Aula 06 Reservas

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Matemática Atuarial I 
2º semestre 2012
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RESERVAS
Até agora todos os nossos estudos estão baseados no pagamento de 
Prêmio Puro Único para os produtos atuariais. 
Na prática, para comprar uma anuidade (ou seguro), fazemos vários 
pagamentos ao longo do ano (ou de vários anos).
Vamos andar mais um pouco na teoria.
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RESERVAS
Pensemos, por exemplo, no caso em que um 
segurado que deseja se aposentar e começa a 
fazer contribuições ao fundo de pensão. Digamos 
que este segurado já esteja contribuindo a m anos. 
Neste momento entre o período inicial e o início de 
recebimento de benefício, o segurado tem a 
obrigação de continuar pagando os prêmios e a 
seguradora terá a obrigação de pagar o benefício 
caso o segurado chegue vivo à idade de 
aposentadoria.
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RESERVAS
Apenas as contribuições que faltam ser feitas ao 
segurado não são suficientes para pagamento 
de benefício. De fato, pois para compor o 
montante suficiente para pagamento (em 
média) de benefícios deverá ser usada todas 
as contribuições já feitas pelo segurado.
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RESERVAS
A seguradora (ou fundo de pensão) deverá, ter 
investido bem as contribuições do segurado 
de forma que, somando-se os valores que 
estão em poder da seguradora com os 
prêmios que serão pagos (em média) pelo 
segurado, compõe-se a quantia média de 
pagamento de benefícios.
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RESERVAS
Esse valor que já está em mãos da seguradora 
é chamado de reserva.
Segundo o dicionário de seguros, reserva é:
“o sistema técnico-econômico do qual se valem 
as seguradoras para se precaverem, no 
tempo, dos riscos assumidos. São os fundos 
que a seguradoras constituem para garantia 
de suas operações.”
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O cálculo da reserva poderá ser feito de duas 
maneiras: através do cálculo das reservas 
retrospectivas ou prospectivas.
Essas denominações ficarão mais claras a 
seguir.
RESERVAS
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RESERVAS
Para exemplificar, pensemos em um seguro de 
vida inteiro (tempo discreto). Vamos decompor 
seu V.P.A. em duas parcelas associadas aos 
períodos [0,m) e [m, ) ∞
Ax=∑
k=0
∞
vk+1k pxqx+k
=∑
k=0
m−1
vk+1k pxqx+k+∑
k=m
∞
vk+1k pxqx+k
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RESERVAS
Veja que a primeira parcela da soma:
é o VPA do seguro de vida temporário de (x) por 
m anos.
prosseguindo:
∑
k= 0
m−1
vk+1k pxqx+k
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RESERVAS
observe que:
portanto,
=A x 1:m|+∑
k=m
∞
vm+ ( k−m )+1m pxk−m px+m qx+m+( k−m )
m pxk−m px+m=k px
=A x 1:m|+v
mm px∑
j=0
∞
v j+1 j px+mqx+m+j
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RESERVAS
Este resultado já foi visto neste curso e diz que:
Ax=A x 1:m|+v
mm px Ax+m
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RESERVAS
Esse resultado irá nos auxiliar no cálculo da 
reserva.
Agora, no entanto, utilizaremos um raciocínio 
semelhante para anuidades. Vamos decompô-
la em dois momentos do tempo como feito 
para o caso do seguro.
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RESERVAS
a¨x=∑
k=0
∞
vk k px
=∑
k=0
m−1
vkk px+∑
k=m
∞
vk k px
= a¨x :m|+v
mm px∑
j=0
∞
v j j px+m
= a¨x :m|+v
mm px a¨x+m
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RESERVAS
Esses dois resultados juntos nos ajudarão a 
obter a reserva no tempo m qualquer.
Lembremos das aulas anteriores que 
apresentaram a relação para cálculo do 
Prêmio. O prêmio P é sempre calculado de tal 
forma que E(L) = 0.
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RESERVAS
Das aulas anteriores vimos que:
Vamos então substituir as expressões 
encontradas anteriormente, para obtermos:
0=A x−P a¨x
0=(Ax1 :m|+vmm px Ax+m)−P( a¨x :m |+vmm px a¨x+m)
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RESERVAS
Organizando os termos
0=A
x1:m |−P a¨x :m|+v
mm px (Ax+m−P a¨x+m)
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RESERVAS
Podemos dizer que 
são as obrigações passadas do segurado e da 
seguradora.
A reserva (prospectiva) no tempo m denotada 
por mV será dada então por:
A
x1:m |−P a¨x :m|
mV=A x+m−P a¨x+m
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RESERVAS
Veja que a reserva será formada pelo valor que 
a seguradora deve pagar em média para o 
segurado (que agora tem idade de x + m 
anos) e receberá para garantir esse benefício 
os prêmios que serão pagos em média por 
esse segurado até seu falecimento.
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RESERVAS
A Reserva Prospectiva é calculada a partir de 
compromissos futuros da seguradora e do 
segurado.
E a Reserva Retrospectiva ? 
Essa reserva é calculada a partir dos 
compromissos passados da seguradora e do 
segurado e, para isso, basta utilizarmos a 
relação que acabamos de obter:
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RESERVAS
em que
então:
0=A
x1:m |−P a¨x :m|+v
mm px (Ax+m−P a¨x+m)
mV=A x+m−P a¨x+m
0=A
x1:m |−P a¨x :m|+v
mm pxmV
mV=
P a¨x :m |−Ax 1:m |
vmm px
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RESERVAS
Exemplo: Suponha que um segurado de 40 
anos tenha comprado um seguro de vida 
inteiro que paga 1 u.m. ao fim do ano de 
morte. Esse segurado irá pagar por esse 
seguro um prêmio P = 0,012902 enquanto 
estiver vivo.
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RESERVAS
Passado-se 2 anos de vigência do contrato, qual 
será a reserva 2V que a seguradora deverá ter 
formado?(Considerando tábua de mortalidade 
AT-49 e i = 0,05%)
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RESERVAS
Reserva (Prospectiva)
Reserva (Retrospectiva)
2V=A 42−P a¨42=0,231665−0,012902∗16,13503≈0,02349
2V=
P a¨40: 2|−A401:2 |
v22 p40
=0,012902∗1,9461−0,003943
0,9523812∗0,995755
≈0,02343
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RESERVAS
Uma pequena observação:
Veja que: 
em que
é conhecida como anuidade “tontineira” (tontine)
mV=
P a¨x :m |−Ax 1:m |
vmm px
=
P a¨x :m|
vmm px
−
A
x1:m |
vmm px
P a¨x :m|
vmm px
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RESERVAS
e a parcela é o custo acumulado do 
seguro.
A
x1 :m|
vmm px
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RESERVAS
A anuidade tontineira foi concebida para pagar 
benefícios a sobreviventes da seguinte forma:
Um grupo de participantes se une e faz pagamentos 
regulares ao fundo. Os participantes que morrem 
ao longo do período deixam de contribuir, porém ela 
não recebe nenhum benefício (nem um 
beneficiário). O benefício é pago somente às 
pessoas que sobreviveram durante todo o período 
de vigência desta anuidade. 
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RESERVAS
Este tipo de seguro pode ser um incentivo ao 
homicídio de pessoas próximo ao período final 
de contribuição e, por isso, não pode ser 
comercializado.
A anuidade tontineira é tal que:
S¨ x :m |=
P a¨x :m|
vmm px
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RESERVAS
Considere, inicialmente, que após n anos o 
número de sobreviventes poderá ser dados 
por: . O Montante acumulado nesse n anos 
deverá ser dividido igualmente entre os 
sobreviventes. A parte que caberá a cada 
sobrevivente será: (considere M como o 
montante acumulado). 
lx+m
M
l x+m
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RESERVAS
Mas qual o valor de M? 
Considere que cada segurado paga um valor P 
(prêmio) enquanto estiver vivo. No primeiro 
ano, imagine que pessoas estejam vivas e 
contratam esse produto. Ao final de n anos o 
valor total acumulado (relativo à primeira 
parcela de cada segurado) será de:
lx
P∗l x∗(1+i)
n
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RESERVAS
A segunda parcela (considere pagamentos 
anuais) será feita apenas por aqueles que 
sobreviveram o primeiro ano. Além disso, a 
segunda parcela será capitalizada por um ano 
a menos que a primeira parcela. Ao final do 
período, essa segunda parcela será 
capitalizada e alcançará o valor:
P∗l x+1∗(1+i)
n−1
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RESERVAS
Seguindo esse raciocínio, o montante ao final de 
n anos será de:
M=P∗lx∗(1+i)
n+P∗l x+1∗(1+i)
n−1+P∗lx+2∗(1+i )
n−2+.. .
+P∗l x+n−1∗(1+i)
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RESERVAS
O valor que será recebido por cada sobrevivente 
será:
P
l x∗(1+i )
n+.. .+lx+n−1∗(1+i)
lx+n
=P[ lx∗(1+i)nl x+n +. ..+ lx+n−1∗(1+i)l x+n ]
=P∗( 1vn∗lx+nl x +.. .+
1
v∗l x+n
l x+n−1 )
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RESERVAS
Logo:
=
1
v
nn px
+
1
v
n−1n−1 px+1
+. ..+ 1vpx+n−1
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RESERVAS
A anuidade tontineira é o valor acumulado dos 
prêmios sujeitos a juros e sobrevivência. 
Pode-se pensar que essa anuidade é o valor 
pago ao fimde m anos a todos que 
sobreviverem.
Observe que o cálculo dessa anuidade pode ser 
obtido através do cálculo de vários seguros 
dotais puros.
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RESERVAS
CUSTO ACUMULADO DO SEGURO.
Considere o seguro de vida temporário por m 
anos que paga 1 u.m. no fim do ano de morte. 
Esse seguro será financiado ao final do período 
de cobertura apenas pelos sobreviventes.
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RESERVAS
Veja que esse seguro é inviável 
comercialmente, mas é útil conceitualmente. 
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Referências
Foi utilizado como importante material de apoio 
as notas de aula do prof. Renato Assunção
(site:http://homepages.dcc.ufmg.br/~assuncao/)
além dos livros indicados no plano de ensino.
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