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Apostila de COV251 - Comportamento Hidrodinâmico de Plataformas II

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+ η5Sx′x′
]
(6.158)
Podemos incorporar agora a contribuic¸a˜o devida a` ac¸a˜o das forc¸as gravitacionais, isto e´, a
ac¸a˜o do peso, e a`s forc¸as e aos momentos de restaurac¸a˜o.
Fp = −Mgk (6.159)
onde M e´ a massa do corpo.
Para o ca´lculo do momento do peso relativamente ao ponto O fixo no espac¸o devemos conhecer
o raio-vetor entre o centro de gravidade G e o ponto O origem do referencial Oxyz. Suas
coordenadas sa˜o:
xg = x
′
g + η1 + η5z
′
g − η6y
′
g (6.160)
yg = y
′
g + η2 + η6x
′
g − η4z
′
g (6.161)
zg = z
′
g + η3 + η4y
′
g − η5x
′
g (6.162)
onde:
rG = (xG, yG, zG) define a posic¸a˜o instantaˆnea do centro de gravidade G em relac¸a˜o ao
referencial Oxyz
r
′
G = (x
′
G, y
′
G, z
′
G) define a posic¸a˜o instantaˆnea do centro de gravidade G em relac¸a˜o ao
referencial O
′
x
′
y
′
z
′
quando o corpo se encontra em sua posic¸a˜o me´dia.
Texto Preliminar, SH Sphaier 91
O momento do peso sera´ dado por:
Mp = rg × Fp (6.163)
Desenvolvendo (6.163) teremos:
Mp = −Mgrg × k = −iMg(y′g + η2 + η6x
′
g − η4z
′
g) + jMg(x
′
g + η1 + η5z
′
g − η6y
′
g) (6.164)
Somando os termos de forc¸a e momento do peso a`s forc¸as e momentos hidrosta´ticos teremos
enta˜o as forc¸as e momentos de restaurac¸a˜o propriamente ditos:
Fr = −Mgk+ ρgk
(
V0 − η3Sw − η4Sy′ + η5Sx′
)
(6.165)
Mr = i
[
−ρgη2V0 − ρgy′bV0 − ρgη6x
′
bV0 + ρgη4z
′
bV0 − y
′
gMg − η2Mg − η6x
′
gMg + η4z
′
gMg
+ρgη3Sy′ + ρgη4Sy′y′ − ρgη5Sx′y′
]
+j
[
ρgη1V0 + ρgx
′
bV0 + ρgη5z
′
bV0 − ρgη6y
′
bV0 + x
′
gMg + η1Mg + η5z
′
gMg − η6y
′
gMg
−ρgη3Sx′ − ρgη4Sx′y′ + ρgη5Sx′x′
]
(6.166)
Para um corpo flutuando livremente temos
ρgV0 =Mg (6.167)
x
′
g = x
′
b (6.168)
y
′
g = y
′
b (6.169)
Substituindo estas expresso˜es em (6.165) e (6.166) teremos:
Fr = ρgk
(−η3Sw − η4Sy′ + η5Sx′) (6.170)
Mr = i
[
η4Mg(z
′
b − z
′
g) + ρgη3Sy′ + ρgη4Sy′y′ − ρgη5Sx′y′
]
+j
[
η5Mg(z
′
b − z
′
g)− ρgη3Sx′ − ρgη4Sx′y′ + ρgη5Sx′x′
]
(6.171)
Utilizando a notac¸a˜o
Fr,i =
6∑
j=1
Cijηj i = 1, 6 (6.172)
temos
C33 = ρgSw (6.173)
92 Texto Preliminar, SH Sphaier
C34 = C43 = ρgSy′ (6.174)
C35 = C53 = ρgSx′ (6.175)
C44 =Mg(z
′
b − z
′
g) + ρgSy′y′ (6.176)
C45 = C54 = ρgSx′y′ (6.177)
C55 =Mg(z
′
b − z
′
g) + ρgSx′x′ (6.178)
e os restantes Cij nulos.
Para corpos com um plano de simetria
C34 = C43 = 0 (6.179)
6.4 Equac¸o˜es de Movimento no Domı´nio da Frequeˆncia
Nas sec¸o˜es anteriores desenvolvemos expresso˜es para as forc¸as hidrosta´ticas, hidrodinaˆmicas
e inerciais.
As equac¸o˜es que representam campos de velocidades e presso˜es foram linearizadas e os efeitos
viscosos desprezados. O problema hidrodinaˆmico tornou-se determinar potenciais de veloci-
dades.
Considerando-se que o problema hidrodinaˆmico e´ linear, pode-se supor que a onda incidente
e´ monocroma´tica, isto e´, todas suas propriedades variam com o tempo de forma harmoˆnica.
Assim as presso˜es variam harmonicamente com o tempo, assumindo a forma:
pinc(x, y, z, t) = finc(x, y, z) e
iωt (6.180)
A onda incidente ao encontrar o corpo sofre difrac¸a˜o e a onda difratada e´ tambe´m harmoˆnica,
gerando presso˜es que variam harmonicamente:
pdif (x, y, z, t) = fdif (x, y, z) e
iωt (6.181)
A soma desses dois campos gera o campo de presso˜es de excitac¸a˜o, tambe´m harmoˆnicas
pexc(x, y, z, t) = fexc(x, y, z) e
iωt = [finc(x, y, z) + fdif (x, y, z)] e
iωt (6.182)
A integrac¸a˜o das presso˜es hidrodinaˆmicas gera forc¸as harmoˆnicas que, atuando sobre o corpo,
va˜o impor um movimento harmoˆnico ao corpo. O movimento harmoˆnico do corpo gera forc¸as
de radiac¸a˜o harmoˆnicas. Assim, todas as propriedades, velocidades das part´ıculas fluidas,
Texto Preliminar, SH Sphaier 93
movimentos do corpo, forc¸as de excitac¸a˜o, forc¸as de radiac¸a˜o, forc¸as de restaurac¸a˜o e forc¸as
inerciais, sa˜o harmoˆnicas.
Outro aspecto que se deve considerar e´ que a onda incidente atua por um longo tempo de tal
forma que a resposta transiente (soluc¸a˜o homogeˆnea da equac¸a˜o de movimento a`s condic¸o˜es
iniciais) evanesce e nos concentramos na resposta harmoˆnica a` excitac¸a˜o harmoˆnica (soluc¸a˜o
particular).
Reunindo as expresso˜es das forcas hidrodinaˆmicas, hidrosta´ticas e do peso e aplicando as leis
de conservac¸a˜o das quantidades de movimento linear e angular obtemos:
Mij η¨j = −(Aij η¨j +Bij η˙j)− Cijηj + Finc,i + Fdif,i (6.183)
ou
(Mij + Aij) η¨j +Bij η˙j + Cijηj = Fexc,i (6.184)
Observando as forc¸as de excitac¸a˜o e as forc¸as de radiac¸a˜o vemos que esta equac¸a˜o foi de-
senvolvida para uma excitac¸a˜o harmoˆnica. Tratando-se de um sistema linear respondera´
harmonicamente a` excitac¸a˜o. As forc¸as de excitac¸a˜o e as respostas sa˜o enta˜o escritas na
forma:
Fexc,i = Finc,i + Fdif,i = F0i e
iωt (6.185)
ηj = η0j e
i(ωt) (6.186)
com isto pode-se escrever:
η˙j = iωηj (6.187)
η¨j = −ω2ηj (6.188)
substituindo nas expressa˜o acima da equac¸a˜o de movimento:[− (Mij + Aij)ω2 + iωBij + Cij] η0j ei(ωt) = F0i eiωt (6.189)
Vemos que a dependeˆncia do tempo se concentra na func¸a˜o exponencial que pode ser can-
celada na equac¸a˜o, obtendo-se uma equac¸a˜o alge´brica para obtenc¸a˜o da resposta para cada
frequeˆncia:
η0j =
[− (Mij + Aij)ω2 + iωBij + Cij]−1 F0i (6.190)
Como a expressa˜o na˜o depende do tempo, somente da frequeˆncia, diz-se que se esta´ resolvendo
o problema no domı´nio do tempo. Deve-se observar que tanto a forc¸a de excitac¸a˜o bem como
a frac¸a˜o sa˜o func¸o˜es complexas. O vetor de forc¸as e momentos F0i e´ complexo e seu mo´dulo
forma o vetor de intensidade e a relac¸a˜o entre a parte imagina´ria e a parte real fornecem a fase
da forc¸a em relac¸a˜o a` onda. De maneira similar o vetor de respostas, conte´m a intensidade
da resposta para os seis graus de liberdade do corpo, bem como a informac¸a˜o da fase dos
movimentos em relac¸a˜o a` onda. Como a forc¸a de onda pode ser escrita como:
F0i = f(ω, forma do corpo)ζ0 (6.191)
94 Texto Preliminar, SH Sphaier
onde f(ω, forma do corpo) e´ a func¸a˜o de transfereˆncia entre a onda e a forc¸a sobre o corpo.
η0j
ζ0
=
[− (Mij + Aij)ω2 + iωBij + Cij]−1 f(ω, forma do corpo) (6.192)
Teˆm-se enta˜o a relac¸a˜o entre os seis movimentos do corpo e a amplitude da onda em func¸a˜o
da frequeˆncia. Esta func¸a˜o e´ chamada de func¸a˜o de transfereˆncia, fator de amplificac¸a˜o e
operador de resposta de amplitude (RAO - response amplitude operator).