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n,m são números inteiros e os ai são elementos da base decimal.
Exemplo 1.1 O número 127, 5 é escrito como:
1× 102 + 2× 101 + 7× 100 + 5× 10−1.
A aritmética dos números no sistema decimal é conhecida e não vamos tratá-
la aqui. As operações são a adição e subtração (+,−) e a multiplicação e divisão
(×,÷).
1.1.4 Sistema binário
O sistema de numeração posicional cuja base é composta pelos dois algarismos,
β2 = {0, 1}, é chamado de sistema binário de numeração. Nesse sistema, qualquer
número pode ser expresso por uma combinação de zeros e uns, de tal forma que
seu valor numérico em decimal é obtido por meio da expressão dada na de�nição
a seguir:
De�nição 1.2 O valor numérico em decimal de um número expresso no sistema
binário é obtido tomando-se
an2
n + · · ·+ a222 + a121 + a020 + a−12−1 + a−22−2 + · · ·+ a−m2−m,
onde n,m são números inteiros e os ai são elementos da base binária.
É fácil vermos que os números binários {0, 1, 10, 11, 100, 101, 110} correspon-
dem, respectivamente, em decimal aos números {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}. O número bi-
nário 1101, 01 corresponde ao valor em decimal dado por:
1× 23 + 1× 22 + 0× 21 + 1× 20 + 0× 2−1 + 1× 2−2,
que equivale a 13, 25.
16 cálculo numérico
Exercício 1.1 Quais os valores, em decimal, dos números binários 11011 e
101010?
A representação dos números por meio do sistema binário tornou-se muito
importante com o advento da computação. A razão para isso é bastante simples.
Nesse sistema, todos os números podem ser representados por combinações de
apenas dois algarismos. Por outro lado, muitos conceitos da Física podem ser
representados de forma binária, como, por exemplo, a carga elétrica, positiva ou
negativa; a polarização de um meio magnético, que pode estar ou não polarizado
etc.
Outra vantagem de se representarem os números em binário é que as operações
de adição e multiplicação requerem poucas regras para manipulação. As tabelas
de adição e multiplicação são extremamente simples.
0 + 0 = 0, 0× 0 = 0,
0 + 1 = 1, 0× 1 = 0,
1 + 0 = 1, 1× 0 = 0,
1 + 1 = 10, 1× 1 = 1.
Conversão de decimal para binário
A relação da de�nição 1.2 dá-nos um mecanismo para obtermos o valor decimal
de um número binário. No entanto, precisamos também conhecer como obter o
correspondente número em binário a partir do número em decimal.
O processo de passagem do número em decimal para binário é feito em duas
etapas:
1. Parte inteira;
2. Parte fracionária.
Parte inteira
O método das divisões sucessivas é utilizado para obtenção do correspondente
valor em binário, partindo-se da parte inteira de um número escrito em decimal.
Considerando a parte inteira de um número N em decimal, dividimos este número
por dois; em seguida, o resultado da divisão é novamente dividido por dois, se-
guindo esse procedimento sucessivas vezes até que o quociente 1 seja encontrado.
O número expresso em binário é obtido tomando-se a concatenação do último
quociente com os restos das divisões, lendo-se no sentido inverso ao que foram
obtidos. Esse procedimento é ilustrado na Figura 1.2.
erros computacionais 17
Figura 1.2: Conversão da parte inteira: decimal para binário.
O número Nβ=10 em binário é construído da forma:
Nβ=2 = 1rnrn−1 · · · r3r2r1. (1.3)
Exemplo 1.2 O número 18 é representado na base binária da forma:
18 b2
0 9 b2
1 4 b2
0 2 b2
0 1
Portanto, seguindo o procedimento de concatenação, obtemos
18β=10 = 10010β=2.
Exercício 1.2 Encontre a representação binária para os 20 primeiros números
inteiros em decimal.
Parte fracionária
A parte fracionária de um número em decimal é obtida em binário por meio
da aplicação do método das multiplicações sucessivas. Nesse caso, devemos con-
siderar a parte fracionária do número; então:
1. multiplicamos o número fracionário por dois;
2. do resultado, a parte inteira será considerada o primeiro dígito da represen-
tação do número em binário. A parte fracionária é novamente multiplicada
por dois;
18 cálculo numérico
3. o procedimento continua sucessivamente até obtermos que a parte fracio-
nária do último produto seja igual a zero;
4. em algumas ocasiões, os termos da multiplicação passam a repetir-se, ocor-
rendo um ciclo. Nesses casos, a representação é periódica.
Vejamos os seguintes exemplos de aplicação para a parte fracionária.
Exemplo 1.3 Considere a parte fracionária de um número em decimal dada por
0, 1875. A aplicação no método das divisões sucessivas é vista a seguir:
0, 1875× 2 = 0, 3750,
0, 3750× 2 = 0, 7500,
0, 7500× 2 = 1, 5000,
0, 5000× 2 = 1, 0000.
Assim, a representação do número em binário é dada por:
0, 1875β=10 = 0, 0011β=2.
Vejamos agora o seguinte caso. O número fracionário em decimal é dado por
0, 6. Aplicando o método, temos:
0, 6× 2 = 1, 2,
0, 2× 2 = 0, 4,
0, 4× 2 = 0, 8,
0, 8× 2 = 1, 6,
0, 6× 2 = 1, 2,
.
.
.
Vemos que o processo possui um ciclo. A representação em binário é dada por:
0, 6β=10 = 0, 10011001 . . .β=2 ,
que é periódica binária.
Exercício 1.3 Determine a representação binária para o número 13, 25β=10. Su-
gestão: considere as partes inteira e fracionárias separadamente e, no �nal, a re-
presentação será dada pela parte inteira, em binário,seguida da parte fracionária
em binário, separadas por uma vírgula.
erros computacionais 19
Embora o sistema binário tenha uma série de vantagens para utilização em
sistemas digitais, também apresenta algumas desvantagens. Uma desvantagem
de representarmos os números decimais em binário é que a representação binária
requer um número maior de bites para representação. Em outras palavras, requer
mais espaço físico para armazenar o mesmo número.
Suponha que temos o número em binário
1 000 000 000 000β=2 ≡ 212 = 4096β=10.
Vemos que são necessários cerca de 13 dígitos binários para representarmos o
número equivalente em decimal, o qual é escrito com apenas quatro dígitos.
Em geral, podemos estabelecer a relação entre o número de dígitos, pois
2N = 10N log10 2 = 100,3N ,
onde N corresponde ao número de dígitos na representação binária. Logo, um
número em binário requer aproximadamente 0, 3N dígitos em decimais, que se
re�ete na maior necessidade de memória física dos computadores.
Algoritmo de conversão binário-decimal
Seja N = (anan−1 . . . a1a0)β=2 um inteiro binário. Para determinarmos N na
forma decimal, tomamos o seguinte procedimento:
bn = an
bn−1 = an−1 + 2bn
bn−2 = an−2 + 2bn−1
.
.
. =
.
.
.
b1 = a1 + 2b2
b0 = a0 + 2b1,
onde b0 corresponde ao número N na forma decimal.
Exemplo 1.4 Seja o número 1101β=2. Identi�cando os termos, temos:
a0 = 1, a1 = 0, a2 = 1, a3 = 1.
Agora,
b3 = a3 = 1
b2 = a2 + 2b3 = 1 + 2× 1 = 3
b1 = a1 + 2b2 = 0 + 2× 3 = 6
b0 = a0 + 2b1 = 1 + 2× 6 = 13.
Logo, temos a correspondência 1101β=2 = 13β=10.
20 cálculo numérico
Algoritmo de conversão decimal-binário
Seja N um número inteiro positivo em decimal. Para determinarmos sua
representação binária (anan−1 . . . a1a0)β=2, tomamos o seguinte procedimento:
b0 = N,
b1 =
b0 − a0
2
,
b2 =
b1 − a1
2
,
.
.
.
.
.
.
bk =
bk−1 − ak−1
2
,
onde ak = 1, se bk é um número ímpar; ou ak = 0, se bk é um número par. O
procedimento termina quando obtemos bk = 0. O valor em binário é obtido pela
concatenação retroativa dos valores obtidos para os ak.
Exemplo 1.5 Seja o número 187β=10. Aplicando o algoritmo, temos:
k 0 1 2 3 4 5 6 7
bk 187 93 46 23 11 5 2 1
ak 1 1 0 1 1 1 0 1
Então: 187β=10 = 10111011β=2.
1.1.5 Outros sistemas de numeração
Outros sistemas de numeração que têm sido empregados em computação são
os sistemas octal e o hexadecimal.
Sistema octal
O sistema de numeracão octal possui a base formada pelos oito dígitos inteiros
β8 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}.
A conversão do