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Movimento Plano Horizontal

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a velocidade angular do sistema, que tambe´m e´ a velocidade de rotac¸a˜o do modelo.
De forma similar a que foi dada no item acima deve-se analisar a dependeˆncia das forc¸as
e momentos nos nu´meros de Reynolds e Froude.
Neste caso manter o nu´mero de Froude constante e´ manter o valor de u constante. Assim,
variando-se R e Ω de forma tal que u permanec¸a constante esta´-se gerando experimentalmente
as func¸o˜es
Y = f1(Ω)
e
N = f2(Ω)
com essas func¸o˜es determina-se suas derivadas para Ω = 0 e tem-se enta˜o as derivadas:
Yr =
dY (Ω)
dΩ
Nr =
dN(Ω)
dΩ
e
dY
′
dr′
=
d
Y
1/2ρU2L2
d
rL
U
=
dY
dr
1
1/2ρUL3
= Yr
1
1/2ρUL3
dN
′
dr′
=
d
N
1/2ρU2L3
d
rL
U
=
dN
dr
1
1/2ρUL4
= Nr
1
1/2ρUL4
16 Texto Preliminar, SH Sphaier
Figura 1.4: Esquema de Teste de Reboque com Aproamento
Texto Preliminar, SH Sphaier 17
Figura 1.5: Teste de Reboque: Forc¸a Longitudinal Adimensional X Aproamento
18 Texto Preliminar, SH Sphaier
Figura 1.6: Teste de Reboque: Forc¸a Lateral Adimensional X Aproamento
Texto Preliminar, SH Sphaier 19
Figura 1.7: Teste de Reboque: Momento Adimensional X Aproamento
20 Texto Preliminar, SH Sphaier
Figura 1.8: Esquema Teste com Brac¸o Rotato´rio
Texto Preliminar, SH Sphaier 21
1.4.4 Puro Sway
Neste caso mante´m-se as duas hastes com movimentos com fases nulas
φA = φR = 0
O centro do sistema move-se com
x = U · t
y = y0 sin(σt)
e descreve o movimento mostrado na figura 1.9
1.4.5 Puro Yaw
Neste caso mante´m-se as duas hastes com movimentos com fases iguais em mo´dulo pore´m
com sinais contra´rios:
φA = −φR = α
O centro do sistema move-se com
x = U · t
y = y0 cos(α) sin(σt)
A tangente a` trajeto´ria do ponto central e´:
dy
dx
=
dy
dt
dt
dx
= y0σ cos(α) cos(σt)
1
U
e a inclinac¸a˜o do eixo longitudinal do navio, seu aproamento ψ, e´ dada atrave´s de:
tan(ψ) =
yA − yR
2b
= y0
sin(σt+ α)− sin(σt+ α)
2b
=
y0
b
sin(α) cos(
σx
U
)
Para que essas inclinac¸o˜es sejam iguais
tan(ψ) =
yA − yR
2b
=
dy
dx
e enta˜o:
y0σ cos(α) cos(σt)
1
U
=
y0
b
sin(α) cos(
σx
U
)
ou
tanα =
σb
U
Como o eixo do navio e´ sempre tangente a trajeto´ria enta˜o v = v˙ = 0.
22 Texto Preliminar, SH Sphaier
Figura 1.9: Puro Drift
Texto Preliminar, SH Sphaier 23
Figura 1.10: Puro Drift 02
24 Texto Preliminar, SH Sphaier
1.4.6 Oscilac¸a˜o Angular Harmoˆnica
Neste teste as hastes movem-se defasadas de 180 graus. Assim, quando uma move-se
no sentido positivo a outra move-se no sentido negativo. O modelo mante´m o ponto centro
do sistema deslocando-se em linha reta ao longo do tanque enquanto tem seu aˆngulo de
aproamento oscilando periodicamente.
Este teste pode ser executado por um ”oscilador harmoˆnico”, outro aparato que dispen-
saria o uso do PMM.
Em qualquer um dos dois casos, medem-se as forc¸as nos sentidos transversal e longitudinal
ao movimento do carrinho que reboca o modelo, e o momento em torno do centro do sistema.
1.4.7 Derivadas Hidrodinaˆmicas do Leme
Para se completar o quadro de coeficientes hidrodinaˆmicos para o estudo de manobras
falta ainda determinar os coeficientes do leme Yδ e Nδ. Estes sa˜o determinados de forma
similar ao que foi realizado no teste de reboque.
O modelo e´ rebocado ao longo do tanque mantendo um aˆngulo de aproamento nulo. Caso
mantenha-se o aˆngulo do leme nulo na˜o havera´ forc¸a lateral nem momento de yaw atuando
sobre o leme. Reboca-se enta˜o o modelo com diferentes aˆngulos do leme e registra-se as forc¸as
lateral e o momento de aproamento. Assim levanta-se as func¸o˜es Y (δ) e N(δ). Obtendo-se as
derivadas destas func¸o˜es em relac¸a˜o ao aˆngulo do leme, tem-se as derivadas hidrodinaˆmicas
da forc¸a lateral e do momento em relac¸a˜o ao aˆngulo do leme na origem, isto e´, para δ = 0
e a aproximac¸a˜o para as forc¸as e momentos devidos a` ac¸a˜o do leme para uma aproximac¸a˜o
linear:
Y (δ) = Yδ(0) · δ = Yδ · δ
N(δ) = Nδ(0) · δ = Nδ · δ
1.4.8 Expresso˜es para Estimativa das Derivadas Hidrodinaˆmicas
Para o uso em estimativas de preliminares em termos do projeto apresenta-se abaixo
algumas expresso˜es dos coeficientes hidrodinaˆmicos propostas por va´rios autores reunidas
por Clarke, Gedling, e Hine. Estas expresso˜es foram obtidas a partir de testes segundo os
procedimentos acima descritos e expresso˜es anal´ıticas.
Inicialmente, em func¸a˜o da Boca, B, do calado T , do comprimento L e do coeficiente de
bloco cb define-se os seguintes fatores: fac1 = pi · ((T/L)2) e fac2 = cb · (B/T )/pi.
Texto Preliminar, SH Sphaier 25
A seguir apresentam-se as expresso˜es propostas:
1. Wagner Smitt, L., Steering and Manoeuvring Full Scale and Model Tests. (Parts 1 and
2): European Shipbuilding 1970(19) no. 6 e 1971 (2) No. 1.
Y ′v = −1.59 · fac1
Y ′r = 0.32 · fac1
Nv = −0.62 · fac1
N ′r = −0.21 · fac1
2. Norrbin, N.H., Theory and Observations on the Use of a Mathematical Model for Ship
Manoeuvring in Deep and Confined Waters. Eigth Symposium on Naval Hydrodynamic,
Pasadena, CA, USA, 1970.
Y ′v = −fac1 · (1.69 + 0.08 · fac2)
Y ′r = −fac1 · (−0.65 + 0.38 · fac2)
N ′v = −fac1 · (0.64− 0.04 · fac2)
N ′r = −fac1 · (0.47− 0.18 · fac2)
3. Inoue S., Hirano M. e Kijima, K., Hydrodynamic Derivatives on Ship Manoeuvring,
International Shipbuilding Progress, vol 28, no. 321, 1981.
Y ′v = −fac1 · (1.+ 1.4 · fac2)
Y ′r = −fac1 · (−0.5)
N ′v = −fac1 · (2.0/pi)
N ′r = −fac1 · (1.04/pi − 4. · (T/L)/pi)
4. Clarke, D., Gedling, P. and Hine, G., The Application of Manoeuvring Criteria in Hull
Design, Transaction of RINA, vol 125, 1982.
Y ′v˙ = −fac1 · (1.+ 0.16 · cb · (B/T )− 5.1 · ((B/L)2))
Y ′r˙ = −fac1 · (0.67 · (B/L)− 0.0033 · ((B/T )2))
N ′v˙ = −fac1 · (1.1 · (B/L)− 0.041 · (B/T ))
N ′r˙ = −fac1 · (1./12.+ 0.017 · cb · (B/T )− 0.33 · (B/L))
26 Texto Preliminar, SH Sphaier
Y ′v = −fac1 · (1.+ 0.40 · cb · (B/T ))
Y ′r = −fac1 · (−1./2.+ 2.2 · (B/L)− 0.080 · (B/T ))
N ′v = −fac1 · (1./2.+ 2.4 · (T/L))
N ′r = −fac1 · (1./4.+ 0.039 · (B/T )− 0.56 · (B/L))
1.5 Estabilidade Direcional de Navios
Um primeiro estudo da manobrabilidade de navios pode ser desenvolvido utilizando-se
um modelo linear, e tem como objetivo avaliar a sua estabilidade direcional. Assumimos que
o navio desloca-se em linha reta com velocidades u = u0, v = 0 e r = 0. Atrave´s de uma
perturbac¸a˜o sofre uma pequena alterac¸a˜o nas velocidades. Ale´m disto assumimos que a forc¸a
exercida pelo propulsor equilibra-se com a resisteˆncia do casco e do leme para a velocidade
constante. Neste caso na˜o consideramos a presenc¸a de vento, onda nem a presenc¸a de um
hawser.
A estabilidade direcional de navios e´ feita estudando-se o comportamento da soluc¸a˜o ho-
mogeˆnea das equac¸o˜es diferenciais ordina´rias acopladas. Verifica-se com esta ana´lise se apo´s
uma perturbac¸a˜o no sistema que provoque um aparecimento de δu, v e r, essas velocidades
tendem a diminuir com o tempo, voltando o navio a ter velocidades u = u0, v = 0 e r = 0
apo´s algum tempo.
As equac¸o˜es de movimento linearizadas (1.15), (1.16) e (1.17) sa˜o escritas na forma:
(m
′ −X ′u˙)u˙
′ −X ′uuδu
′
= 0
(m
′ − Y ′v˙ )v˙
′ − Y ′vv
′ − (Y ′r˙ −m
′
x
′
G)r˙
′ − (Y ′r −m
′
)r
′
= Y
′
R
−(N ′v˙ −m
′
x
′
G)v˙
′ −N ′vv
′
+ (I
′
z −N
′
r˙)r˙
′ − (N ′r −m
′
x
′
G)r
′
= N
′
R
Como ja´ comentado acima, as equac¸o˜es de sway e yaw sa˜o acopladas, e por se tratarem
de equac¸o˜es lineares de primeira ordem as soluc¸o˜es sa˜o da forma v = V eλt e r = Reλt.
Substituindo as expresso˜es das soluc¸o˜es nas equac¸o˜es de movimento obte´m-se:
[(m
′ − Y ′v˙ )λ− Y
′
v ]V − [(Y
′
r˙ −m