Aula 6 Prêmios e Benefícios

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Matemática Atuarial I 
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BENEFÍCIOS E PRÊMIOS
Até agora todos os nossos estudos estão baseados no pagamento de 
Prêmio Puro Único para os produtos atuariais. 
Na prática, para comprar uma anuidade (ou seguro), fazemos vários 
pagamentos ao longo do ano (ou de vários anos).
Vamos andar mais um pouco na teoria e criar uma estrutura que se 
aproxima de situações reais.
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BENEFÍCIOS E PRÊMIOS
Veja que o prêmio poderá ser pago de 3 formas:
1) Um único pagamento (como já estamos 
vendo ao longo do curso)
2) Prêmios periódicos de valor constante no 
tempo (prêmios nivelados) 
3) Prêmios periódicos de quantidade variável.
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BENEFÍCIOS E PRÊMIOS
Pensemos num produto de anuidade: imagine um 
segurado de 40 anos que quer aposentar-se 
aos 60 anos. Essa pessoa deseja receber o 
valor de 36 mil (por ano) durante o período de 
20 anos. 
Essa pessoa irá pagar um prêmio x em uma conta 
que rende 8% ao ano.
Quando esse segurado deverá depositar por ano?
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BENEFÍCIOS E PRÊMIOS
Para calcular x, devemos calcular o valor total dos 
depósitos e o valor total dos benefícios. Não 
usaremos os valores nominais pois depósitos e 
benefícios são feitos em momentos diferentes 
do tempo.
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BENEFÍCIOS E PRÊMIOS
Vamos calcular o valor total dos depósito em 
t=20 e o valor total dos benefícios (no mesmo 
tempo) mas, inicialmente, iremos 
desconsiderar a possibilidade do indivíduo 
morrer, ou seja, ele irá fazer todos os 
depósitos e receberá todos os benefícios.
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BENEFÍCIOS E PRÊMIOS
Neste caso, o problema não será atuarial e sim 
financeiro. Veja que a soma de benefícios 
trazido a valor presente (em t = 20) será:
36.000(1 + v + … + v19)
Assim, em t = 20, ele precisa ter acumulado com 
seus depósitos o valor de: 
 (I)36.000 1v...v19=36.000  1−v
20
1−v
=36.000 a¨ 20 |=381.729,60
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BENEFÍCIOS E PRÊMIOS
O total capitalizado de seus depósito no tempo t = 
20 será (veja slide 9 de anuidades):
 (II)
Então precisamos achar o valor de x tal que (I) = 
(II).
Neste caso: 
x 1i 201i 19... 1i=x 1i  1i 
20−1
i
=49.42292 x
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BENEFÍCIOS E PRÊMIOS
Ou seja, deve-se pagar 7.723,70 por ano 
(lembremos que não estamos considerando a 
possibilidade do segurado falecer) para pagar 
a anuidade que paga 36 mil ao longo de 20 
anos.
381.729,60=49.422292 x⇒ x=7.723,70
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BENEFÍCIOS E PRÊMIOS
Princípio da equivalência: O valor total dos 
compromissos do segurado num certo 
momento deve ser igual ao valor total dos 
compromissos do segurador no mesmo 
momento.
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BENEFÍCIOS E PRÊMIOS
Infelizmente, na prática não é tão simples calcular 
o prêmio como no exemplo anterior.
Ainda não consideramos os carregamentos do 
prêmio (despesas administrativas, lucro, 
impostos) e não consideramos que o segurado 
poderá falecer tanto no momento dos depósitos 
quanto no momento de recebimento dos 
benefícios.
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BENEFÍCIOS E PRÊMIOS
Vamos considerar agora um exemplo mais 
simples. Pensemos no seguro de vida inteiro 
que pagará R$ 100 ao fim do ano de morte do 
segurado. Então, o compromisso em valor 
presente do segurador é:
em que K é o número de anos inteiros de vida 
adicional do segurado.
Z=100vK1
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BENEFÍCIOS E PRÊMIOS
O contrato estipula que o segurado deverá 
pagar um prêmio constante P no início de 
cada ano enquanto o segurado sobreviver.
Então, o compromisso do segurado, em valor 
presente, é igual a: 
Y=PPvPv 2Pv 3...Pv K=P 1vv2...vK =P  1−v
K1
1−v

Y =P a¨ K1 |
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BENEFÍCIOS E PRÊMIOS
Veja que, tanto Z quanto Y são variáveis 
aleatória.
Pelo princípio de equivalência, gostaríamos de 
escolher P tal que
Z – Y = 0
Mas isto é “impossível” de garantir pois Z e Y 
são v.a.'s. 
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BENEFÍCIOS E PRÊMIOS
Gostaríamos obter um Prêmio tal que o princípio 
de equivalência fosse respeitado. Porém, 
como o Prêmio dependente da relação de 
duas v.a.'s não seria possível, neste caso, 
definir um Prêmio constante para um 
segurado em particular.
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BENEFÍCIOS E PRÊMIOS
Os produtos atuariais são calculados para um 
grupo grande de pessoas e funciona bem, em 
média. A partir desse princípio, poderemos 
calcular sim um Prêmio constante P que que 
satisfaça nosso Princípio de Equivalência em 
média. Como?
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BENEFÍCIOS E PRÊMIOS
Queremos um Prêmio que satisfaça:
E(Z – Y) = 0
Neste caso, temos 
 Como e
Portanto, usando o Princípio da Equivalência:
E Z −E Y =E 0 ⇔ E Z −E Y =0
E Z =E 100 vK1=100 A x
E Y =E P a¨ K1 |=P a¨ x
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BENEFÍCIOS E PRÊMIOS
Veja que podemos obter o Prêmio utilizando 
apenas o cálculo do seguro de vida utilizando a 
seguinte relação:
então:
0=E Z −E Y =100 A x−P a¨ x⇒ P=100
Ax
a¨ x
a¨ x=
1−Ax
1−v
P=100
1−v A x
1−A x
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BENEFÍCIOS E PRÊMIOS
Exemplo 1: Suponha que um segurado deseja 
comprar um seguro de vida inteiro que paga 
R$ 1,00 e deseja pagar um prêmio nivelado 
enquanto viver. Caso o atuário tenha 
calculado: A65 = 0,4397 para uma taxa de juros 
anual i = 0,05. Qual será o valor do prêmio a 
ser pago anualmente pelo segurado?
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BENEFÍCIOS E PRÊMIOS
Resposta:
Veja que 
utilizando o resultado obtido no slide 18:
Caso o segurado queira que o beneficiário 
receba R$ 100,00 neste seguro de vida 
inteira, então: P = R$ 3,74
v= 1
1i
=0,952381
P=
1−v  Ax
1−Ax
=
1−0,9523810,4397
1−0,4397
=0,037369
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BENEFÍCIOS E PRÊMIOS
Seguindo a linha de procura de um equilíbrio 
entre as obrigações do segurado e do 
segurador defina:
L = (V.P. Dos benefícios) – (V.P. Dos pagamentos dos Prêmios)
Em que L (de loss) é a v.a. que representa a 
perda do segurador. O princípio de 
equivalência pede que E(L) = 0.
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BENEFÍCIOS E PRÊMIOS
O valor do Prêmio que satisfaz este princípio é o 
Prêmio Puro.
Veja que, se existe apenas um único pagamento 
(como estamos trabalhando ao longo do 
curso),então em t = 0
L = (VP dos Benefícios a serem concedidos) - P
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BENEFÍCIOS E PRÊMIOS
Neste caso, considerando que obteremos o 
Prêmio Puro tal que a Esperança da Perda 
seja igual a zero:
E(L) = 0
E(L) = E(VP B. a serem concedidos) – P = 0
P = E(VP Ben. a serem concedidos)
que é o princípio utilizado para cálculo de 
prêmio utilizado até o momento.
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BENEFÍCIOS E PRÊMIOS
Exemplo 2: Suponha um seguro de vida 
temporário por 10 anos que paga C no final do 
ano de morte de (x) = (40) anos se a morte 
ocorrer no período de e10 anos.
Seja P o prêmio periódico anual pago 
antecipadamente enquanto o segurado estiver 
vivo, por não mais que 10 anos.
Determine o Prêmio “não-único” P deste contrato.
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BENEFÍCIOS E PRÊMIOS
Solução: Como dito anteriormente, queremos 
calcular o Prêmio tal que 
E(L) = 0.
Veja que estamos considerando L como uma v.a. 
e, a partir daí, calculando sua esperança 
matemática.
Para calcular a Esperança Matemática desta v.a. 
é necessário reconhecer duas coisas nessa 
v.a., você se lembra quais são?
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BENEFÍCIOS E PRÊMIOS
A lista de valores possíveis e a outra de 
probabilidades associadas.
Como L é a perda da seguradora, veremos 
inicialmente os valores possíveis dos 
benefícios a serem concedidos (compromisso 
do segurador).
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BENEFÍCIOS E PRÊMIOS
E como ficam os valores possíveis dos 
pagamentos realizados pelo segurado? 
(Lembrando que ele poderá falecer antes de 
completar todas as contribuições.)
Z={c v k1 se k=0,1 , ... ,90 se k=10,11,12, ...
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BENEFÍCIOS E PRÊMIOS
Assim, 
Y={P a¨k1 |=P 1vv2...vk  se k=0,1 , ... ,9P a¨ 10 | se k≥10
L={c v k1−P a¨ k1 | se k=0,1 , ... ,9−P a¨ 10 | se k≥10
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BENEFÍCIOS E PRÊMIOS
Vejamos então que os valores possíveis de L 
serão:
L={
c v−P a¨ 1| se k=0
c v2−P a¨ 2| se k=1
c v3−P a¨ 3| se k=2
...
−P a¨ 10| se k≥10
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BENEFÍCIOS E PRÊMIOS
Para calcularmos a Esperança, precisamos 
agora identificar as probabilidades para cada 
caso.
={
P k=0=q40 se k=0
P k=1= p40q41 se k=1
P k=2= 2 p40q42 se k=2
...
P k≥10=10 p40 se k≥10
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BENEFÍCIOS E PRÊMIOS
Esse caminho de cálculo, apesar de legítimo, 
pode não ser a maneira mais eficiente de 
cálculo. 
Para realizar o mesmo cálculo, lembremos do 
Princípio de Equivalência.
L = c(VP do seguro temporário por 10 anos) – P(VP da renda 
temporária por 10 anos)
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BENEFÍCIOS E PRÊMIOS
Chamemos de Z* o VP do seguro temporário 
por 10 anos e Y* o VP da renda 
temporária por 10 anos, então:
L = cZ* - PY*
E(L) = E(cZ* - PY*)
E(L) = cE(Z*) - PE(Y*)
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BENEFÍCIOS E PRÊMIOS
Veja que já calculamos várias vezes a E(Z*) e 
E(Y*) que são, respectivamente, dadas por:
Então:
A1 40 :10 |
a¨ 40 :10|
E L =c A1 40:10 |−P a¨ 40 :10 |
0=c A1 40 :10 |−P a¨ 40 : 10 |⇔ P=
c A1 40:10 |
a¨ 40: 10 |
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BENEFÍCIOS E PRÊMIOS
Exemplo 3: Seja uma pessoa de 40 anos que 
queira comprar um seguro de vida temporário 
por 5 anos. Para isso, o segurado deseja 
pagar durante a vigência do contrato um 
prêmio fixo. Qual o valor do Prêmio a ser pago 
pelo segurado considerando-se a tabela AT-49 
e uma taxa de juros i = 0,05?
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BENEFÍCIOS E PRÊMIOS
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BENEFÍCIOS E PRÊMIOS
Veja que:
então:
a¨ 40 :5|=4,5266
A1 40 :5 |=0,0114
P=
A1 40:5 |
a¨ 40 :5 |
= 0,01144,5266=0,002518
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BENEFÍCIOS E PRÊMIOS
Caso, no exemplo anterior o benefício do seguro 
seja de R$ 5.000,00, então:
P=5.000
A1 40:5 |
a¨ 40:5 |
=5.000 0,01144,5266=5.000∗0,002518=12,59
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BENEFÍCIOS E PRÊMIOS
Exemplo 4. Considere agora, à luz do 
enunciado do exemplo 3, que o mesmo 
segurado queira comprar um seguro de vida 
inteiro e pagar prêmios enquanto estiver vivo 
(começando a pagar o prêmio 
antecipadamente). Qual deverá ser o valor 
deste prêmio?
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BENEFÍCIOS E PRÊMIOS
Veja que, neste caso:
então:
a¨ 40=16,5233
A40=0,2132
P=
A40
a¨ 40
= 0,213216,5233=0,0129
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BENEFÍCIOS E PRÊMIOS
Veja que, no exemplo 3, o período de cobertura do seguro 
é menor que o período de cobertura do seguro no 
exemplo 4. Analisando apenas esse aspecto, o prêmio 
deveria ser maior no exemplo 4 que o prêmio cobrado 
no exemplo 3. No entanto, o período de recebimento de 
prêmio é maior no exemplo 4 (durante toda a vida do 
segurado) que no exemplo 3, o que nos levaria a pensar 
que o prêmio cobrado no exemplo 4 deveria ser menor 
que no exemplo 3. Nesta “briga” de risco em relação ao 
período de recebimento, o prêmio cobrado no exemplo 
4 é aproximadamente 5 vezes maior que o prêmio 
cobrado no exemplo 3.
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BENEFÍCIOS E PRÊMIOS
Exemplo 5: Seja um segurado de 40 anos de 
idade que resolve contratar um seguro de vida 
inteiro que paga R$ 1,00 ao final do ano de 
morte e decide pagar esse seguro em 10 
parcelas iguais, sendo a primeira paga 
imediatamente. Considerando uma tábua de 
vida AT-49 e uma taxa de juros anual de 5%, 
qual deverá ser o valor do Prêmio pago por 
esse segurado?
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BENEFÍCIOS E PRÊMIOS
Solução: Para resolvermos esse exercício 
devemos lembrar do Princípio da Equivalência 
que diz que o compromisso do segurador é 
igual ao compromisso do segurado em um 
determinado tempo t. Ou, de outra forma:
L = (VP das obrigações da seguradora) - (VP das obrigações do 
segurado)
 
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BENEFÍCIOS E PRÊMIOS
Queremos um Prêmio tal que E(L) = 0:
Seja a v.a. Z que representa o compromisso da 
seguradora e Y a v.a. que representa o 
compromisso do segurado. 
Z= vT1 para T≥0
Y={ P a¨ T | se0T≤10P a¨ 10| se T10
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BENEFÍCIOS E PRÊMIOS
0=E L=E vT1−P a¨ T |=E v
T1−P E a¨ T |
0=A40−P a¨ 40:10 |⇔ P=
A40
a¨ 40: 10 |
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BENEFÍCIOS E PRÊMIOS
O exercício se resume ao cálculo de uma 
anuidade e de um seguro de vida inteiro.
Sabemos calcular os dois:
A40=0,2132
a¨ x : 40|=8,01582
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BENEFÍCIOS E PRÊMIOS
Exemplo 6: Uma pessoa de 20 anos decide 
contratar uma aposentadoria vitalícia que 
pagará R$ 1,00 ao ano até que este segurado 
faleça. Ele se aposentará caso chegue vivo à 
idade de 60 anos. Esse segurado decide pagar 
um prêmio nivelado enquanto estiver ativo. 
Considerando a tábua de mortalidade AT-49 e a 
taxa de juros de 5% ao ano, qual será o valor do 
Prêmio a ser pago pelo segurado?
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BENEFÍCIOS E PRÊMIOS
Solução: Novamente, vamos calcular o prêmio 
P tal que a esperança de L seja zero. Então:
L = Z – Y
em que:
 
Z={a¨ T | seT400 c.c. Y={ P a¨ T | se 0T40P a¨ 40| se T≥40
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BENEFÍCIOS E PRÊMIOS
0=E L=E vT1−P a¨ T |=E v
T1−P E a¨ T |
0= 40| a¨ 20−P a¨ 20: 40 |
P= 40|
a¨ 20
a¨ 20: 40 |
=1,42847,2794=0,19622
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BENEFÍCIOS E PRÊMIOS
Caso o segurado tenha interesse de receber R$ 
25.000,00 ao ano, então:
P=25.000 40|
a¨ 20
a¨ 20: 40 |
=25.000 1,42847,2794=4.905,52
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BENEFÍCIOS E PRÊMIOS
Exemplo 7: Suponhamos que o salário do 
segurado no exemplo anterior seja insuficiente 
para pagar os prêmios durante o período em 
que ele está em idade ativa. O segurado 
pergunta ao atuário se é possível pagar um 
prêmio anual nivelado durante toda a sua vida 
(inclusive enquanto aposentado). Qual deveria 
ser o prêmio pago pelo segurado neste caso?
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BENEFÍCIOS E PRÊMIOS
Solução: Veja que, neste caso, o que o segurado 
está fazendo será diminuir o benefício que irá 
receber. De fato, o segurado irá receber um 
benefício como no exemplo 6, porém parte 
deste benefício estará comprometido para 
pagamento do prêmio. 
Como anteriormente, queremos um Prêmio tal 
que E(L) = 0. Então:
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BENEFÍCIOS E PRÊMIOS
L = Z – Y
em que:
Z={a¨ T | seT400 c.c. Y={
P a¨ T | seT≥0
0 c.c.
0=E L=E  a¨ T |−P a¨ T |=E a¨ T |−P E  a¨ T |
0= 40| a¨ 20−P a¨ 20
P= 40|
a¨ 20
a¨ 20
= 1,428419,0953=0,0748
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BENEFÍCIOS E PRÊMIOS
Novamente, caso o segurado tenha interesse em 
receber R$ 25.000 ao ano, então:
Veja que o segurado poderá pagar R$ 1.870,10 
ao ano (e não R$ 4.905,52 para o caso em que 
o prêmio é pago enquanto ativo) 
P=25.000 40 |
a¨ 20
a¨ 20
=25.000 1,428419,0953=1.870,10
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BENEFÍCIOS E PRÊMIOS
Todos os exemplo apresentados até aqui 
seguem uma estrutura bem definida que é 
encontrar o prêmio tal que E(L) = 0, ou seja, 
que respeite o Princípio da Equivalência (em 
média).
O exemplo a seguir apresentará uma estrutura 
mais complexa de benefício, porém o princípio 
de cálculo será o mesmo.
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BENEFÍCIOS E PRÊMIOS
Exemplo 8: Um segurado adquire um seguro 
dotal misto que funciona da seguinte forma: 
Caso o segurado sobreviva ao período de n 
anos, então a seguradora irá pagar 1 u.m.. 
Caso o segurado faleça neste período, a 
seguradora irá pagar 85% dos prêmios pagos 
pelo segurado (sem capitalização) ao final do 
ano de morte. Os prêmios serão pagos 
antecipadamente durante os n anos de vigência 
do seguro.
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BENEFÍCIOS E PRÊMIOS
 Qual deverá ser o prêmio pago pelo segurado 
considerando que ele tem hoje 50 anos, 
podemos modelar seu tempo de vida adicional 
por uma AT-49 e a seguradora se compromete a 
pagar uma taxa de juros anual de 5%?
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BENEFÍCIOS E PRÊMIOS
Solução: Como dito anteriormente, queremos 
um prêmio P tal que E(L) = 0,
É fácil identificar o compromisso do segurado 
expresso pela v.a. Y dada por:
Y={P a¨ T | se 0TnP a¨ n | seT≥n
E Y =P a¨ 50 :n |=P∑
j=0
n−1
v j j p50
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BENEFÍCIOS E PRÊMIOS
Mas qual será o compromisso da seguradora? 
Vejamos:
Caso o segurado faleça em:
t = 0, então: 
t = 1, então:
t = 2, então:
…
t = n-1, então: 
0,85∗P∗v
0,85∗2P∗v2
0,85∗3P∗v3
0,85∗nP∗vn
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BENEFÍCIOS E PRÊMIOS
Se t for maior ou igual a n, então é pago ao 
segurado a quantia de 1 u.m. trazida a valor 
presente. Podemos escrever a v.a. Z como:
Z={0,85t1P vn1 se t=0,1,2,... , n−1v n se t≥n
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BENEFÍCIOS E PRÊMIOS
Usando a relação: L = Z – Y, como queremos 
um prêmio tal que E(L) = 0, então:
E(L) = E(Z – Y) = 0
E Y =P a¨ 50:n |
E Z =0,85P∑
t=0
n−1
t1vt1 P T=t vn n p50
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BENEFÍCIOS E PRÊMIOS
Considere i = 0,05 e n = 15, então:
E Y =10,87021 P
E Z =0,9134729 P0,4564183
0=E L =E Z −E Y =0,9135 P0,4564−10,8702 P
P=0,45649,9567=0,0458
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BENEFÍCIOS E PRÊMIOS
Exercício: Refaça as contas supondo que a 
seguradora devolve 75% do total de prêmios 
pagos, mas com capitalização com i = 3%. Ou 
seja, essa taxa de 3% é utilizada apenas para 
pagamento de benefício e como remuneração 
do capital (que continua sendo 5%).
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BENEFÍCIOS E PRÊMIOS
Em todos os exemplos que trabalhamos até 
agora, calculamos o Prêmio tal que E(L) = 0. 
O que era feito de forma semelhante para o 
caso do Prêmio Puro Único. Estávamos 
procurando um prêmio que, em média, será 
suficiente para que a seguradora pague suas 
despesas.
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BENEFÍCIOS E PRÊMIOS
Podemos, no entanto, calcular o prêmio de uma 
forma alternativa (semelhante ao que fizemos 
para o Prêmio Puro Único) de tal forma que:
ou, de forma semelhante,
P L0=0,1
P L≤0=0,9
65
BENEFÍCIOS E PRÊMIOS
Para exemplificar, imagine um seguro de vida 
inteira que paga c no fim do ano de morte. 
Esse seguro foi contratado por uma pessoa de 
40 anos que se compromete a pagar um 
prêmio P até seu falecimento. Veja que:
L=c vT1−P 1−v
T1
1−v
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BENEFÍCIOS E PRÊMIOS
Assim, 
0,10=P L0=P c vT1P 1−v
T1
1−v 
=P vT1 P
Pc 1−v 
=P T
log  PPc 1−v  
logv
−1
0,10=P Tg P 
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BENEFÍCIOS E PRÊMIOS
Para calcular o prêmio precisamos da 
distribuição de T e do benefício c que será 
concedido além da taxa de juros.
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BENEFÍCIOS E PRÊMIOS
A teoria até agora nos levou ao cálculo do Prêmio 
nivelado a ser pago pelo segurado uma vez 
escolhido o valor do benefício.
Pensemos agora na seguinte situação:
Um segurado procura um fundo de pensão e sabe 
quanto ele, o segurado, poderá depositar no fundo 
de pensão anualmente para adquirir uma anuidade 
em sua aposentadoria (digamos, daqui a n anos). 
Este segurado gostaria de saber qual o benefício 
ele receberá ser fizer os depósitos durante sua vida 
ativa.
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BENEFÍCIOS E PRÊMIOS
Neste caso, conhecemos o valor do Prêmio 
nivelado, porém, não conhecemos o valor do 
benefício a ser pago.
Qual o caminho deveria ser tomado para 
definição do valor do benefício a ser pago?
70
BENEFÍCIOS E PRÊMIOS
Agora, neste caso, não estamos querendo 
calcular o prêmio que, em média seja o 
suficiente para pagamento de sinistros. Na 
verdade já conhecemos o prêmio e queremos 
calcular o benefício tal que, em média, a 
seguradora não tenha nem ganho nem perda 
financeira. Então: 
71
BENEFÍCIOS E PRÊMIOS
L = Z – Y
em que:
lembre que, neste caso, o valor de P é 
conhecido.
Z={B a¨ T | seTn0 c.c. Y={P a¨ T | se 0TnP a¨ n | c.c.
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BENEFÍCIOS E PRÊMIOS
Então:
0=E L=E Z−Y =B n | a¨ x−P a¨ x :n |
B=
P a¨ x :n |
n | a¨ x
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BENEFÍCIOS E PRÊMIOS
Exemplo 9: Um segurado de 40 anos quer 
comprar um seguro de vida temporário por 5 
anos. Para isso, o segurado se propõe a pagar 
um prêmio de R$ 0,002518 em 5 parcelas 
começando imediatamente. Considerando-se a 
tábua AT-49 e uma taxa de juros de 5% ao ano, 
qual deveria ser o benefício deste seguro 
considerando-se que recebe o benefício ao final 
do ano de morte?
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BENEFÍCIOS E PRÊMIOS
Solução: Vamos utilizar a relação:
L = Z – Y
O que queremos calcular é o benefício de tal 
forma que E(L) = 0.
Reconheça
Z={B vT1 se 0≤T50 T≥5 Y={0,002518 a¨ T | se 0≤T50,002518 a¨ 5| T≥5
75
BENEFÍCIOS E PRÊMIOS
como: 
então: 
0=E L=E Z−Y =B Ax :5 |−0,002518 a¨ x :5 |
B=
0,002518 a¨ x :5 |
Ax : 5 |
a¨ 40 :5|=4,5266
A1 40 :5 |=0,0114
B= 0,002518∗4,5266
0,0114
=0.9998≈1
76
BENEFÍCIOS E PRÊMIOS
Esse exemplo foi inspirado no exemplo 3 onde o 
benefício é realmente igual a 1. Logo, o 
resultado está de acordo com o esperado.
Ainda inspirado nos exemplos anteriores, qual 
deverá ser o Benefício caso o segurado pague 
um prêmio de R$ 12,59? (e não o valor de R$ 
0,002518 como no exemplo anterior).
77
BENEFÍCIOS E PRÊMIOS
Neste caso,
No exemplo 3 o benefício era de R$ 5.000,00
B= 12,56∗4,5266
0,0114
=4.987,20
78
BENEFÍCIOS E PRÊMIOS
Exemplo 10: Um segurado deseja comprar um 
seguro de vida inteiro e pagar um prêmio de 
R$ 0,0129 anualmente enquanto estiver vivo. 
Qual deverá ser o Benefício concedido a este 
segurado de forma que, em média, a 
seguradora consiga honrar com seus 
compromissos?
79
BENEFÍCIOS E PRÊMIOS
Solução: Utilizando novamente a relação 
 L = Z – Y
temos:
Z=B vT1 , para T0
Y=0,0129 a¨ T | , para T0
80
BENEFÍCIOS E PRÊMIOS
Novamente:
onde 
0=E L=E Z−Y =B Ax−0,0129 a¨ x
B=
0,0129 a¨ x
Ax
a¨ 40=16,5233
A40=0,2132
81
BENEFÍCIOS E PRÊMIOS
então:
que, novamente, era o resultado esperado (vide 
exemplo 4).
B= 0,0129∗16,5233
0,2132
=0.9997682≈1
82
BENEFÍCIOS E PRÊMIOS
Caso contínuo:
Até agora, estamos trabalhando com exemplos 
de produtos atuariais reconhecendo como T o 
tempo de vida adicional de um segurado uma 
v.a. discreta. Para o caso em que T é 
reconhecida como uma v.a. contínua, pouco 
muda.
83
BENEFÍCIOS E PRÊMIOS
Para estudarmos o caso contínuo, vamos voltar 
na teoria. Agora, como no início, vamos 
estabelecer um benefício e tentar calcular o 
prêmio a ser pago pelo segurado. Note que, 
para T v.a. contínua, a série de pegamentos 
realizadas pelo segurado será uma série 
contínua de pagamentos ao longo do tempo.
84
BENEFÍCIOS E PRÊMIOS
Para ilustrar, pensemos no caso de um 
segurado que deseja comprar um seguro de 
vida inteira que paga R$ 1,00 ao beneficiário 
caso o segurado faleça. Para isso, o segurado 
irá pagar continuamente um prêmio P até o 
momento de sua morte. Qual seria o valor de 
P?
85
BENEFÍCIOS E PRÊMIOS
Assim como no caso discreto, queremos um 
prêmio P tal que E(L) = 0.
Escrevendo L como 
L = Z – Y
onde
Z=vT , para T0
Y=P a T | , para T0
86
BENEFÍCIOS E PRÊMIOS
Logo,
que tem uma forma semelhante ao caso 
discreto.
0=E L=E Z−Y =B Ax−P a x
P=
Ax
a x
87
BENEFÍCIOS E PRÊMIOS
Exemplo 11: Considere uma pessoa de idade 
30 que decide fazer um seguro de vida 
temporário no período de 20 anos que paga 
R$ 1,00 no momento de morte do segurado. 
Admita que o tempo de vida adicional (T) 
desta pessoa pode ser (bem) modelada pela 
distribuição Uniforme de parâmetros 0 e 70, 
ou seja:
T ~ U(0, 70)
88
BENEFÍCIOS E PRÊMIOS
Suponha que i = 5% a.a., calcule o Prêmio P 
anual que deverá ser pago pelo segurado.
89
BENEFÍCIOS E PRÊMIOS
Solução: Sabemos dos slides de seguro de 
vida que:
sabemos também que 
Usando a relação:
temos que 
A 30=0,1825
= log 1i ⇔ = log 1.05 ≈0,04879
1=a xA x
a 30=
1−A 30

90
BENEFÍCIOS E PRÊMIOS
o que nos leva a:
Logo, o prêmio anual P será de:
a 30=
1−0,1825
0,04879
=16,75548P=
Ax
a x
= 0,1825
16,75548
=0,01089196≈0,0109
91
BENEFÍCIOS E PRÊMIOS
O raciocínio é semelhante quando temos a 
informação do prêmio a ser pago anualmente e 
desejamos calcular o benefício.
Como exercício, refaça o exemplo 11 
considerando-se que o segurado irá pagar um 
prêmio anual de R$ 0,0109 e deseja saber qual 
o benefício que poderá receber com esse nível 
de depósito. (Você já sabe a resposta, correto?)
92
BENEFÍCIOS E PRÊMIOS
A teoria apresentada considerou o cálculo de 
prêmios nivelados para composição de uma 
quantia que será utilizada para pagamento de 
benefício.
E se o usuário não desejar pagar um único valor 
de prêmio?
93
BENEFÍCIOS E PRÊMIOS
Para exemplificar, pensemos no caso em que um 
segurado que deseja contratar um seguro de 
vida inteiro. Para isso, ele pagará, durante 10 
anos prêmios de tal forma que: nos primeiros 5 
anos ele pagará um prêmio P1 (conhecido) e, 
nos últimos anos, pagará um prêmio P2 (valor 
que o segurado desconhece). Como 
poderíamos calcular o P2 tal que o benefício 
contratado seja garantido? (em média)
94
BENEFÍCIOS E PRÊMIOS
Solução: O que queremos é um prêmio que 
faça com que, em média, a seguradora tenha 
condições de honrar com seus compromissos, 
ou seja, 
E(L) = 0.
95
BENEFÍCIOS E PRÊMIOS
Z=vT , para T0
Y= { P1 a¨ T | se 0T5P1 a¨ 5|P 2 a¨ T | 5≤T10P1 a¨ 5|P 2 a¨ 5| T≥10
96
BENEFÍCIOS E PRÊMIOS
Neste caso, o próprio atuário poderá sugerir os 
valores de P1 e P2. Veja que o usuário poderá 
ter um poder de compra maior após um 
período mais longo dentro de uma empresa.
97
BENEFÍCIOS E PRÊMIOS
Pensemos num segurado de 40 anos que 
deseja comprar um seguro de vida inteiro. 
Para isso, ele irá pagar prêmios durante 5 
anos da seguinte forma: Um prêmio P1 
imediatamente e em mais 2 parcelas. E 
pagará adicionalmente mais duas parcelas de 
valor P2.
Para uma taxa de juros de 5% ao ano e:
98
BENEFÍCIOS E PRÊMIOS
Considerando as probabilidades de morte (AT-49):
q40 = 0,00203
q41 = 0,00222
q42 = 0,00248
q43 = 0,00280
q44 = 0,00319
q45 = 0,00363
99
BENEFÍCIOS E PRÊMIOS
Obtenha valores de P1 e P2 que satisfaça: E(L) = 
0
Resolução no quadro:
Lembre que A40=0,2132
100
BENEFÍCIOS E PRÊMIOS
No exemplo anterior, caso o interesse seja 
calcular o benefício a partir dos prêmios 
calculados, como faríamos?
(Exercício)
101
Referências
Foi utilizado como importante material de apoio 
as notas de aula do prof. Renato Assunção
(site:http://homepages.dcc.ufmg.br/~assuncao/)
além dos livros indicados no plano de ensino.
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