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1!
h+ · · ·+ y
(k)
i
k!
hk, (9.6)
onde as derivadas são obtidas a partir da equação (9.3) avaliadas para os pontos
x = xi, y = yi.
resolução numérica de edo's 195
Exercício 9.3 Implemente computacionalmente a equação (9.6) para k = 3 ite-
rações.
9.1.2 Método de Euler
O método de Euler é bastante intuitivo e parte da idéia de que, se não é
possível determinarmos a solução y(x) para todos os valores de x ∈ [x0, b], en-
tão procuramos calcular aproximações yi da função y(x) para uma seqüência de
pontos xi, i = 1, . . . , n no intervalo.
O método assume que o espaçamento entre os pontos xi é mantido constante.
Assim, podemos escrever:
xi = x0 + ih, i = 1, . . . , n,
onde o valor h é denominado tamanho do passo. Observe que o tamanho do passo
é determinado da forma
h =
(b− a)
n
,
com n ≥ 1 um valor inteiro.
Se considerarmos a série de Taylor dada em (9.6), para o valor k = 1, temos
yi+1 = yi + hy
′
i.
Essa equação pode ser reescrita da forma
yi+1 = yi + hf(xi, yi), (9.7)
onde usamos y′i = f(xi, yi). A equação (9.7) é recursiva, podendo ser usada para
estimarmos y1, y2, . . ., partindo-se da condição inicial y0 = y(x0).
A fórmula recursiva (9.7) é chamada de método de Euler para solução do pro-
blema do valor inicial. Observe que, na recursão de Euler, não há necessidade de
fazermos qualquer derivação.
Embora o método de Euler seja bastante simples, o mesmo é pouco utilizado
para a solução numérica do problema do valor inicial, já que há outros métodos,
como veremos adiante, que possuem uma melhor e�ciência e acurácia. Como
tudo tem custos e benefícios, os outros métodos são mais complicados, porém
computacionalmente melhores.
Exercício 9.4 Implemente computacionalmente o método de Euler. A seguir,
determine a solução do problema do valor inicial y′ = x2 + y2, y(0) = 0, para o
intervalo [0, 1] com passo h = 0, 1.
196 cálculo numérico
Exemplo 9.4 O problema do valor inicial dado por y′ = Ry, y(0) = y0 no
intervalo [0, b] e com R uma constante é conhecido como modelo do juro composto
usado para determinar a correção de uma poupança, por exemplo, no período do
intervalo dado. Usando o método de Euler, determine o valor do investimento
inicial de cem reais, aplicado pelo período de cinco anos à taxa de 12% ao ano.
Solução: O problema é posto da forma:
y′ = 0, 12y; I = [0, 5]; y(0) = 100.
Assim, temos:
y1 = 100 + 1 · (0, 12 · 100) = 112.
y2 = 112 + 1 · (0, 12 · 112) = 125, 44.
y3 = 125, 44 + 1 · (0, 12 · 125, 44) = 140, 4928.
y4 = 140, 4928 + 1 · (0, 12 · 140, 4928) = 157, 3519.
y5 = 157, 3519 + 1 · (0, 12 · 157, 3519) = 176, 2341683.
Ao �nal do quinto ano a poupança terá um saldo de R$176,2341683. Porém,
como em moeda corrente temos apenas os valores dados com duas casas deci-
mais, referentes aos centavos, podemos perguntar o que acontece com o resíduo
se o cliente só recebe 176 reais e 23 centavos? Para uma economia em escala, a
soma desses valores residuais podem representar um grande lucro para o agente
�nanceiro.
Agora, podemos perguntar o que acontece se a correção for feita tomando-se
o juro composto mensalmente (passo mensal)? Fazendo-se os cálculos, obtemos
que ao �nal do quinto ano a poupança terá um saldo de R$181,6696698.
E se a correção for composta diariamente, qual seria o valor ao �nal dos cinco
anos? Executando-se os cálculos, obtemos o saldo da poupança em R$182,1939132.
Veja que neste último caso foram necessárias 1.825 iterações para obter-se o resul-
tado. Observe que o cliente teria mais vantagem se os bancos �zessem o cálculo
com a correção diária, mas isso nem sempre acontece.
A interpretação geométrica do método de Euler é ilustrada na Figura 9.1.
Vemos que a aproximação se dá por poligonais com relação à curva-solução do
problema. Cada poligonal é formada pela reta tangente ao ponto xi da seqüência
ao longo da curva-solução.
resolução numérica de edo's 197
Figura 9.1: Aproximação pelo método de Euler.
Erros no método de Euler
De forma geral, os erros de truncamento e arredondamento são os que mais
afetam os métodos numéricos de resolução de equações diferenciais. Os erros de
truncamento podem ser caracterizados como locais ou globais, de acordo com sua
forma.
Os erros locais têm suas origens na diferença causada entre a reta tangente à
curva-solução y(x) passando pelo ponto (xn, yn), e o valor calculado pela aproxi-
mação yn+1 no ponto xn+1. Olhando a ilustração da Figura 9.1, vemos que o erro
local acontece a cada passo.
De�nição 9.3 O valor do erro local pode ser determinado por:
yn+1 − y(xn + h) = −h
2
2
y′′(λ),
onde λ ∈ [xn, xn + h].
O erro de truncamento local é da ordem de O(h2).
O erro de truncamento global mede o desvio de um ponto ao longo da curva-
solução com relação a seu correspondente na curva poligonal gerada pela solução
aproximada.
De�nição 9.4 O erro de truncamento global no ponto xn+1 é de�nido como a
diferença
yn+1 − y(xn+1),
onde y(x) representa a solução do problema do valor inicial dado.
198 cálculo numérico
A ordem do erro de truncamento global é O(h). Em geral, as ordens dos erros
de truncamento local e global de métodos numéricos são dadas por O(hk+1) e
O(hk), respectivamente.
Exemplo 9.5 Seja o problema do valor inicial y′(x) = x y, y(0) = 1. A solução
analítica desse problema é dada por y(x) = e
x2
2
. Pelo método de Euler, a solução
deste problema até ordem 4 com o passo h = 0, 1 é y4 = 1, 061106. O erro de
truncamento global é dado por EG = |1, 061106−1, 083287067| = 0, 02218106699.
O método de Euler é a aproximação linear do método da série de Taylor.
As principais vantagens do método de Euler com relação ao método da série de
Taylor para ordens mais elevadas são: primeiro, não há necessidade de cálculos
de derivadas; segundo, é um método muito fácil de ser implementado computa-
cionalmente.
9.1.3 Métodos de Runge-Kutta
Vimos que o método da série de Taylor requer o cálculo de derivadas de
ordens elevadas da função f(x, y), o que torna o método complicado. No entanto,
é possível utilizarmos ainda esse método, mas sem o contratempo do cálculo das
derivadas.
Método de Heun
O princípio dessa nova técnica está no método de Euler. Nesse método, cami-
nhamos ao longo da direção da reta tangente à curva no ponto (xn, yn), durante
todo o intervalo de comprimento igual ao passo, enquanto a curva-solução começa
a desviar-se. Se, ao invés de considerarmos a derivada progressiva, tomarmos a
média das direções tangentes para os pontos (xn, yn) e (xn+1, y
(e)
n+1), onde o (e)
denota o resultado determinado para x = xn+1 pelo método de Euler, podemos
melhorar a aproximação.
A inclinação das duas retas tangentes é determinada por:
y′(xn, yn) = f(xn, yn), y′(xn+1, y
(e)
n+1) = f(xn+1, y
(e)
n+1).
Se de�nirmos os termos
k
(n)
1 = hf(xn, yn),
k
(n)
2 = hf(xn+1, y
(e)
n+1) = hf(xn + h, yn + k1),
então, podemos dar um passo h, a partir de (xn, yn) na direção da média das duas
retas tangentes, tomando
resolução numérica de edo's 199
yn+1 = yn +
1
2
(k
(n)
1 + k
(n)
2 ). (9.8)
Observe que, pelo método de Euler, temos y
(e)
n+1 = yn + hf(xn, yn).
A aproximação do problema do valor inicial via a fórmula (9.8) é conhecida
como método de Heun.
Exemplo 9.6 Seja o problema do valor inicial y′ = x−y
2
no intervalo [0, 3] e
y(0) = 1. Determine o valor da solução para um passo h = 0, 25 com duas
iterações.
Solução: temos para a primeira iteração:
k
(0)
1 = h
x0 − y0
2
= −0, 25
2
= −0, 125,
k
(0)
2 = h
(x0 + h)− (y0 + k(0)1 )
2
= −0, 078125,
y1 = y0 + 0, 5(k
(0)
1 + k
(0)
2 ) = 0, 8984375,
para a segunda iteração:
k
(1)
1 = h
x1 − y1
2
= −0, 0810546875,
k
(1)
2 = h
(x1 + h)− (y1 + k(1)1 )
2
= −0, 03967285156,
y2 = y1 + 0,