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Capitulo IV

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Capitulo IV
Estatística Quântica
Cap. 13
Alonso & Finn - Volumen III
Intro Mec Est – Mário E G Valerio – 2010/2
Introdução
• Na 1ª parte do curso, tratamos de sistemas formados por
partículas “clássicas”, considerando que elas eram
idênticas e indistinguíveis mas sem qualquer exigências de
simetria em relação a distribuição das partículas nos
diferentes estados.
• No entanto, no domínio quântico, as partículas devem
obedecer certas condições de acordo com o spin das
partículas.
– Partículas de spin semi-inteiro, chamadas de Fermions, tem que
obedecer o Princípio de exclusão de Pauli. Um sistema composto
de vários fermions idênticos tem função de onda antisimétricas em
relação a troca de duas partículas. Este tipo de sistema obedece a
Estatística de Fermi-Dirac.
– Partículas com spin inteiro, chamadas de Bósons, não precisam
obedecer o Princípio de exclusão e seguem a Estatística de Bose-
Einstein.
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Intro Mec Est – Mário E G Valerio – 2010/2
Lei de Distribuição de Fermi-Dirac
• Conjunto de N férmions:
– Partículas idênticas,
– Indistinguíveis,
– Devem obedecer o princípio de exclusão.
• Não pode haver duas partículas no mesmo estado
dinâmico (com o mesmo conjunto de números
quânticos)
• A função de onda do sistema completo deve ser anti-
simétrica.
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Intro Mec Est – Mário E G Valerio – 2010/2
• Se duas partículas não podem estar no mesmo estado
quântico, a única forma de ter ni partículas com energia Ei, é
se o estado Ei for degenerado:
– Cada estado do sistema é indexado por um conjunto de números
quânticos mas a energia depende somente de alguns deles.
– Ex1: partícula num campo central:
• a energia depende de n e l, e um estado genérico qquer do sistema dependerá de
pelo menos 3 números quânticos: n, l e ml.
• Cada valor de energia do sistema esta associado a (2l +1) estado com ml diferentes.
– Ex2: átomo hidrogenóide
• A energia depende somente de n, em primeira aproximação.
• Para cada En, haverão n-1 estados com l diferentes, para cada conjunto n,l haverão
2l+1 estados e para cada conjunto n, l e ml haverão dois estados com ms= ½
• Então:
– degenerescência probabilidade intrínseca gi.
– ni ≤ gi
– Probabilidade intrínseca gi esta associada com o número máximo de
férmions que podemos acomodar em cada estado de energia Ei.
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Intro Mec Est – Mário E G Valerio – 2010/2
• Como é possível acomodar ni partículas em gi
estados todos com a mesma energia Ei?
– Forma 1:
• Combinação de gi elementos tomados ni a ni.
– Forma 2:
• Teremos gi formas diferentes de colocar a 1ª partícula, (gi-1) de
colocar a 2ª, (gi-2) de colocar a 3ª ... (gi-ni+1) de colocar a última.
• O número total de formas de colocar as ni em gi estados é então:
• Considerando agora que as partículas são indistinguíveis e que
tanto faz por qual delas começamos a preencher os níveis, temos:
i i
i i i i
g g !
n n ! g -n !
i
i i i i i
i i
g
g g 1 g 2 g n 1
g n
!
!

i
i i i
g
n g n
!
! !
5
Intro Mec Est – Mário E G Valerio – 2010/2
• O número total de formas de obter uma
determinada partição, ou seja, de arranjar n1,
n2, n3, ...partículas com energias E1, E2, E3,
... é dado por:
• Precisamos agora achar a máximo de P, ou
o máximo de lnP, que é mais conveniente.
Usaremos a mesma idéia da dedução de lei
de distribuição de Maxwell-Boltzmann.
31 2
1 2 3
1 1 1 2 2 2 3 3 3
i
i i i
gg g
P n ,n ,n ,
n g n n g n n g n
g
n g ni
!! !
! ! ! ! ! !
!
! !
   
6
Intro Mec Est – Mário E G Valerio – 2010/2
i
i
i
P P=
P=
P=
i
ln ln
ln ln ln ln
ln ln ln ln
i i
1 2 3
i i i i i i
i i i i i i i i i i i i
i i i i i i i i
g ! g !
n ,n ,n ,
n ! g - n ! n ! g - n !
g g g n n n g - n g - n g - n
g g n n g - n g - n

i ii i
i i i ii i
Eq. de vínculo: n dn 0
n E E dn 0
N
U
i
i
i i ii i
i
i i
i
i
E
E
d dn E dn 0
E dn 0
E 0
1
ln ln ln
ln ln
ln ln
e
e
i i i i i i i i
i i i
i i i
i i
i
i i
g g n n g n g n
n g n
n g n
n g
n
g - n
Stirling
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Intro Mec Est – Mário E G Valerio – 2010/2
• O parâmetro α é obtido da condição de conservação do
número de partículas e para a grande maioria dos casos
α<0.
• Definindo uma nova grandeza, εF, chamada de energia de
Fermi:
• Obteremos então para a Lei de Distribuição de Fermi-Dirac:
1Tk
T
F
k
Ei F
1Te k
i
i
g
n
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Intro Mec Est – Mário E G Valerio – 2010/2
• Na distribuição de Fermi-Dirac em T=0, todos os estados
abaixo de εF são preenchidos totalmente e os estados
acima da energia de Fermi estão vazios.
– Efeito do princípio de Exclusão !!!!
• Na distribuição de Boltzmann, em T=0 todas as partículas
ocupavam o estado de menor energia possível !!!!
• A εF é uma medida da energia máxima dos Férmions em
um sistema.
• A temperatura ΘF na qual kΘF=εF é chamada de
Temperatura de Fermi.
Ei F
1Te k
i
i
g
n
Ei F i F
i F
0 para E 0
para E 0
Te k
T 0
lim
i F
i F
para E 0
0 para E 0
i
i
T 0
g
nlim
E/εF
F
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Intro Mec Est – Mário E G Valerio – 2010/2
Gás de Elétrons
• O sistema de férmions mais
importante são os elétrons
em um metal.
• Qdo elétrons são colocados
em um “arranjo periódico de
potenciais Coulombianos”
(modelo para um sólido
cristalino!), os níveis de
energia disponíveis para os
elétrons são formados por
bandas de energia,
intercaladas por „regiões
proibidas‟ onde nenhum
estado é possível
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Intro Mec Est – Mário E G Valerio – 2010/2
Conceitos Básicos para Semicondutores, Jacobus W. Swart
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Intro Mec Est – Mário E G Valerio – 2010/2
• As bandas de energia mais inferiores estão
cheias de elétrons e permanecem cheias em
praticamente qualquer temperatura.
• Por outro lado os elétrons que estão na banda
superior, na banda de condução, são “elétrons
livres”, mais fracamente ligados aos núcleos dos
átomos metálicos e estes podem mudar
continuamente de estados de energia.
• A grande maioria das propriedades elétricas e
térmicas dos metais são devidas aos elétrons na
banda de condução.
• Nos preocuparemos apenas com estes elétrons!
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Intro Mec Est – Mário E G Valerio – 2010/2
• Adotaremos o „nível zero‟ de energia na borda inferior da
banda de condução.
• Vamos supor ainda que os elétrons nesta banda de
condução se comportam como „partículas numa caixa
3D‟.
• Como o espectro de energia na banda de condução é
praticamente contínuo, vamos trocar:
• Devemos também escrever ao invés de ni, a fração dn
de elétrons entre a energia E e E+dE:
i
g g E dE
E F
1Te k
g E dE
dn
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• Podemos usar o g(E) calculado para as
„partículas numa caixa‟ do 1º capítulo
lembrando de multiplicar por 2, já que para
cada estado E podemos ter dois elétrons
com spins ½.
• Então:
1
2
3
3
8πV 2m
g(E)dE E dE
h
1
1
2
E-εF
kT
3
3
8πV 2mdn E
dE h e +
dn
dE
E
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Intro Mec Est – Mário E G Valerio – 2010/2
Fermi Energies, Fermi Temperatures, and Fermi Velocities 
Element 
Fermi Energy 
eV 
Fermi Temperature 
x 10
4
 K 
Fermi Velocity 
x 10
6
 m/s 
Li 4.74 5.51 1.29 
Na 3.24 3.77 1.07 
K 2.12 2.46 0.86 
Rb 1.85 2.15 0.81 
Cs 1.59 1.84 0.75 
Cu 7.00 8.16 1.57 
Ag 5.49 6.38 1.39 
Au 5.53 6.42 1.40 
Be 14.3 16.6 2.25 
Mg 7.08 8.23 1.58 
Ca 4.69 5.44 1.28 
Sr 3.93 4.57 1.18 
Ba 3.64 4.23 1.13 
Nb 5.32 6.18 1.37 
Fe 11.1 13.0 1.98 
Mn 10.9 12.7 1.96 
Zn 9.47 11.0 1.83 
Cd 7.47 8.68 1.62 
Hg 7.13 8.29 1.58 
Al 11.7 13.6 2.03 
Ga 10.4 12.1 1.92 
 
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Intro Mec Est – Mário