09.14. Sistemas de Numeração

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O sistema de numeração com o qual estamos mais 
familiarizados é o decimal, cujo alfabeto (coleção de símbolos) é 
formado por 10 dígitos acima mostrados.
 Um Computador Decimal: se trabalhasse com o sistema decimal um 
computador precisaria codificar 10 níveis de referência para 
caracterizar os 10 dígitos do sistema utilizado. Esses níveis de 
referência poderiam ser valores de tensão (0V, 1V, 2V, etc.) que 
precisariam ser definidos e interpretados de maneira clara e precisa 
pela máquina. 
 Desvantagem: quanto maior o número de interpretações maior a 
probabilidade de erro. Para decidir que está lendo o número 5 a 
máquina precisaria ter certeza de que o que leu não é: 0, 1, 2, 3, 4, 6, 
7, 8, 9.
Sistemas de NumeraçãoSistemas de Numeração
 
 Conseqüência: O sistema de numeração mais seguro deveria ser aquele 
com o menor número de símbolos (dígitos).
 Conclusão: o melhor sistema de numeração para uma máquina seria o 
binário com apenas dois dígitos, o zero (0) e o um (1).
 
 
 
 Obs.: Não há sistema de numeração com alfabeto de um único 
dígito. Todo sistema de numeração precisa dos conceitos de 
presença (1) e ausência (0).
Sistemas de Numeração
 
 Um possível problema no uso de máquinas binárias: o número 
binário precisa de mais dígitos para ser escrito do que o decimal. 
 
 
 Quatro em decimal é representado como 4. Sua representação 
em binário é 100. 
 Conseqüência: o computador binário seria mais preciso porém 
muito lento porque a leitura da informação iria requerer mais 
tempo.
(2)10 número de animais representado em decimal
(10)2 número de animais representado em binário
Sistemas de Numeração
 
 Uma solução: o uso de dispositivos eletrônicos baseados 
na tecnologia dos semicondutores, como os transistores.
 O transistor: é um dispositivo usado para controlar o fluxo de corrente. 
Ele tem duas características importantes: 
 1- é capaz de amplificar um sinal elétrico.
 2- é capaz de chavear (comutar) entre ligado e desligado (ou fechado e 
aberto), deixando corrente passar através dele ou bloqueando-a. Essas 
condições são também denominadas “saturação” e “corte”, 
respectivamente.
 
 O transistor pode mudar da condição de saturação para o corte em 
velocidades acima de um milionésimo de segundo. Ele pode ser usado 
para caracterizar a presença (ou ausência) de um dígito binário (0 ou 1) 
e pode tomar decisões desse tipo a uma taxa superior a um milhão de 
decisões por segundo.
Sistemas de Numeração
 
O primeiro Transistor Um Transistor moderno 
Sistemas de Numeração
Transistor: inventado nos Laboratórios da Bell Telephone em 12/1947 por John 
Bardeen, Walter Brattain e William Shockley – Prêmio Nobel de física de 1956. O 
transistor é capaz de comutar em um milionésimo de segundo entre o 
corte e a saturação.
 
 Sistemas de Numeração Posicionais
 Sistemas de Numeração Não Posicionais
Sistemas de Numeração
Classificação
 
 Nos sistemas de numeração posicional, o valor do dígito 
em um número depende da posição que ele ocupa neste 
mesmo número. 
 1989 = 1000+900+80+9
 1989 = 1x103 + 9x102 + 8x101 + 9x100
 Há um peso para cada posição ocupada pelo dígito. Os 
pesos crescem para esquerda na parte inteira e 
decrescem para a direita na parte fracionária 
 1989,4= 1x103 + 9x102 + 8x101 + 9x100+4x10-1
Sistemas Posicionais
 
A representação posicional fornece uma forma simplificada 
para a escrita de números e permite a representação de 
qualquer número com um alfabeto (uma coleção de 
símbolos) restrito de dígitos. 
O sistema decimal tem:
 Base R=10
 Um alfabeto ordenado e 10 dígitos, {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 
8, 9}, e qualquer número pode ser representado com o uso 
deles. 
Sistemas Posicionais
 
Outros Exemplos de Sistemas Posicionais
 Sistema posicional binário
base R = 2
alfabeto {0, 1}
 Sistema posicional octal
base R = 8
alfabeto {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
 Sistema posicional hexadecimal
base R = 16
alfabeto {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F}
Sistemas Posicionais
 
Outros Exemplos de Sistemas Posicionais
 Sistema posicional binário
base R = 2
alfabeto {0, 1}
 Sistema posicional octal
base R = 8
alfabeto {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
 Sistema posicional hexadecimal
base R = 16
alfabeto {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F}
Sistemas Posicionais
 
Sistemas Não Posicionais
 Sistema de Numeração Romano
 No número XX, vinte em decimal, o valor do dígito X à 
esquerda é o mesmo daquele à direita. Neste caso a 
representação é aditiva, com X representando a 
quantidade decimal 10, e com a combinação XX 
associada a 10+10=20. Por outro lado em IX (nove em 
decimal) a representação é subtrativa. 
M = 1000
Como antes de M não tinha nenhuma letra, 
buscavam a segunda letra de maior valor. 
D = 500 
Depois tiravam de D o valor da letra que vem 
antes. 
D – C = 500 – 100 = 400 
Somavam 400 ao valor de M, porque CD está 
depois de M. 
M + CD = 1000 + 400 = 1400 
Sobrava apenas o V. Então: 
MCDV = 1400 + 5= 1405
 
Geração de Inteiros
 Algoritmo de avanço de dígitos:
Avançar um dígito de um alfabeto ordenado consiste em 
substituí-lo pelo próximo dígito na hierarquia. O dígito de 
maior valor do conjunto é sempre avançado para o 
aquele de menor valor na hierarquia. 
0 → 1 → 2 → 3 → 4 → 5 → 6 → 7 → 8 → 9 → 0
 Algoritmo de geração de inteiros:
a) o primeiro inteiro é o zero
b) o próximo inteiro é obtido do precedente na lista 
avançando-se seu dígito mais à direita. No caso deste 
dígito avançar para zero, avança-se, então, o dígito 
adjacente à esquerda.
 
Exemplo: Gerar os 26 primeiros inteiros do sistema decimal.
0 → 1 → 2 → 3 → 4 → 5 → 6 → 7 → 8 → 9 → 10 → 11 → 
12 → 13 → 14 → 15 → 16 → 17 → 18 → 19 → 20 → 21 
→ 22 → 23 → 24 → 25
 Observe que o nove avança para o zero, logo o dígito 
mais à esquerda (o zero, não mostrado explicitamente 
no número) é avançado para 1 gerando o próximo 
número na lista, o 10.
Geração de Inteiros
 
 Passagem de uma base R para a base 10
 converte-se a base e cada dígito do número para o 
equivalente decimal.
 decompõe-se o número de acordo com a estrutura 
posicional e, usando aritmética decimal, efetuam-se as 
operações de produtos e somas.
Notação: (...)R ler como o número do parêntesis 
expresso na base R.
(1101)2=1x23+1x22+0x21+1x20=8+4+0+1=13
(2B0)16=2x162+(11)x161+0x160= 512+176+0=688
Transformações de Base
 
 Passagem de uma base 10 para a base R
 Parte inteira: Algoritmo da divisão repetida
Divide-se o inteiro decimal repetidamente pela base R 
até que se obtenha um quociente inteiro igual a zero. Os 
restos das divisões sucessivas, lidos do último para o 
primeiro, constituem o número transformado para a base 
R. 
 (341)
10
 = (2331)
5
Transformações de Base
 
 Passagem de uma base 10 para a base R
 Parte inteira: Algoritmo da divisão repetida
Divide-se o inteiro decimal repetidamente pela base R 
até que se obtenha um quociente inteiro igual a zero. Os 
restos das divisões sucessivas, lidos do último para o 
primeiro, constituem o número transformado para a base 
R. 
 (341)
10
 = (2331)
5
Transformações de Base
 
 Passagem de uma base 10 para a base R
 Parte fracionária: Algoritmo da multiplicação repetida
A parte fracionária é multiplicada por R. A parte inteira 
desse produto é guardada e a parte fracionária é 
novamente multiplicada por R. O processo é repetido 
até que se obtenha um número com parte fracionária 
nula ou até que se considere a aproximação suficiente. 
As partes inteiras dos produtos sucessivos, lidas da 
primeira para a última, formam a parte fracionáriado 
número transformado.
Transformações de Base
 
 Passagem de uma base 10 para a base R
Parte fracionária: Algoritmo da multiplicação repetida. 
Exemplo:
Então (0,4375)10 = (0,0111)2 
Transformações de Base
 
 Mudança de base entre base binária e base de potência 
de 2
 A base para a qual se quer a transformação é expressa 
no formato 2n . Se essa base for R=8, por exemplo, o 
valor de “n” é 3 porque 8 = 23. Formam-se grupos, a 
partir da direita do número binário, contendo uma 
quantidade de dígitos igual ao número “n”. Esses grupos 
de “n” dígitos são lidos e representados como os dígitos 
do sistema para o qual se quer a transformação.
transformação para a base hexadecimal.
Transformações de Base
 
Exemplos:
(25)10 = (011|001)2 = (31)8, grupos de 3 dígitos (8=23) 
a partir da direita do número binário para 
transformação para a base octal.
(25)10 = (0001|1001)2 = (19)16, grupos de 4 (16=24)
Transformações de Base
 
 Soma na base 10, Soma na base 2, Soma na base 
R (explicar com exemplos no quadro)
 Complemento de 1: O complemento de 1 de um número 
binário é obtido trocando-se cada dígito 1 por 0 e vice-versa. A 
notação C1 (...) é usada para designar o complemento de um do 
número entre parêntesis.
 Complemento de 2: O complemento de 2 de um número 
binário é obtido trocando-se inicialmente todos os 0s por 1s e 
vice-versa. Após isso adiciona-se 1 ao número obtido. Notação C2(...)
Operações Aritméticas
 
 Subtração por complemento de 1: Soma-se o minuendo 
ao complemento de 1 do subtraendo. O bit que se propaga após a 
última coluna da adição é somado de volta ao bit menos significativo 
do resultado.
(resolver exemplo no quadro)
 Subtração por complemento de 2: Soma-se o minuendo 
ao complemento de 2 do subtraendo. O bit que se propaga após a 
ultima coluna da adição é desprezado.
(resolver exemplo no quadro)
Operações Aritméticas
 
George Simon Boole 
(1815-1864)
O criador da álgebra dos 
circuitos digitais
Álgebra de Boole
 
1- A Álgebra de Boole é aplicável ao projeto dos circuitos lógicos e 
funciona baseada em princípios da lógica formal, uma área de estudo 
da filosofia.
2- Um dos pioneiros no estudo da lógica formal foi Aristóteles 
(384-322 AC), que publicou um tratado sobre o tema denominado 
"De Interpretatione". 
3- Boole percebeu que poderia estabelecer um conjunto de símbolos 
matemáticos para substituir certas afirmativas da lógica formal. 
Publicou suas conclusões em 1854 no trabalho “Uma Análise 
Matemática da Lógica”
4- Claude B. Shannon mostrou (em sua tese de mestrado no MIT) 
que o trabalho de Boole poderia ser utilizado para descrever a 
operação de sistemas de comutação telefônica. As observações de 
Shannon foram divulgadas em 1938 no trabalho "Uma Análise 
Simbólica de Relés e Circuitos de Comutação".
Álgebra de Boole
 
 Definição da Álgebra de Boole:
1- A álgebra de Boole é um sistema matemático 
composto por operadores, regras, postulados e teoremas. 
2- A álgebra booleana usa funções e variáveis, como na 
álgebra convencional, que podem assumir apenas um 
dentre dois valores, zero (0) ou um (1). 
3- A álgebra booleana trabalha com dois operadores, o 
operador AND, simbolizado por (.) e o operador OR, 
simbolizado por (+). O operador AND é conhecido como 
produto lógico e o operador OR é conhecido como soma 
lógica. Os mesmos correspondem, respectivamente, às 
operações de interseção e união da teoria dos conjuntos. 
Álgebra de Boole
 
 Operadores da Álgebra Booleana
As variáveis booleanas serão representadas por letras 
maiúsculas, A, B, C,... e as funções pela notação 
f(A,B,C,D,...)
Álgebra de Boole
 
 Operadores Booleanos Fundamentais
Operador AND (interseção)
1- Definição: A operação lógica AND entre duas ou mais 
variáveis somente apresenta resultado 1 se todas as 
variáveis estiverem no estado lógico 1. 
2- Símbolo Lógico
3- Tabela Verdade
Álgebra de Boole
 
 Operadores Booleanos Fundamentais
Operador OR (união)
1- Definição: A operação lógica OR entre duas ou mais 
variáveis apresenta resultado 1 se pelo menos uma das 
variáveis estiver no estado lógico 1. 
2- Símbolo Lógico
3- Tabela Verdade
Álgebra de Boole
 
 Operadores Booleanos Fundamentais
Operador NOT (inversor)
1- Definição: A operação de complementação de uma 
variável é implementada através da troca do valar 
lógico da referida variável. 
2- Símbolo Lógico
3- Tabela Verdade
Álgebra de Boole
 
 Operadores Booleanos Secundários
Operador NAND
1- Definição: A operação lógica NAND entre duas ou 
mais 
2- Símbolo Lógico
3- Tabela Verdade
Álgebra de Boole
 
 Operadores Booleanos Secundários
Operador NOR
1- Definição: A operação lógica NOR entre duas ou mais 
variáveis somente apresenta resultado 1 se todas as 
variáveis estiverem no estado lógico 0. 
2- Símbolo Lógico
3- Tabela Verdade
Álgebra de Boole
 
 Operadores Booleanos Secundários
Operador EXOR (OU exclusivo)
1- Definição: A operação lógica EXOR entre duas 
variáveis A e B apresenta resultado 1 se uma e somente 
uma das duas variáveis estiver no estado lógico 1 (ou 
seja se as duas variáveis estiverem em estados lógicos 
diferentes).
2- Símbolo Lógico
3- Tabela Verdade
Álgebra de Boole
 
 Operadores Booleanos Secundários
Operador EXNOR (negativo de OU exclusivo)
1- Definição: A operação lógica EXNOR entre duas 
variáveis A e B apresenta resultado 1 se e somente se 
as duas variáveis estiverem no mesmo estado lógico.
2- Símbolo Lógico
3- Tabela Verdade
Álgebra de Boole
 
Postulados da Álgebra de Boole
O significado dos postulados pode ser entendido facilmente se fizermos a 
associação com a teoria dos conjuntos 
Álgebra de Boole
 
Teoremas da Álgebra de Boole
Álgebra de Boole
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