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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO – UFRJ - 46 - - ESTATÍSTICA APLICADA – ANÁLISE DE CORRELAÇÃO - Prof. André A. de Salles ESTATÍSTICA APLICADA -- UNIDADE 4 -- ANÁLISE DE CORRELAÇÃO Relação entre duas variáveis Consumo × renda Peso × idade Quantidade × preço taxa de juros × procura por moeda Salário × escolaridade taxa de câmbio × balança comercial Vendas × gastos com publicidade Demanda × preço Problemas reais envolvem relações --- bivariadas --- multivariadas Se existe relação, ou associação, entre duas ou mais variáveis é importante a informação do grau dessa associação e é esse o objeto de estudo da associação ou da correlação. Estudo da Correlação como medir a relação, aderência, ou associação entre duas variáveis ou mais. coeficiente de correlação ≡ correlação momento-produto (Karl Pearson). Coeficiente de correlação ρ (rô) da população é definido como: YX XY XYYX σσ σρρ ==);( ou )()( ),();( YDPXDP YXCOVYX XY == ρρ UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO – UFRJ - 47 - - ESTATÍSTICA APLICADA – ANÁLISE DE CORRELAÇÃO - Prof. André A. de Salles VARIÁVÉIS ALEATÓRIAS BIVARIADAS (ou bidimensionais) INFERÊNCIA ESTATISTICA PRESSUPOSTO Existe distribuição da população para todas as possíveis observações das variáveis de interesse. Distribuições populacionais ---- Parâmetros DISTRIBUIÇÃO DISCRETA DE PROBABILIDADE DE ( )YX ; ijjiji pyxPyYxXP ==== );();( DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE BIVARIADA X Y 1x K ix K mx )(YP ) 1y 11p K 1ip K 1mp 1•p M M K M K M M jy jp1 K ijp K mjp jp• M M K M K M M ny np1 K inp K mnp n p • P(X) •1p K •ip K •mp 1 UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO – UFRJ - 48 - - ESTATÍSTICA APLICADA – ANÁLISE DE CORRELAÇÃO - Prof. André A. de Salles Seis parâmetros importantes: - Médias ∑ •== i iiX xpXE )(µ ∑ •== i jjY ypYE )(µ - Variâncias ∑ −=−== • i XiiXX xpXEXVar 222 )()()( µµσ ∑ −=−== • j YjjYY ypYEYVar 222 )()()( µµσ - Covariância [ ] ))(())(();( YjX I J iijYXXY yxpYXEYXCov µµµµσ −−=−−== ∑∑ - Coeficiente de Correlação YX XY XYYX σσ σρρ ==);( PROBABILIDADES CONDICIONADAS )( ),()/( i ji ij xXP yYxXP xXyYP = == === ou • = i ij ij p p xyP )/( , sendo: )/( ij xXyYP == a probabilidade de jyY = condicionada a ixX = ; •ip a probabilidade marginal e ijp a probabilidade conjunta. UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO – UFRJ - 49 - - ESTATÍSTICA APLICADA – ANÁLISE DE CORRELAÇÃO - Prof. André A. de Salles Parâmetros importantes: - Média Condicional (ou valor esperado condicionado) )( );())/(()/(/ i ji j j jijjiXY xP yxP yxXyPyXYE i ∑ ∑====µ - Variância Condicional )/()()/( 2/2 / ij j XYjiXY xXYPYXYVar ii =×−== ∑ µσ Observação: As médias e variâncias condicionais são funções de x => tem-se um conjunto de m médias e variâncias (da mesma forma pode-se obter um conjunto de n médias e variâncias condicionais para x em função de y). Exemplos: • SALÁRIOS vs TEMPO DE SERVIÇO --- firma com 10 operários: Operário 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Salário ($) 140 150 180 160 170 170 160 160 160 150 tempo (anos) 4 5 6 6 6 6 5 6 6 5 Y = salário em $ X = tempo de serviço em anos N = 10 UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO – UFRJ - 50 - - ESTATÍSTICA APLICADA – ANÁLISE DE CORRELAÇÃO - Prof. André A. de Salles Dada a Distribuição de Probabilidade Conjunta (X ; Y) , tem-se: X Y 4 5 6 P(Y) 140 0,1 0,0 0,0 0,1 150 0,0 0,0 0,0 0,0 160 0,0 0,0 0,0 0,0 170 0,0 0,0 0,0 0,0 180 0,0 0,0 0,0 0,0 P(X) 0,1 0,0 0,0 1,0 • SALÁRIOS vs DESPESAS COM FÉRIAS → as variáveis formam a população. X = salário em $ mil Y = despesa com férias em $ mil Dada a Distribuição de Probabilidade Conjunta (X ; Y) , tem-se: X Y 20 30 40 1 0,28 0,03 0,00 2 0,08 0,15 0,03 3 0,04 0,06 0,06 4 0,00 0,06 0,15 5 0,00 0,00 0,03 6 0,00 0,00 0,03 P(X) 0,4 0,30 0,30 Media (Y/X) 1,40 2,50 3,90 Variancia (Y/X) 0,44 0,85 1,09 UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO – UFRJ - 51 - - ESTATÍSTICA APLICADA – ANÁLISE DE CORRELAÇÃO - Prof. André A. de Salles Probabilidades de Y condicionadas a X X Y 20 30 40 1 0,7 0,1 0,0 2 0,2 0,5 0,1 3 0,1 0,2 0,2 4 0,0 0,2 0,5 5 0,0 0,0 0,1 6 0,0 0,0 0,1 DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE CONTÍNUA DE ( )YX ; ijjiji pyxPyYxXP ==== );();( ou XYXYXY pfYXf ==),( Seis parâmetros importantes: - Médias ∫ +∞ ∞− == dxxxfXE xX )()(µ ∫ +∞ ∞− == dxxxfXE xX )()(µ - Variâncias 22 )()( XX XEXVar µσ −== 22 )()( YY YEYVar µσ −== - Covariância [ ] ∫∫ −−=−−== R yxxyYXXY dxdyyxfYXEYXCov ))(())(();( µµµµσ - Coeficiente de Correlação YX XY XYYX σσ σρρ ==);( UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO – UFRJ - 52 - - ESTATÍSTICA APLICADA – ANÁLISE DE CORRELAÇÃO - Prof. André A. de Salles VARIÁVEIS ALEATORIAS BIVARIADAS
