ELETROMAG - CAP 8

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CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO
 
 
CCaappííttuulloo VVIIIIII:: FFOORRÇÇAASS EE CCIIRRCCUUIITTOOSS MMAAGGNNÉÉTTIICCOOSS,, MMAATTEERRIIAAIISS EE IINNDDUUTTÂÂNNCCIIAA 71 
 
Capítulo VIII 
 
FORÇAS E CIRCUITOS MAGNÉTICOS, MATERIAIS E INDUTÂNCIA 
 
8.1 – FORÇA SOBRE UMA CARGA EM MOVIMENTO 
 
BvQF ��� ×=
 (Unidade da força: N) 
 
Se ambos os campos elétrico e magnético estão presentes, a 
força sobre uma carga pontual Q, chamada força de Lorentz, é: 
 ( )BvEQF ���� ×+= em N, ou ( )BvEf v ���� ×+ρ= em N/m3 
 
 
8.2 – FORÇA SOBRE UM ELEMENTO DIFERENCIAL DE CORRENTE 
 
( ) ( ) ( ) BdtvIBvIdtBvdQFd ������� ×=×=×= ⇒ BLIdFd ��� ×= 
 
Para um condutor retilíneo, com .cteB =
�
, obtemos: BLIF
���
×=
 
 
Módulo da força F
�
: θ= senLIBF onde θ é o ângulo entre os 
vetores L
�
 e B
�
 
 
Sentido da força F
�
: Regra do produto vetorial, indo de L
�
 para B
�
. 
 
Nota: Caso os vetores L
�
 e B
�
 sejam perpendiculares (θ =90o), pode-se usar a conhecida 
“Regra dos 3 dedos da mão esquerda” para obter o sentido de F
�
. Assim, com o 
dedo indicador apontando B
�
 e o dedo médio apontando L
�
 (ou I), obtém-se o dedo 
polegar apontando o sentido de F
�
. 
 
 
Exemplo: Determinar as forças de repulsão entre 2 condutores filamentares retilíneos longos e 
paralelos, separados por uma distância d por onde fluem correntes I iguais e opostas. 
 
Solução: 
 
Os sentidos das forças estão indicados na figura. 
As duas forças possuem mesmo módulo, o qual é obtido do 
seguinte modo (no vácuo): 
LBF I= onde 
d2
HB oo
pi
µ=µ= I 
Logo: L
d2
F o I
I
pi
µ= ⇒ 
d2L
F o
pi
µ
=
2I
 [N/m] 
 
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8.3 – FORÇA ENTRE ELEMENTOS DIFERENCIAIS DE CORRENTE 
 
Densidade do fluxo magnético no ponto 2 devido ao elemento diferencial de corrente no ponto 1: 
2
12
R11
o2o2
R4
aLdI
HdBd 12
pi
×
µ=µ=
��
��
 
 
 
Relembrando, a força diferencial em um elemento diferencial de corrente é expressa por: 
BLIdFd
���
×= 
 
Substituindo B
�
 por 2Bd
�
, e 22 LdILId
��
= , a quantidade diferencial da força diferencial no 
elemento diferencial de corrente no ponto 2 torna-se: ( ) 2222 BdLdIFdd ��� ×= 
 
Substituindo 2Bd
�
: 
( ) 2
12
R11
o222
R4
aLdI
LdIFdd 12
pi
×
µ×=
��
��
 
( ) 2
12
R1
2
21
o2
R
aLd
Ld
4
IIFdd 12
��
�� ×
×
pi
µ= ⇒ ∫ ∫







 ×
×
pi
µ= 2
12
R1
2
21
o2
R
aLd
Ld
4
IIF 12
��
��
 
 
Nota: A segunda integral é necessária para obter o campo magnético em 2 devido à corrente no 
ponto 1. Pelo demonstrado, é melhor dividir o problema de calcular a força magnética em 
duas partes: primeiro calcula-se o vetor campo magnético, e depois calculamos a força. 
 
 
8.4 – TORQUE EM UMA ESPIRA INFINITESIMAL PLANA 
 
Para a espira infinitesimal retangular da figura e da definição de torque ( FrT ��� ×= ) , obtém-se: 
 
BSdTd
���
×= I
 (Unidade de T� : Nm) 
 
Definindo o momento magnético diferencial da espira como: 
 
Sdmd
��
I=
 (Unidade de m� : Am2) 
 
podemos escrever o torque na espira como sendo: 
 
BmdTd
���
×= 
 
De uma maneira geral, para B
�
 constante em toda área S, temos: 
 
BmBST
�����
×=×= I
 
 
Notas: 
• As equações acima são também válidas para qualquer forma de 
espira de corrente, como por exemplo a espira circular. 
• O torque na espira ( T� ) atua de tal maneira a alinhar o momento 
magnético ( m� ) produzido pela espira com o campo magnético externo ( B� ). 
e
Realce
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8.5 – A NATUREZA DOS MATERIAIS MAGNÉTICOS 
 
Existem 3 tipos de momentos magnéticos em um átomo causados por: 
1o) Rotação (spin) do elétron em torno de seu próprio eixo: spinm
�
 
2o) Rotação do núcleo em torno de seu próprio eixo: núcleom
�
 
3o) Movimento circular (órbita) do elétron em torno do núcleo: orbm
�
 
 
Dependendo da combinação desses momentos magnéticos pode-se classificar 6 tipos diferentes de 
material, conforme mostrado na seguinte tabela. 
 
CLASSIFICAÇÃO 
DO MATERIAL 
MOMENTOS 
MAGNÉTICOS 
B µµµµR 
VALORES USUAIS 
ALGUNS EXEMPLOS 
E COMENTÁRIOS 
1 – Diamagnético 0mm spinorb =+
��
 
Bint < Bapl, 
Bint ≅ Bapl 
µR < 1, 
µR ≅ 1 
H, He, NaCl, Cu, Au, Si, Ge, S, 
grafite, gases inertes. 
2 – Paramagnético pequenospinorb mm =+
��
 
Bint > Bapl, 
Bint ≅ Bapl 
µR > 1, 
µR ≅ 1 
K, O, Al, Be, tungstênio, terras-
raras, vários sais. 
3 – Ferromagnético 
orbspin mm
��
>> Bint >> Bapl µR >> 1 
103<µR <106 
Fe, Co, Ni, ligas. Domínios 
magnéticos fortes 
4 – Antiferromagnético 
orbspin mm
��
>> Bint ≅ Bapl µR ≅ 1 
 
Óxido de magnésio. Momentos 
adjacentes se opõem e cancelam 
5 – Ferrimagnético 
orbspin mm
��
> Bint > Bapl µR > 1 
10<µR <103 
Ferrites. Momentos adjacentes 
desiguais paralelos e opostos 
6 – Superparamagnético 
orbspin mm
��
> Bint > Bapl µR > 1 
1 < µR < 10 
Fitas magnéticas de gravação. 
Matriz não magnética. 
 
 
8.6 – MAGNETIZAÇÃO E PERMEABILIDADE MAGNÉTICA 
 
Magnetização M
�
 é definido como sendo o momento magnético total por unidade de volume, isto é: 
 
v
mlimm
v
1limM total
0v
vn
1i
i0v ∆
=∑
∆
=
→∆
∆
=→∆
�
��
 (Unidade: A/m – mesma unidade de H) 
 
onde n é o número de dipolos magnéticos por unidade de volume ∆v 
 
A lei circuital de Ampère relaciona o campo magnético H
�
 com a corrente de condução I que 
produz este campo, isto é: 
 
∫ •= LdH
��
I 
 
Por analogia, pode-se também relacionar o campo M
�
 com uma corrente, Im, que produz este 
campo, sendo esta corrente chamada de corrente de magnetização. 
∫ •= LdM
��
mI 
A lei circuital de Ampère em termos da corrente total, IT, é expressa por: 
 
∫ •µ
= LdB
o
�
�
TI 
onde: 
IT = I + Im = soma das correntes de condução e de magnetização 
µo = 4pi×10-7 = permeabilidade magnética do vácuo (unidade: H/m) 
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Substituindo as correntes pelas suas expressões com integrais, obtemos a seguinte expressão geral 
que relaciona os 3 campos B
�
, H
�
 e M
�
 em qualquer tipo de meio: 
 
MHB
o
��
�
+=
µ
 ⇒ ( )MHB o ��� +µ= (Análoga a PED o ��� +ε= ) 
 
Para um meio linear e isotrópico, pode-se relacionar M
�
 linearmente com H
�
 por: 
 
HM m
��
χ= (Análoga a EP oe
��
εχ= ) 
 
sendo χm chamada de susceptibilidade magnética (constante adimensional). 
 
Substituindo M
�
 na expressão geral, e arranjando os termos, obtemos a conhecida relação: 
 
HB
��
µ=
 
 
onde: 
oRµµ=µ = permeabilidade magnética absoluta (unidade: H/m) 
mR 1 χ+=µ = permeabilidade magnética relativa (constante adimensional) 
 
Nota: Por analogia com JH
���
=×∇ , pode-se chegar a: mJM
���
=×∇ e ( ) To JB ��� =µ×∇ . 
 
8.7 – CONDIÇÕES DE CONTORNO PARA O CAMPO MAGNÉTICO 
 
 
 
Aplicando a lei de Gauss do campomagnético ao pequeno cilindro da figura e fazendo ∆h→0: 
 
0SdBS =•∫
��
 ⇒ 0SBSB 2n1n =∆−∆ ⇒ 2n1n BB = 
 
Logo, a componente normal da densidade de fluxo magnético é contínua, isto é, não se altera. 
 
Aplicando a lei circuital de Ampère ao pequeno circuito fechado da figura, fazendo ∆h→0, temos: 
 
enlaçadaILdH =•∫
��
 ⇒ LKLHLH 2t1t ∆=∆−∆ ⇒ KHH 2t1t =− 
 
Logo, a componente tangencial do campo magnético sofre uma descontinuidade de K, isto é, altera-
se de K quando existe uma distribuição superficial de corrente na fronteira entre os 2 meios. Em 
forma vetorial, a expressão para o campo magnético acima é dada por: 
 ( ) KaHH 12n21 ���� =×− (Nota: 12na� = versor normal à fronteira dirigido da região 1 para a 2) 
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Se não existe distribuição de corrente na fronteira, isto é, se K = 0, obtém-se: 2t1t HH = 
 
Logo, a componente tangencial do campo magnético é contínua, isto é, não se altera quando não 
existe uma distribuição superficial de corrente (K) na fronteira entre os 2 meios. 
 
 
8.8 – CIRCUITO MAGNÉTICO 
 
A análise de circuitos magnéticos é feita por analogia com circuitos elétricos de corrente contínua 
constante. O quadro abaixo indica a analogia entre as equações desses circuitos. 
 
CIRCUITO ELÉTRICO CIRCUITO MAGNÉTICO 
1) Intensidade de campo elétrico 
VE ∇−=
��
 
1) Intensidade de campo magnético 
mVH ∇−=
��
 
2) Diferença de potencial elétrico 
∫ •=
B
A
AB LdEV
��
 
2) Diferença de potencial magnético 
∫ •=
B
A
AB,m LdHV
��
 
3) Lei de Ohm, forma pontual 
EJ
��
σ= 
3) Densidade de fluxo magnético 
HB
��
µ= 
4) Corrente elétrica 
∫ •= S SdJ
��
I 
4) Fluxo magnético 
Φ = •∫
� �
B dSS 
5) Resistência (R) 
S
LR
σ
= 
5) Relutância (ℜ) 
S
L
µ
=ℜ 
6) Lei de Ohm 
IV R= 
6) Lei de Ohm para circuitos magnéticos 
Φℜ=mV 
7) Lei de Kirchhoff das malhas 
∫ =• 0LdE
��
 
7) Lei circuital de Ampère 
∫ =• enlaçadaILdH
��
 ou ∫ =• NILdH
��
 
 
 
Exemplo: Seja um toróide de núcleo de ar, de área de seção reta 
S = 6 cm2, raio médio rm = 15 cm, envolvido por um 
enrolamento com N = 500 espiras onde circula uma 
corrente I = 4 A. Calcular a intensidade do campo 
magnético H no interior do toróide. 
 
Solução 1: Usando a equação do circuito elétrico análogo: 
LHNFmm =Φℜ== I 
Wb/Aesp1025,1
106104
10152
S
r2
S
L 9
47
2
o
m
o
×=
×××pi
××pi
=
µ
pi
=
µ
=ℜ
−−
−
Wb106,1
1025,1
4500NFmm 6
9
−×=
×
×
=
ℜ
=
ℜ
=Φ I 
23
4
6
m/Wb1067,2
106
106,1
S
B −
−
−
×=
×
×
=
Φ
= 
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m/Aesp2120
104
1067,2BH 7
3
o
=
×pi
×
=
µ
=
−
−
 
 
 
Solução 2: Usando a lei circuital de Ampère: 
∫ =• enlaçadaILdH
��
 ⇒ INr2H m =pi× ⇒ 
mr2
NH
pi
=
I
 ⇒ m/Aesp2120
10152
4500H 2 =××pi
×
=
−
 
 
 
 
Exemplo: Seja um toróide de núcleo de aço-silício (figura abaixo) de área de seção reta S = 6 cm2, 
raio médio rm = 15 cm, com um entreferro ar� = 2 mm, o qual está envolvido por um 
enrolamento com N = 500 espiras. Calcular a corrente I que deve circular no enrolamento 
para que a densidade de fluxo magnético em todo o núcleo seja B = 1 Wb/m2. 
 
 
Solução: 
 
Escrevendo a equação do circuito elétrico análogo: 
Φℜ+Φℜ== araçoNFmm I 
 
ou, 
ar,maço,m VVNFmm +== I 
 
ou, 
araraçoaço LHLHNFmm +== I 
 
Daí, 
N
LHLH araraçoaço +
=I 
 
Fazendo Baço = B = 1 Wb/m2 e levando na curva do aço-silício (ver figura acima) obtemos: 
200Haço = Aesp/m 
 
Fazendo Bar = B = 1 Wb/m2, obtemos: 
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5
7
o
ar
ar 109577,7
104
1BH ×=
×pi
=
µ
=
−
 Aesp/m 
 
Logo, 
( ) A56,3
500
002,0109577,7002,015,02200 5
=
××+−×pi×
=I 
 
Nota: Se desejarmos considerar o aumento da área da seção transversal por onde passa o fluxo no 
ar (devido ao espalhamento de fluxo quando o mesmo passa do ferro para o ar), utiliza-se o 
fator de espraiamento k, fazendo ferroar kSS = , sendo k > 1. 
 
8.9 – ENERGIA DE UM CAMPO MAGNETOSTÁTICO 
 
A energia total armazenada no campo magnetostático no qual B
�
 é relacionado linearmente com H
�
 
é obtida por: 
 
∫ •= volH dvHB2
1W
��
 [J] (Análoga a: ∫ •= volE dvED2
1W
��
) 
 
Notas: a) Fazendo HB �� µ= , ou 
µ
=
BH
�
�
 obtemos: 
∫ µ= vol
2
H dvH2
1W
 ou ∫ µ
= vol
2
H dv
B
2
1W
 
 
b) A densidade de energia (em J/m3) é dada por: 
 
µ
=µ=•=
2
2H B
2
1H
2
1HB
2
1
dv
dW ��
 
 
8.10 – AUTO-INDUTÂNCIA E INDUTÂNCIA MÚTUA 
 
Auto-indutância ou indutância própria ou simplesmente indutância, L, de um circuito fechado 
(espira ou bobina) é definida como a razão entre o fluxo total enlaçado pelo circuito (Λ) e a corrente 
(I) que produz este fluxo. (Ver figura). 
 
II
Φ
=
Λ
=
NL
 (Unidade: Henry, H) 
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Nota: A equação da indutância pode também ser obtida a partir da energia no campo magnético 
(WH) devido a corrente I que flui no circuito fechado. Assim, temos: 
 
2I
HW2L = ⇒ 2IL
2
1WH = 
 
 
Indutância mútua, M, entre 2 circuitos fechados é definida como a razão entre o fluxo total 
enlaçado pelos 2 circuitos e a corrente que produz este fluxo. (Ver figura). 
 
11 II
12212
12
NM Φ=Λ=
 (Unidade: Henry, H) 
 
Nota: Em termos de energia mútua, temos: 
 
( ) ( )dvHH1dvHB1M
vol
21
vol
2112 ∫ •µ=∫ •=
����
2121 IIII
 
 
onde: 
1B
�
, 1H
�
 = campo que resulta de I1 (com I2 = 0) 
2H
�
 = campo que resulta de I2 (com I1 = 0) 
 
Na obtenção de M21, o lado direito da expressão 
acima não varia, pois o produto escalar é 
comutativo. 
Portanto, 
 
2112 MM = 
 
 
Exemplo: A figura mostra 2 solenóides coaxiais de raios r1 e r2, r1 < r2, com n1 e n2 espiras/m. 
Determinar (em H/m) as auto-indutâncias L1 e L2 e as indutâncias mútuas M12 e M21. 
 
Solução: Da seção 7.2, e sendo N = no espiras, n = no espiras/m: 
zz ana
NH ��
�
�
II == bem dentro do solenóide 
0H =
�
 fora do solenóide 
 
Assim, para o solenóide 1 (interno) temos: 




>ρ
<ρ=
=
1
1z1z
1
1
r
r
para
para
0
ana
N
H
��
�
� 1
1 I
I
 
 
Similarmente, para o solenóide 2 (externo) temos: 




>ρ
<ρ=
=
2
2z2z
2
2
r
r
para
para
0
ana
N
H
��
�
� 2
2 I
I
 
 
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a) Cálculo de L1 e M12 em H/m (supondo I2 = 0): 
 
111 III
11111
1
nNL Φ=Φ=Λ= � onde 2110110111 rnSHSB piµ=µ==Φ 1I 
Logo: 21
2
10
1 rn
L
piµ=
�
 [H/m] 
111 III
12212212
12nNM Φ=Φ=Λ= � onde 211011011112 rnSHSB piµ=µ==Φ=Φ 1I 
Logo: 2121012 rnn
M
piµ=
�
 [H/m] 
 
b) Cálculo de L2 e M21 em H/m (supondo I1 = 0): 
 
222 III
22222
2
nNL Φ=Φ=Λ= � onde 2220220222 rnSHSB piµ=µ==Φ 2I 
Logo: 22
2
20
2 rn
L
piµ=
�
 [H/m] 
222 III
21121121
21
nNM Φ=Φ=Λ= � onde 21201201221 rnSHSB piµ=µ==Φ 2I 
Logo: 
��
122
1210
21 MrnnM =piµ=
 [H/m] 
 
Atenção: Adotando agora n1 = 50 espiras/cm e n2 = 80 espiras/cm; r1 = 2 cm e r2 = 3 cm, para os 
2 solenóides coaxiais da figura, calcular os valores numéricos de L1 e L2 e M12 e M21. 
m/mH5,39L250104L 12271 =⇒×pi×××pi= − 
m/mH4,227L380104L 2
227
2 =⇒×pi×××pi=
−
 
m/mH2,63MM28050104MM 2112272112 ==⇒×pi××××pi== − 
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8.11 – EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
8.1) Assume-se que o material ferromagnético da 
figura possui permeabilidade constante igual 
a µ. Sendo S1 = S2 = S3 = S = a área da 
seção reta em qualquer parte do núcleo, �1, 
�2 e �3 = os comprimentos médios do braço 
esquerdo, braço central e braço direito, 
respectivamente (com �1 = �3 = 2 � e �2 = �), 
determinar: 
a) A indutância L2 da bobina de N2 espiras 
do braço central; 
b) A indutância mútua M21 entre as duas bobinas. 
 
Respostas: a) 
�2
S N
L
2
2
2
µ
= ; b) 
�4
S NN
M 2121
µ
= . 
 
8.2) Um condutor retilíneo muito longo estende-se sobre o eixo y, possuindo 
uma corrente I1, no sentido indicado. Um condutor de forma retangular 
rígida, com corrente I2 no sentido ABCDA, é posicionado no plano xy ao 
lado do condutor retilíneo, conforme mostrado na figura. Determinar: 
a) Os vetores forças sobre cada um dos lados do condutor retangular; 
b) O vetor força resultante sobre o condutor retangular; 
c) O fluxo total devido a I1 que atravessa o condutor retangular; 
d) A indutância mútua entre os 2 condutores. 
 
Respostas: a) x21oAB
a 2
b
aF
pi
µ II
−= , y
21o
BC 2
2
aF ln
pi
µ II
= , 
x
21oCD
a 4
b
aF
pi
µ II
= , 
y
21oDA 2
2
aF ln
pi
µ II
−= ; b) x21oR 
a 4
b
aF
pi
µ II
−= ; 
c) 2 
 2
b1o ln
pi
µ I
=Φ ; d) 2
2
b
M o12 ln
pi
µ
= . 
 
8.3) Duas placas infinitas, formadas de materiais magnéticos homogêneos, lineares e isotrópicos, 
de espessuras 3 e 4 [mm], localizam-se no vácuo conforme a figura abaixo. Se �a z tem a 
direção indicada e 
� � � �H a a a1 2 3= + +x y z [kA/m] na região (1), ache o ângulo entre o campo 
vetorial 
�
H e o vetor unitário �a z nas regiões (1), (2), (3) e (4). 
 
 
 
 
Respostas: 
θ1 = θ4 = 36,70o, 
θ2 = 56,14o; 
θ3 = 65,91o. 
 
 
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8.4) Um condutor filamentar infinito situa-se sobre o eixo z e conduz uma corrente I1 no sentido 
za
�
+ . Um segmento reto de condutor sólido se estende de PA(–�, l, 0) a PB(+�, 1, 0). 
Determinar: 
a) O campo magnético H� gerado pelo condutor infinito em um ponto genérico sobre o 
segmento condutor; 
b) O valor diferencial de força dF que surge devido ao campo magnético H� do item (a) 
atuando em um ponto genérico no segmento condutor quando este conduz uma corrente I2 
no sentido xa
�
+ ; 
c) O torque resultante totalT
�
 sobre o segmento condutor em relação ao ponto P0 (0, 1, 0). 
 
Respostas: a) 
)
)(
1(x 2
xI
2
xy1
+
−
=
pi
aa
H ; 
b) z2
21o
1(x 2
xdxII
adF
)+
=
pi
µ
; 
c) ( ) y21ototal arctg
 
II
aT �� −
−
=
pi
µ
. 
 
8.5) Um eletroimã com a armadura de ferro em forma de ∪ 
produz força suficiente para manter uma barra de ferro 
suspensa. Seja µR = 1800 para o ferro da armadura e da 
barra, e os ampères-espiras aplicados à bobina NI = 1 
[kA]. O comprimento médio total ao longo da 
armadura e da barra é de 1 [m] com uma seção 
transversal de 0,1 [m2]. Uma lâmina de cobre de 1 
[mm] entre a armadura e a barra previne o contato 
ferro-a-ferro. 
Adotando µcobre = µo, determinar: 
a) fluxo magnético produzido pelo eletroimã; 
b) A massa da barra de ferro (g = 9,8 m/s2). 
 
Respostas: a) Φ = 0,0492 [Wb]; b) m = Φ2/(µo g S) = 1965,6 [Kg]. 
 
8.6) Uma espira condutora circular de raio a está localizada sobre o plano z = 0 e nela circula 
uma corrente I na direção φ+ a
�
. Para um campo uniforme ( ) 2aaBB yxo ��� += , calcular a 
magnitude (módulo) e a direção (vetor unitário) do torque na espira. 
 
Respostas: Io
2BaT pi=
�
; ( ) 2aaa yxT ��� +−= . 
 
8.7) Seja uma bobina solenoidal (solenóide) de N espiras, com núcleo de ar, raio da seção reta 
igual a a e comprimento do núcleo igual a �. 
a) Determinar, usando a Lei Circuital de Ampère, a expressão que fornece o campo 
magnético resultante no interior do solenóide; 
b) Determinar, utilizando a definição de indutância, a expressão que fornece a indutância 
própria da bobina solenoidal. 
 
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Respostas: a) �
�
�H a= NI z ; b) L
No
=
µ pi2 2 a
�
. 
8.8) Um toróide, que possui seção transversal quadrada, é limitado pelas superfícies z = 0, z = 
20 [mm], ρ = 30 [mm] e ρ = 50 [mm]. A superfície em ρ = 30 [mm] conduz uma corrente 
distribuída cuja densidade superficial é � �K a= −10 z [kA/m]. Determinar: 
a) As densidades superficiais de correntes correspondentes às outras três superfícies, isto é 
( )
�
K ρ=50 , ( )
�
K z=0 e ( )
�
K z=20 ; 
b) O campo magnético �H no interior do toróide; 
c) A energia total armazenada (WH) no interior do toróide, cuja permeabilidade relativa é µR 
= 20. 
 
Respostas: a) ( ) z50 6aK
��
=
=ρ [kA/m], ( ) ρ= ρ= aK
�� 300
0z [A/m] e ( ) ρ= ρ−= aK
�� 300
20z [A/m]; 
b) � �H a= − 300
ρ φ [A/m]; c) WH = 72,6 [mJ]. 
 
 
8.9) A figura mostra uma bobina com N = 400 
espiras enrolada num núcleo de material 
ferromagnético formado com 2 materiais 
diferentes: (1) ferro fundido e (2) aço fundido. 
Determinar a corrente I na bobina, se a 
densidade de fluxo magnético no ferro fundido 
é B1 = 0,5 T. 
Nota: Ver em anexo as curvas B-H destes 
materiais. 
 
Resposta: I = 2,41 A 
 
 
 
 
 
 
8.10) Determinar o módulo da intensidade de campo magnético no interior de um material para o 
qual: 
a) a densidade de fluxo magnético é 4 mWb/m2 e a permeabilidade relativa é 1,008; 
b) a suscetibilidade magnética é –0,006 e a magnetização é 19 A/m; 
c) temos 8,1×1028 átomos/m3, cada átomo possui um momento de dipolo de 4×10-30 A.m2 
e χm = 10-4. 
 
Respostas: a) H = 3.160 [A/m]; b) H = 3.170 [A/m]; c) H = 3.240 [A/m]. 
 
8.11) Em um certo material magnético φρ= a5H 3 A/m e µ = 4×10-6 H/m. 
Determinar, para ρ = 2 m: 
a) J ; b) mJ c) TJ 
 
Respostas: a) . za80J = [A/m2]; b) zm a6,174J = [A/m2]; c) zT a6,254J = [A/m2] 
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8.12) a) Usando a lei circuital de Ampère, demonstrar que o campo magnético H� produzido por 
uma lâmina de corrente com densidade superficial de corrente K
�
 uniforme é expresso 
por: 
 
NaK2
1H �
��
×=
 
 
sendo: 
Na
�
 = versor normal à lâmina orientado para o lado desejado 
 
b) Uma espira retangular condutora está 
posicionada sobre o plano z = 0 conforme 
mostra a figura ao lado, sendo seus vértices em 
A(1,2,0), B(3,2,0), C(3,6,0) e D(1,6,0). Uma 
pequena corrente I circula no sentido anti-
horário na espira, que está submetida a uma 
densidade de fluxo magnético B
�
 produzido por 
2 lâminas de corrente x1 a400K
��
= A/m em 
z = 3 m, e z2 a300K
��
−= A/m em y = 0, no 
espaço livre. Determinar: 
b.1) O campo vetorial total B� sobre a espira 
devido as 2 lâminas de corrente; 
b.2) As forças resultantes sobre os 4 lados da espira e força total resultante; 
b.3) O torque total resultante T� em relação ao centro da espira, usando a fórmula 
FrT
���
×= . 
(Nota: Supor as forças aplicadas nos centros de cada lado da espira); 
b.4) O torque total resultante T� , usando a fórmula BST �
��
×= I . 
 
Respostas: a) Demonstração; 
b.1) xoyo a150a200B
��� µ+µ= 
b.2) 0F =
�
, CDzoAB Fa400F
���
−=µ= I , BCzoDA Fa600F
���
−=µ= I ; 
b.3) yoxo a1200a1600T
���
II µ+µ−= ; 
b.4) yoxo a1200a1600T
���
II µ+µ−= (igual ao obtido no item anterior) 
 
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Anotações do Capítulo VIII