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Apostila de COV251 - Comportamento Hidrodinâmico de Plataformas II

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em repouso e o eixo oz
aponta verticalmente para cima. O ponto o, centro do sistema, esta´ localizado a meio navio.
Muitas vezes e´ mais pra´tico localiza´-lo na vertical passando pelo centro de gravidade.
O navio desloca-se em linha reta com velocidade U na direc¸a˜o do eixo o¯x¯.
As ondas se propagam na direc¸a˜o do eixo OX e o vetor celeridade da onda faz um aˆngulo β
com o vetor velocidade do navio, e consequentemente com o eixo longitudinal do navio.
1.3 Considerac¸o˜es F´ısicas sobre o Problema Hidrodi-
naˆmico
Tentando apresentar uma visualizac¸a˜o do fenoˆmeno e identificac¸a˜o das ac¸o˜es hidrodinaˆmicas
sobre um corpo flutuante deslocando-se em ondas, vamos considerar, para efeito de ana´lise,
que o corpo, inicialmente, se encontra em repouso em a´guas tranquilas sujeito a ac¸a˜o de seu
peso e ao empuxo, resultante da ac¸a˜o das presso˜es hidrosta´ticas sobre a superf´ıcie molhada
do corpo.
A nossa experieˆncia dia´ria nos diz que, incidindo uma onda sobre o corpo, este saira´ da
situac¸a˜o de equil´ıbrio esta´tico executando movimentos no meio fluido.
Inicialmente imaginemos o que se passa sobre uma superf´ıcie fict´ıcia cuja forma e´ igual a
forma do corpo colocado no meio fluido. Se na˜o houvesse ondas, a forc¸a que o fluido, externo
a` superf´ıcie imagina´ria, faria sobre a massa fluida contida em seu interior seria igual ao peso
desta massa fluida. Isto nada mais e´ que o princ´ıpio de Arquimedes. Esta forc¸a pode ser
obtida como resultado da integrac¸a˜o da pressa˜o hidrosta´tica pe,0.
Consideremos agora a ac¸a˜o de ondas. As part´ıculas fluidas atravessam a superf´ıcie ima-
gina´ria e a pressa˜o em cada um de seus pontos varia com o tempo devido a` contribuic¸a˜o
da pressa˜o hidrodinaˆmica das ondas incidentes. Ale´m da forc¸a hidrosta´tica temos uma forc¸a
hidrodinaˆmica devida ao campo de presso˜es decorrente da onda incidente pinc. A esta com-
ponente hidrodinaˆmica de forc¸a chamamos de forc¸a de onda segundo a hipo´tese de Froude-
Krylov, ou de forma abreviada, forc¸a de Froude-Krylov. Trata-se enta˜o de determinar a forc¸a
hidrodinaˆmica devida a` pressa˜o hidrodinaˆmica causada pela onda incidente sobre a superf´ıcie
a ser ocupada pelo contorno do corpo.
Uma segunda componente dinaˆmica de forc¸a aparecera´ devida a` perturbac¸a˜o que o corpo cria
no meio fluido. Na realidade as part´ıculas fluidas na˜o podem atravessar o corpo. A presenc¸a
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do corpo impo˜e velocidades a`s part´ıculas fluidas de forma a terem componentes normais
junto ao corpo iguais a zero. Sa˜o originadas ondas que se propagam para o fluido, interagem
com a onda incidente anulando as componentes de velocidades das part´ıculas fluidas junto a
superf´ıcie do corpo na direc¸a˜o normal. A este fenoˆmeno chamamos de difrac¸a˜o. Aparecem
ondas de difrac¸a˜o geradas junto ao corpo. Este fenoˆmeno esta´ intimamente ligado a`s ondas
incidentes. A onda incidente ao encontrar o corpo se difrata. A energia que se propaga na
direc¸a˜o da onda incidente espalha-se devido a` presenc¸a do corpo propagando-se em outras
direc¸o˜es. Soma-se a` pressa˜o dinaˆmica da onda incidente uma nova parcela devida a` onda
difratada pdif . De forma semelhante ao problema do escoamento uniforme acelerado em torno
de um c´ırculo em que a forc¸a resultante era composta de duas componentes, uma devida ao
escoamento acelerado, e outra devida a` perturbac¸a˜o que o c´ırculo, representado pelo dipolo
causava no escoamento, no problema de ondas aparecem duas componentes de forc¸a, uma
devida a` onda incidente como se na˜o houvesse corpo (forc¸a de Foude-Krylov) e outra devida
a perturbac¸a˜o que o corpo cria na onda incidente, forc¸a de difrac¸a˜o.
Uma segunda fonte de formac¸a˜o de ondas que se radiam do corpo para o meio deve-se aos
movimentos do corpo. O movimento do corpo induz movimento a`s part´ıculas fluidas junto ao
casco. Este movimento transmite-se a`s outras part´ıculas fluidas, agitando a superf´ıcie livre
gerando ondas que se propagam para o meio. A este fenoˆmeno chamamos de radiac¸a˜o. Estas
ondas tambe´m provocara˜o uma modificac¸a˜o no campo de presso˜es atuantes sobre o casco prad.
Uma u´ltima parcela que contribui para a variac¸a˜o da pressa˜o atuante em um ponto da su-
perf´ıcie do corpo com o tempo e´ sua constante mudanc¸a de posic¸a˜o. A pressa˜o hidrosta´tica
dependera´ da posic¸a˜o inicial do ponto e dos movimentos do corpo. Com os movimentos do
corpo cada ponto de sua superf´ıcie tera´ sua coordenada vertical variando com o tempo. Assim
teremos a coluna de a´gua em um ponto, que rege a pressa˜o hidrosta´tica, variando com o tempo
e a pressa˜o hidrosta´tica total dada pela soma da pressa˜o hidrosta´tica inicial correspondente a
posic¸a˜o de equil´ıbrio esta´tico do corpo, e de uma componente de pressa˜o hidrosta´tica varia´vel
com o tempo, correspondente a` mudanc¸a de posic¸a˜o vertical do ponto pe,t.
Admitindo ser poss´ıvel a superposic¸a˜o dos efeitos acima descritos na forma de um somato´rio
de efeitos a pressa˜o total ptotal seria enta˜o:
ptotal = pe + pd
= pe,0 + pe,t + pinc + pdif + prad
= pe,0 + p(t) (1.1)
onde a pressa˜o dinaˆmica pd e´ dada por
pinc + pdif + prad (1.2)
onde a pressa˜o esta´tica pe e´ dada por
pe,0 + pe,t (1.3)
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e a pressa˜o dependente do tempo p(t) e´ dada por
pe,t + pinc + pdif + prad (1.4)
onde:
• pressa˜o esta´tica pe
• pressa˜o dinaˆmica pd
• pressa˜o dependente do tempo pt
• pressa˜o esta´tica independente do tempo pe,0
• pressa˜o esta´tica dependente do tempo pe,t
• pressa˜o devida a` onda incidente pinc
• pressa˜o devida a` onda difratada pdif
• pressa˜o devida a` onda radiada prad
As forc¸as de origem hidrodinaˆmica seriam obtidas pela integrac¸a˜o destas presso˜es ptotal ao
longo do casco. Ale´m das forc¸as hidrodinaˆmicas atua sobre o corpo a forc¸a de peso. Re-
unindo estas forc¸as externas e utilizando a lei de Newton, temos as equac¸o˜es que va˜o reger o
movimento do corpo.
Atrave´s das figuras 1.1 e 1.2 vemos esquematicamente as diversas contribuic¸o˜es.
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Figura 1.1: Onda Incidente e sua Difrac¸a˜o
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Figura 1.2: Radiac¸a˜o e Empuxo
Cap´ıtulo 2
Dinaˆmica do Corpo Bidimensional
Flutuante
2.1 Introduc¸a˜o
Neste cap´ıtulo vamos tratar da dinaˆmica do movimento de um corpo flutuante. Vamos nos
ater ao problema no plano, isto e´, observamos o comportamento de um cilindro, cuja sec¸a˜o
tem uma forma naval, flutuando na superf´ıcie livre. Inicialmente, daremos somente um grau
de liberdade de movimento. Este grau de liberdade sera´ o de movimento vertical, depois o
de movimento de jogo e por u´ltimo o de movimento lateral. Posteriormente analisaremos os
movimentos acoplados de jogo e lateral.
2.2 Movimento Vertical
Analisemos o movimento vertical de um cilindro infinito de sec¸a˜o qualquer, flutuando na
superf´ıcie livre com seu eixo coincidindo com o eixo Ox, e com simetria em relac¸a˜o ao plano
longitudinal. Consideremos que inicialmente se encontra em equil´ıbrio esta´tico. Como trata-se
de um corpo infinito podemos desenvolver uma ana´lise bidimensional (figura 2.1).
Utilizando a segunda lei de Newton temos:
ms¨ = −P + E0 = 0 (2.1)
onde:
s e´ o movimento vertical do corpo,
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Figura 2.1: Forc¸a de Restaurac¸a˜o Vertical Resultante
m e´ a massa do corpo por unidade de comprimento,
P e´ o peso do corpo por unidade de comprimento,
E0 e´ o empuxo por unidade de comprimento.
Dando um deslocamento vertical ao corpo, havera´ enta˜o um desequil´ıbrio entre o peso e o
empuxo. Caso as u´nicas forc¸as intervenientes fossem o peso P e o empuxo E ter´ıamos P 6= E.
O corpo entraria enta˜o em movimento