométricas que 
formam essas seções transversais. 
 A Figura abaixo ilustra uma barra reta de seção transversal constante, chamada 
barra prismática. O lado da barra que contém o comprimento (L) e a altura (h) é chamado 
de seção longitudinal e o que contém a largura (b) e a altura (h) é chamado de seção 
transversal. 
 
h
b
L
 seção
longitudinal
h
L
 seção
transversal
b
h
 
Figura 5.1 Barra prismática 
 
 As principais propriedades geométricas de figuras planas são: 
Área (A) Momento de Inércia (I) 
Momento estático (M) Módulo de resistência (W) 
Centro de gravidade (CG) Raio de giração (i) 
 
5.1 Área 
 A área de uma figura plana é a superfície limitada pelo seu contorno. Para 
contornos complexos, a área pode ser obtida aproximando-se a forma real pela 
justaposição de formas geométricas de área conhecida (retângulos, triângulos, etc). 
 A unidade de área é [L]2 (unidade de comprimento ao quadrado). 
 A área é utilizada para a determinação das tensões normais (tração e compressão) e 
das tensões de transversais ou de corte. 
 
 
 
Mecânica dos Materiais Ricardo Gaspar 
 
45
5.2 Momento Estático 
 Analogamente à definição de 
momento de uma força em relação a um 
eixo qualquer, defini-se Momento Estático 
(M) de um elemento de superfície como o 
produto da área do elemento pela distância 
que o separa de um eixo de referência. 
dAyM x \u22c5= e dAxM y \u22c5= 
x
y
x
y
dA
 
 Momento Estático de uma 
superfície plana é definido como a 
somatória de todos os momentos estáticos 
dos elementos de superfície que formam a 
superfície total. 
\u222b=
A
x ydAM e \u222b=
A
y xdAM 
A
x
y
x
y
dA
 
 A unidade do Momento Estático é área é [L]× [L]2 = [L]3. 
 O Momento Estático é utilizado para a determinação das tensões transversais que 
ocorrem em uma peça submetida à flexão. 
 O Momento Estático de uma superfície composta por várias figuras conhecidas é a 
somatória dos Momentos Estáticos de cada figura. 
Exemplo: determinar o Momento Estático das figuras abaixo 
A
3CG
y
3A
A 1
1
CG
2
CGy3CG
y
2CG
2
1CG
x
xxxx
CGx
CGx
CGx
MMMM
AyM
AyM
AyM
,3,2,1
33,3
22,2
11,1
++=
\u22c5=
\u22c5=
\u22c5=
 
 
Elemento vazado 
1
2
 
xxx MMM ,2,1 \u2212= 
 
 
Mecânica dos Materiais Ricardo Gaspar 
 
46
5.3 Centro de Gravidade 
 Se um corpo for dividido em partículas mínimas, estas ficam sujeitas à ação da 
gravidade, isto é, em todas estas partículas está aplicada uma força vertical atuando de 
cima para baixo. A resultante de todas estas forças verticais e paralelas entre si, constitui o 
peso do corpo. 
 Mesmo mudando a posição do corpo aplicando-lhe uma rotação, ele permanecerá 
sempre sujeito à ação da gravidade. Isto significa que as forças verticais girarão em relação 
ao corpo, mas continuaram sempre paralelas e verticais. O ponto onde se cruzam as 
resultantes dessas forças paralelas, qualquer que seja a posição do corpo, chama-se Centro 
de Gravidade (CG). 
 Portanto, atração exercida pela 
Terra sobre um corpo rígido pode ser 
representada por uma única força P. Esta 
força, chamada peso do corpo, é aplicada 
no seu baricentro, ou cento de gravidade 
(CG). O centro de gravidade pode 
localizar-se dentro ou fora da superfície. 
 O centro de gravidade de uma 
superfície plana é, por definição, o ponto 
de coordenadas: 
CG
y
x CG
x
y CG
 
\u222b \u22c5==
A
y
CG dAxAA
M
x 1 \u222b \u22c5==
A
x
CG dAyAA
My 1 
onde: 
xCG = distância do CG da figura até o eixo y escolhido arbitrariamente; 
yCG = distância do CG da figura até o eixo x escolhido arbitrariamente; 
Mx = momento estático da figura em relação ao eixo x; 
My = momento estático da figura em relação ao eixo y; 
A = área da Figura. 
Centro de gravidade de áreas compostas por várias figuras 
 O centro de gravidade de uma superfície composta por várias figuras, é expresso 
por: 
x
1Ax 1
y1
yn
y
x n
A n
 
\u2211
\u2211
=
=
\u22c5
= n
i
i
n
i
ii
CG
A
xA
x
1
1 
 
\u2211
\u2211
=
=
\u22c5
= n
i
i
n
i
ii
CG
A
yA
y
1
1 
 
Mecânica dos Materiais Ricardo Gaspar 
 
47
Centro de gravidade de algumas figuras planas 
retângulo 
h
b
CG
y
CGx
x
y CG
 
2
bxCG = 
 
2
hyCG = 
triângulo 
h
y
CG
x
CGy
x CG
b
 
3
bxCG = 
3
hyCG = 
círculo 
x
CG
y
 
 
0=CGx 
 
0=CGy 
Semicírculo 
CG 3
r r
___4R\u3c0
 
\u3c03
4ryCG = 
¼ de círculo 
___4R
3
r
\u3c0
CG 3
___4R\u3c0
 
\u3c03
4rxCG = 
 
\u3c03
4ryCG = 
trapézio 
h
CG
y
2
h 1
x 
ba
bahh +
+\u22c5= 2
31
 
 
ba
bahh +
+\u22c5= 2
32
 
Mecânica dos Materiais Ricardo Gaspar 
 
48
Exemplos 
1. Determinar o centro de gravidade CG do retângulo 
em relação ao eixo x que passa pela sua base. 
Área do retângulo hbA \u22c5= 
O Momento Estático do retângulo em relação ao eixo 
x é somatória do produto de cada elemento de área dA 
pela sua distância em relação ao eixo x. 
dy
h
b
dA
x
 
Momento Estático 
dybdA \u22c5= 
\u222b\u222b \u22c5\u22c5=\u22c5=
h
A
x dybydAyM
0
 
2
0
22
2
0
2 \u22c5\u2212\u22c5=\uf8fa\uf8fb
\uf8f9\uf8ef\uf8f0
\uf8ee \u22c5= bhbybM
h
x 2
2hbM x
\u22c5= 
Centro de Gravidade 
2
2
2
h
hb
hb
A
My xCG =\u22c5
\u22c5
== 
2
hyCG = 
 
2. Determinar o CG da Figura. 
(medidas em centímetros) 
( ) ( ) ( )
2
321
84
3446158
cmA
A
AAAA
=
×\u2212×\u2212×=
\u2212\u2212=
 
2
2 4
3
2
6
2
15
1
2
3
y C
G
2 x
3
= 
3,
5
1
= 
7,
5
C
G
y
y
= 
10
2
C
G
 
 
( )
( )
( )
3
,3,2,1
3
33,3
3
22,2
3
11,1
61842240900
42435,3
2404610
9001585,7
cmMMMM
cmAyM
cmAyM
cmAyM
xxxx
CGx
CGx
CGx
=\u2212\u2212=\u2212\u2212=
=××=\u22c5=
=××=\u22c5=
=××=\u22c5=
 
cm
cm
cm
A
My xCG 36,784
618
2
3
=== 
Mecânica dos Materiais Ricardo Gaspar 
 
49
3. Determinar o centro de gravidade da figura hachurada. 
12
x CG8
33
2
1 3
9
5,
69
( )
( )
2
21
2
2
2
1
87
933
96812
cmAAA
cmA
cmA
=\u2212=
=×=
=×=
 
 
3
,2,1
3
,2
3
,1
495
81339
5761286
cmMMM
cmM
cmM
xxx
x
x
=\u2212=
=××=
=××=
 
 
cm
cm
cm
A
My xCG 69,587
576
2
3
=== 
 
4. Determinar o centro de gravidade da figura hachurada (medidas em centímetro). 
x
y
3 3
6
4 2
3
4
5,
15
 
 
 A Figura 
hachurada pode ser o 
resultado de um 
retangulo (12×6) cm 
do qual foram retirados 
um triângulo e um 
semicírculo. 
 
Área da figura 
( ) ( )[ ] ( )
2
22
72,53
72,565,0635,0612
cmA
cmrA
AAAA SCTR
=
=××\u2212××\u2212×=
\u2212\u2212=
\u3c0 
Momento Estático 
3
, 2163612 cmM xR =××= 
3
, 36635,04 cmM xT =×××= 
32
, 37,323
24625,0 cmM xSC =\uf8f7\uf8f8
\uf8f6\uf8ec\uf8ed
\uf8eb ×\u2212×= \u3c0\u3c0 
3
,,, 63,147 cmMMMM xCCxTxRx =\u2212\u2212= 
Coordenada yCG do centro de gravidade 
A
My xCG