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Matem´atica Discreta
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1 ogica e Prova
1.1 Intro du¸ao a ogica e Tab ela Verdade
1. {0,25 pt}Dˆe um exemplo de uma senten¸ca que ´e uma prop osi¸ao e justifique
p orque ela ´e uma prop osi¸ao.
Resp osta: “Jo˜ao gosta de futeb ol” ´e uma prop osi¸ao p orque p o de ser ver-
dadeiro ou falso, mas ao a mb os.
2. {0,25 pt}Dˆe um exemplo de uma senten¸ca que ao ´e uma prop osi¸ao e justi-
fique p orque ela ao ´e uma prop osi¸ao.
Resp osta: “Fca to dos as quest ˜oes da prova” ao ´e uma prop osi¸ao p orque
ao ´e nem verdadeiro nem falso.
3. {0,5pt}Fca a tab ela verdade de (p→ ¬q)(q∨ ¬p).
Resp osta:
p q ¬q(p→ ¬q)¬p(q∨ ¬p) (p→ ¬q)(q∨ ¬p)
F F T T T T T
F T F T T T T
T F T T F F F
T T F F F T T
4. {0,4pt}Prove por tab ela verdade que ¬((q(qp) ) ∨ ¬q)F.
Resp osta:
p q q p q (qp)¬q(q(qp)) ∨ ¬q¬((q(qp)) ∨ ¬q)
F F F F T T F
F T T T F T F
T F T F T T F
T T T T F T F
5. {0,7pt}Prove p or tab ela verdade que (( pq)(pr)) (p(qr)).
Resp osta:
Seja LE (lado esquerdo) = (pq)(pr) e

LD (lado direito) = p(qr).
p q r p q p r LE q r LD LE LD
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T T F T F F F F T
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Resp osta 1: Como a 9a coluna ´e uma tautologia, ((pq)(pr))
(p(qr)).
Resp osta 2: Como a coluna LD e LE tˆem os mesmos valores a cada linh a,
((pq)(pr)) (p(qr)).
6. {0,7pt}Prove p or tab ela verdade que ((pq)(pr)) ≡ ¬(p→ ¬(qr)).
Resp osta:
p q r p q p r(pq)(qr)qr¬(qr)p→ ¬(qr)¬(p→ ¬(qr))
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Como as colunas 6 e 10 tˆem o mesmo comp ortamento linha a linha, as ex-
press˜oes ((pq)(pr)) e ¬(p→ ¬(qr)) s˜ao logicamente equivalentes.
7. {0,7pt}Prove p or tab ela verdade que ((pr)(qr)) ((pq)r).
Resp osta:
p q r p r q r(pr)(qr) (pq) (pq)r
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Como as colunas 6 e 8 tˆem o mesmo comp ortamento linha a linha, as express˜oes
((pr)(qr)) e ((pq)r) s˜ao logicamente equiva lentes.
8. {0,7pt}Prove p or tab ela verdade que
( ( p((q∨ ¬¬¬q)q) ) (¬pq) ) q.

Resp osta: Sejam
A=q∨ ¬¬¬q
B= (q∨ ¬¬¬q)q
C=p((q∨ ¬¬¬q)q)
D=¬p
E=¬pq
F= ( p((q∨ ¬¬¬q)q) ) (¬pq)
p q ¬q¬¬q¬¬¬q A B C D E F
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Como as colunas 2 e 11 tˆem o mesmo comp ortamento linha a linha, as ex-
press˜oes s˜ao logicamente equivalentes.
9. {0,7pt}Prove p or tab ela verdade que
( ((ss)∨ ¬q)(((¬q→ ¬q)∧ ¬q)s) ) (qs)
Resp osta:
q s s s¬q(ss)¬q→ ¬q(¬q→ ¬q) ((¬q→ ¬q) ((ss)∨ ¬q)qs
∨¬q∧¬q∧¬q)s(((¬q→ ¬q)∧ ¬q)s)
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Como as colunas 9 e 10 tˆem o mesmo comp ortamento linha a linha, as ex-
press˜oes s˜ao logicamente equivalentes.
10. {0,3pt}Traduza para uma f´ormula da l´ogica prop osicional: Se chove e molha,
enao ou vou `a praia ou n˜ao molha (mas n˜ao amb os).
Resp osta:
p= chove
q= molha
r= vou `a praia
Tradu¸ao: pqr⊕ ¬q
11. {0,5pt}Fca a tab ela verdade da sua tradu¸ao do Quesito 10.
Resp osta:
p q r p q¬q r ⊕ ¬q p qr⊕ ¬q
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