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Aspectos Probabilisticos Resumo

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das elevac¸o˜es, podemos obter a distribuic¸a˜o dos ma´ximos e das
alturas de ondas. Essas varia´veis obedecem a lei de Rayleigh, desde que o processo possa ser
considerado de banda estreita.
- picos
p(ζm) =
ζm
m0
e−ζ
2
m/(2m0)
- alturas
p(h) =
h
4m0
e−h
2/(8m0)
Devemos observar que p(h)δh = p(ζm)δζm
Onde m0 e´ igual a variaˆncia do processo estoca´stico estaciona´rio elevac¸a˜o da superf´ıcie do
mar:
m0 =< z
2(t) >= E[z2] = σ2
Estamos introduzindo aqui uma nova forma de expressar a variaˆncia, com m0, pore´m esta
varia´vel obedece a uma definic¸a˜o que veremos mais adiante.
Texto Preliminar, SH Sphaier 11
3 Relac¸a˜o entre as Ana´lises Espectral e Probabil´ıstica
A func¸a˜o de densidade de probabilidade de um sinal gaussiano z(t) e´ dada por:
pZ(z) =
1√
2pim0
e−z
2/(2m0) =
1√
2piσz
e−z
2/(2σ2z) (1)
onde σz e´ a desvio padra˜o e seu quadrado e´ a variaˆncia. No caso particular em que a me´dia
e´ zero
σ2z = vmq = E[z
2]
A partir do registro das elevac¸o˜es, obtemos a func¸a˜o de autocorrelac¸a˜o definida por:
Rzz(τ) = lim
T→∞
1
T
∫ T
0
z(t)z(t+ τ)dt (2)
e aplicando-se a transformada de Fourier podemos obter o espectro do registro do mar
φzz(ω) =
1
2pi
∫ ∞
−∞
Rzz(τ)e
−iωtdt
Com a transformada inversa temos:
Rzz(τ) =
∫ ∞
−∞
φzz(ω)e
iωtdω (3)
Deve-se observar que a func¸a˜o φzz(ω) e´ bilateral sime´trica em relac¸a˜o a ω = 0
φzz(−ω) = φzz(ω)
e que a frequeˆncia ω varia de −∞ a∞ mas como frequeˆncias negativas na˜o teˆm sentido f´ısico
introduzimos a func¸a˜o unilateral
Szz(ω) = 2φzz(ω) para ω ≥ 0
e
Szz(ω) = 0 para ω < 0
enta˜o
Szz(ω) =
1
pi
∫ ∞
−∞
Rzz(τ)e
−iωtdt
e
Rzz(τ) =
∫ ∞
0
Szz(ω)e
iωtdω
Por outro lado e´ poss´ıvel mostrar que a func¸a˜o de autocorrelac¸a˜o e´ dada por:
Rzz(τ) =
∫ ∞
−∞
lim
T→∞
2pi
T
|GT (ω)|2eiωtdω (4)
Texto Preliminar, SH Sphaier 12
onde GT (ω) e´ uma extensa˜o da transformada de Fourier do sinal z(t)
G(ω) =
1
2pi
∫ ∞
−∞
z(t) e−iωtdt
A transformada de Fourier filtra a frequeˆncia ω das componentes do sinal. Em princ´ıpio
levaria a integral acima a um valor infinitamente grande, entretanto definindo-se
GT (ω) =
1
2pi
lim
T→∞
∫ T
0
z(t) e−iωtdt
tem-se o limite
lim
T→∞
2pi
T
|GT (ω)|2 = lim
T→∞
2pi
T
GT (ω)GT (ω)
∗
finito, onde GT (ω)
∗ e´ o conjugado de GT (ω)
Das expresso˜es (2) e (3) podemos verificar que
Rzz(0) =
∫ ∞
0
Szz(ω)dω = lim
T→∞
1
T
∫ T
0
z(t)2dt (5)
=< z2(t) >= E[z2] = σ2 = vmq = rms2 = m0
Esta igualdade, va´lida admitindo-se a ergodicidade do processo, permite-nos, a partir do
espectro do registro, fazer previso˜es, uma vez que as elevac¸o˜es seguem a distribuic¸a˜o de
Gauss.
Esta u´ltima igualdade mostra que a partir do espectro de um sinal, podemos obter a
variaˆncia da varia´vel aleato´ria elevac¸o˜es. Como a variaˆncia das elevac¸o˜es e´ o paraˆmetro da
distribuic¸a˜o de Rayleigh dos picos, podemos prever probabilisticamente valores dos processos
de elevac¸o˜es e de ma´ximos (ver sec¸a˜o 1.1.2). Observemos que o espectro tanto pode ser o da
excitac¸a˜o quanto o de uma resposta do sistema. Assim, uma vez obtido o espectro de uma
resposta, determinamos o desvio padra˜o da func¸a˜o de densidade de probabilidade da resposta
e o paraˆmetro da distribuic¸a˜o de picos da resposta.
Texto Preliminar, SH Sphaier 13
4 Modelac¸a˜o de um Estado de Mar
A elevac¸a˜o da superf´ıcie do mar num determinado ponto em relac¸a˜o a um n´ıvel me´dio de
refereˆncia e´ considerado um processo estoca´stico, e sera´ simbolizado por Z(t).
4.1 Elevac¸a˜o da superf´ıcie do mar
A elevac¸a˜o da superf´ıcie do mar e´ modelada probabilisticamente por um processo es-
toca´stico ergo´dico, e desta maneira pode ser representada pela expressa˜o
z(t) =
N→∞∑
n=1
zn(t) =
N→∞∑
n=1
z0n cos(ωnt+ ψn) (6)
onde as frequeˆncias ωn assumem valores no intervalo (0,∞); as fases ψn sa˜o varia´veis aleato´rias
independentes, com distribuic¸a˜o uniforme no intervalo [0, 2pi]; e z0n sa˜o as amplitudes dos
harmoˆnicos zn(t) que constituem o sinal.
Assim z(t) e´ a soma de diversas varia´veis aleato´rias independentes
z(t) = z1 + z2 + ..........+ zn + .....
onde zn = z0n cos(ωnt+ ψn).
Pelo teorema Limite Central podemos concluir que se N tende para o infinito, z(t) e´ uma
varia´vel aleato´ria com distribuic¸a˜o normal com valor esperado µz e variaˆncia σ
2
z
µz = E[z(t)] = 0 σ
2
z = E[z
2(t)]
Texto Preliminar, SH Sphaier 14
4.2 Simulac¸a˜o de um Sinal a partir de seu Espectro
Para fins de simulac¸a˜o da elevac¸a˜o do mar por um nu´mero discreto de componentes de
onda conforme (6) temos que determinar as amplitudes das componenetes z0n do sinal.
Introduzindo (6) em (5)
Rzz(0) = lim
T→∞
1
T
∫ T
0
(
N→∞∑
i=1
z0i cos(ωit− ψi))(
N→∞∑
j=1
z0j cos(ωjt+ ψj)dt) =
N→∞∑
i=1
< [z0i cos(ωit+ ψi)]
2 >=
N→∞∑
i=1
< [zi(ωi, t)]
2 >=
N→∞∑
i=1
1
2
z20i(ωi) =
∫ ∞
0
Szz(ω)dω (7)
Considere-se agora uma u´nica frequeˆncia ω = ωk e em torno dela um elemento de frequeˆncia
δω, chegando-se finalmente a` expressa˜o que fornece as amplitudes de cada componente de
onda por frequeˆncia.
1
2
z20k(ωk, t) = Szz(ωk)δω
Assim z(t) e´ a soma de diversas varia´veis aleato´rias independentes
z(t) = z1(t) + z2(t) + ..........+ zi(t) + .....
onde zi(t) = z0i(ωi) cos(ωit+ ψi) com z0i(ωi) =
√
2Szz(ωi)δω.
Texto Preliminar, SH Sphaier 15
5 Espectros emp´ıricos
1. International Towing Tank Conference (I.T.T.C.)
S(ω) =
A
ω5
e−B/ω
4
onde
- A = 8.1× 10−3g2
- B = 3.11/H2s
- com Hs em metros e g em metros por segundos quadrados
2. Pierson - Moskowitz modificado ou do Internacional Ship Strutctures Committee (ISSC)
S(ω) =
A
ω5
e−B/ω
4
onde:
- A = 173H2s/T
4
1
- B = 691/T 41
- Hs = H1/3 e T1 = 2pim0/m1
A figura 6 apresenta o espectro do ISSC, que e´ um forma modificada do espectro de
Pierson-Moskovitz.
Texto Preliminar, SH Sphaier 16
Figura 6: Espectro de ISSC, Pierson-Moskovitz modificado
3. Jonswap (Joint North Sea Wave Project)
O espectro de JONSWAP foi desenvolvido para representar espectros de pista limitada e
depende de cinco paraˆmetros. Entretanto, como mostrado nos anais do Sexto Congresso
do ITTC, pode-se utilizar um espectro me´dio em func¸a˜o de Hs e T1 dado por:
S(ω) = 0.072H2s (
2pi
T1
)4
1
ω5
3.3 e
1
2s2
(1.296T1−1)2 e0.44(
2pi
T1
)4 1
ω−4
s =
{
0.07 para ω < 2pi(1.296T1)
−1
0.09 para ω > 2pi(1.296T1)
−1
Texto Preliminar, SH Sphaier 17
Figura 7: Comparac¸a˜o entre os espectros do ISSC (Pierson-Moskovitz modificado) e Jonswap
Texto Preliminar, SH Sphaier 18
6 Determinac¸a˜o de Condic¸a˜o Extrema para Projeto
A varia´vel aleato´ria elevac¸a˜o da superf´ıcie do mar, obtida atrave´s dos registros segue a
distribuic¸a˜o de Gauss com me´dia nula e desvio padra˜o σ:
pz(z) =
1√
2piσ
e−z
2/(2σ2)
Admitindo-se que o mar e´ de banda estreita, o processo dos ma´ximos segue a distribuic¸a˜o de
Rayleigh na forma:
pzm(zm) =
zm
m0
e−z
2
m/(2m0)
onde m0 = σ
2, e´ a variaˆncia do processo de elevac¸o˜es, e o processo das alturas (cava-crista)
tambe´m segue a distribuic¸a˜o de Rayleigh
ph(h) =
h
4m0
e−h
2/(8m0)
A hipo´tese de banda estreita exige que a curva do espectro esteja concentrada em torno da
frequeˆncia me´dia
ω0 =
√
m2
m0
onde:
mn =
∫ ∞
0
ωnSzz(ω)dω
Definindo-se agora a altura significativa H1/3 como a me´dia do terc¸o das maiores alturas
H1/3 = [
∫ ∞
h1/3
hp(h)dh]/(1/3)
onde h1/3 e´ definido como o valor de h cuja probabilidade de ser excedido e´ igual a 1/3:
P [h > h1/3] =
∫ ∞
h1/3
p(h)dh =
1
3