Aula 3 - Seguro de Vida

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Matemática Atuarial I
Introdução
Trabalharemos agora com os produtos atuariais
do ramo vida. Basicamente, para cada produto
atuarial trabalhado, precisaremos identificar
qual variável aleatória estamos trabalhando.
2
qual variável aleatória estamos trabalhando.
Introdução
Iniciaremos com estudos sobre seguros. É item
básico em qualquer seguro de vida, a existência
de incerteza quanto ao evento que irá ocorrer.
Pensemos:
3
Pensemos:
Seria necessário contratar um seguro de veículo
se soubermos que nosso carro não irá bater ou
ser roubado?
Neste caso, quem você imagina que procuraria o
seguro?
Introdução
Se todos que procurarem por um seguro
souberem que seu carro irá bater ou ser
roubado, então a seguradora não conseguirá
pagar indenizações, pois os prêmios
4
pagar indenizações, pois os prêmios
recebidos por ela não serão o suficiente.
Introdução
Voltando ao objeto de estudo (ramo vida da
atuária) podemos dizer que existe incerteza de
que vamos morrer um dia?
5
Resp. Não! :(
A incerteza está em QUANDO vamos morrer.
Introdução
Então você saberia identificar QUAL seria a 
variável aleatória de interesse?
6
Introdução
A variável de interesse é o TEMPO DE VIDA
QUE AINDA NOS RESTA. Para o caso de
seguro de vida inteira, a seguradora “sabe”
que irá pagar um dia algum valor de
7
que irá pagar um dia algum valor de
indenização, só não sabe quando.
Introdução
Pequena observação: Dependendo do contrato
de seguro, a seguradora poderá não pagar
nada, desde que o beneficiário faleça antes do
segurado. No entanto, algumas simplificações
8
segurado. No entanto, algumas simplificações
serão feitas nesse curso 1 que facilitarão
muito as contas.
Introdução
Voltando à teoria, pensemos no caso de um
seguro de vida inteiro. Suponha que a
seguradora deseja guardar hoje o valor
presente do gasto que ela terá com o
9
presente do gasto que ela terá com o
segurado no futuro. Qual deverá ser esse
valor?
Introdução
Para responder isso, pensemos que, caso o
segurado faleça ao longo do ano, o
beneficiário receberá o valor do seguro
apenas no fim do ano. A taxa de juros que a
10
apenas no fim do ano. A taxa de juros que a
seguradora consegue no mercado é i e pagará
um benefício B.
Introdução
Definidos o benefício e taxa de juros, quanto a
seguradora deverá ter hoje?
Pensemos:
11
Pensemos:
Se o segurado falecer neste ano, como a
seguradora paga apenas no fim do ano, a
seguradora deverá ter hoje B*v
Introdução
Pensemos agora se o segurado sobreviver o
primeiro ano e morrer no ano seguinte. A
seguradora deverá ter hoje B*v2.
12
E se o segurado sobreviver dois anos e morrer
no ano seguinte?
Introdução
Veja que, o valor que a seguradora tem que ter
hoje para pagar benefício para um certo
segurado é uma v.a.
13
Introdução
Vamos fazer um exemplo semelhante a esse
mas, começaremos a dar mais estrutura
teórica ao exemplo.
14
SEGURO DE VIDA
Seja (x) o indivíduo de idade x que faz seguro de vida inteiro (vitalício)
Seja T = tempo de vida futuro (ou adicional) de x.
15
T é v.a. e T ϵ (0, ∞)
Falta definir as probabilidades associadas que podem ser expressas
pela tábua de mortalidade ou por uma função de distribuição de
probabilidade. Para T definido como acima, o mais apropriado seria
definir um f.d.p. (Por que?)
SEGURO DE VIDA
O desejo é que um beneficiário receba um valor
financeiro (digamos 100 mil) no momento de
morte, daqui a T anos.
16
Qual o valor presente (V. P.) hoje desses 100
mil que só serão recebidos daqui a T anos?
SEGURO DE VIDA
O V.P. Será
100.000∗ ( 1
1+i
)
T
=100.000∗ e− δ∗ T=100.000∗ vT
17
onde é o fator de desconto anual
1+i
v=e − δ=
1
1+i
SEGURO DE VIDA
Por exemplo, se i = 5% ao ano, então 
v = 0,9524.
� Se (x) morrer daqui a 5,5 anos, o V.P. (hoje) 
18
� Se (x) morrer daqui a 5,5 anos, o V.P. (hoje) 
dos 100 mil é:
� Se (x) morrer daqui a 32,3 anos, então:VP=100.000V
5,5=100 .000(0,9524)5,5=76464 ,32
VP=100.000V 32,3=100 .000 (0,9524 )32 ,3=20480 ,84
SEGURO DE VIDA
� Se (x) morrer daqui a 50 anos, então:
VP=100.000V 50=100 .000(0,9524 )50=8720 ,37
19
Suponha que T é v.a. que assume apenas esses 
3 valores:
5,5 anos, 32,5 anos e 50 anos
SEGURO DE VIDA
Quanto (x) deveria pagar hoje por este seguro
de modo que a seguradora receba o
necessário para pagar, em média, a
indenização de 100.000 no futuro?
20
indenização de 100.000 no futuro?
SEGURO DE VIDA
A resposta deverá ser uma “mistura”, uma 
média ponderada dos V.P.'s possíveis.
21
Veja que, caso então o prêmio não 
deveria ser inferior a 20 mil.
Caso, por exemplo, então o prêmio 
deveria ser próximo de 8.700
P (T=50)≈ 0
P (T=50)≈ 1
SEGURO DE VIDA
Considerando que não existem despesas administrativas, 
impostos e lucro, o valor a ser cobrado deveria ser o 
valor esperado dessa v.a (discreta).
Assim:
22
Assim:
E (V.P.)=76.464,32∗ P (T=5,5)+20.480,84∗ P (T=32,3)+8.720,37∗ P (T=50)
E (V.P.)=100.000∗ [v5,5∗ P (T=5,5)+v32,3∗ P (T=32,3)+v50∗ P (T=50)]
E (V.P.)=100.000∗ E [vT ]
SEGURO DE VIDA
Se T fosse v.a. Contínua, então:
E [vT ]= ∫
 ∞
v
T ∗ f T (t )dt
23
E [v ]= ∫
0
v ∗ f T (t )dt
SEGURO DE VIDA
Veja que, para calcular o valor necessário que
se deve ter hoje para pagar, em média, o
benefício futuro, foi necessário entender o
comportamento da variável aleatória T (tempo
24
comportamento da variável aleatória T (tempo
de vida adicional do segurado)
SEGURO DE VIDA
Para prosseguirmos com a teoria até aqui apresentada,
faz-se necessário a apresentação da notação que será
utilizada. Essa apresentação será feita a partir da
seguinte:
25
seguinte:
Definição: Seja t = tempo entre a emissão da apólice do
seguro e a morte do segurado (veja que t não é v.a., e
sim uma realização do evento aleatório)
Denote:
� a função de benefício;
� a função de desconto
bt=b(t)
vt=v
t
SEGURO DE VIDA
� a função de valor presente
Veja que, como na prática não sabemos o tempo
de vida adicional de (x), devemos trabalhar
z (t )=b(t ) ∗ v t
26
de vida adicional de (x), devemos trabalhar
com a v.a. T. Considerando-se a natureza
aleatória do tempo de vida adicional, podemos
dizer que o valor a ser pago para cada
segurado também é v.a. e, assim:
z (T )=b(T ) ∗ vT
SEGURO DE VIDA
Chame de Prêmio Puro a parcela do
prêmio, suficiente para pagar sinistros.
Neste sentido o Prêmio Puro é o prêmio
27
Neste sentido o Prêmio Puro é o prêmio
que propõe o pagamento de despesas
relacionadas ao risco que está sendo
assumido pela seguradora.
SEGURO DE VIDA
Uma vez apresentada e estabelecida a notação,
começaremos nossos estudos de produtos
atuariais de seguros a partir do seguro de vida
temporário de “n” anos
28
temporário de “n” anos
SEGURO DE VIDA TEMPORÁRIO
O Seguro de Vida Temporário por n anos é o
seguro que pagará uma unidade monetária
(u.m.) somente se o segurado morre dentro de
n anos.
29
n anos.
SEGURO DE VIDA TEMPORÁRIO
Notação: caso discreto
caso contínuo
Ax :n |
1
Ā x :n |
1
30
SEGURO DE VIDA TEMPORÁRIO
Como é o algoritmo para calcular o V.P.A. desse
benefício?
Basta calcular a esperança matemática de da
31
Basta calcular a esperança matemática de da
variável aleatória “quanto devo ter hoje para
pagar o benefício devido em relação a um
segurado?”
SEGURO DE VIDA TEMPORÁRIO
Exemplo 1: Para exemplificar, pensemos no
caso de uma pessoa de 25 anos que deseja
fazer um seguro temporário por 5 anos. Ou
seja, caso esse segurado faleça antes de
32
seja, casoesse segurado faleça antes de
completar 30 anos, o beneficiário receberá
uma quantia de 1 u.m.. Considere uma taxa
de juros de 4% ao ano e as seguintes
probabilidade de morte:
SEGURO DE VIDA TEMPORÁRIO
33
SEGURO DE VIDA TEMPORÁRIO
De outra forma: calcule 
Resolução no quadro
A25:5 |
1
34
Resolução no quadro
SEGURO DE VIDA TEMPORÁRIO
Colocando um pouco mais de estrutura na
teoria, vamos identificar a função de benefício
e desconto para, aí sim, calcularmos o V.P.A.
(Valor Presente Atuarial).
35
(Valor Presente Atuarial).
SEGURO DE VIDA TEMPORÁRIO
bt={1 t ≤ n0 c.c.
t
36
v t=v
t
, t ≥ 0
zT={vT T≤ n0 c.c.
SEGURO DE VIDA TEMPORÁRIO
Assim como anteriormente, o V. P. A. Que paga
1 u.m. ao beneficiário no final do ano de morte
do participante será dado pela Esperança
Matemática da v.a. z.
37
Matemática da v.a. z.
V.P.A. = E[zT]
SEGURO DE VIDA TEMPORÁRIO
Exemplo 2: Considere uma pessoa de idade 30
que decide fazer um seguro de vida
temporário no período de 20 anos. Admita que
o tempo de vida adicional (T) desta pessoa
38
o tempo de vida adicional (T) desta pessoa
pode ser (bem) modelada pela distribuição
Uniforme de parâmetros 0 e 70, ou seja:
T ~ U(0, 70)
SEGURO DE VIDA TEMPORÁRIO
Suponha que i = 5% a.a., calcule o V.P.A. (ou o
Prêmio Único Puro Atuarial) que paga 1 u.m.
ao beneficiário no momento da morte do
segurado.
39
segurado.
Resolução no quadro
SEGURO DE VIDA TEMPORÁRIO
Veja que, é suficiente para o segurado pagar
18,25 centavos hoje de forma a receber (o
beneficiário) 1,00 u.m. na ocorrência de sinistro.
40
O exemplo considerou que a indenização seria de
1 u.m., e caso o segurado contratasse um
seguro que paga R$ 250 mil reais no momento
de morte? Quanto deveria ser o Prêmio Puro
Único pago por ele?
SEGURO DE VIDA TEMPORÁRIO
Caso o valor do benefício seja R$ 250 mil, o
prêmio a ser pago pelo segurado deverá ser de
R$ 45.625,00 (considerando a mesma taxa de
juros)
41
juros)
SEGURO DE VIDA TEMPORÁRIO
Exemplo 3: Para proteger seu filho de 5 anos,
uma pessoa de 30 anos decide fazer um
contrato de seguro de vida temporário com
benefício variável no tempo.
42
benefício variável no tempo.
� Se morrer dentro de 10 anos o benefício será
de R$ 100.000,00
� Se morrer entre 10 e 20 anos, o benefício será:
150.000 - 5t
SEGURO DE VIDA TEMPORÁRIO
Veja que, para esse caso, o benefício é 
diferente dependendo do momento de morte 
do segurado, então:
43
Z=b (T )∗ vT={ 100.000∗ v
t t≤ 10
(150.000− 5.000t)∗ v t 10<t≤ 20
SEGURO DE VIDA TEMPORÁRIO
Assim,
V.P.A.=E (Z )=∫
10
100.000 v
t
dt+∫
20
(150.000− 5.000t) v
t
dt
44
V.P.A.=E (Z )=∫
0
100.000
70 dt+∫10
(150.000− 5.000t)
70 dt
SEGURO DE VIDA TEMPORÁRIO
Observe que, no caso de Seguro de Vida
Temporário, existe a incerteza sobre a
ocorrência ou não da indenização e sobre o
momento do pagamento (e não apenas sobre
45
momento do pagamento (e não apenas sobre
o momento do pagamento como acontece no
seguro de vida inteiro).
NOTAÇÃO: SEGURO DE VIDA 
TEMPORÁRIO
Estabelecemos então a notação a ser usada: 
Para o caso contínuo: 
46
Para o caso discreto:
Ā x :n |
1 = ∫
0
n
z (t ) f T (t)dt= ∫
0
n
v
t f T (t )dt
Ax :n |
1 = ∑
0
n − 1
v
t+1
t px q x+t
NOTAÇÃO: SEGURO DE VIDA 
INTEIRO OU VITALÍCIO
Para o caso contínuo:
Ā x= ∫
0
 ∞
z (t ) f T (t )dt= ∫
0
 ∞
v
t f T (t )dt
47
Caso discreto:
0 0
Ax= ∑
0
 ∞
v
t+1
t px q x+t
Exemplos de cálculo de seguros
Exemplo 4.1: Uma pessoa de 25 anos deseja
fazer um seguro de vita inteiro que paga 1
u.m. ao fim do ano de morte. O tempo de
sobrevida desse segurado pode ser bem
48
sobrevida desse segurado pode ser bem
modelado pela tábua AT-49 e a seguradora
promete remunerar o capital em 5% ao ano.
Qual deverá ser o Prêmio Puro Único pago
por esse segurado?
Exemplos de cálculo de seguros
Resolução no quadro e com apoio
computacional. Código disponível no moodle.
49
Exemplos de cálculo de seguros
Formalizando os cálculos, lembre-se que
precisamos definir nossa variável aleatória.
Como apresentado anteriormente, nossa v.a.
Z será resultado da multiplicação entre as
50
Z será resultado da multiplicação entre as
funções benefício e fator de desconto.
Vejamos como identificá-los.
Exemplos de cálculo de seguros
bt={1 t ≥ 00 c.c.
t
51
v t=v
t
, t ≥ 0
zT={vT T >00 c.c.
Exemplos de cálculo de seguros
Veja como variou o Prêmio Puro Único para
cada caso considerando-se a tábua AT-49,
AT-83 e AT-2000 Masculina.
52
E a variação com relação a alteração da taxa de
juros? Alterou muito no V.P.A. (Valor Presente
Atuarial)?
Exemplos de cálculo de seguros
Para cada caso anterior, qual seria o valor pago
pelo segurado como Prêmio Puro Único no
caso de o benefício ser de
53
R$ 200.000,00?
Exemplos de cálculo de seguros
No exemplo anterior, calculamos um .
Exemplo 4.2: Suponha que o segurado tenha
achado o valor do prêmio muito alto. Ele
A25
54
achado o valor do prêmio muito alto. Ele
deseja contratar um seguro de vida temporário
por 10 anos e deseja saber o valor de .
A25:10 |
1
Exemplos de cálculo de seguros
Resolução no quadro com apoio computacional 
do R.
55
Formalizando:
Exemplos de cálculo de seguros
bt={1 t=0,1, 2,... ,90 c.c.
t
56
v t=v
t
, t=0,1, 2,3, ...
zT={vT +1 T=0,1, 2,3, ... ,90 c.c.
Exemplos de cálculo de seguros
Novamente, caso o benefício contratado fosse
de R$ 200.000,00, qual seria o Prêmio Puro
Único?
57
Exemplos de cálculo de seguros
Como dito anteriormente, a vantagem desse
método de cálculo é que, uma vez reconhecida
a natureza aleatória do valor a ser pago pela
seguradora (de fato, pois a seguradora compra
58
seguradora (de fato, pois a seguradora compra
o risco do segurado) podemos calcular algumas
outras medidas além da esperança matemática
como, por exemplo, a variância.
Cálculo da Variância:
Seguro de vida temporário
Utilizando Z como a v.a. representando o valor a 
ser pago pela seguradora, o que queremos 
calcular é:
59
Obs. Devemos lembrar que Z (ou z(T)) é a v.a. 
assim definida: z(T) = b(T)vT.
Se b(t) é igual a zero ou 1 para todo t, o cálculo 
da Var(Z) é facilitado, pois:
Var (Z )=E [Z− E (Z )]2=E (Z 2 )− [ E (Z )]2
Cálculo da Variância:
Seguro de vida temporário
eZ j=[b ∗ V t ] j=b jV tj
E (Z j)=E (b jV tj)= ∫
0
n
1v jt f T (t )dt
n n
60
A fórmula obtida (considerando-se o tempo de vida
adicional uma v.a. contínua) é semelhante ao caso
normal de cálculo de seguro temporário considerando-
se um fator de desconto diferente: o fator de desconto
w.
0
E (Z j)= ∫
0
n
1(v j)t f T (t)dt= ∫
0
n
1wt f T (t)dt
Cálculo da Variância:
Seguro de vida temporário
E no caso discreto?
Bom, no caso discreto, lembrando da definição
de Variância, devemos calcular:
61
de Variância, devemos calcular:
A E(Z) é calculada quando obtemos o V.P.A..
Devemos então calcular E(Z2)
Var (Z )=E [Z− E (Z )]2=E (Z 2 )− [ E (Z )]2
Cálculo da Variância:
Seguro de vida temporário
Basta fazer:
2 Ax :n |
1 = ∑
t=0
n − 1
z (t) t pxqx+t
62
t=0
2 Ax :n |
1 = ∑
t=0
n − 1
(v t+1)2 t px qx+t
2 Ax :n |
1 = ∑
t=0
n − 1
(v2)t+1 t px qx+t
2 Ax :n |
1 = ∑
t=0
n − 1
w
t+1
t px qx+t
Cálculo da Variância:
Seguro de vida temporário
Simplificando o cálculo da Variância para:
no caso discreto e
no caso contínuo.
Var (Z )= 2 Ax :n |
1 − (Ax :n |
1 )2
Var (Z )= 2 Ā 1 − ( Ā 1 )2
63
no caso contínuo.Var (Z )= 2 Ā x :n |
1 − ( Ā x :n |
1 )2
Exemplode cálculo da variância
Exemplo 5.1: Voltemos no exemplo 4.2. Calcule
a variância da variável aleatória: custo do
segurado para a seguradora.
64
Solução: Sabemos que
Já calculamos, no exemplo 4.2
Vamos calcular então
Var (Z )= 2 Ax :n |
1 − (Ax :n |
1 )2
Ax :n |
1
2 Ax :n |
1
Exemplo de cálculo da variância
Término da solução no quadro com apoio 
computacional do R.
65
Exemplo de cálculo da variância
66
SEGURO DE VIDA INTEIRA
Para visualizar o que ocorre com os segurados 
individuais, vamos imaginar um conjunto de 
300 segurados, todos com tempos de vida 
futura T ~ U(0,80) e independentes. 
67
futura T ~ U(0,80) e independentes. 
Simulando cada um dos tempos de vida 
adicionais, T1, T2, ..., T300, podemos obter o 
seguinte histograma utilizando o software R:
SEGURO DE VIDA INTEIRA
Histogram of T
4
0
68
T
F
r
e
q
u
e
n
c
y
0 20 40 60 80
0
1
0
2
0
3
0
SEGURO DE VIDA INTEIRA
Código utilizado:
T <- runif(300, 0, 80)
hist(T)
69
hist(T)
SEGURO DE VIDA INTEIRA
Veja que não sabemos qual é o tempo de vida 
adicional de cada segurado. Caso soubéssemos 
com certeza o dia exato em que o segurado irá 
morrer, então o valor que devemos ter hoje para 
70
morrer, então o valor que devemos ter hoje para 
pagar esse benefício futuro seria apenas o 
benefício do futuro trazido a valor presente.
SEGURO DE VIDA INTEIRA
Como dito antes, o valor total a ser pago pela 
seguradora para um beneficiário é uma v.a. e, 
para nos ajudar a entender os riscos que a 
seguradora corre ao assumir o seguro de um 
71
seguradora corre ao assumir o seguro de um 
único indivíduo, pensemos nos tempos de vida 
adicional que geramos anteriormente.
SEGURO DE VIDA INTEIRA
O que faremos é trazer a valor presente (com 
taxa de juros instantânea de 3% a.a.) o 
benefício de 1 u.m. o valor pago no momento 
da morte do segurado (que neste caso não o é 
72
da morte do segurado (que neste caso não o é 
v.a. pois sabemos quais os valores 
simulados).
SEGURO DE VIDA INTEIRA
Note que, como usamos a mesma função de 
distribuição de tempo de vida adicional ( 
uniforme(0,80) ), então podemos estar 
gerando 300 cenários possíveis de sobrevida 
73
gerando 300 cenários possíveis de sobrevida 
de um único segurado. O valor de 1 u.m. 
trazida a valor presente para cada uma das 
300 gerações pode ser vista no histograma a 
seguir (gerado no R).
SEGURO DE VIDA INTEIRA
Histogram of VP
2
0
2
5
3
0
74
VP
F
r
e
q
u
e
n
c
y
0.971 0.972 0.973 0.974 0.975 0.976 0.977
0
5
1
0
1
5
2
0
SEGURO DE VIDA INTEIRA
Para nos ajudar a entender melhor, pensemos 
no caso em que o benefício requerido pelo 
segurado é de R$ 200.000, então o gráfico 
acima ficaria como:
75
acima ficaria como:
SEGURO DE VIDA INTEIRA
76
SEGURO DE VIDA INTEIRA
Código utilizado:
T <- runif(300,0,80)
delta <- log(1 + 0.03)
v <- exp(-delta)
77
v <- exp(-delta)
VPA <- v^T
hist(200000*VPA, main='Histograma com os valores presentes dos 
benefícios futuros\npara cada um dos 300 tempos de vida adicional 
do segurado')
SEGURO DE VIDA INTEIRA
Observe que, utilizando a distribuição Uniforme 
para modelar a sobrevida do segurado, o risco 
associado ao seguro formado para apenas 
uma pessoa é relativamente alto.
78
uma pessoa é relativamente alto.
SEGURO DE VIDA INTEIRA
Devido à variabilidade elevada, pode ser de 
interesse calcular o valor (digamos z) tal que
79
Isto é, com 90% de chance o V.P. Deve ser 
menor ou igual a z
P (Z≤ z)=0,9
SEGURO DE VIDA INTEIRA
Quem é esse z?
0.9=P (200000e − 0,03T ≤ z )=P (e − 0,03T ≤ z200000 )
80
0.9=P (200000e z )=P (e 200000 )
0,9=P ( − 0,03T ≤ log( z) − log(200000))=P (T ≥ 1
0,03
( − log (z)+12,21))
SEGURO DE VIDA INTEIRA
Veja que T ~ U(0, 80), o que nos fornece:
P (T ≥ 8)=1 − 8 =0,9
81
P (T ≥ 8)=1 − 8
80
=0,9
SEGURO DE VIDA INTEIRA
Logo:
1
0,03
( − log( z)+12,21)=8 ⇔ − log(z )
0,03
=8 − 12.21
0,03
82
0,03
( − log( z)+12,21)=8 ⇔
0,03
=8 −
0,03
log(z )=11,97 ⇔ z=e11,96 ⇔ z=156.373,09
SEGURO DE VIDA INTEIRA
Exemplo 6: Imagine um carteira com 100 indivíduos 
(todos de mesma idade) que contratam hoje um 
seguro de vida inteira.
Seja a taxa instantânea de mortalidade 
83
Seja a taxa instantânea de mortalidade 
μ = 0,04 e taxa instantânea de juros 
δ = 0,06 
Seja ainda T ~ exp(0,04). Qual o prêmio puro a ser 
cobrado de cada segurado, considerando um 
benefício de 1 u.m.? E o prêmio total da carteira?
SEGURO DE VIDA INTEIRA
Resolução no quadro.
84
SEGURO DE VIDA INTEIRA
Veja que, o gasto médio com pagamento de
sinistros será de R$ 0,40 por segurado.
Considerando que existem 100 pessoas na
carteira, o prêmio total cobrado será de R$ 40
85
carteira, o prêmio total cobrado será de R$ 40
para que a seguradora consiga honrar seus
compromissos relativos à sinistros.
SEGURO DE VIDA INTEIRA
Porém, a seguradora poderá estar correndo um 
risco considerável cobrando apenas esse 
prêmio. Pensemos o que aconteceria se 90% 
dos segurados morressem já no primeiro ano? 
86
dos segurados morressem já no primeiro ano? 
Certamente a seguradora não teria tempo 
suficiente para investir o dinheiro pago pelos 
segurados na forma de prêmio e, esta, ficaria 
insolvente.
SEGURO DE VIDA INTEIRA
Neste caso, pode-se dizer que o valor cobrado pela
seguradora seria diferente do Prêmio calculado
anteriormente. De fato, o prêmio poderá ser (em
alguns casos) bem maior que o valor calculado
87
alguns casos) bem maior que o valor calculado
anteriormente.
Seguindo essa linha de raciocínio, o que desejamos
saber é qual o valor que a seguradora deve ter hoje
de modo que a probabilidade de que haja fundo
para efetuar todos os pagamentos no momento de
morte seja aproximadamente 95%.
SEGURO DE VIDA INTEIRA
Chamando de S o valor total a ser pago pela 
seguradora em relação aos sinistros ocorridos, 
queremos encontrar o valor h tal que
88
P (S≤ h)=0,95
SEGURO DE VIDA INTEIRA
Fazendo uma aproximação pela distribuição 
Normal teremos:
P (S ≤ h)=P ( S − 40 ≤ h − 40 )=0,95
89
ou seja,
P (S ≤ h)=P ( S − 40
 √9
 ≤
h − 40
 √9
)=0,95
h − 40
 √9
=1,645 ⇔ h=3 ∗ 1,645+40=44,94
SEGURO DE VIDA INTEIRA
Como existem 100 segurados em nossa carteira 
e um custo total de 44,94, o Prêmio deveria 
ser 0,4494 (ou 0,45) reais e não 0,4 como 
calculado anteriormente.
90
calculado anteriormente.
SEGURO DOTAL PURO
Os produtos atuariais de seguro de vida (inteira 
ou temporária) cobrem o risco de morte do 
segurado.
91
Existe um outro produto atuarial que cobre o 
risco de sobrevida do segurado: o seguro 
dotal.
SEGURO DOTAL PURO
Nesse tipo de seguro o segurado receberá um 
benefício caso chegue vivo após o período de 
cobertura do seguro. Ou seja, caso uma 
pessoa de 30 anos decida contratar um 
92
pessoa de 30 anos decida contratar um 
seguro dotal com período de 10 anos, ele (o 
segurado) receberá a indenização caso 
sobreviva até os 40 anos de idade.
SEGURO DOTAL PURO
Utilizando o mesmo raciocínio para cálculo de 
Prêmio Puro no seguro de vida e, 
reconhecendo que o gasto da seguradora com 
o segurado é um v.a., devemos montar as 
93
o segurado é um v.a., devemos montar as 
funções que nos auxiliarão no cálculo do gasto 
médio da seguradora com o segurado e, 
consequentemente, obteremos o cálculo do 
Prêmio a ser pago pela cobertura do seguro.
SEGURO DOTAL PURO
Veja que o benefício poderá ser facilmente 
reconhecido. Neste seguro, a seguradora irá 
pagar um benefício(trazido a valor presente) 
caso o segurado sobreviva ou não pagará 
94
caso o segurado sobreviva ou não pagará 
nada caso ele faleça no período de cobertura. 
SEGURO DOTAL PURO
Os valores possíveis de nossa v.a. são:
zero ou vn.
Formalizando temos:
95
Formalizando temos:
0, se t≤ n
1, se t>n
¿
b( t )=¿ {¿ ¿¿
¿
V t=V
n
, se t≥ 0
SEGURO DOTAL PURO
0, se t ≤ n
V n , se t>n
¿
Z=¿ {¿ ¿¿
¿
96
Esse tipo de seguro poderá ser útil para 
pagamentos de bônus por uma empresa caso o 
funcionário “sobreviva” nesta empresa por um 
certo período. Ou ainda, poderá ser utilizada 
para pagamento da faculdade do filho, caso 
este sobreviva até a idade para cursar uma 
faculdade.
SEGURO DOTAL PURO
Notação no quadro: 
97
SEGURO DOTAL PURO
Como a seguradora calcula o valor médio gasto 
por segurado para composição do prêmio, 
para o caso de seguro dotal puro o cálculo 
será dado como:
98
será dado como:
SEGURO DOTAL PURO
A
x : n]1
=n E x=0 xP (T≤ n )+V
n P (T >n )
A
x : n]1
=n E x=V
n
n p x
99
A
x : n]1
=n E x=V n p x
Var (Z )=V 2n
n
p
x n
q
x
SEGURO DOTAL PURO
Observe que o seguro dotal é o tipo de produto 
atuarial que pode ser bem modelado pela 
distribuição de bernoulli(p) onde p é a 
probabilidade de sobrevivência do segurado 
100
probabilidade de sobrevivência do segurado 
durante o período de cobertura, ou seja, o 
parâmetro p é, da tabela de vida, dado por: npx
SEGURO DOTAL PURO
Sob esse ponto de vista, podemos pensar que o 
seguro dotal poderia ser representado pela 
v.a.:
101
onde X ~ Bernoulli( npx)
Benefício ∗ vn ∗ X
SEGURO DOTAL PURO
Encarando desta forma, a Esperança 
Matemática do gasto da seguradora será:
E (Benefício ∗ vn ∗ X )=Beneficio ∗ vn ∗ E (X )
102
Pois a esperança de um bernoulli(p) é igual a p
E (Benefício ∗ vn ∗ X )=Beneficio ∗ vn ∗ E (X )
E (Benefício ∗ vn ∗ X )=Beneficio ∗ vn ∗ p
SEGURO DOTAL PURO
Veja que, se o benefício for igual a 1, teremos 
encontrado a mesma Esperança Matemática 
como feito anteriormente reconhecendo-se as 
funções b(t), vt e z(t).
103
funções b(t), vt e z(t).
Observe ainda que podemos obter a variância 
da mesma forma:
Var (Benefício ∗ vn ∗ X )=Beneficio2 ∗ v2n ∗ Var (X )
SEGURO DOTAL PURO
Como X tem distribuição Bernoulli, Var(X) = p(1 
– p).
O resultado obtido é igual à variância obtida 
104
O resultado obtido é igual à variância obtida 
anteriormente a partir da definição de 
Variância.
SEGURO DOTAL PURO
Exemplo 7: Seja um segurado com 50 anos de 
idade que decide fazer um seguro dotal puro 
que paga R$ 250 mil se o segurado sobreviver 
durante o período de 3 anos. Se a seguradora 
105
durante o período de 3 anos. Se a seguradora 
compromete-se a remunerar o capital do 
segurado à uma taxa anual de 3% a.a., qual 
deverá ser o Prêmio Puro Único pago pelo 
segurado?
SEGURO DOTAL PURO
Para resolução deste exercício considere a 
tábua de mortalidade CSO-58
106
SEGURO DOTAL PURO
107
SEGURO DOTAL PURO
Exemplo 8: Caso o segurado queira fazer uma 
cobertura de 47 anos deseja receber, caso 
sobreviva nos próximos 10 anos, o valor de R$ 
100 mil reais. Considerando a mesma taxa 
108
100 mil reais. Considerando a mesma taxa 
anual de 3%, qual será o Prêmio Puro Único 
que deverá ser pago pelo segurado?
SEGURO DOTAL PURO
Para resolver esse exercício sem fazer muitas 
multiplicações de probabilidade de 
sobrevivência ao longo dos anos, poderemos 
utilizar a coluna l para cálculo de 
109
utilizar a coluna lx para cálculo de 
probabilidade de sobrevivência de maneira 
mais eficiente.
SEGURO DOTAL PURO
Relembremos da tabela de mortalidade:
l 47 ∗ p47=l48 ⇔ p47=
l 48
l 47
110
e como calculamos a probabilidade de uma 
pessoa de 47 anos sobreviver pelo menos até 
os 49 anos? 
l 47
SEGURO DOTAL PURO
P (Sobreviver de 47até 48e Sobreviver de48até 49)
=P (Sobreviver de47 até48∩ Sobreviver de48 até49)
=P (Sobreviver de 47até 48)∗ P (Sobreviver de 48até 49|Sobreviveu de 47até 48)
111
=P (Sobreviver de 47até 48)∗ P (Sobreviver de 48até 49|Sobreviveu de 47até 48)
= p47 ∗ p48=
l 48
l 47
 ∗
l 49
l 48
=
l 49
l 47
= 2 p47
SEGURO DOTAL PURO
Seguindo essa linha de raciocínio, podemos dizer 
então que:
5 p47=
l48
l ∗
l 49
l ∗
l50
l ∗
l51
l ∗
l52
l
112
Que é uma fórmula de recursão de cálculo de prob. 
de sobrevivência.
5 47 l47 l 48 l49 l50 l51
5 p47=
l49
l47
 ∗
l50
l 49
 ∗
l51
l50
 ∗
l52
l51
5 p47=2 p47 ∗ 3 p49
SEGURO DOTAL PURO
Veja que é possível obter essa fórmula de 
recursão utilizando o Teorema da 
Multiplicação de Probabilidades. (exercício).
113
SEGURO DOTAL PURO
Voltando ao exemplo 8, o Prêmio Puro poderá 
ser o valor médio (ou esperado) que teremos 
com esse segurado. Como o seguro dotal tem 
natureza bernoulli, então:
114
natureza bernoulli, então:
100.000 ∗ v10 ∗ 10 p47
SEGURO DOTAL MISTO
O Seguro Dotal Misto (muitas vezes chamados 
apenas de seguro dotal) é o seguro que cobre 
a vida e morte do segurado. Esse seguro paga 
uma certo valor se o segurado morrer durante 
115
uma certo valor se o segurado morrer durante 
um período ou paga (o mesmo valor ou uma 
quantia diferente) caso o segurado sobreviva a 
este período, o que ocorrer primeiro.
SEGURO DOTAL MISTO
Vejamos a notação no quadro:
116
SEGURO DOTAL MISTO
Vejamos nosso formalismo 
estatístico/matemático. Primeiro vamos definir 
a função benefício.
117
b(t )=1
v(t )={v
t t ≤ n
v
n t>n
Z={v
T T ≤ n
v
n T >n
SEGUROS DIFERIDOS
Os produtos atuariais aqui apresentados podem 
não ter a vigência contratada iniciada a partir 
da assinatura do contrato. De fato, em alguns 
casos o segurado pode querer que a vigência 
118
casos o segurado pode querer que a vigência 
se inicie alguns anos após a assinatura do 
contrato de seguro. Como calcular para esses 
casos o valor a ser pago pelo segurado?
SEGUROS DIFERIDOS
Partindo do princípio que todos já sabemos 
como calcular o Prêmio Puro Único a ser pago 
pelo segurado para os seguros de vida 
vitalício, temporário, dotal puro e dotal e 
119
vitalício, temporário, dotal puro e dotal e 
considerando a natureza aleatória dos 
produtos atuariais, pense no valor que a 
seguradora deverá gastar, em média, com o 
segurado cujo produto começará a vigorar 
daqui a “m” anos.
SEGUROS DIFERIDOS
Pensemos, inicialmente, no seguro de vida 
vitalício que paga 1 u.m. no momento de 
morte do segurado. Porém, esse seguro de 
vida começará a vigorar daqui a “m” anos.
120
vida começará a vigorar daqui a “m” anos.
Veja que, nesse caso:
SEGUROS DIFERIDOS
b(t )={0 t<m1 t ≥ m
v (t )=vt
121
v (t )=vt
Z={vT T ≥ m0 c.c.
SEGUROS DIFERIDOS
Veja que o V.P.A. é:
m | Āx=E (Z )= ∫
∞
v
t
∗ f T (t)dt
122
m | Āx=E (Z )= ∫
m
v ∗ f T (t)dt
SEGUROS DIFERIDOS
Para o caso em que T é discreto:
b(t )={0 t<m1 t ≥ m
123
v (t )=vt
Z={vT T ≥ m0 c.c.
b(t )={1 t ≥ m
m ∣ Ax= ∑
j=m
 ∞
V j+1 j p xqx+ j
SEGUROS DIFERIDOS
Mudando o intervalo do somatório:
m ∣ Ax= ∑
l=0
 ∞
Vm+l+1m+l pxq x+m+l
124
l=0
temos
m+l p x=m p x l px+m
então
m ∣ Ax=V
m
m
p
x ∑
l=0
 ∞
V l +1 l p x+mq x+m+l=V
m
m
p
x
 ∗ A
x+nm |
Ax=V
m
m p x ∑
l=0
∞
V l+1 l p x+mqx+m+l=V
m
m p x Ax+m
SEGUROS DIFERIDOS
Veja que o seguro de vida inteiro diferido por “m” 
anos é equivalente ao V.P.A. de um seguro de 
vida inteiro calculado para uma pessoa de idade 
x + m descontado m anos de juros e 
125
x + m descontado m anos de juros e 
considerando-sea probabilidade deste 
segurado não chegar vivo até a idade de 
vigência de cobertura do seguro. É, na verdade, 
o seguro de vida inteiro trazido a valor presente 
atuarial à data de hoje.
SEGUROS DIFERIDOS
Outra forma de cálculo do mesmo seguro seria:
A =A − A
1
x :m ]
126
Prova: (exercício)
m ∣ Ax=Ax − A
x :m
SEGUROS DIFERIDOS
Caso o seguro seja diferido por “m” anos e 
temporário por “n” anos, como será o cálculo 
do V.P.A.? E o seguro dotal puro?
127
(exercício)
SEGUROS DIFERIDOS
Fim do ano � tabela de vida, na prática, quase no 
momento de morte
Suposição:
128
T=[T ]+S=K+S=K +1 − (1 − S )
SEGUROS DIFERIDOS
Assuma que T é independente de S e que S~U(0,1)
Então 1-S~U(0,1)
Considere o seguro de vida inteira pago no momento de 
morte:
129
morte:
V . P .=Z=V t
A
x
= ∫
0
 ∞
V t f T ( t )dt= ∫
0
 ∞
V t t p x μ ( x+ t )dt
SEGUROS DIFERIDOS
V . P .=Z=V t
A
x
=E (V t )=E (V k +1 − (1 − S ))=E (V k+1 ∗ V − (1 − S ))
A =E (V k +1) ∗ E (V − (1 − S )) , com K independente de S
130
A
x
=E (V k +1) ∗ E (V − (1 − S )) , com K independente de S
A
x
=A
x
 ∗ E (V − (1 − S ))
SEGUROS DIFERIDOS
mas
E (V − (1 − S ))=E (e − δ ( − (1 − S )))=E (eδ(1 − S ))
1
e
δ − 1 (1+i ) − 1
131
E (eδ(1 − S ))= ∫
0
1
eδ (1 − S )ds=e
δ − 1
δ
=
(1+i ) − 1
δ
Assim ,
A
x
=
i
δ
A
x
SEGUROS DIFERIDOS
Já trabalhamos alguns casos em que o benefício 
é variável ao longo do tempo. Dentro da 
ciência atuarial podemos encontrar uma 
notação específica para produtos atuariais 
132
notação específica para produtos atuariais 
onde o benefício é crescente (ex. (IA)) ou 
decrescente (ex. (DA)) ao longo do tempo.
SEGUROS DIFERIDOS
Com a teoria até aqui apresentada você 
consegue imaginar como calcular o V.P.A. de 
um produto atuarial com benefício crescente 
ao longo do tempo?
133
ao longo do tempo?
Referências
Foi utilizado como importante material de apoio 
as notas de aula do prof. Renato Assunção
(site:http://homepages.dcc.ufmg.br/~assuncao/)
134
além dos livros indicados no plano de ensino.