Lista 4 AL 2016

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Universidade Federal de Itajuba´
4a Lista de Exerc´ıcios de A´lgebra Linear I – 2016
Objetivo. Recordar e trabalhar as definic¸o˜es de produto de transformac¸o˜es lineares,
cap´ıtulo 5 do livro texto.
Exerc´ıcio 1. (Alyne Silva, Ana Clara Correˆa, Ana Guerra, Anderson da Silva, Bruno
Rezende, Bruno Silva, Carina Maduro, Carine Siqueira)
Dado um operador linear T : E → E, defina
N = {v ∈ E : Tv = 0}.
Mostre que N e´ um subespac¸o vetorial de E. Prove que T 2 = 0 se, e somente se, Tv ∈ N ,
para todo vetor v ∈ E.
Exerc´ıcio 2. (Chang Tzu, Daniele Oliveira, Flavio Maglioni, Gabriela Ribeiro, Giovana
Julia˜o, Jennifer Tome´, Josefher dos Santos, Karine Pereira)
Considere os operadores lineares A,B : R2 → R2, dados por
A(x, y) = (x+ y, 0), B(x, y) = (−y, x).
Obtenha, explicitamente, as expresso˜es dos operadores:
A+B, AB, BA, A2, B2.
Descreva geometricamente esses operadores.
Exerc´ıcio 3. (Leonardo Lemos, Let´ıcia Carvalho, Ligia Andrade, Lilian Valeriano, Mateus
Nascimento, Mateus Santos, Patrick Conceic¸a˜o, Paula Borges, Vinicius Barbosa)
Seja C(A) o conjunto dos operadores lineares X : E → E que comutam com o operador
A : E → E, isto e´, XA = AX. Prove que C(A) ⊂ L(E) e´ um subespac¸o e que, se
X,Y ∈ C(A), enta˜o XY ∈ C(A).
Exerc´ıcio 4. (Paulo Correˆa, Pedro Rodrigues, Pedro Koichi, Pedro Lirio, Raquel Pinto,
Renan Santos, Roˆmulo Passos, Thiago Nunes, Larissa Faria, Luciano Moura)
Sejam A,P : E → E operadores lineares na˜o nulos, tais que AP = 0. Prove que existem
vetores na˜o nulos u 6= v satisfazendo Au = Av.
Exerc´ıcio 5. (Tiago Souza, Tulio Moura, Wellington Barbosa, Wellington Silva, Yasmine
Madella, Brenner Chalar, Caique Rezende)
Sejam A,B : E → F transformac¸o˜es lineares tais que, para todo operador linear X : F →
F , tem–se XA = XB. Prove que A = B.