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a equação.
Se substituirmos o valor z = x+ iy na equação polinomial P (z) = 0, obtemos
u(x, y) + iv(x, y) = 0. (2.36)
Um número z é nulo se e somente se suas partes real e imaginária forem nulas.
Dessa forma, temos da equação (2.36) que
u(x, y) = 0,
v(x, y) = 0.
Assumindo x e y como variáveis, temos um sistema de duas equações com
duas variáveis. Infelizmente, o sistema acima é, em geral, não linear.
As soluções desse sistema representam as soluções da equação P (z) = 0. Para
termos uma idéia sobre as soluções complexas, podemos utilizar o método grá�co.
Desenhando o grá�co das funções u(x, y) e v(x, y), vemos que onde estas se
cruzam temos uma raiz.
No capítulo sobre resolução de sistemas, veremos como obter a solução numé-
rica para esse tipo de sistema de equações algébricas não lineares.
Exemplo 2.15 Seja P(z) = z3 − 8z2 + 45z − 4 = 0. Considerando z = x + iy e
substituindo na equação, teremos:
u(x, y) = x3 − 3xy − 8(x2 − y2) + 45x− 4 = 0,
v(x, y) = 3x2 − y2 − 32x + 45 = 0.
Exercício 2.5 Utilize uma calculadora ou computador para obter as soluções das
equações u(x, y) = 0, v(x, y) = 0 do exemplo 2.15.
resolução de equações algébricas e transcendentais 59
2.11 Métodos iterativos para re�namento de
raízes
Em geral, os métodos iterativos são formados por quatro partes:
1. Estimativa inicial : é um valor dado inicialmente como solução do problema;
2. Mecanismo de atualização: é uma fórmula que, partindo da estimativa ini-
cial, permite atualizar a solução aproximada;
3. Critério de parada: é um critério para estabelecer quando o processo itera-
tivo de atualização deve parar;
4. Estimativa da exatidão: é um mecanismo que permite estimar o grau de
exatidão de uma solução de acordo com um valor de tolerância estabelecido.
Muitas vezes, o critério de exatidão é utilizado como critério de parada.
A seguir, veremos alguns dos principais métodos iterativos para resolução de
equações algébricas e transcendentais.
2.11.1 Método da bisseção
Seja f(x) uma função contínua em um intevalo [a, b], com a < b, e tal que
f(a) · f(b) < 0. Vamos supor que no intervalo [a, b] existe uma única raiz da
equação f(x) = 0.
O método da bisseção consiste em reduzir a amplitude do intervalo [a, b] que
contém a raiz λ, usando para isso sucessivas divisões de [a, b] ao meio, e veri�cando
em seguida em qual intervalo a raiz se encontra.
Inicialmente, dividimos o intervalo [a, b] ao meio para determinar a raiz apro-
ximada. Temos:
b− a
2
= x0. (2.37)
O valor da coordenada x �ca então dado por x0 = x0+a. Se f(x0) = 0, então
x0 é a raiz. Caso contrário, veri�camos se
f(a) · f(x0) < 0, (2.38)
ou
f(a) · f(x0) > 0. (2.39)
60 cálculo numérico
Se a primeira condição for satisfeita, a raiz λ ∈ [a, x0]; se a segunda condição
for satisfeita, então a raiz λ ∈ [x0, b].
Considerando agora o novo intervalo [a1, b1] = [a, x0] onde se encontra a raiz,
dividimos este ao meio e obtemos:
b1 − a1
2
= x1. (2.40)
Calculamos novamente a condição f(a1) · f(x1), onde x1 = x1 + a1, para
veri�carmos, por meio do sinal, onde a raiz está localizada.
O processo é repetido até que seja obtida uma raiz aproximada para a raiz
exata λ, satizfazendo a condição |xn+1 − xn| ≤ �, onde � indica a tolerância
desejada.
A Figura 2.4 ilustra a aplicação do método da bisseção.
Figura 2.4: Método da bisseção.
Critério da convergência
Vemos que, em algum passo do processo, obtemos a raiz exata λ, ou uma
resolução de equações algébricas e transcendentais 61
seqüência de intervalos encaixados do tipo (a1, b1), (a2, b2), · · · , (an, bn), tal que
f(ak) · f(bk) < 0, k = 1, · · · , n.
Como a cada iteração o intervalo [a, b] é dividido ao meio, na n-ésima iteração,
o comprimento do intervalo é dado por:
bn − an = b− a
2n
, (2.41)
ou, de outra forma, podemos expressá-lo como:
|xn − xn−1| = b− a
2n+1
, n = 1, 2, . . . (2.42)
Se desejarmos uma tolerância � para o valor da raiz, temos
|xn − xn−1| ≤ �⇒
∣∣∣∣b− a2n+1
∣∣∣∣ ≤ �. (2.43)
Então, podemos obter:
2n+1 ≥ b− a
�
(n+ 1) ln 2 ≥ ln(b− a
�
)
n+ 1 ≥ ln(
b−a
�
)
ln 2
n ≥ ln(
b−a
�
)
ln 2
− 1. (2.44)
Da equação (2.44), vemos que o número máximo de iterações necessárias para
obtermos uma tolerância da ordem de � é o número inteiro n. Em outras palavras,
no método da bisseção o número máximo de iterações necessárias para alcançar-
mos uma tolerância desejada é conhecido a priori.
As seqüências de pontos a1, a2, · · · , an e b1, b2, · · · , bn possuem limites quando
n tende a in�nito, e esses limites coincidem com o valor da raiz exata λ, pois:
lim
n→∞
an = lim
n→∞
bn = λ. (2.45)
Contudo:
f(an) · f(bn) < 0. (2.46)
62 cálculo numérico
Então, temos:
lim
n→∞
(f(an) · f(bn)) = f 2(λ) ≤ 0⇒ f(λ) = 0. (2.47)
Logo, λ = λ é a raiz exata.
Exemplo 2.16 Seja f(x) = x3−10, a raiz exata λ ∈ [2, 3] e a tolerância desejada
é � < 0, 1. Encontre o valor da raiz aproximada e quantas iterações, no máximo,
deverão ser realizadas para alcançarmos a tolerância desejada.
O número máximo de iterações necessárias para obtermos a raiz aproxima,
dentro da tolerância desejada, é obtido calculando-se n, da relação (2.44). Assim,
temos n = 2, 32, que nos indica um máximo de três iterações.
Exercício 2.6 Seja a equação x3−10 = 0 com raiz no intervalo [2, 3]. Determine
a raiz dessa equação para quatro iterações.
Exercício 2.7 Implemente o método da bisseção e utilize-o para determinar a
raiz da equação f(x) = x2 − cos(x) no intervalo [0, 1] para cinco iterações.
2.11.2 Método das cordas ou das secantes
Seja f(x) uma função contínua com sua derivada de segunda ordem constante
no intervalo [a, b]. Assumindo que f(a) · f(b) < 0 e que existe apenas uma raiz
λ ∈ [a, b], neste método tomamos a reta secante que passa pelos pontos a e b, e
onde ela cruza com o eixo Ox temos a raiz aproximada (veja Figura 2.5).
A equação da reta secante é determinada da forma:
y − y0 = m(x− x0), (2.48)
onde
m =
f(b)− f(a)
b− a . (2.49)
No ponto onde a secante corta o eixo Ox, temos: x = x1 ⇒ y = 0, logo:
−y0 = m(x1 − x0), x0 = a, y0 = f(a), (2.50)
x1 = x0 − y0
m
= a− f(a)
f(b)−f(a)
b−a
= a− f(a)
f(b)− f(a)(b− a). (2.51)
resolução de equações algébricas e transcendentais 63
Figura 2.5: Ilustração do método das cordas.
Aplicando agora ao novo intervalo:
x2 = x1 − f(x1)
f(x1)− f(b)(x1 − b), (2.52)
e, assim, por indução teremos:
xn+1 = xn − f(xn)
f(xn)− f(b)(xn − b), n = 0, 1, . . . . (2.53)
Ao aplicarmos o mesmo procedimento para o novo intervalo ([a, x1] ou [x1, b]),
obtemos a nova aproximação x2.
Esse método equivale a substituir o arco pela corda, ou reta secante, por isso
o nome método das cordas.
Veja que, dependendo do comportamento da função f(x) no intervalo onde
está localizada a raiz, podemos ter quatro situações distintas:
• Quando f ′′(x) > 0.
caso I : f(a) < 0 e f(b) > 0, (2.54)
caso II : f(a) > 0 e f(b) < 0, (2.55)
64 cálculo numérico
• Quando f ′′(x) < 0.
caso III : f(a) < 0 e f(b) > 0, (2.56)
caso IV : f(a) > 0 e f(b) < 0, (2.57)
A Figura 2.6 ilustra os quatro casos.
Figura 2.6: Diferentes casos no método das cordas.
Seguindo o raciocínio realizado para o caso I, podemos estender o mesmo para
os demais casos, resultando em:
Caso II:
xn+1 = xn − f(xn)
f(xn)− f(a)(xn − a). (2.58)
Caso III:
xn+1 = xn − f(xn)
f(xn)− f(a)(xn − a). (2.59)
resolução de equações algébricas e transcendentais 65
Caso IV:
xn+1 = xn − f(xn)
f(xn)− f(b)(xn − b). (2.60)
Vemos que nas equações de cada caso o que muda é apenas o valor do ponto
a ou b nas equações. Assim, podemos escrever uma fórmula única:
xn+1 = xn − f(xn)
f(xn)− f(c)(xn − c), (2.61)
onde de�nimos o valor de c como o ponto extremo do intervalo [a, b] para o qual
a função f(x) apresenta