Resolução da primeira Lista

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Comp. Hidrod. De Plat. 
Oceânicas I 
Primeira Lista de Exercícios 
 
 
30/09/2010 
Universidade Federal do Rio de Janeiro 
Escola Politécnica / Centro de Tecnologia 
Professor Paulo de Tarso T. Esperança 
 
 
Leandro Victalino Galves 
 
 
Questão 1 
 
Dados: 
� Onda regular 
� Águas profundas 
� Li = 300m 
� h, para L = 100m? 
 
Solução 
 
Relação de dispersão: � tanh��ℎ� = ��
 
Para águas profundas tanh��ℎ� = 1. Então, temos: � = ��
 
 2�� = �
�
� 
� = �2��� 
� = 61,64�� 
 
Quando Li = 300m, w = 0,45. 
Sabendo que a freqüência angular da onda não se altera, podemos usar o w para calcular o valor de h 
correspondente usando a relação de dispersão – lembre-se que para esse novo valor de h podemos estar 
numa região de não-águas-profundas então a tangente hiperbólica pode não ser 1. 
 
tanh��ℎ� = ���� 
tanh � 2�100 ℎ� = 0,45
�1002�9,81 = 0,3285 2�100 ℎ = arctanh�0,3285� = 0,3412 ℎ = 5,4! 
 
Questão 2 
 
Usando a equação da esfera e o movimento dado pelo exercício: 
 "�#, $, %, &� = �# − 3()*�0,2&��� + $� + �% + 15�� − 4 
 
Para a condição de impenatrabilidade: 
 ,",& = -"-& + ./0. ∇" = 0 
 
• 
3435 = 1,2 cos�0,2&� 83()*�0,2&� − #9 
 
• ./0 = :3;3< , 3;3= , 3;3> ? 
 
• ∇" = �2# − 6()*�0,2&�, 2$, 2% + 30� 
 ,",& = 1,2 cos�0,2&� 83()*�0,2&� − #9 + �-@-# , -@-$ , -@-% � ∙ �2# − 6()*�0,2&�, 2$, 2% + 30� = 0 
 
Questão 3 
 
Dados: 
� z = - 50cm = -0,5m 
� trajetória elíptica (a = 10cm; b = 5cm) 
� ondas lineares 
� h = 100cm 
 
Solução (a) 
 
A trajetória de uma partícula qualquer é dada pela equação: �# − #B��
�C cosh ���%B + ℎ��()*ℎ��ℎ� ��
+ �% − %B���C ()*ℎ���%B + ℎ��()*ℎ��ℎ� ��
= 1 
 
A trajetória da partícula dada no exercício é: �# − #B���10�� + �% − %B�
�
�5�� = 1 
 
Daí, podemos inferir que: 
 
C cosh ���%B + ℎ��()*ℎ��ℎ� = 10 ) C ()*ℎ���%B + ℎ��()*ℎ��ℎ� = 5 
 
Dividindo a primeira pela segunda: 
 
C cosh ���%B + ℎ��()*ℎ��ℎ�
C ()*ℎ���%B + ℎ��()*ℎ��ℎ�
= 105 
 &D* ℎE��%B + ℎ�F = 0,5 &D* ℎE��−50 + 100�F = 0,5 50� = DGH&D*ℎ �0,5� � = 0,011 H!IB 
Usando a relação de dispersão: 
 
J = K�� tanh ��ℎ� 
J = L 9810,011 tanh �0,011#100� 
 J = 267,1 H!/( 
 
Solução (b) 
 
J
 = O12 �1 + 2�ℎ()*ℎ�2�ℎ��P J 
J
 = Q12 R1 + 2�0,011��100�()*ℎ�2�0,011��100��ST 267,1 J
 = 199,5 H!/( 
 
Solução (c) 
A energia potencial é: UVWWWW = X� Y�BZ 
Para encontrar o valor de H, usaremos a relação da letra a: C [\]^ �_�>`a��bcda�_a� = 10 
C cosh �0,55�()*ℎ�1,1� = 10 C = 11,56 H! 
Então: 
UVWWWW = �1000��9,81� �0,1156 # 2��16 UVWWWW = 32,77 e 
 
Solução (d) 
 
Como a energia cinética tem a mesma magnitude da energia potencial: U5WWW = 2#|UV|WWWWWWWWWWWW = 2�32,77� U5WWW = 65,55e 
 
 
 
Questão 4 
 
Dados: 
� T = 8s 
� Onda monocromática 
� Outros dados estão explícitos no enunciado 
 
Solução (a) 
 
A pressão dinâmica é dada por: Vg = B� X�h [\]^E_�>`a�F[\]^�_a� cos��# − �&� No entanto, o que foi dado no 
enunciado da questão foi a amplitude da pressão dinâmica (não depende do tempo). Então, temos: 
 
Vg� = 12 X�h coshE��−ℎ + 7,62 + ℎ�Fcosh��ℎ� = 25600 i/!² 
 
VgB = 12 X�h coshE��−ℎ + ℎ�Fcosh��ℎ� = 20700 i/!² 
 
Dividindo as expressões acima uma pela outra: 
 cosh�7,62��cosh �0� = 25600 20700 7,62� = 0,675 � = 0,0886 
 
Através da relação de dispersão: 
� tanh��ℎ� = ��� 
0,0886 tanh�0,0886ℎ� = �2����64 tanh�0,0886ℎ� = 0,710 ℎ = 10,00 ! 
 
Solução (b) 
 
Consideremos a expressão abaixo. 
Vg = 12 X�h coshE��% + ℎ�Fcosh��ℎ� 
 
Substituindo os valores encontrados: 
 
20700 = 12 �1000��9,81�h 1cosh�0,886� 
 h = 5,99 ! 
 
Solução (c) 
 
O comprimento de onda pode ser encontrado a partir do número de onda: 
� = 2�� 
� = �2����0,0886 � = 70,92 ! 
 
Solução (d) 
 
A celeridade é dada por: J = K
_ tanh ��ℎ� 
J = L �9,81��0,0886� tanh �0,0886#10� 
J = 8,86 !/( 
 
Solução (e) 
Para calcular a velocidade de grupo, fazemos: 
J
 = O12 �1 + 2�ℎ()*ℎ�2�ℎ��P J 
J
 = Q12 R1 + 2�0,0886��10�()*ℎ�2#0,0886#10�ST �8,86� J
 = 7,18 !/( 
 
Questão 5 
 
Para resolver calcularemos a energia de cada onda potencial separadamente e as somaremos ao final: 
UVWWWW = X� k�l . 
UVWWWWB = X� CB�4 
UVWWWWB = �1000��9,81� 1�4 = 2452,5 e 
 
UVWWWW� = X� C��4 
UVWWWW� = �1000��9,81� 1,5�4 = 5518,1 e 
 UV5WWWWW = UVBWWWWW + UV�WWWWW = 7970,6 e 
 
 
 
Questão 5’ 
 
Alternativamente faremos a soma fasorial para encontrar a amplitude da onda resultante: 
 mB = 1 ∠ 45 m� = 1,5 ∠ − 45 
 mo = mB + m� = 1 ∠ 45 + 1,5 ∠ − 45 mo = 0,707 + p0,707 + 1,06 − 1,06p = 1,767 − 0,353p 
 mo = 1,80 ∠ − 11,3 
 
Então a amplitude é 1,80. Usando: UVWWWW = X� k�l . 
 
UVWWWW = �1000��9,81� �1,80��4 = 7946,1 e 
 
Como podemos verificar os resultados são parecidos. A diferença vem de algum erro em relação ao número 
de casas decimais. Apesar de ter dado o mesmo resultado isso nem sempre será verificado, pois a maneira 
que considera a diferença de fase na hora do cálculo é o método fasorial. 
 
Questão 6 
 
Dados: 
� H1/3 = 3,0 m 
� T1 = 12,0 s 
 
Solução (item 1) 
 
 
Solução (item 2) 
 
Para o espectro de Bretschneider temos as seguintes relações: 
 q� = 0,921 qB q� = �0,921��12� = 11,052 ( 
 qr = 1,296 qB qr = �1,296��12� = 15,552 ( 
 
Solução (item 3) 
0,0000E+00
5,0000E-01
1,0000E+00
1,5000E+00
2,0000E+00
2,5000E+00
0 1 2 3 4 5
Curva de Densidade Espectral - Bretschneider
Curva de Densidade Espectral
A expressão para o momento é: !d = s �d t���u�vw = s �d E0,075�Ix)EIw,woo�yzFFu�vw 
 
!w = { 0,075�Ix)EIw,woo�yzFu�vw = 0,568 
!B = { 0,075�Il)EIw,woo�yzFu� = 0,297vw 
!� = { 0,075�Io)EIw,woo�yzFu� = 0,183vw 
 
Os resultados acima foram encontrados com o auxílio do programa “Matlab”. 
Solução (item 4) 
 
Para encontrar a altura significativa usamos a fórmula: hB/o = 4 |!w 
 hB/o = 4 |0,568 = 3,01! 
 
Para os períodos: 
qB = 2� !w!B ) q� = 2� L!w!B 
qB = 2� 0,5680,297 ) q� = 2� L0,5680,183 
qB = 12,02( ) q� = 11,07( 
 
Os valores da altura significativa e dos períodos calculados numericamente são muito parecidos com 
os valores teóricos. 
 
Solução (item 5) 
 
Para calcular a probabilidade envolvendo alturas temos que usar a distribuição de Rayleigh. Sendo 
f(x) a sua função densidade de probabilidade fazemos V�# > D� = s ~�#�u#.v Para facilitar o trabalho e 
não precisar integrar, usamos a fórmula já simplificada dada no livro para amplitudes: 
V �C > D� = )�I €��‚� - para amplitudes 
V �h > 2,5� = V �C > 2,52 � = )�I
�B,�x����w,xZƒ�� 
 V �h > 2,5� = 25,3% 
 
Solução (item 6) 
 
Sabendo que: 
V�C < D� = 1 − V �C > D� = 1 − )�I ��†‚� 
V�C < D� = 1 − )�I B���w,xZƒ�� V�C < D� = 58,5% 
 
 
Solução (item 7) 
 
Antes de tudo, precisaremos do desvio-padrão que será calculado pelo momento de ordem zero: 
 ‡ = |!w ‡ = |0,568 = 0,754 
 
De outra maneira, temos: 
‡ = hB/o4 
‡ = 34 = 0,075 
 
Usando o matlab para integrar a equação: 
 
V�U > D� = { 1‡√2� )
‰I� Š‹√��
�Œu#v 
 
Encontramos: 
 V�U > 2,5� = 0,042% 
 
Questão 7 
 
Para calcular a hB/o é só fazer a média da fração corresponde a 1/3 das maiores alturas: 
 
hB/o = �4��1� + �3,5��5� + �3��9� + �2,5��14� + �2��21�50 = 2,51! hB/o = 2,51! 
 
Para calcular a H é só fazer a média ponderada normal: 
 
h = �4��1� + �3,5��5� + �3��9� + �2,5��14� + �2��21� + �1,5��55� + �1��30� + �0,5��15�150 = 1,64! h = 1,64! 
 
Para calcular a hB/Bw é só fazer a média da fraçãocorresponde a 1/10 das maiores alturas: 
 
hB/Bw = �4��1� + �3,5��5� + �3��9�15 = 3,23! hB/Bw = 3,23!