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Cálculo Numérico
Uma Introdução às Técnicas Elementares
Waldir L. Roque
Instituto de Matemática
Universidade Federal do Rio Grande do Sul
Este texto é uma versão preliminar.
Direitos autorais reservados ao autor.
Sumário
Prefácio 9
1 ERROS COMPUTACIONAIS 11
1.1 Sistemas de numeração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.1.1 Sistema métrico versus sistema de numeração . . . . . . . 13
1.1.2 Base de numeração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.1.3 Sistema decimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.1.4 Sistema binário . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Conversão de decimal para binário . . . . . . . . . . . . . 16
Parte inteira . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Parte fracionária . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Algoritmo de conversão binário-decimal . . . . . . . . . . . 19
Algoritmo de conversão decimal-binário . . . . . . . . . . . 20
1.1.5 Outros sistemas de numeração . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Sistema octal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Sistema hexadecimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.2 Sistema de ponto �utuante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.2.1 Representação em ponto �utuante . . . . . . . . . . . . . . 23
1.2.2 Representação compacta de um número . . . . . . . . . . . 24
1.2.3 Operações aritméticas com ponto �utuante . . . . . . . . . 27
Adição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
Multiplicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Divisão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.2.4 Distributividade e associatividade . . . . . . . . . . . . . . 30
1.2.5 Precisão e exatidão de máquina . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.3 Tipos de erros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.3.1 Erros de dados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.3.2 Erros do modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.3.3 Erros por truncamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.3.4 Erros por arredondamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.3.5 Erros absoluto e relativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3
4
1.4 Propagação de erros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.4.1 Adição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.4.2 Subtração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
1.4.3 Multiplicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
1.4.4 Divisão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
1.4.5 Operação geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
1.5 Complexidade computacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
1.6 Exercícios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2 RESOLUÇÃODE EQUAÇÕES ALGÉBRICAS E TRANSCEN-
DENTAIS 43
2.1 Isolamento de raízes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.2 Equações algébricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.3 Valor numérico de um polinômio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.3.1 Método de Briot-Ru�ni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.3.2 Método de Horner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.4 Limites das raízes polinomiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.5 Número de raízes reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.6 Regra de sinais de Descartes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.6.1 Raízes imaginárias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.7 Relações de Girard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.8 Equações transcendentais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.9 Grau de exatidão de uma raiz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.10 Raízes complexas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.11 Métodos iterativos para re�namento de raízes . . . . . . . . . 59
2.11.1 Método da bisseção . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
Critério da convergência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
2.11.2 Método das cordas ou das secantes . . . . . . . . . . . . . 62
Critério da convergência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
2.11.3 Método de Newton-Raphson . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
Critério da convergência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
2.11.4 Método da iteração linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
Critério da convergência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
2.12 Exercícios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3 RESOLUÇÃO DE SISTEMAS DE EQUAÇÕES ALGÉBRI-
CAS 75
3.1 Sistemas lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.1.1 Sistemas compatíveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.1.2 Sistemas triangulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.2 Transformações elementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
5
3.3 Solução numérica de sistemas de equações algébricas lineares . . . 79
3.3.1 Métodos diretos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
Método de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
Método da pivotização completa . . . . . . . . . . . . . . . 82
Método de Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
3.3.2 Re�namento de soluções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
3.3.3 Métodos iterativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
Método de Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
Método de Gauss-Seidel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
Método de Sobre-Relaxação Sucessiva . . . . . . . . . . . . 89
3.4 Sistemas mal-condicionados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
3.5 Sistemas não lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
3.5.1 Método do ponto �xo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
3.5.2 Método de iteração não linear de Seidel . . . . . . . . . . . 96
3.5.3 Método de Newton para sistemas . . . . . . . . . . . . . . 97
3.6 Exercícios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
4 APROXIMAÇÃO DE AUTOVALORES 105
4.1 Autovalores e autovetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
4.1.1 Método da potência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
5 INTERPOLAÇÃO 111
5.1 Interpolação linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
5.2 Interpolação quadrática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
5.3 Existência e unicidade do polinômio interpolador . . . . . . 116
5.4 Interpolação de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
5.5 Erros de truncamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
5.5.1 Erro de truncamento na interpolação linear . . . . . . . . . 120
5.5.2 Erro de truncamento na interpolação quadrática . . . . . . 121
5.5.3 Erro de truncamento na interpolação de Lagrange . . . . . 122
5.6 Interpolação de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
5.6.1 Fórmula de Newton para interpolação com diferenças
divididas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
5.6.2 Comparação dos métodos de Newton e Lagrange . . . . . . 127
5.7 Interpolação com diferenças �nitas . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
5.8 Interpolação por Splines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
5.8.1 Spline linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
5.8.2 Spline cúbica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
5.9 Exercícios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
6
6 AJUSTE DE CURVAS 139
6.1 Critérios para medida da qualidade dos ajustes . . . . . . . . 140
6.2 Método dos mínimos quadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
6.3 Ajuste polinomial .