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Capitulo IV

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dividir ainda
por (gi -1)!
–O número total então de formas possíveis de arranjar ni bósons em gi
estados é:
i i
i i
n +g 1
n g 1
!
! ! 29
Intro Mec Est – Mário E G Valerio – 2010/2
• O número total de formas de obter uma
determinada partição, ou seja, de arranjar n1,
n2, n3, ...bósons com energias E1, E2, E3, ... é
dado por:
• Precisamos agora achar a máximo de P, ou
o máximo de lnP, que é mais conveniente.
Usaremos a mesma idéia da dedução de lei
de distribuição de Maxwell-Boltzmann.
i i
1 2 3
i i
n +g 1
P n ,n ,n ,
n g 1i
!
! !

30
Intro Mec Est – Mário E G Valerio – 2010/2
1 2 3
i
i
i
P n ,n ,n , P=
P=
P=
i
ln ln
ln ln ln ln
ln ln ln ln
i i i i
i i i i
i i i i i i i i i i i i
i i i i i i i i
n +g -1 ! n +g -1 !
n ! g -1 ! n ! g -1 !
n +g -1 n +g -1 n +g -1 n n n g -1 g -1 g -1
n +g -1 n +g -1 n n g -1 g -1

i ii i
i i i ii i
Eq. de vínculo: n dn 0
n E E dn 0
N
U
i
i
i i ii i
i
i i
i
i i
E
E
d dn E dn 0
E dn 0
E 0 E
Como 1
1
ln ln ln
ln ln
ln ln ln ln
:
e
e
i i i i i i i i
i i i
i i i i i i
i i
i i i
i
i
n + g -1 n + g -1 n n g -1 g -1
n + g -1 n
n + g -1 n n + g -1 n
n + g
n + g g
n
n
31
Intro Mec Est – Mário E G Valerio – 2010/2
• O parâmetro α é obtido da condição de
conservação do número de partículas.
• No caso da distribuição de Bose-Einstein este
parâmetro não tem significado especial
• Como o número de partículas com uma dada
energia é sempre um número positivo, α>0.
• A forma final para a Lei de Distribuição de Bose-
Einstein:
1Tk
iE
kT 1e
i
i
g
n
32
Intro Mec Est – Mário E G Valerio – 2010/2
Gás de Fótons
• Exemplo de aplicação da estatística de Bose-Einstein:
radiação eletromagnética emitida por uma cavidade em
equilíbrio térmico.
– Radiação de corpo negro
• Os átomos das paredes da cavidade emitem e reabsorvem
radiação continuamente até que a taxa de emissão iguale a
taxa de absorção e o sistema entra em equilíbrio.
• O espectro da radiação emitida no equilíbrio é bem definido
e depende da temperatura da cavidade, para uma dada
geometria de cavidade.
– O espectro é independente do material do qual é feita a cavidade !!!!
• Vamos tratar a emissão da radiação da cavidade com um
problema de equilíbrio de um sistema de fótons, ou um „gás
de fótons‟.
– Os fótons não interagem entre si, somente com as paredes da
cavidade
– Obedecem a lei de distribuição de Bose-Eisntein
33
Intro Mec Est – Mário E G Valerio – 2010/2
• Neste caso porem, o número total de fótons no gás
não se conserva já que as paredes da cavidade
estão continuamente absorvendo e emitindo fótons,
e estas taxas dependem da temperatura.
• Para contornar este problema, basta
desconsiderarmos a equação de vinculo Σdni=0,
que na prática significa fazer o multiplicador de
Lagrange α=0 !
• A lei de distribuição então que devemos usar é:
iE
kT 1e
i
i
g
n
34
Intro Mec Est – Mário E G Valerio – 2010/2
• Devemos lembrar também, que o espectro de
energia dos fótons em uma cavidade de volume V a
temperatura T é praticamente um contínuo. De
forma que teremos que substituir:
• E a lei de distribuição fica então:
• Onde dn representa a fração de fótons com energia
entre E e E+dE.
i i
n dn e g g E dE
1
E
Te k
g E dE
dn
35
Intro Mec Est – Mário E G Valerio – 2010/2
• Lembrando que a energia do fótons é E=hν
• Escreveremos a lei de distribuição em função da
freqüência da luz fazendo:
• A função g(ν) já foi obtida qdo estudamos Radiação
de corpo negro e vale:
• Então a lei de distribuição para os fótons em uma
cavidade de volume V e temperatura T vale:
g E dE g d
2
3
8 V
g ν dν= dν
c
2 2
1 1e e
hν hν
kT kT
3 3
8 V dν dn 8 V
dn
c dν c
36
Intro Mec Est – Mário E G Valerio – 2010/2
• A energia total do feixe de fótons que emerge
da cavidade é função da freqüência da luz e
é dada por n(ν) x hν.
• A densidade de energia por unidade de
freqüência da luz e por volume da cavidade é
dada então por:
• E esta é a famosa equação de Planck usada
para explicar a radiação de corpo negro.
3
1e
hν
kT
3
h dn
V dν
8 h
c
E
E
37
Intro Mec Est – Mário E G Valerio – 2010/2
• Princípio de funcionamento dos lasers.
• Consideremos átomos com dois estados de
energia E1<E2.
• Em uma determinada temperatura teremos
N1 átomos no estado E1 e N2 átomos no
estado E2.
• Qdo os átomos decaem de E2 para E1,
emitem fóton de freqüência tal que hν= E2-E1
• Isto cria um „gás de fótons‟ juntamente com
a população de átomos.
• Por outro lado a existência de radiação pode
induzir a excitação de E1 para E2 com
absorção de fótons.
Transições radiativas induzidas e espontâneas
E2
E1
hν
38
Intro Mec Est – Mário E G Valerio – 2010/2
• A probabilidade de transição espontânea que gera
a emissão vamos chamar de A21.
• A transição de E1 para E2 induzida pelo campo de
radiação deve ser proporcional a densidade de
energia da radiação.
– Vamos considerar 1ª aproximação que a probabilidade
é diretamente proporcional a densidade de energia da
radiação, dada por B12E(ν)
• A radiação também interage com os átomos que
estão no estado E2 e podem induzir transições
induzidas de E2 para E1, que terão probabilidade
dada por B21E(ν). E2
E1
A21 B12E(ν)
39
+B21E(ν)
Intro Mec Est – Mário E G Valerio – 2010/2
• Se num dado instante existem N2 átomos no
estado 2, o número de átomos que sofrem a
transição do nível 2 para o nível 1 é dada
por:
• e o número de átomos por unidade de tempo
que passa do estado 1 para o 2 é:
E2
E1
A21+ B21E(ν) B12E(ν)
N2
N1
[A21+ B21E(ν)]N2
[B12E(ν)]N1
40
Intro Mec Est – Mário E G Valerio – 2010/2
• Então a variação do número de átomos no
estado excitado 2 é dado por dois termos:
• No equilíbrio, a taxa líquida de variação da
população dos níveis deve se anular e
teremos:
E E2
12 1 21 21 2
dN
= B N A B N
dt
Absorção Emissão
E E
12 1 21 21 2
B N = A B N
41
Intro Mec Est – Mário E G Valerio – 2010/2
• Podemos supor que a população dos átomos
nos níveis 1 e 2 seguem uma distribuição de
Boltzmann de forma que:
• Portanto:
e e
2 1E -E h
1 kT kT
2
N
N
e
e
E E
E E
E
1
12 21 21
2
h
kT
12 21 21
21 12
h
kT
21 12
N
B = A B
N
B = A B
A B
B B
42
Intro Mec Est – Mário E G Valerio – 2010/2
• Comparando esta expressão com a deduzida
para o gás de fótons:
• A 2ª relação indica que no equilíbrio entre a
matéria e a radiação, as probabilidades de
emissão e absorção induzidas são iguais.
• Usando estas relações podemos escrever:
e
E
21 12
h
kT
21 12
A B
B B
3
1e
E
hν
kT
3
8 V
c
3 121 21
3
12 12
A B8 V
B c B
probabilidade de emissão espontânea
1
probabilidade de emissão induzida
e
E
h
21 kT
21
A
B
43
Intro Mec Est – Mário E G Valerio – 2010/2
• Qdo hν>>kT, a emissão espontânea é muito
mais provável do que induzida e esta última
pode ser desprezada.
– Este efeito acontece nas transições eletrônicas
em átomos e moléculas e nas transições
radiativas nos núcleos atômicos.
• Qdo hν<<kT, a emissão induzida passa a ser
muito mais provável do que espontânea.
– Este é o caso para transições na região de
microondas, qdo a distância entre níveis de
energia é menor do que a agitação térmica.
probabilidade de emissão espontânea
1
probabilidade de emissão induzida
e
E
h
21 kT
21
A
B
44
Intro Mec Est – Mário E G Valerio – 2010/2
• A emissão induzida resulta da ação da