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Programa de Engenharia Oceaˆnica COPPE / UFRJ Universidade Federal do Rio de Janeiro Hidrodinaˆmica IVb SH Sphaier Marc¸o de 2008 Suma´rio 1 Introduc¸a˜o a` Dinaˆmica de Corpos Flutuantes 1 1.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Sistemas de refereˆncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.3 Considerac¸o˜es F´ısicas sobre o Problema Hidrodinaˆmico . . . . . . . . . . . . . 2 2 Dinaˆmica do Corpo Bidimensional Flutuante 7 2.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.2 Movimento Vertical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.3 Movimento de Jogo Puro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.4 Movimento Lateral Puro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.5 Movimentos Simultaˆneos Lateral e de Jogo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.6 Hipo´tese de Froude-Krylov para o Ca´lculo de Forc¸a de Onda . . . . . . . . . . 21 2.6.1 Forc¸as de Froude-Krylov em Estruturas Retangulares . . . . . . . . . . 22 2.6.2 Cancelamento de Forc¸as de Froude-Krylov em um Retaˆngulo . . . . . . 26 2.6.3 Extensa˜o da expressa˜o de Froude-Krylov para o caso de um Navio com fundo plano horizontal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.6.4 Cancelamento de Forc¸as de Froude-Krylov em Estruturas Semisub- mers´ıveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3 Dinaˆmica de um Corpo Tridimensional Esbelto em Ondas 31 3.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.2 Movimentos vertical e de rotac¸a˜o em torno do eixo lateral . . . . . . . . . . . . 32 3.2.1 Equac¸o˜es dos Movimentos Acoplados de Heave e Pitch . . . . . . . . . 33 3.2.2 Soluc¸a˜o das equac¸o˜es de movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.3 Movimentos lateral, de rotac¸a˜o em torno do eixo Oz e de jogo . . . . . . . . . 36 3.3.1 Equac¸o˜es de movimento no plano horizontal . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.3.2 Soluc¸a˜o das equac¸o˜es de movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 4 Generalizac¸a˜o do Problema Dinaˆmico 41 4.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 4.2 Corpos com Geometria Qualquer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 i ii Texto Preliminar, SH Sphaier 4.3 Um Exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 5 Navio em Mar Irregular 49 5.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 5.2 Transformada de Fourier da Equac¸a˜o de Movimento . . . . . . . . . . . . . . . 49 5.3 O Espectro de Resposta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 5.4 Espectro de Resposta de um Sistema Oceaˆnico em um Mar Irregular . . . . . 51 5.5 Movimentos de um Corpo Flutuante no Mar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 5.5.1 Deslocamentos, velocidades e acelerac¸o˜es em um ponto do corpo . . . . 53 5.5.2 Eventos de Seakeeping . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 5.6 Resumo Esquema´tico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 6 Hidrodinaˆmica de Corpos Flutuantes Estaciona´rios 65 6.1 Aspectos F´ısicos: Leis e Princ´ıpios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 6.2 Formulac¸a˜o hidrodinaˆmica: Leis e Princ´ıpios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 6.3 Forc¸as Atuantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 6.3.1 Forc¸as hidrodinaˆmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 6.3.2 Forc¸a de excitac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 6.3.3 Forc¸a de radiac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 6.3.4 Quantidades de Movimento Linear e Angular da Massa do Corpo . . . 82 6.3.5 Restaurac¸a˜o: Ac¸a˜o das forc¸as hidrosta´ticas e das forc¸as de corpo . . . . 87 6.4 Equac¸o˜es de Movimento no Domı´nio da Frequeˆncia . . . . . . . . . . . . . . . 92 Lista de Figuras 1.1 Onda Incidente e sua Difrac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Radiac¸a˜o e Empuxo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2.1 Forc¸a de Restaurac¸a˜o Vertical Resultante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.2 Decremento Logar´ıtmico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.3 Fator de Amplificac¸a˜o, Func¸a˜o de transfereˆncia, Rao . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.4 Aˆngulo de Fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.5 Banda de uma sec¸a˜o naval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.6 Cancelamento em Formas Retangulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.7 Cancelamento em Estruturas Semisubmers´ıveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 4.1 Ine´rcia Adicional e Amortecimento na Forma Adimensional I . . . . . . . . . . 45 4.2 Ine´rcia Adicional e Amortecimento na Forma Adimensional II . . . . . . . . . 46 4.3 Ine´rcia Adicional e Amortecimento na Forma Adimensional III . . . . . . . . . 46 4.4 Forc¸a de Excitac¸a˜o Vertical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 4.5 Momento de Excitac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 4.6 Rao de Heave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 4.7 Rao de Pitch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 5.1 Apresentac¸a˜o Esquema´tica I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 5.2 Apresentac¸a˜o Esquema´tica II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 5.3 Apresentac¸a˜o Esquema´tica III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 5.4 Apresentac¸a˜o Esquema´tica IV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 5.5 Apresentac¸a˜o Esquema´tica V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 iii Cap´ıtulo 1 Introduc¸a˜o a` Dinaˆmica de Corpos Flutuantes 1.1 Introduc¸a˜o O estudo do comportamento de corpos flutuantes trata do estudo da dinaˆmica de um corpo flutuante sujeito a forc¸as hidrodinaˆmicas, hidrosta´ticas e forc¸as de corpo. Neste cap´ıtulo ini- ciaremos o estudo do problema de um corpo na superf´ıcie livre com liberdade de executar movimento vertical. Em seguida analisaremos os aspectos hidrodinaˆmicos, pore´m ainda de um ponto mais descritivo do fenoˆmeno que de um ponto de sua formulac¸a˜o matema´tica. Posteri- ormente apresentaremos a formulac¸a˜o matema´tica e a soluc¸a˜o para o fenoˆmeno hidrodinaˆmico de radiac¸a˜o de ondas a partir dos movimentos de um corpo junto a superf´ıcie livre. Por uma questa˜o de simplicidade de formulac¸a˜o matema´tica analisaremos o caso de um batedor de ondas do tipo pista˜o. O problema de um corpo fixo em ondas e´ analisado na sec¸a˜o seguinte para introduzirmos a hipo´tese de Froude-Krylov e o problema de difrac¸a˜o. Finalmente ap- resentamos o caso de um corpo flutuante em ondas, estabelecendo o problema de valor de contorno linearizado. 1.2 Sistemas de refereˆncia Ao longo do texto utilizaremos treˆs sistemas de refereˆncia. Um sistema de coordenadas OXY Z com o plano Z = 0 sobre a superf´ıcie livre. O eixo OZ aponta verticalmente para cima. Um segundo sistema utilizado e´ o sistema o¯x¯y¯z¯ cujo centro, sempre concide com o ponto O, 1 2 Texto Preliminar, SH Sphaier com eixo o¯x¯ fazendo um aˆngulo β com o eixo OX. O terceiro sistema aqui considerado e´ o sistema oxyz, o qual se desloca com a velocidade do navio, sem oscilar. Seu centro esta´ localizado na superf´ıcie livreem repouso e o eixo oz aponta verticalmente para cima. O ponto o, centro do sistema, esta´ localizado a meio navio. Muitas vezes e´ mais pra´tico localiza´-lo na vertical passando pelo centro de gravidade. O navio desloca-se em linha reta com velocidade U na direc¸a˜o do eixo o¯x¯. As ondas se propagam na direc¸a˜o do eixo OX e o vetor celeridade da onda faz um aˆngulo β com o vetor velocidade do navio, e consequentemente com o eixo longitudinal do navio. 1.3 Considerac¸o˜es F´ısicas sobre o Problema Hidrodi- naˆmico Tentando apresentar uma visualizac¸a˜o do fenoˆmeno e identificac¸a˜o das ac¸o˜es hidrodinaˆmicas sobre um corpo flutuante deslocando-se em ondas, vamos considerar, para efeito de ana´lise, que o corpo, inicialmente, se encontra em repouso em a´guas tranquilas sujeito a ac¸a˜o de seu peso e ao empuxo, resultante da ac¸a˜o das presso˜es hidrosta´ticas sobre a superf´ıcie molhada do corpo. A nossa experieˆncia dia´ria nos diz que, incidindo uma onda sobre o corpo, este saira´ da situac¸a˜o de equil´ıbrio esta´tico executando movimentos no meio fluido. Inicialmente imaginemos o que se passa sobre uma superf´ıcie fict´ıcia cuja forma e´ igual a forma do corpo colocado no meio fluido. Se na˜o houvesse ondas, a forc¸a que o fluido, externo a` superf´ıcie imagina´ria, faria sobre a massa fluida contida em seu interior seria igual ao peso desta massa fluida. Isto nada mais e´ que o princ´ıpio de Arquimedes. Esta forc¸a pode ser obtida como resultado da integrac¸a˜o da pressa˜o hidrosta´tica pe,0. Consideremos agora a ac¸a˜o de ondas. As part´ıculas fluidas atravessam a superf´ıcie ima- gina´ria e a pressa˜o em cada um de seus pontos varia com o tempo devido a` contribuic¸a˜o da pressa˜o hidrodinaˆmica das ondas incidentes. Ale´m da forc¸a hidrosta´tica temos uma forc¸a hidrodinaˆmica devida ao campo de presso˜es decorrente da onda incidente pinc. A esta com- ponente hidrodinaˆmica de forc¸a chamamos de forc¸a de onda segundo a hipo´tese de Froude- Krylov, ou de forma abreviada, forc¸a de Froude-Krylov. Trata-se enta˜o de determinar a forc¸a hidrodinaˆmica devida a` pressa˜o hidrodinaˆmica causada pela onda incidente sobre a superf´ıcie a ser ocupada pelo contorno do corpo. Uma segunda componente dinaˆmica de forc¸a aparecera´ devida a` perturbac¸a˜o que o corpo cria no meio fluido. Na realidade as part´ıculas fluidas na˜o podem atravessar o corpo. A presenc¸a Texto Preliminar, SH Sphaier 3 do corpo impo˜e velocidades a`s part´ıculas fluidas de forma a terem componentes normais junto ao corpo iguais a zero. Sa˜o originadas ondas que se propagam para o fluido, interagem com a onda incidente anulando as componentes de velocidades das part´ıculas fluidas junto a superf´ıcie do corpo na direc¸a˜o normal. A este fenoˆmeno chamamos de difrac¸a˜o. Aparecem ondas de difrac¸a˜o geradas junto ao corpo. Este fenoˆmeno esta´ intimamente ligado a`s ondas incidentes. A onda incidente ao encontrar o corpo se difrata. A energia que se propaga na direc¸a˜o da onda incidente espalha-se devido a` presenc¸a do corpo propagando-se em outras direc¸o˜es. Soma-se a` pressa˜o dinaˆmica da onda incidente uma nova parcela devida a` onda difratada pdif . De forma semelhante ao problema do escoamento uniforme acelerado em torno de um c´ırculo em que a forc¸a resultante era composta de duas componentes, uma devida ao escoamento acelerado, e outra devida a` perturbac¸a˜o que o c´ırculo, representado pelo dipolo causava no escoamento, no problema de ondas aparecem duas componentes de forc¸a, uma devida a` onda incidente como se na˜o houvesse corpo (forc¸a de Foude-Krylov) e outra devida a perturbac¸a˜o que o corpo cria na onda incidente, forc¸a de difrac¸a˜o. Uma segunda fonte de formac¸a˜o de ondas que se radiam do corpo para o meio deve-se aos movimentos do corpo. O movimento do corpo induz movimento a`s part´ıculas fluidas junto ao casco. Este movimento transmite-se a`s outras part´ıculas fluidas, agitando a superf´ıcie livre gerando ondas que se propagam para o meio. A este fenoˆmeno chamamos de radiac¸a˜o. Estas ondas tambe´m provocara˜o uma modificac¸a˜o no campo de presso˜es atuantes sobre o casco prad. Uma u´ltima parcela que contribui para a variac¸a˜o da pressa˜o atuante em um ponto da su- perf´ıcie do corpo com o tempo e´ sua constante mudanc¸a de posic¸a˜o. A pressa˜o hidrosta´tica dependera´ da posic¸a˜o inicial do ponto e dos movimentos do corpo. Com os movimentos do corpo cada ponto de sua superf´ıcie tera´ sua coordenada vertical variando com o tempo. Assim teremos a coluna de a´gua em um ponto, que rege a pressa˜o hidrosta´tica, variando com o tempo e a pressa˜o hidrosta´tica total dada pela soma da pressa˜o hidrosta´tica inicial correspondente a posic¸a˜o de equil´ıbrio esta´tico do corpo, e de uma componente de pressa˜o hidrosta´tica varia´vel com o tempo, correspondente a` mudanc¸a de posic¸a˜o vertical do ponto pe,t. Admitindo ser poss´ıvel a superposic¸a˜o dos efeitos acima descritos na forma de um somato´rio de efeitos a pressa˜o total ptotal seria enta˜o: ptotal = pe + pd = pe,0 + pe,t + pinc + pdif + prad = pe,0 + p(t) (1.1) onde a pressa˜o dinaˆmica pd e´ dada por pinc + pdif + prad (1.2) onde a pressa˜o esta´tica pe e´ dada por pe,0 + pe,t (1.3) 4 Texto Preliminar, SH Sphaier e a pressa˜o dependente do tempo p(t) e´ dada por pe,t + pinc + pdif + prad (1.4) onde: • pressa˜o esta´tica pe • pressa˜o dinaˆmica pd • pressa˜o dependente do tempo pt • pressa˜o esta´tica independente do tempo pe,0 • pressa˜o esta´tica dependente do tempo pe,t • pressa˜o devida a` onda incidente pinc • pressa˜o devida a` onda difratada pdif • pressa˜o devida a` onda radiada prad As forc¸as de origem hidrodinaˆmica seriam obtidas pela integrac¸a˜o destas presso˜es ptotal ao longo do casco. Ale´m das forc¸as hidrodinaˆmicas atua sobre o corpo a forc¸a de peso. Re- unindo estas forc¸as externas e utilizando a lei de Newton, temos as equac¸o˜es que va˜o reger o movimento do corpo. Atrave´s das figuras 1.1 e 1.2 vemos esquematicamente as diversas contribuic¸o˜es. Texto Preliminar, SH Sphaier 5 Figura 1.1: Onda Incidente e sua Difrac¸a˜o 6 Texto Preliminar, SH Sphaier Figura 1.2: Radiac¸a˜o e Empuxo Cap´ıtulo 2 Dinaˆmica do Corpo Bidimensional Flutuante 2.1 Introduc¸a˜o Neste cap´ıtulo vamos tratar da dinaˆmica do movimento de um corpo flutuante. Vamos nos ater ao problema no plano, isto e´, observamos o comportamento de um cilindro, cuja sec¸a˜o tem uma forma naval, flutuando na superf´ıcie livre. Inicialmente, daremos somente um grau de liberdade de movimento. Este grau de liberdade sera´ o de movimento vertical, depois o de movimento de jogo e por u´ltimo o de movimento lateral. Posteriormente analisaremos os movimentos acoplados de jogo e lateral. 2.2 Movimento Vertical Analisemos o movimento vertical de um cilindro infinito de sec¸a˜o qualquer, flutuando na superf´ıcie livre com seu eixo coincidindo com o eixo Ox, e com simetria em relac¸a˜o ao plano longitudinal. Consideremos que inicialmente se encontra em equil´ıbrio esta´tico. Como trata-se de um corpo infinito podemos desenvolver uma ana´lise bidimensional (figura 2.1). Utilizando a segunda lei de Newton temos: ms¨ = −P + E0 = 0 (2.1) onde: s e´ o movimento vertical do corpo, 7 8 Texto Preliminar, SH Sphaier Figura 2.1: Forc¸a de Restaurac¸a˜o Vertical Resultante m e´ a massa do corpo por unidade de comprimento, P e´ o peso do corpo por unidade de comprimento, E0 e´ o empuxo por unidade de comprimento. Dando um deslocamento vertical ao corpo, havera´ enta˜o um desequil´ıbrio entre o peso e o empuxo. Caso as u´nicas forc¸as intervenientes fossem o peso P e o empuxo E ter´ıamos P 6= E. O corpo entraria enta˜o em movimentooscilato´rio. A lei de Newton fornece ms¨ = −P + E0 +4E (2.2) Considerando pequenos movimentos verticais podemos dizer que ∆E = −ρgBs e enta˜o ms¨ = −ρgBs (2.3) com s(t = 0) = s0, sendo B a boca do cilindro. Assim ter´ıamos a seguinte equac¸a˜o diferencial ordina´ria para resolver. ms¨+ ρgBs = 0 (2.4) com s(t = 0) = s0 e s˙ = 0. Trata-se de uma equac¸a˜o diferencial ordina´ria a coeficientes constantes de segunda ordem homogeˆnea sujeita a uma condic¸a˜o inicial. A soluc¸a˜o e´ da forma s = s0e iωnt (2.5) Texto Preliminar, SH Sphaier 9 com ωn = √ ρgB/m, frequeˆncia natural, e o corpo permaneceria em movimento harmoˆnico indefinidamente. A experieˆncia dia´ria nos diz entretanto que este movimento tem um decremento com o tempo, e podemos observar o aparecimento de ondas na superf´ıcie livre. Estas ondas propagam-se do corpo para o infinito carregando consigo energia. Lembrando as concluso˜es obtidas no estudo do escoamento devido a um c´ırculo acelerado em um fluido em repouso, sabemos que a pressa˜o dinaˆmica da´ origem a uma forc¸a contra´ria a` acelerac¸a˜o do corpo. Sem nos preocuparmos aqui com o rigor matema´tico, podemos dizer que a pressa˜o da´ origem a uma forc¸a na forma Fhdin = −a33s¨ (2.6) A lei de Newton agora fornece ms¨ = −a33s¨− ρgBs (2.7) ou (m+ a33)s¨+ ρgBs = 0 (2.8) A soluc¸a˜o desta equac¸a˜o e´ semelhante a` soluc¸a˜o do caso anterior, modificando-se somente o valor de ωn ωn = √ ρgB m+ a33 (2.9) Isto quer dizer, que o decaimento do movimento que observamos em nossa experieˆncia dia´ria, na˜o e´ previsto e por conseguinte a energia dissipada na formac¸a˜o de ondas na˜o esta´ sendo considerada. A expressa˜o acima, representativa da forc¸a hidrodinaˆmica na˜o preve termo responsa´vel pela formac¸a˜o de ondas e consequentemente pelo decaimento do movimento do corpo, o que na˜o representa o caso real. Ocorre que estas forc¸as, devidas a radiac¸a˜o de ondas, na˜o necessariamente esta˜o em fase com a acelerac¸a˜o do corpo. A forc¸a de radiac¸a˜o resultante esta´ subdividida em duas parcelas, uma em fase com a acelerac¸a˜o e outra com a velocidade do corpo. Esta segunda parcela e´ responsa´vel pelo constante consumo de energia cine´tica do corpo, transferindo energia para a massa fluida na forma de ondas, que se transmitem para o infinito, provocando assim um decaimento no movimento do corpo. Ao coeficiente de proporcionalidade entre acelerac¸a˜o e a forc¸a em fase com a acelerac¸a˜o chamamos de coeficiente de massa adicional e, ao coeficiente de proporcionalidade entre ve- locidade e forc¸a em fase com a velocidade, damos o nome de coeficiente de amortecimento. Com esta expressa˜o a equac¸a˜o de movimento do corpo apresenta um termo na˜o conservativo linear, e esta´ intimamente ligado a` energia da onda que, formada pela interac¸a˜o fluido-corpo junto a superf´ıcie livre se radia para o meio, propagando-se a longas distaˆncias. 10 Texto Preliminar, SH Sphaier Fhdin = −a33s¨− b33s˙ (2.10) onde b33 e´ o coeficiente de amortecimento. A equac¸a˜o de movimento obtida a partir da aplicac¸a˜o da lei de Newton seria agora ms¨ = −a33s¨− b33s˙− ρgBs (2.11) ou (m+ a33)s¨+ b33s˙+ ρgBs = 0 (2.12) Esta e´ uma equac¸a˜o diferencial homogeˆnea ordina´ria de segunda ordem a coeficientes con- stantes. Sua soluc¸a˜o e´ da forma exponencial. Este problema corresponde ao de vibrac¸a˜o livre de um sistema amortecido, sujeito a um deslocamento e uma velocidade iniciais. Consideremos agora que incide uma onda monocroma´tica que, como descrito acima, introduz uma forc¸a de excitac¸a˜o harmoˆnica. Fexc = F0e iωt = (F0,R + i F0,I)e iωt (2.13) onde F0 e´ a amplitude da forc¸a ω e´ a frequeˆncia de oscilac¸a˜o. A lei de Newton fornece enta˜o a seguinte equac¸a˜o de movimento ms¨ = −a33s¨− b33s˙− ρgBs+ Fexc (2.14) ou (m+ a33)s¨+ b33s˙+ ρgBs = F0e iωt (2.15) Texto Preliminar, SH Sphaier 11 A soluc¸a˜o desta equac¸a˜o diferencial e´ a soma da soluc¸a˜o homogeˆnea, que corresponderia ao movimento apo´s um impulso inicial, mais a soluc¸a˜o particular que seria regida pela carac- ter´ıstica da forc¸a de excitac¸a˜o. Assim, apo´s algum tempo, a soluc¸a˜o homogeˆnea na˜o mais interferiria na soluc¸a˜o do problema, isto e´, apo´s a fase transiente o corpo entraria em um movimento harmoˆnico com frequeˆncia ω s = s¯0e i(ωt+δ) = s0e i(ωt) (2.16) onde: s¯0 e´ a amplitude do movimento s0 e´ a amplitude complexa δ e´ a fase. Soluc¸a˜o homogeˆnea A soluc¸a˜o homogeˆnea e´ a soluc¸a˜o da equac¸a˜o: (m+ a33)s¨+ b33s˙+ ρgBs = 0 (2.17) e e´ da forma: s = e−b33/[2(m+a33)] t ( a1e t √ (b33/[2(m+a33)])2−ρ g B/(m+a33) + a2e−t √ (b33/[2(m+a33)])2−ρ g B/(m+a33) ) (2.18) Para valores de b33 em que [b33/2(m + a33)] 2 − ρ g B/(m + a33) > 0 temos o movimento decrescendo exponencialmente segundo 2.18. Para pequenos valores de b33 em que [b33/2(m+a33)] 2−ρ g B/(m+a33) < 0 temos um sistema pouco amortecido e o argumento das func¸o˜es exponenciais sera´ imagina´rio. A soluc¸a˜o toma a forma: s = e−b33/[2(m+a33)] t ( a1 cos(t √ ρ g B/(m+ a33)− (b33/[2(m+ a33)])2 +a2 sin(t √ ρ g B/(m+ a33)− (b33/[2(m+ a33)])2 ) (2.19) Se defirmos ω como frequeˆncia amortecida: ω = √ ρ g B/(m+ a33)− (b33/[2(m+ a33)])2 (2.20) 12 Texto Preliminar, SH Sphaier enta˜o teremos s = e−b33/[2(m+a33)] t (a1 cos(ωt) + a2 sin(ωt)) (2.21) O valor de b33 para o qual [b33/2(m+ a33)] 2 − ρ g B/(m+ a33) = 0 (2.22) e´ chamado de amortecimento cr´ıtico. b33,c = 2(m+ a33)ωn (2.23) Definimos como ζ a relac¸a˜o entre o amortecimento b33 e o amortecimento cr´ıtico b33,c, ζ = b33 b33,c (2.24) Observemos que substituindo (2.9), (2.24) e (2.23) em (2.12) obtemos s¨+ 2ζωns˙+ ω 2 ns = 0 (2.25) Este e´ um formato compacto da uma equac¸a˜o diferencial que vimos acima. Trata-se de uma equac¸a˜o ordina´ria a coeficientes constantes. Embora seja totalmente equivalente ao caso visto acima, vamos aqui desenvolver novamente sua soluc¸a˜o, que e´ da forma s = aeλt (2.26) Substituindo esta expressa˜o em (2.29) obtemos, para a determinac¸a˜o de λ, a seguinte equac¸a˜o do segundo grau: λ2 + 2ζωnλ+ ω 2 n = 0 (2.27) Assim, temos duas soluc¸o˜es na forma: λ = −ζωn ± i √ 1− ζ2ωn (2.28) Observemos que o crescimento ou decaimento do deslocamento, isto e´, o crescimento ou decaimento de s ao longo do tempo, depende do fator ζ, relac¸a˜o entre o amortecimento do sistema e o amortecimento cr´ıtico. Cabe entretanto, conceituar amortecimento cr´ıtico. Antes pore´m observemos o comportamento da soluc¸a˜o para valores de ζ positivo, nulo e negativo. Iniciemos abordando o caso em que ζ = 0. s¨+ ω2ns = 0 (2.29) Texto Preliminar, SH Sphaier 13 Figura 2.2: Decremento Logar´ıtmico Esta equac¸a˜o tem soluc¸a˜o na forma s = a1e iωnt + a2e −iωnt (2.30) Assim vemos que o corpo vai oscilar indefinidamente harmoˆnicamente na chamada frequ¨eˆncia natural. Caso ζ < 0, o movimento aumentara´ indefinidamente com o tempo. Trata-se de um sistema com amortecimento negativo causando uma amplificac¸a˜o do movimento. Caso ζ > 0, o termo exponencial atuara´ forc¸ando o decaimento do movimento. Para o caso do amortecimento positivo, isto e´, ζ positivo, devemos distinguir treˆs casos. O primeiro em que ζ < 1. O termo exponencial atuara´ como um regulador da amplitude do movimento. Este regulador impo˜e um decaimento do movimento. O corpo oscila com a frequeˆncia ω = √ 1− ζ2ωn (2.31) A figura 2.2 mostra este comportamento. Para o caso em que ζ > 1 o sistema e´ fortemente amortecido. Na˜o ha´ oscilac¸a˜o. A soluc¸a˜o 14 Texto Preliminar, SH Sphaier toma a forma s = a1e ( −ζ+ √ ζ2−1 ) ωnt + a2e ( −ζ− √ ζ2−1 ) ωnt (2.32) No casoem que ζ = 1 a expressa˜o (2.28) torna-se λ = −ωn (2.33) isto e´, a expressa˜o (2.26) fornece uma u´nica soluc¸a˜o. s = ae−ωt (2.34) Temos que providenciar uma segunda soluc¸a˜o. Como sabido do ca´lculo diferencial a soluc¸a˜o homogeˆnea torna-se enta˜o: s = (a1 + a2t)e −ωt (2.35) Observemos que, de forma geral, em um sistema massa-mola-amortecedor, podemos medir a massa do corpo e o efeito de mola aplicando-se uma forc¸a e medindo-se a elongac¸a˜o da mola. Conhecidos estes dois termos da equac¸a˜o diferencial do movimento, falta-nos determinar o amortecimento do sistema. Atrave´s de uma experieˆncia e, determinando-se o logaritmo natu- ral da relac¸a˜o entre duas amplitudes sucessivas, e´ poss´ıvel extrair-se o valor do amortecimento. No caso de um corpo oscilando na superf´ıcie, podemos medir os efeitos de restaurac¸a˜o ou calcula´-los atrave´s das linhas do corpo. Podemos determinar a massa do corpo, compondo a massa de cada uma de suas partes, e calcular a massa adicional e o coeficiente de amortec- imento de ondas atrave´s de me´todos matema´ticos. Na abordagem aqui encaminhada, na˜o fazemos nenhuma menc¸a˜o a efeitos viscosos, que por efeitos locais, podem ser importantes. Nestes casos, embora possamos determinar o amortecimento devido a formac¸a˜o de ondas, e´ fundamental o teste do decremento logar´ıtmico para a determinac¸a˜o precisa dos efeitos viscosos. Poder-se-ia perguntar enta˜o se sempre ter´ıamos que fazer o teste. Em termos absolutos sempre seria necessa´rio, entretanto devemos inicialmente verificar se os efeitos vis- cosos sa˜o importantes ou na˜o, e se os me´todos de ca´lculo das propriedades hidrodinaˆmicas, massa adicional e amortecimento, para formas semelhantes levam a bons resultados ou na˜o. Em geral para formas navais, somente o movimento de jogo apresenta efeitos viscosos im- portantes. Costuma-se desenvolver testes experimentais, acumulando-se informac¸o˜es sobre o amortecimento na forma de um percentual do amortecimento cr´ıtico do sistema. Isto e´, se o amortecimento fosse igual ao cr´ıtico este seria dado por (2.23). Para a determinac¸a˜o do decremento logar´ıtmico, admitamos que a soluc¸a˜o seja dada por: s = Se−ζωnt [ sin (√ 1− ζ2ωnt+ α )] (2.36) onde S e α foram obtidos a partir de (2.18) e das condic¸o˜es de deslocamento s(t = 0) e velocicades s˙(t = 0) iniciais. Texto Preliminar, SH Sphaier 15 A curva s = Se−ζωnt (2.37) tangencia a curva de resposta do sistema pro´ximo aos ma´ximos. O decremento logar´ıtmico entre duas oscilac¸o˜es sucessivas e´ expresso por δl = ln s1 s2 = ln e−ζωnt1 e−ζωn(t1+T ) = ln eζωnT = ζωnT (2.38) Como o sistema oscila com frequeˆncia ω = ωn √ 1− ζ2 (2.39) o intervalo de tempo entre as duas oscilac¸o˜es sera´ T = 2pi ωn √ 1− ζ2 (2.40) e o decremento (ver figura 2.2): δl = 2piζ√ 1− ζ2 (2.41) Em sistemas pouco amortecidos teremos enta˜o δl = 2piζ (2.42) Soluc¸a˜o Particular Substituindo (2.16) em (2.15) obtemos a amplitude complexa s0 dada por s0 = 1 ρ g B − ω2 (m + a33) + i ω b33F0 = ρ g B − ω2 (m + a33) − i ω b33 (ρ g B − ω2 (m + a33))2 − (i ω b33)2F0 = ρ g B − ω2 (m + a33) − i ω b33 (ρ g B − ω2 (m + a33))2 + (ω b33)2F0 (2.43) que pode ser escrita em termos do mo´dulo | s0 | e da fase δ por s0 = (s0,R + i s0,I) e i ω t = | s0 | e(iω t+ δ) (2.44) onde: 16 Texto Preliminar, SH Sphaier freq / freq natural 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 zeta = 0.05 zeta = 0.10 zeta = 0.15 zeta = 0.20 zeta = 0.25 zeta = 0.30 zeta = 0.35 zeta = 0.50 zeta = 0.75 zeta = 1.00 Figura 2.3: Fator de Amplificac¸a˜o, Func¸a˜o de transfereˆncia, Rao s0,R e´ a parte real da amplitude complexa, s0,I e´ a parte imagina´ria. Multiplicando s0 pelo seu conjugado s ∗ 0 obtemos o mo´dulo da soluc¸a˜o: | s0 |2= s0 · s∗0 = ρ g B − ω2 (m + a33) − i ω b33( [ρ g B − ω2 (m + a33)]2 + (ω b33)2 )2 [ρ g B − ω2 (m + a33) + i ω b33] | F0 |2 = 1 [ρ g B − ω2 (m + a33)]2 + (ω b33)2 | F0 |2 (2.45) onde | F0 |2= F0 · F ∗0 (2.46) O aˆngulo de fase δ e´ dado por δ = arctan F0,R (ρ g B − ω2 (m + a33)) + F0,I (ω b33) F0,I (ρ g B − ω2 (m + a33)) − F0,R (ω b33) (2.47) O comportamento da soluc¸a˜o desta equac¸a˜o diferencial e´ mostrado nas figuras 2.3 e 2.4. Esta soluc¸a˜o e´ chamada de fator de amplificac¸a˜o, func¸a˜o de transfereˆncia ou RAO (Operador de Amplitude de Resposta). Texto Preliminar, SH Sphaier 17 freq / freq natural 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 -180 -150 -120 -90 -60 -30 0 zeta = 0.05 zeta = 0.10 zeta = 0.15 zeta = 0.20 zeta = 0.25 zeta = 0.30 zeta = 0.35 zeta = 0.50 zeta = 0.75 zeta = 1.00 Figura 2.4: Aˆngulo de Fase 2.3 Movimento de Jogo Puro Estudemos agora o problema de oscilac¸a˜o angular de um corpo bidimensional junto a su- perf´ıcie livre. Consideremos que incide uma onda monocroma´tica que, impo˜e um momento de excitac¸a˜o harmoˆnico. Mexc =M0e iωt = (M0,R + iM0,I)e iωt (2.48) O corpo, reagindo a este momento, entra em movimento harmoˆnico com a mesma frequeˆncia da excitac¸a˜o. Dotado deste movimento vai radiar ondas para o meio que induzem presso˜es sobre o corpo. O momento da forc¸a de reac¸a˜o hidrodinaˆmica atuando sobre o corpo, e´ da forma Mrad = −a44η¨4 − b44η˙4 (2.49) Com o deslocamento do corpo de sua posic¸a˜o de equil´ıbrio, atuara´ sobre ele um momento restaurador resultante da ac¸a˜o das forc¸as devidas ao peso e a`s presso˜es hidrosta´ticas. Admitamos que a sec¸a˜o execute uma rotac¸a˜o η4 em torno do ponto O, ver figura 2.5. 18 Texto Preliminar, SH Sphaier Figura 2.5: Banda de uma sec¸a˜o naval O centro de carena, localizado inicialmente no ponto B, desloca-se para o ponto B ′ . A vertical passando por B ′ encontra o eixo Oz no ponto M , o metacentro. Nesta vertical temos o ponto B ′ , de forma tal que B′B e´ um segmento horizontal. Valem as relac¸o˜es: A1C1 = A2C2 = b 2 tan(η4) (2.50) GB = BM −GM (2.51) BB′ = (GM +GB) sin(η4) (2.52) O deslocamento do centro de carena do ponto B para o ponto B ′ , deve-se ao ganho da a´rea do triaˆngulo C1OA1 e a` perda de a´rea do triaˆngulo C2OA2. A a´rea de cada uma destas cunhas e´ dada por 1 2 b 2 b 2 tan(η4) = 1 8 b2 tan(η4) (2.53) Assim o peso deslocado e´ de ρg 1 8 b2 tan(η4) para cada cunha. As duas cunhas geram um momento 2ρg ∫ b/2 0 yy tan(η4)dy = 2ρg tan(η4) ∫ b/2 0 y2dy = 2ρg tan(η4) y3 3 |b/20 = ρg tan(η4) b3 12 (2.54) Texto Preliminar, SH Sphaier 19 Dividindo o momento pelo peso temos o brac¸o de momento igual a b/3. Considerando o empuxo total ser composto pelo empuxo aplicado em B, somado ao empuxo devido ao triaˆngulo C1OA1 e subtra´ıdo do empuxo devido ao triaˆngulo C2OA2 teremos os seguintes momentos atuantes: M1 = −GB sin(η4)mg (2.55) M2 = ρg tan(η4) b3 12 (2.56) Por outro lado, temos que a distaˆncia horizontal e´ dada por: BB′′ = (ρg tan(η4) b3 12 )/mg (2.57) Assim (GM +GB) sin(η4) = (ρg tan(η4) b3 12 )/mg (2.58) Compondo os dois momentos teremos o momento restaurador Mrest dado por: Mrest =M1 +M2 = ρg tan(η4) b3 12 −GBmg sin(η4) = mg(GM +GB) sin(η4)−GBmg sin(η4) = mgGM sin(η4) (2.59) A distaˆncia GM e´ chamada de altura metaceˆntrica e mede a capacidade que um corpo tem para retornar a sua posic¸a˜o de equil´ıbrio. Admitindo pequenos deslocamentos, sin(η4) ≈ η4, e reunindo todas estas forc¸as, segue da segunda lei de Newton, para a condic¸a˜o de conservac¸a˜o do movimento angular: I44η¨4 =Mrad +Mrest +Mexc (2.60) ou (I44 + a44)η¨4 + b44η˙4 +mgGMη4 =Mexc (2.61) Da mesma forma que no movimento vertical, esta e´ uma equac¸a˜o diferencial ordina´ria de se- gunda ordem a coeficientesconstantes, na˜o homogeˆnea. Sua soluc¸a˜o e´ a soma de uma soluc¸a˜o homogeˆnea e uma soluc¸a˜o particular. Admitindo que a contribuic¸a˜o da soluc¸a˜o homogeˆnea decai rapidamente, o corpo executara´ movimento harmoˆnico na mesma frequeˆncia das ondas incidentes. Todo o desenvolvimento utilizado na soluc¸a˜o do movimento vertical e´ aplicado diretamente, pois as equac¸o˜es diferenciais sa˜o correspondentes. 20 Texto Preliminar, SH Sphaier 2.4 Movimento Lateral Puro As equac¸o˜es diferenciais que descrevem os movimentos de oscilac¸a˜o vertical e angular sa˜o semelhantes. Em ambos os movimentos temos inclusive termos de restaurac¸a˜o. Ja´ no movi- mento horizontal tal comportamento na˜o se da´. Na˜o ha´ restaurac¸a˜o. Se quisermos utilizar o conceito de frequeˆncia natural, veremos que esta sera´ nula. Consideremos que a onda monocroma´tica incidente impo˜e uma forc¸a de excitac¸a˜o harmoˆnica. Fexc = F0e iωt = (F0,R + i F0,I)e iωt (2.62) O corpo reagindo a esta forc¸a entra em movimento harmoˆnico com a mesma frequeˆncia da excitac¸a˜o. Dotado deste movimento vai radiar ondas para o meio que induzem presso˜es sobre o corpo. A forc¸a de reac¸a˜o hidrodinaˆmica atuando sobre o corpo e´ da forma Frad = −a22η¨2 − b22η˙2 (2.63) onde η2 e´ o deslocamento lateral do corpo. Aplicando a segunda lei de Newton para a condic¸a˜o de conservac¸a˜o do movimento linear temos: (m+ a22)η¨2 + b22η˙2 = Fexc (2.64) Esta e´ uma equac¸a˜o diferencial ordina´ria de segunda ordem a coeficientes constantes, na˜o homogeˆnea, sendo que e´ nulo o coeficiente do termo de grau zero. 2.5 Movimentos Simultaˆneos Lateral e de Jogo Consideremos que uma onda monocroma´tica incide sobre a sec¸a˜o impondo uma distribuic¸a˜o de presso˜es sobre ela. Esta distribuic¸a˜o na˜o ira´ somente induzir forc¸a ou momento de excitac¸a˜o, pore´m ambos e simultaneamente. Sendo a onda harmoˆnica, a forc¸a e o momento de excitac¸a˜o sera˜o harmoˆnicos. Fexc = F0e iωt = (F0,R + i F0,I)e iωt (2.65) Mexc =M0e iωt = (M0,R + iM0,I)e iωt (2.66) O corpo, reagindo a esta forc¸a e este momento, entra em movimento harmoˆnico com a mesma frequeˆncia da excitac¸a˜o. Dotado deste movimento vai radiar ondas para o meio que induzem presso˜es sobre o corpo. Ao executar um movimento lateral a sec¸a˜o sofre uma reac¸a˜o na forma de uma forc¸a na direc¸a˜o horizontal e um momento em torno do ponto O. Assim sendo, a sec¸a˜o tendera´ a ter dois movimentos acoplados. De forma similar, ao executar movimentos em torno do ponto O Texto Preliminar, SH Sphaier 21 a sec¸a˜o sofre uma reac¸a˜o hidrodinaˆmica na forma de uma forc¸a horizontal e de um momento em torno do ponto O. Podemos dizer que ao executar os movimentos em conjuntos, atuara˜o sobre a sec¸a˜o forc¸as e momentos da forma Frad = −a22η¨2 − b22η˙2 − a24η¨4 − b24η˙4 (2.67) Mrad = −a42η¨2 − b42η˙2 − a44η¨4 − b44η˙4 (2.68) onde η2 e η4 sa˜o respectivamente os movimentos lateral e de jogo. Observando que so´ ha´ momento de restaurac¸a˜o, na˜o ha´ forc¸a de restaurac¸a˜o, da aplicac¸a˜o das leis de conservac¸a˜o de movimento linear e de movimento angular, segunda lei de Newton, as equac¸o˜es de movimento sa˜o escritas na forma: mη¨2 −mZgη¨4 = −a22η¨2 − b22η˙2 − a24η¨4 − b24η˙4 + fexc,2 (2.69) Ixxη¨4 −mZgη¨2 = −a44η¨4 − b44η˙4 − a42η¨2 − b42η˙2 −mgGMη4 + fexc,4 (2.70) ou (m+ a22)η¨2 + b22η˙2 + (a24 −mZg)η¨4 + b24η˙4 = fexc,2 (2.71) (I+a44)η¨4+b44η˙4+mgGMη4+(a42−mZg)η¨2+b42η˙2 = fexc,4 (2.72) Este e´ um sistema de equac¸o˜es diferenciais ordina´rias de segunda ordem acopladas a coefi- cientes constantes, na˜o homogeˆneas. 2.6 Hipo´tese de Froude-Krylov para o Ca´lculo de Forc¸a de Onda Vimos acima o problema de radiac¸a˜o. Um corpo oscila junto a` superf´ıcie livre gera ondas que se propagam carregando energia. Determinamos a soluc¸a˜o para o caso de um batedor de ondas como exemplo ba´sico. Originalmente na˜o existiam ondas no meio fluido. Vamos agora estudar o problema da ac¸a˜o de ondas em um corpo fixo junto a` superf´ıcie livre. Consideremos um retaˆngulo flutuando na superf´ıcie livre e determinemos a forc¸a de onda atuante sobre ele segundo a hipo´tese de Froude-Krylov, isto e´, a forc¸a devida a onda inci- dente. Segundo a hipo´tese de Froude-Krylov, as forc¸as hidrodinaˆmicas atuando em um corpo flutuante devem-se unicamente a` ac¸a˜o da onda incidente. Despreza-se o efeito da difrac¸a˜o das ondas incidentes. 22 Texto Preliminar, SH Sphaier A forc¸a hidrodinaˆmica e´ calculada integrando-se as presso˜es devidas a`s ondas in- cidentes atuando sobre a superf´ıcie imagina´ria dada pela posic¸a˜o instantaˆnea a ser ocupada pelo corpo. A pressa˜o e´ dada pela integral da Equac¸a˜o de Euler linearizada p = −ρ∂φ ∂t − ρgz (2.73) e a forc¸a e´ enta˜o F = Fd + Fe = −ρ ∫ S0 ( ∂φ ∂t + gz ) nds (2.74) onde Fd representa a contribuic¸a˜o dinaˆmica Fd = −ρ ∫ S0 ( ∂φ ∂t ) nds (2.75) e Fe representa a contribuic¸a˜o esta´tica Fe = −ρ ∫ S0 (gz)nds (2.76) Admitindo que o potencial de velocidades deve-se unicamente a` onda incidente: φ = φinc = iA(z) e i(ωt−k0x) (2.77) onde, para a´guas profundas: A(z) = ζ0g ω ek0z (2.78) Enta˜o pd = −ρ∂φinc ∂t = −ρiA(z)iωei(ωt−k0x) = ωρA(z)[cos(ωt− k0x) + i sin(ωt− k0x)] (2.79) 2.6.1 Forc¸as de Froude-Krylov em Estruturas Retangulares A figura (2.6) mostra o retaˆngulo na superf´ıcie livre. O centro do retaˆngulo encontra-se localizado em x0, tem boca b, calado T e pontos extremos A,B,C e D. As normais voltadas para fora do meio fluido esta˜o indicadas em cada trecho do contorno. O trecho S1 e´ limitado pelos pontos A e B, S2 e´ limitado pelos pontos B e C e S3 pelos pontos C e D. Texto Preliminar, SH Sphaier 23 Figura 2.6: Cancelamento em Formas Retangulares 24 Texto Preliminar, SH Sphaier Observando a figura 2.6 podemos escrever a expressa˜o da forc¸a hidrodinaˆmica na forma Fd = ωρ ∫ D A A(z) ei(ωt−k0x)nds (2.80) Fd = ωρ ∫ B A A(z) ei(ωt−k0x)i(−dz) +ωρ ∫ C B A(z) ei(ωt−k0x)k(dx) +ωρ ∫ D C A(z) ei(ωt−k0x)(−i)(dz) (2.81) Escrevendo as componentes em x e em z separadamente teremos: Forc¸a Horizontal Fd,x = ωρ {∫ −T 0 A(z) ei[ωt−k0(x0−b/2)](−)dz − ∫ 0 −T A(z) ei[ωt−k0(x0+b/2)]dz } (2.82) Fd,x = ωρ { ei[ωt−k0(x0−b/2)] − ei[ωt−k0(x0+b/2)] }∫ 0 −T A(z)dz = ωρ { ei[(ωt−k0x0)+k0b/2] − ei[(ωt−k0x0)−k0b/2] }∫ 0 −T A(z)dz = ωρ ∫ 0 −T A(z)dz ei(ωt−k0x0) { ei(k0b/2) − e−i(k0b/2) } = 2iωρ ∫ 0 −T A(z)dz ei(ωt−k0x0) sin(k0b/2) (2.83) e assim Fd,x = 2iωρ ∫ 0 −T A(z)dz ei(ωt−k0x0) sin(k0b/2) (2.84) Como, para a´guas profundas A(z) = ζ0g ω ek0z (2.85) resolvendo a integrac¸a˜o obtemos: Fd,x = ρgζ0b[1− e−k0T ] sin(k0b/2) (k0b/2) [i ei(ωt−k0x0)] (2.86) Texto Preliminar, SH Sphaier 25 Para ondas longas [1− e−k0T ]→ 0 (2.87) e a forc¸a anula-se. Observemos o caso em que x0 e´ nulo. A forc¸a horizontal tem intensidade: Fd,x,0 = ρgζ0b[1− e−k0T ] sin(k0b/2) (k0b/2) (2.88) e assim pode ser escrita como: Fd,x = Fd,x,0 [i e i(ωt)] = Fd,x,0 e i(ωt−pi/2) (2.89) Podemos tambe´m observar que a forc¸a horizontal e´ regida pelo seno de ωt. A forc¸a horizontal horizontal tem seu ma´ximo defasado do ma´ximo da onda. Vemos que a forc¸a horizontal e´ ma´xima quando temos um no´ com zero descendente em x0. Forc¸a Vertical Fd,z = ωρ ∫ C B A(z) ei(ωt−k0x)dx = ωρA(−T ) ∫ x0+b/2 x0−b/2 ei(ωt−k0x)dx = ωρA(−T ) i e i(ωt−k0x) k0 |x0+b/2x0−b/2 = ωρA(−T ) k0 i{ ei[ωt−k0(x0+b/2)] − ei[ωt−k0(x0−b/2)]} = ωρA(−T ) k0 i{ ei[(ωt−k0x0)−k0b/2] − ei[(ωt−k0x0)+k0b/2]} = ωρA(−T ) k0 i ei(ωt−k0x0){ e−ik0b/2 − eik0b/2} (2.90) e finalmente Fd,z = 2 ωρA(−T ) k0 ei(ωt−k0x0)sin(k0b/2) (2.91) Podemos observar que a forc¸a vertical e´ regida pelo cosseno de ωt. Isto e´, a forc¸a vertical passara´ por um ma´ximo sempre que a amplitude da onda passar por um ma´ximo em x0. Lembrando que em grandes profundidades A(z) = ζ0 g e k0z/ω enta˜o: Fd,z = ρ g ζ0e −k0T ei(ωt−k0x0) sin(k0b/2) k0/2 (2.92) 26 Texto Preliminar, SH Sphaier Multiplicando e dividindo por b obtemos: Fd,z = ρ g ζ0be −k0T ei(ωt−k0x0) sin(k0b/2) k0b/2 = ρ g b ζ(t, x0) e −k0T sin(k0b/2) k0b/2 (2.93) Esta expressa˜o indica que a forc¸a esta´ em fase com a elevac¸a˜o da onda em x0 e tem uma forma similar a uma forc¸a hidrosta´tica como se o corpo afundasse o que a onda se eleva corrigida de: 1. o efeito do decaimento da pressa˜o dinaˆmica com a profundidade 2. da variac¸a˜o da forma da onda e da pressa˜o com o cosseno de k0x Caso a onda seja muito longa k0b/2 = 2pib/2/L0 → 0, (2.94) e−k0T = e−2piT/L0 → 1 (2.95) e sin(k0b/2) k0b/2 = sin(w) w → 1 (2.96) Assim, Fd,z = ρ g ζ0b e i(ωt−k0x0) = ρ g b ζ(t, x0) (2.97) e a forc¸a atuante tem uma semelhanc¸a com uma forc¸a hidrosta´tica com variac¸a˜o de afunda- mento igual a ζ(t) no ponto x0. 2.6.2 Cancelamento de Forc¸as de Froude-Krylov em um Retaˆngulo Acima obtivemos as seguintes expresso˜es para as forc¸as de Froude-Krylov sobre um retaˆngulo: Fd,x = ρgb[1− e−k0T ] sin(k0b/2) (k0b/2) i ei(ωt−k0x0) (2.98) Fd,z = ρ g ζ0be −k0T ei(ωt−k0x0) sin(k0b/2) k0b/2 (2.99) Vemos que ambas expresso˜es conte´m o termo sin(k0b/2) k0b/2 (2.100) Texto Preliminar, SH Sphaier 27 Como k0b 2 = 2pib 2L0 = pib L0 (2.101) onde L0 e´ o comprimento da onda, a relac¸a˜o entre a boca do retaˆngulo e o comprimento da onda podera´, por um efeito de forma acarretar que a amplitude da forc¸a seja nula. Assim as forc¸as horizontal e vertical tera˜o amplitudes nulas se b L = n n = 1, 2, .... (2.102) 2.6.3 Extensa˜o da expressa˜o de Froude-Krylov para o caso de um Navio com fundo plano horizontal Digamos que temos agora um navio com fundo chato em que as ondas se propagam na direc¸a˜o do eixo longitudinal do navio. O problema e´ semelhante ao anterior, pore´m a boca torna-se o comprimento do navio e ao longo da boca, para um x fixo a pressa˜o e´ constante. O sistema de refereˆncia agora e´ Oxyz com Ox na direc¸a˜o longitudinal e Oy na direc¸a˜o transversal. O navio tem boca B e comprimento L. A expressa˜o da forc¸a vertical e´ dada por: Fd,z = ωρ ∫ S A(z) ei(ωt−k0x)dxdy (2.103) como a pressa˜o na˜o varia com a boca Fd,z = ωρA(−T )B ∫ L ei(ωt−k0x)dx (2.104) A exponencial no tempo pode ser retirada da integral e enta˜o: Fd,z = ωρA(−T ) eiωt ∫ L B(x) eik0xdx = ωρA(−T ) eiωt ∫ L B(x)[(cos(k0x) + i sin(k0x)]dx (2.105) No caso de um casco em forma de caixa B(x) e´ constante e enta˜o: Fd,z = ωρA(−T )B eiωt ∫ L [(cos(k0x) + i sin(k0x)]dx (2.106) 2.6.4 Cancelamento de Forc¸as de Froude-Krylov em Estruturas Semisubmers´ıveis Vimos que e´ poss´ıvel cancelar as forc¸as e ou os momentos hidrodinaˆmicos em estruturas flutuantes do tipo retangular. Outro tipo de cancelamento se da´ para estruturas em que alguns 28 Texto Preliminar, SH Sphaier membros afloram da superf´ıcie livre e outros tem suas extremidades localizadas totalmente no meio fluido, quando as ondas sa˜o longas. A figura 2.7 apresenta o esquema de uma estrutura semi-submers´ıvel em um plano. As colunas esta˜o indicadas com C1 e C2 e o pontoon com PON. O fundo da estrutura esta´ na cota z2. A parte superior do pontoon esta´ na cota z1. As bases das colunas tem comprimento l1 e o comprimento do pontoon tem comprimento l2. Figura 2.7: Cancelamento em Estruturas Semisubmers´ıveis Texto Preliminar, SH Sphaier 29 A pressa˜o e´ composta por duas parcelas, esta´tica e dinaˆmica. A essas soma-se a pressa˜o atmosfe´rica, que normalmente e´ assumida ser igual a zero. p = patm + pest + pdin (2.107) A pressa˜o esta´tica e´ dada por: p = ρgz (2.108) e com ela obte´m-se que a forc¸a de empuxo e´ o peso do volume imerso. Nas colunas a forc¸a de empuxo e´: E = ∫ S pestndS = ∫ S ρgz2(2l1 + l2)k− ∫ S ρgz1(l2)k (2.109) A pressa˜o na parte superior do pontoon e´ menor que na parte inferior. Assim o pontoon sofre uma forc¸a para cima. A pressa˜o dinaˆmica e´ dada por: pdin = −ρ∂φ(x, z, t) ∂t = −ρ∂φ(x, 0, t) ∂t ek0z (2.110) e como o perfil da onda e´ dado por: ζ = −1 g ∂φ(x, 0, t) ∂t = ζ0 cos(ωt− k0x) (2.111) enta˜o ∂φ(x, 0, t) ∂t = −gζ0 cos(ωt− k0x) (2.112) e pdin = ρgζ0 cos(ωt− k0x)ek0z (2.113) [Obs: o mais correto seria trabalhar com a forma exponencial, incluindo a parte imagina´ria na ana´lise e somente no final pegar o mo´dulo e a fase. Entretanto as concluso˜es seriam as mesmas] Na situac¸a˜o em que a crista de uma onda longa passa pelo centro geome´trico da plataforma, toda a plataforma estara´ sujeita a presso˜es como se estivesse toda ela em situac¸a˜o de crista. A situac¸a˜o em que a crista passa pelo centro da estrutura localizado na posic¸a˜o x0, corresponde a Θ = ωt0 − k0x0 = ωt0 − 2pi L x0 = n · 2 · pi (2.114) onde n e´ um inteiro. Se a onda e´ longa em relac¸a˜o ao tamanho da estrutura, e a crista se localiza no centro da estrutura, enta˜o l1 + l2 + l1 L << 1 (2.115) 30 Texto Preliminar, SH Sphaier Θ = ωt− k0x = ωt− k0x0 − 2pix− x0 L ≈ 1− 2pix− x0 L (2.116) em toda a regia˜o da estrutura, e pdin ≈ ρgζ0ek0z(1− 2pix− x0 L ) (2.117) Com a pressa˜o dinaˆmica determina-se agora as forc¸as nas colunas e no pontoon fC1 = ∫ l1 pdin(z2)dx ≈ ρgζ0ek0z2l1 (2.118) fC2 = ∫ l1 pdin(z2)dx ≈ ρgζ0ek0z2l1 (2.119) fPON = ∫ l2 pdin(z2)dx− ∫ l2 pdin(z1)dx ≈ l2ρgζ0(ek0z2 − ek0z1) (2.120) Como z1 e z2 teˆm valores negativos e o mo´dulo de z2 e´ maior que o de z1 enta˜o a forc¸a dinaˆmica no pontoon aponta para baixo. Para efeito de projeto pode-se determinar mais precisamente as cotas e as dimenso˜es da estrutura resolvendo-se as integrais das presso˜es exatamente. Inicialmente com o volume, a a´rea de linha da´gua e o formato da estrutura determina-se a massa adicional e a frequeˆncia natural. Tenta-se fazer com que este o per´ıodo natural na˜o venha a estar contido na faixa de frequeˆncia de excitac¸a˜o do mar. A seguir determina-se o comprimento da onda cujo per´ıodo coincida com o per´ıodo natural da estrutura. Para este comprimento ajusta-se as dimenso˜es principais. Caso as premissas impostas a volume, a´rea de linha da a´gua e formato na˜o sejam satisfeitas, faz-se um ajuste na geometria e retorna-se ao in´ıcio do problema. Cap´ıtulo 3 Dinaˆmica de um Corpo Tridimensional Esbelto em Ondas 3.1 Introduc¸a˜o No cap´ıtulo anterior analisamos o problema de sec¸o˜es navais oscilando na superf´ıcie livre. Observamos que as ondas incidentes atuando sobre o corpo se difratam, e as ondas formadas desta composic¸a˜o, onda incidente e onda difratada, geram forc¸as sobre a sec¸a˜o. Essas forc¸as obrigam o corpo a oscilar periodicamente e os movimentos oscilato´rios do corpo geram ondas. Como reac¸a˜o, aparecem forc¸as atuando sobre o corpo dadas pela soma dos produtos: massa adicional vezes acelerac¸a˜o e amortecimento vezes velocidade. Ale´m disto, os movimentos do corpo provocam desiquil´ıbrio entre as forc¸as e momentos devidos a` ac¸a˜o da gravidade sobre a massa do corpo e as presso˜es atuantes sobre a superf´ıcie do casco. Neste cap´ıtulo vamos estender nossa ana´lise ao problema tridimensional. Vamos nos ater a` ondas monocroma´ticas e corpos esbeltos. O objetivo do presente estudo e´ o desenvolvimento das equac¸o˜es de movimento de um corpo esbelto r´ıgido flutuante em movimento em presenc¸a de ondas. Vamos equacionaro problema, de forma heur´ıstica, utilizando as concluso˜es obtidas ate´ agora. O procedimento adotado e´ dividir o corpo em va´rias sec¸o˜es. Contruir uma expressa˜o para o carregamento em cada sec¸a˜o, levando em considerac¸a˜o a ac¸a˜o da gravidade na massa da sec¸a˜o, a pressa˜o hidrosta´tica, as presso˜es dinaˆmicas devidas a`s ondas incidente, difratada e radiada, e a ine´rcia da sec¸a˜o. A seguir aplicamos as leis de conservac¸a˜o da quantidade de movimento linear (segunda lei de Newton) e de forma similar a de quantidade de movimento angular. Assim, construimos as equac¸o˜es de movimento descrevendo a dinaˆmica do corpo em 31 32 Texto Preliminar, SH Sphaier ondas. 3.2 Movimentos vertical e de rotac¸a˜o em torno do eixo lateral A conservac¸a˜o da quantidade de movimento linear indica:∫ L δma = ∫ L δp+ ∫ L δe+ ∫ L δfhidrodinamica (3.1) onde: a e´ a acelerac¸a˜o de cada sec¸a˜o, e e´ dada pela composic¸a˜o da acelerac¸a˜o linear, isto e´ a con- tribuic¸a˜o do movimento vertical η3, e a contribuic¸a˜o do movimento angular de arfagem η5 a = (η¨3 − xη¨5)k (3.2) δm e´ a massa da sec¸a˜o δp e´ o peso da sec¸a˜o δp = δmgk (3.3) δe e´ o empuxo da sec¸a˜o δe = ρgB(η3 − xη5)k+ δe0 (3.4) δfhidrodinamica e´ a forc¸a hidrodinaˆmica na sec¸a˜o, composta de um termo devido ao fenoˆmeno de radiac¸a˜o e outro devido a` onda incidente e sua difrac¸a˜o δfhidrodinamica = −a33(η¨3 − xη¨5)k− b33(η˙3 − xη˙5)k+ ρζ0fexck (3.5) ζ0 e´ a amplitude da onda incidente. a forc¸a de excitac¸a˜o e´ a soma da ac¸a˜o da onda incidente somada a` ac¸a˜o da onda difratada ρζ0fexck = ρζ0fexc + fdifk (3.6) Texto Preliminar, SH Sphaier 33 A conservac¸a˜o da quantidade de movimento angular indica:∫ L r× δma = ∫ L r× δp+ ∫ L r× δe+ ∫ L r× δfhidrodinamica (3.7) onde: r ≈ xi. Deve-se observar que δe0 6= δp em cada sec¸a˜o, pore´m∫ L δe0 = ∫ L δp (3.8) ∫ L r× δe0 = ∫ L r× δp (3.9) 3.2.1 Equac¸o˜es dos Movimentos Acoplados de Heave e Pitch A partir do deslocamento de uma sec¸a˜o a uma distaˆncia x da origem do sistema pode-se obter as velocidades e as acelerac¸o˜es da sec¸a˜o: η(x) = η3 − x sin(η5) ≈ η3 − xη5 (3.10) ˙η(x) = η˙3 − xη˙5 (3.11) ¨η(x) = η¨3 − xη¨5 (3.12) A partir das forc¸as acima mencionadas e com as expresso˜es dos deslocamentos, das velocidades e das acelerac¸o˜es, pode-se determinar a carga por sec¸a˜o: q(x) = −m(x) · η¨ − a33(x) · η¨ − b33(x) · η˙ + p(x) + e0(x)− ρgB(x) · η + ρζ0(finc + fdif ) = −m(x) · (η¨3 − xη¨5)− a33(x) · (η¨3 − xη¨5)− b33(x) · (η˙3 − xη˙5) +p(x) + e0(x)− ρgB(x) · (η3 − xη5) + ρζ0(finc + fdif ) (3.13) A integral do carregamento e´ a equac¸a˜o de equil´ıbrio de forc¸as e a integral da cargas mulplicada pela distaˆncia ao centro e´ a equac¸a˜o de momentos:∫ L q(x)dx = + ∫ L [−m(x) · (η¨3 − xη¨5)]dx + ∫ L [−a33(x) · (η¨3 − xη¨5)]dx+ ∫ L [−b33(x) · (η˙3 − xη˙5)]dx 34 Texto Preliminar, SH Sphaier + ∫ L [p(x) + e0(x)]dx+ ∫ L [−ρgB(x) · (η3 − xη5)]dx+ ∫ L ρζ0[finc + fdif ]dx (3.14)∫ L xq(x)dx = + ∫ L x[−m(x) · (η¨3 − xη¨5)]dx + ∫ L x[−a33(x) · (η¨3 − xη¨5)]dx+ ∫ L x[−b33(x) · (η˙3 − xη˙5)]dx + ∫ L x[p(x) + e0(x)]dx+ ∫ L x[−ρgB(x) · (η3 − xη5)]dx+ ∫ L xρζ0[finc + fdif ]dx (3.15) Desenvolvendo as duas equac¸o˜es, obtemos as equac¸o˜es dos movimentos acoplados no plano vertical: (A33 +M)η¨3 +B33η˙3 + C33η3 + (A35 −MXg)η¨5 +B35η˙5 + C35η5 = F3 (3.16) (A53 −MXg)η¨3 +B53η˙3 + C53η3 + (A55 + Iyy)η¨5 +B55η˙5 + C55η5 = F5 (3.17) onde os coeficientes hidrodinaˆmicos e hidrosta´ticos sa˜o dados por: A33 = ∫ L a33dx B33 = ∫ L b33dx C33 = ρg ∫ L B(x)dx A35 = − ∫ L x a33dx B35 = − ∫ L x b33dx C35 = −ρg ∫ L x B(x)dx A53 = A35 B53 = B35 C53 = C35 A55 = ∫ L x2 a33dx B55 = ∫ L x2 b33dx C55 = ρg ∫ L x2 B(x)dx As forc¸as de excitac¸a˜o sa˜o dadas por: F3 = ρζ0 ∫ L fexcdx (3.18) F5 = ρζ0 ∫ L −xfexcdx (3.19) onde: fexc e´ a soma das contribuic¸o˜es devidas a` onda incidente finc e a` onda difratada fdif , Xg e´ a posic¸a˜o longitudinal do centro de gravidade. Texto Preliminar, SH Sphaier 35 3.2.2 Soluc¸a˜o das equac¸o˜es de movimento Inicialmente vamos observar que ate´ enta˜o consideramos o navio como uma se´rie de sec¸o˜es, calculamos as cargas nas sec¸o˜es e integramos ao longo do comprimento. Para determinac¸a˜o das cargas detrminamos as massas adicionais, os amortecimentos e as forc¸as de restaurac¸a˜o e de excitac¸a˜o em cada sec¸a˜o. Podemos fazer o mesmo atrave´s de me´todos tridimensionais. Assim, A33, B33, C33, A35, B35, C35, A53, B53, C53, A55, B55, C55, F3 e F5 sa˜o calculados por me´todos tridimensionais integrando-se as presso˜es dinaˆmicas e esta´ticas como anteriormente, pore´m sobre uma superf´ıcie molhada do corpo na posic¸a˜o me´dia. As presso˜es dinaˆmicas sa˜o obtidas da soluc¸a˜o de problemas tridimensionais. Obtemos como equac¸o˜es de movimento o sistema. (A33 +M)η¨3 +B33η˙3 + C33η3 + (A35 −MXg)η¨5 +B35η˙5 + C35η5 = F3 (3.20) (A53 −MXg)η¨3 +B53η˙3 +C53η3 + (A55 + Iyy)η¨5 +B55η˙5 +C55η5 = F5 (3.21) As equac¸o˜es acopladas que regem os movimentos vertical e de arfagem, sa˜o equac¸o˜es diferen- ciais ordina´rias de segunda ordem a coeficientes constantes. Admitindo que a onda incidente e´ harmoˆnica, e que a fase transiente ja´ tenha sido superada, o processo entra em regime per- manente; as ondas difratadas tambe´m o sera˜o harmoˆnicas. As presso˜es atuantes sobre o corpo tambe´m tera˜o um carater harmoˆnico e consequentemente as forc¸as e momentos de excitac¸a˜o tera˜o o mesmo comportamento e neste regime permanente a soluc¸a˜o da equac¸a˜o diferencial, que rege o movimento e´ descrita pela soluc¸a˜o particular. Assim, as forc¸as e momentos sa˜o dados por Fi,0e iω e as soluc¸o˜es por: ηj = ηj,0e iωt (3.22) Substituindo (3.22) nas equac¸o˜es de movimento no plano longitudinal e definindo P = C33 − ω2(A33 +M) + iωB33 (3.23) Q = C35 − ω2(A35 −MXg) + iωB35 (3.24) R = C53 − ω2(A53 −MXg) + iωB53 (3.25) S = C55 − ω2(A55 + Iyy) + iωB55 (3.26) obtemos Pη3,0e iωt +Qη5,0e iωt = F3,0e iωt (3.27) 36 Texto Preliminar, SH Sphaier Rη3,0e iωt + Sη5,0e iωt = F5,0e iωt (3.28) Simplificando o termo eiω, temos um sistema de duas equac¸o˜es a duas inco´gnitas, cujas soluc¸o˜es sa˜o dadas por: η3,0 = (F3,0 · S − F5,0 ·Q)/DEN (3.29) η5,0 = (P · F5,0 −R · F3,0)/DEN (3.30) onde: DEN = P · S −R ·Q (3.31) 3.3 Movimentos lateral, de rotac¸a˜o em torno do eixo Oz e de jogo Vamos equacionar o problema, de forma semelhante ao que fizemos no caso dos movimentos vertical e de arfagem acoplados. O procedimento adotado e´ dividir o corpo em va´rias sec¸o˜es, aplicar as leis de conservac¸a˜o da quantidade de movimento linear (segunda lei de Newton) e de forma similar a de quantidade de movimento angular para os movimentos de rotac¸a˜o e de jogo. A conservac¸a˜o da quantidade de movimento linear indica:∫ L δma = ∫ L δfhidrodinamica (3.32) onde: a e´ a acelerac¸a˜o de cada sec¸a˜o, e e´ dada pela composic¸a˜o da acelerac¸a˜o linear, isto e´ a contribuic¸a˜o do movimento vertical η2, e a contribuic¸a˜o do movimento de rotac¸a˜o η6 a = (η¨2 + xη¨6)k (3.33) δm e´ a massa da sec¸a˜o δfhidrodinamica e´ a forc¸a hidrodinaˆmica na sec¸a˜o, composta de um termo devido ao fenoˆmeno de radiac¸a˜o e outro devido a` onda incidente e sua difrac¸a˜o δfhidrodinamica = [−a22(η¨2 + xη¨6)− b22(η˙2 + xη˙6)− a24η¨4 − b24η˙4 + ρζ0fexc,2] j (3.34) Assim,∫ L δm(η¨2−Zgη¨4+xη¨6) = ∫ L (−a22[η¨2+xη¨6]−b22[η˙2+xη˙6]−a24η¨4−b24η˙4+ρζ0fexc,2)dx (3.35) Texto Preliminar, SH Sphaier 37 A conservac¸a˜o da quantidade de movimento angular em torno do eixo Oz indica: k · ∫ L r× [δm(η¨2+ xη¨6 − zm(x)η¨4)j] = k · ∫ L r× δfhidrodinamica (3.36) De acordo com nossa aproximac¸a˜o, em que estamos considerando o corpo esbelto vale r ≈ xi, e enta˜o MXgη¨2 + Izzη¨6 − Ixzη¨4 =∫ L [−a22(xη¨2 + x2η¨6)− b22(xη˙2 + x2η˙6)− a24xη¨4 − b24xη˙4 + ρζ0xfexc,2] dx (3.37) A conservac¸a˜o da quantidade de movimento angular em torno do eixo Oz indica:∫ L (δIxxη¨4 − δmzgη¨2 − δmxzgη¨6) = i · (∫ L δmhidrodinamica + ∫ L δmpeso + ∫ L δmhidrostatica ) (3.38) ou ∫ L (δIxxη¨4 − δmzgη¨2 − δmxzgη¨6) = ∫ L [−a44η¨4−b44η˙4−a42(η¨2+xη¨6)−b42(η˙2+xη˙6)]dx−GM ∫ L δmgdxη4+ ∫ L fexc,4dx (3.39) 3.3.1 Equac¸o˜es de movimento no plano horizontal (A22 +M)η¨2 +B22η˙2 + (A24 −MZg)η¨4 +B24η˙4 + (A26 +MXg)η¨6 +B26η˙6 = F2 (3.40) (A42−MZg)η¨2+B42η˙2+(A44+Ixx)η¨4+B44η˙4+C44η4+(A46−Ixz)η¨6+B46η˙6 = F4 (3.41) (A62 +MXg)η¨2 +B62η˙2 + (A64 − Ixz)η¨4 +B64η˙4 + (A66 + Izz)η¨6 +B66η˙6 = F6 (3.42) sendo 38 Texto Preliminar, SH Sphaier A22 = ∫ L a22dx B22 = ∫ L b22dx A26 = A62 = ∫ L x a22dx B26 = B62 = ∫ L x b22dx A66 = ∫ L x2 a22dx B66 = ∫ L x2 b22dx A24 = A42 = ∫ L a24dx B24 = B42 = ∫ L b24dx A44 = ∫ L a44dx B44 = ∫ L b44dx A46 = A64 = ∫ L x a24dx B46 = B64 = ∫ L x b24dx C044 = ρ g∆ ¯GMT Iij - momentos e produtos de ine´rcia M - massa do corpo (Xg, Yg, Zg) - posic¸a˜o vertical do centro de gravidade 3.3.2 Soluc¸a˜o das equac¸o˜es de movimento De forma semelhante ao que foi feito para os movimentos acoplados vertical e de arfagem, vamos supor que separamos a fase transiente, que ja´ estamos na fase permanente, onde as ondas tem carater harmoˆnico, as forc¸as e os momentos de excitac¸a˜o tambe´m o tem, e o corpo executa movimentos harmoˆnicos. Definindo P = C22 − ω2(A22 +M) + iωB22 (3.43) Q = C24 − ω2(A24 −MZg) + iωB24 (3.44) R = C26 − ω2(A26 +MXg) + iωB26 (3.45) S = C42 − ω2(A42 −MZg) + iωB42 (3.46) T = C44 − ω2(A44 + Ixx) + iωB44 (3.47) U = C46 − ω2(A46 − Ixz) + iωB46 (3.48) V = C62 − ω2(A62 +MXg) + iωB62 (3.49) W = C64 − ω2(A64 − Ixz) + iωB64 (3.50) X = C66 − ω2(A66 + Izz) + iωB66 (3.51) Texto Preliminar, SH Sphaier 39 e das equac¸o˜es de movimento no plano horizontal obtemos: Pη2,0e iω +Qη4,0e iω +Rη6,0e iω = F2,0e iω (3.52) Sη2,0e iω + Tη4,0e iω + Uη6,0e iω = F4,0e iω (3.53) V η2,0e iω +Wη4,0e iω +Xη6,0e iω = F6,0e iω (3.54) Simplificando o termo eiω e resolvendo o sistema obtemos η2 = (F2 · T ·X +Q · U · F6 +R · F4 ·W − F2 · T ·R−W · U · F6 −X · F4 ·Q)/DEN (3.55) η6 = (P · T · F6 +Q · F4 · V + F2 · S ·W − V · T · F2 −W · F4 · P − F6 · S ·Q)/DEN (3.56) η4 = (P · F4 ·X + F2 · U · V +R · S · F6 − V · F4 ·R− F6 · U · P −X · S · F2)/DEN (3.57) onde DEN = P · T ·X +Q · U · V +R · S ·W − V · T ·R−W · U · P −X · S ·Q (3.58) 40 Texto Preliminar, SH Sphaier Cap´ıtulo 4 Generalizac¸a˜o do Problema Dinaˆmico 4.1 Introduc¸a˜o Vamos aqui, de forma abreviada, generalizar o problema para corpos de formas quaisquer. Escreveremos as equac¸o˜es de movimento e posteriormente vamos analisar as simplificac¸o˜es quando aparecem simetrias. Posteriormente mostraremos a forma das equac¸o˜es de movimento para um corpo esbelto com simetria longitudinal e dotado de velocidade de avanc¸o. 4.2 Corpos com Geometria Qualquer A generalizac¸a˜o do problema com seis graus de liberdade e corpos de qualquer geometria toma a forma: ([M] + [A])η¨ + [B]η˙ + [C]η = [F] (4.1) Em que introduzimos - a matriz de ine´rcia [M] = [Mij], onde seus termos definem a massa, os produtos e os 41 42 Texto Preliminar, SH Sphaier momentos de ine´rcia [M] = [Mij] = M 0 0 0 MZg −MYg 0 M 0 −MZg 0 MXg 0 0 M MYg −MXg 0 0 −MZg MYg I44 −I45 −I46 MZg 0 −MXg −I54 I55 −I56 −MYg MXg 0 −I64 −I65 I66 (4.2) - a matriz de massa adicional [A] = [Aij] [A] = [Aij] = A11 A12 A13 A13 A15 A16 A21 A22 A23 A24 A25 A26 A31 A32 A33 A34 A35 A36 A41 A42 A43 A44 A45 A46 A51 A52 A53 A54 A55 A56 A61 A62 A63 A64 A65 A66 (4.3) - a matriz de amortecimento [B] = [Bij] [B] = [Bij] = B11 B12 B13 B13 B15 B16 B21 B22 B23 B24 B25 B26 B31 B32 B33 B34 B35 B36 B41 B42 B43 B44 B45 B46 B51 B52 B53 B54 B55 B56 B61 B62 B63 B64 B65 B66 (4.4) - a matriz de restaurac¸a˜o [C] = [Cij], [C] = [Cij] = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 C33 C34 C35 0 0 0 C43 C44 C45 0 0 0 C53 C54 C55 0 0 0 0 0 0 0 (4.5) com: C33 = ρgSw (4.6) C34 = C43 = ρgSy (4.7) C35 = C53 = ρgSx (4.8) C44 =Mg(zb − zg) + ρgSyy (4.9) Texto Preliminar, SH Sphaier 43 C45 = C54 = ρgSxy (4.10) C55 =Mg(zb − zg) + ρgSxx (4.11) observando que os coeficientes restantes Cij sa˜o nulos, e Sx = ∫ Sw xdxdy (4.12) Sy = ∫ Sw ydxdy (4.13) Sxx = ∫ Sw x2dxdy (4.14) Syy = ∫ Sw y2dxdy (4.15) Sxy = ∫ Sw xydxdy (4.16) zg - posic¸a˜o vertical do centro de gravidade zb - posic¸a˜o vertical do centro de carena - o vetor forc¸a de excitac¸a˜o generalizado, composto de treˆs componentes de forc¸a e treˆs componentes de momentos, [F] = [Fi] Deve ser observado que para corpos sem simetria as matrizes de massa adicional e deamortec- imento sa˜o cheias. Para corpos com simetria longitudinal, como navios, as matrizes de massa adicional e de amortecimento sa˜o dadas por: [A] = [Aij] = A11 0 A13 0 A15 0 0 A22 0 A24 0 A26 A31 0 A33 0 A35 0 0 A42 0 A44 0 A46 A51 0 A53 0 A55 0 0 A62 0 A64 0 A66 (4.17) [B] = [Bij] = B11 0 B13 0 B15 0 0 B22 0 B24 0 B26 B31 0 B33 0 B35 0 0 B42 0 B44 0 B46 B51 0 B53 0 B55 0 0 B62 0 B64 0 B66 (4.18) 44 Texto Preliminar, SH Sphaier em que Aij = Aji (4.19) Bij = Bji (4.20) Alem disto, para corpos com simetria em relac¸a˜o ao plano longitudinal: C34 = C43 = 0 (4.21) No caso de corpos alongados, como navios, podemos assumir que o acoplamento do movimento longitudinal, na direc¸a˜o 1, com os movimentos nas direc¸o˜es 3 e 5 seja pequeno e as matrizes de massa adicional e de amortecimento tomam a forma: [A] = [Aij] = A11 0 0 0 0 0 0 A22 0 A24 0 A26 0 0 A33 0 A35 0 0 A42 0 A44 0 A46 0 0 A53 0 A55 0 0 A62 0 A64 0 A66 (4.22) [B] = [Bij] = B11 0 0 0 0 0 0 B22 0 B24 0 B26 0 0 B33 0 B35 0 0 B42 0 B44 0 B46 0 0 B53 0 B55 0 0 B62 0 B64 0 B66 (4.23) e retornamos a`s equac¸o˜es obtidas anteriormente. 4.3 Um Exemplo Como exemplo apresentamos nas figuras 4.1, 4.2, 4.3, 4.44.54.6 e 4.7 as ine´rcias adicionais, os amortecimentos, as forc¸as de excitac¸a˜o e os RAOs, em forma adimensional para os movimentos 3 (heave) e 5 (pitch) de um VLCC, calculados por um me´todo tridimensional: Â33 = A33/(ρL 3 pp) (4.24) B̂33 = B33/(ωρL 3 pp) (4.25) Texto Preliminar, SH Sphaier 45 Periodos em Segundos 25 50 75 100 0 0.0025 0.005 0.0075 0.01 0.0125 0.015 0.0175 0.02 A33 B33 A33, B33 VLCC Figura 4.1: Ine´rcia Adicional e Amortecimento na Forma Adimensional I Â35 = A35/(ρL 4 pp) (4.26) B̂35 = B35/(ωρL 4 pp) (4.27) Â55 = A55/(ρL 5 pp) (4.28) B̂55 = B55/(ωρL 5 pp) (4.29) F̂3 = F3/(ρgL 2 pp) (4.30) F̂5 = F5/(ρgL 3 pp) (4.31) A soluc¸a˜o deste problema para diversas frequeˆncias de onda gera as seis func¸o˜es de trans- fereˆncia para os deslocamentos do corpo. E´ comum chamarmos de RAO (Operador de Am- plitude de Resposta), como ja´ citamos anteriormente. 46 Texto Preliminar, SH Sphaier Periodos em Segundos 25 50 75 100 A35 B35 A35, B35 VLCC Figura 4.2: Ine´rcia Adicional e Amortecimento na Forma Adimensional II Periodos em Segundos 25 50 75 100 A55 B55 A55, B55 VLCC Figura 4.3: Ine´rcia Adicional e Amortecimentona Forma Adimensional III Texto Preliminar, SH Sphaier 47 Periodos em segundos 10 20 30 40 50 60 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1 0.11 0.12 0.13 0.14 0.15 Força de Excitação de Heave Figura 4.4: Forc¸a de Excitac¸a˜o Vertical Periodos em segundos 10 20 30 40 50 60 0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 Momento de Excitação de Pitch Figura 4.5: Momento de Excitac¸a˜o 48 Texto Preliminar, SH Sphaier Periodo em segundos 10 20 30 40 50 60 0 0.25 0.5 0.75 1 RAO de Heave Figura 4.6: Rao de Heave Periodo em segundos 10 20 30 40 50 60 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 RAO de Pitch Figura 4.7: Rao de Pitch Cap´ıtulo 5 Navio em Mar Irregular 5.1 Introduc¸a˜o Determinamos nos cap´ıtulos anteriores a func¸a˜o de resposta do navio em ondas regulares, que chamamos de RAOs. As ondas consideradas foram sempre ondas monocroma´ticas. Investi- garemos agora a resposta do navio em mar irregular. 5.2 Transformada de Fourier da Equac¸a˜o de Movimento A equac¸a˜o de movimento do navio e´ dada por: (M + A)x¨+Bx˙+ Cx = f(t) (5.1) A esta equac¸a˜o aplicamos a transformada de Fourier, definida por: F{g(t)} ≡ 1 2pi ∫ ∞ −∞ eiωtg(t)dt = G(ω) (5.2) Entretanto, vamos inicialmente considerar um intervalo T das ondas atuantes. Retiramos do sinal original ζ(t) a func¸a˜o ζT (t) que e´ igual a ζ(t) no intervalo T e fora deste intervalo e´ nula. Estas ondas va˜o provocar forc¸as sobre o navio que sera˜o nulas fora do intervalo T e iguais as forc¸as do mar no intervalo T . A transformada de func¸o˜es neste intervalo e´ dada por: F{fT (t)} ≡ 1 2pi ∫ ∞ −∞ eiωtfT (t)dt = GT (ω) (5.3) 49 50 Texto Preliminar, SH Sphaier Ale´m disto, para as derivadas vale: F{g˙(t)} = iωG(ω) (5.4) F{g¨(t)} = −ω2G(ω) (5.5) enta˜o F{g˙T (t)} = iωGT (ω) (5.6) F{g¨T (t)} = −ω2GT (ω) (5.7) Aplicando a` equac¸a˜o do movimento, teremos: −ω2(M + A)XT + iωBXT + CXT = FT (5.8) {−ω2(M + A) + iωB + C}XT = FT (5.9) onde XT = XR,T + iXI,T (5.10) FT = FR,T + iFI,T (5.11) 5.3 O Espectro de Resposta Multiplicando pelo conjugado {−ω2(M + A) + iωB + C}{−ω2(M + A)− iωB + C}{XR,T + iXI,T}{XR,T − iXI,T} = {FR,T + iFI,T}{FR,T − iFI,T} (5.12) X2R,T +X 2 I,T = F 2R,T + F 2 I,T (C − ω2(M + A))2 + (ωB)2 (5.13) ou XTX ∗ T = FTF ∗ T (C − ω2(M + A))2 + (ωB)2 (5.14) dividindo pelo tempo T e fazendo o limite quando T →∞ temos: lim T→∞ 2piXTX ∗ T T = lim T→∞ 2piFTF ∗ T T 1 (C − ω2(M + A))2 + (ωB)2 (5.15) pore´m limT→∞ 2piXTX ∗ T T e´ o espectro da func¸a˜o x(t) e limT→∞ 2piFTF ∗ T T e´ o espectro das forc¸as. Enta˜o Sxx = Sff 1 (C − ω2(M + A))2 + (ωB)2 (5.16) Texto Preliminar, SH Sphaier 51 Por outro lado, ha´ uma relac¸a˜o similar entre o espectro das forc¸as e o espectro do sinal elevac¸a˜o da onda na origem. Sff = Sζζ |F (ω)|2 (5.17) logo Sxx = Sζζ |F (ω)|2 1 (C − ω2(M + A))2 + (ωB)2 (5.18) 5.4 Espectro de Resposta de um Sistema Oceaˆnico em um Mar Irregular A previsa˜o das respostas de um corpo flutuante en ondas, tais como movimentos e´ baseada na equac¸a˜o 5.18 e o trabalho pioneiro no assunto foi desenvolvido por St. Denis e Pierson em 1953. Desde enta˜o tem sido amplamente aplicado para va´rios problemas de comportamento de estruturas flutuantes no mar. Entretanto cabe ressaltar em que condic¸o˜es foi desenvolvido: - As ondas do mar sa˜o consideradas como um processo estoca´stico estaciona´rio, normal- mente distribu´ıdo com me´dia zero. - A func¸a˜o de densidade espectral das ondas do mar e das respostas da estrutura sa˜o consideradas de banda estreita. - As func¸o˜es de densidade de probabilidade e o espectro de excitac¸a˜o e de respostas sa˜o consideradas como independentes do tempo. - O princ´ıpio de superposic¸a˜o e´ aplica´vel para a previsa˜o das respostas em mar irregular. - As respostas em ondas irregulares podem ser representadas pela soma de respostass da estrutura em ondas regulares. Um sistema linear mante´m relac¸o˜es entre respostas e excitac¸a˜o de tal maneira que: - a resposta do sistema a uma excitac¸a˜o monocroma´tica (onda regular com uma u´nica frequeˆncia e amplitude constante) e´ monocroma´tica - se a varia´vel aleato´ria que representa a excitac¸a˜o do sistema segue um processo gaussiano a resposta tambe´m sera´ um processo gaussiano - a partir das respostas do sistema para uma onda regular (monocroma´tica) variando sua frequeˆncia, construimos a func¸a˜o de resposta do sistema (func¸a˜o de transfereˆncia, fator de amplificac¸a˜o) que e´ a relac¸a˜o entre a amplitude da resposta e a amplitude da excitac¸a˜o para as va´rias frequeˆncias 52 Texto Preliminar, SH Sphaier - A func¸a˜o de densidade espectral da resposta pode ser obtida a partir da func¸a˜o de densidade espectral da excitac¸a˜o atrave´s de: SY Y (ω) = SXX(ω)|H(ω)|2 (5.19) onde |H(ω)| e´ a func¸a˜o de resposta do sistema a ondas regulares Em Engenharia Oceaˆnica |H(ω)| e´ frequentemente chamado de RAO que sa˜o as iniciais da expressa˜o ingleˆsa Response Amplitude Operator. 5.5 Movimentos de um Corpo Flutuante no Mar O estudo de um corpo flutuante tem como interesse respostas como movimentos, velocidades e acelerac¸o˜es de pontos do corpo, ale´m de outras varia´veis que decorrem dos movimentos. Com os movimentos pode-se calcular as presso˜es sobre o casco, cargas, etc. Inicialmente consideremos os movimentos do centro do sistema localizado no corpo. Assim, estas respostas formam um vetor de 6 posic¸o˜es. η = { ηl ηa } (5.20) onde ηl = η1 η2 η3 e ηa = η4 η5 η6 (5.21) - η1,2,3 movimentos lineares (surge, sway, heave) - η4,5,6 movimentos angulares (roll, pitch yaw) e - ηi = ηi,0 e iδi - ηi,0 amplitude do movimento i - δi aˆngulo de fase do movimento i Uma vez que a excitac¸a˜o em mar regular e´ harmoˆnica e da forma F = F0 e iωt e o modelo, todas as respostas tambe´m o sera˜o: η = η¯ eiωt = η0 e iδ eiωt (5.22) Assim: Texto Preliminar, SH Sphaier 53 - velocidade = (d/dt) (deslocamento) v = d dt η = η˙ = iωη = v¯ eiωt (5.23) - acelerac¸a˜o = (d/dt) (velocidade) a = d2 dt2 η = η¨ = −ω2η = a¯ eiωt (5.24) Passemos agora a partir dessas respostas a` determinac¸a˜o de espectros de deslocamentos, velocidades e acelerac¸o˜es e ao estudo de eventos de seakeeping. Os espectros de deslocamentos, velocidades e acelerac¸o˜es em mar irregular sera˜o da forma SXX(ω) = |RAOX(ω)|2Sζζ(ω) = X¯X¯∗Sζζ(ω) (5.25) SX˙X˙(ω) = |RAOX˙(ω)|2Sζζ(ω) = ¯˙X ¯˙X∗Sζζ(ω) = V¯ V¯ ∗Sζζ(ω) = ω2|RAOX¨(ω)|2Sζζ(ω) (5.26) SX¨X¨(ω) = |RAOX¨(ω)|2Sζζ(ω) = ¯¨X ¯¨X∗Sζζ(ω) = A¯A¯∗Sζζ(ω) = ω4|RAOX¨(ω)|2Sζζ(ω) (5.27) onde: V¯ = ¯˙X, A¯ = ¯¨X, ¯˙X∗ = V¯ ∗ e ¯¨X∗ = A¯∗, e X¯∗, V¯ ∗ e A¯∗ sa˜o os conjugados de X¯, V¯ e A¯ respectivamente. 5.5.1 Deslocamentos, velocidades e acelerac¸o˜es em um ponto do corpo Da mecaˆnica sabemos que o deslocamento de um ponto qualquer de um corpo pode ser obtido se conhecemos o deslocamento linear de um ponto e a rotac¸a˜o em torno daquele ponto. Admitindo pequenos deslocamentos esta expressa˜o e´ da forma: d = ηl + ηa ×R (5.28) onde d = dx dy dz (5.29) e´ o vetor dos deslocamentos do ponto ηl = η1 η2 η3 (5.30) 54 Texto Preliminar, SH Sphaier e´ o vetor dos deslocamentos lineares, isto e´, ”surge”, ”sway”e ”heave” ηa = η4 η5 η6 (5.31) e´ o vetor dos deslocamentos angulares, isto e´, ”roll”, ”pitch”e ”yaw” d = x y z (5.32) sa˜o as coordenadas do ponto em selec¸a˜o ao sistema fixo no corpo, A hipo´tese de pequenos deslocamentos permite-nosinterpretar (η4, η5, η6) como um vetor. Uma vez obtido o vetor dos deslocamentos d = dx dy dz (5.33) podemos obter os vetores das velocidades, v = iωd (5.34) v = vx vy vz = iωdx iωdy iωdz (5.35) e a = iωv = −ω2d (5.36) a = ax ay az e v = iωvx iωvy iωvz (5.37) Os RAOS de deslocamentos, velocidades e acelerac¸o˜es em um ponto qualquer do corpo sa˜o dados enta˜o por: |RAOdx(ω)|2 = |dx|2 = dx · d∗x (5.38) |RAOdy(ω)|2 = |dy|2 = dy · d∗y (5.39) Texto Preliminar, SH Sphaier 55 |RAOdz(ω)|2 = |dz|2 = dz · d∗z (5.40) |RAOvx(ω)|2 = |vx|2 = vx · v∗x (5.41) |RAOvy(ω)|2 = |vy|2 = vy · v∗y (5.42) |RAOvz(ω)|2 = |vz|2 = vz · v∗z (5.43) |RAOax(ω)|2 = |ax|2 = ax · a∗x (5.44) |RAOay(ω)|2 = |ay|2 = ay · a∗y (5.45) |RAOaz(ω)|2 = |az|2 = az · a∗z (5.46) Para obtermos os espectros resposta, basta multiplicarmos os quadrados das func¸o˜es de trans- fereˆncia (RAOs) pelo espectro do mar. 5.5.2 Eventos de Seakeeping Para operac¸o˜es no mar torna-se importante verificar as seguintes ocorreˆncias: - embarque de a´gua (green water) - culapada, entrada da proa na a´gua (slamming) - culapada tranversal com o movimento de jogo em transporte de estruturas ou mo´dulos com barcac¸a - emersa˜o do propulsor No caso de a´gua no conve´s pesquisa-se a frequeˆncia de ocorreˆncia desta situac¸a˜o para uma borda livre pre´-determinada ou a borda livre necessa´ria para que uma certa frequeˆncia de ocorreˆncia de embarque de a´gua na˜o seja ultrapassada. Determina-se inicialmente o quadrado do RAO de deslocamento vertical relativo corpo-onda para um ponto no plano longitudinal da embarcac¸a˜o no n´ıvel da linha de a´gua. O deslocamento vertical de um ponto do navio localizado no eixo Ox, localizado longitudi- nalmente na posic¸a˜o XL e´ dado por: ηz(t) = η3(t)−XL · η5(t) (5.47) O deslocamento relativo superf´ıcie do mar e o ponto acima ηr(t) = ηz(t)− ζ(t) = η3(t)−XL · η5(t)− ζ(t) = [η3,0eiδ3 −XL · η5,0eiδ5 − ζeik0XL]eiωt (5.48) 56 Texto Preliminar, SH Sphaier O quadrado do mo´dulo da resposta da distaˆncia relativa e´ dado por: |ηr,0|2 = ηr,0 · η∗r,0 = [η3,0e iδ3 −XL · η5,0eiδ5 − ζeik0XL] · [η3,0e−iδ3 −XL · η5,0e−iδ5 − ζe−ik0XL] = (η23,0 +XL 2 ∗ η25,0 + ζ20 )−XLη3,0η5,0[ei(δ3−δ5) + e−i(δ3−δ5)]+ −η3,0ζ0[ei(δ3−k0·XL) + e−i(δ3−k0·XL)] +XL · η5,0ζ0[ei(δ5−k0·XL) + e−i(δ5−k0·XL)] (5.49) O quadrado da relac¸a˜o entre a resposta do movimento e a amplitude da onda, isto e´, a resposta para onda unita´ria e´ o mo´dulo do RAO do deslocamento relativo ao quadrado: RML = 1 + (XL ∗ η5,0)2 + η23,0 − 2η3,0 cos(δ3,0 − k0XL)− 2XLη3,0η5,0 cos(δ3,0 − δ5,0) +2XLη5,0 cos(δ5,0 − k0XL) (5.50) De forma similar ao que foi feito anteriormente, os quadrados dos RAO’s de velocidade e acelerac¸o˜es relativas sa˜o dados por: RV L = ω2 ·RML (5.51) RAL = ω2 ·RV L = ω4 ·RML (5.52) Os espectros de resposta sa˜o dados por: SMM = Sζζ ·RML (5.53) SV V = Sζζ ·RV L (5.54) SAA = Sζζ ·RAL (5.55) Como sabido, a a´rea sob a curva da func¸a˜o de densidade espectral fornece a me´dia dos quadrados do processo em estudo: deslocamentos, velocidades e acelerac¸o˜es. Assumindo- se que o processo e´ de banda estreita o processo estoca´stico dos picos de deslocamentos, velocidades e acelerac¸o˜es, segue a lei de Rayleigh cuja func¸a˜o de densidade de probabilidade e´ dada por: fX(x) = x mx e−x 2/2mx (5.56) onde mx e´ a variaˆncia do processo da varia´vel X: mx = ∫ ∞ 0 Sxxdω (5.57) A probabilidade da varia´vel X exceder um certo valor cr´ıtico e´: P [X > Xcrit] = e −X2crit 2mx (5.58) Texto Preliminar, SH Sphaier 57 ou X2crit = −2mx lnP [X > Xcrit] (5.59) Esta expressa˜o fornece o deslocamento relativo vertical cr´ıtico para um certo n´ıvel de prob- abilidade P [X > Xcrit]. Caso conhec¸a-se a frequeˆncia admiss´ıvel de ocorreˆncia de embarque de a´gua no conve´s pode-se obter a borda livre necessa´ria BL = √ −2mx lnP [X > Xcrit] (5.60) Se, por exemplo, a probabilidade de excedeˆncia for de 1/25 obteˆm-se uma borda livre BL = 2.54 √ mx (5.61) No caso em que a borda livre e´ dada e se quer verificar a incideˆncia de ocorreˆncia de a´gua no conve´s tem-se: P [X > BL] = e−BL 2/(2mx) (5.62) e, determinando-se o nu´mero de oscilac¸o˜es por hora Nosc = 3600 · (ciclos por segundo) = 3600σmedio/(2pi) = 3600 √ mv/mx/(2pi) (5.63) pode-se calcular o nu´mero de vezes em me´dia esperado de ocorreˆncia de a´gua no conve´s: N = Nosc ∗ P [X > BL] = 3600 √ mv/mxe −BL2/(2mx)/(2pi) (5.64) No caso de emersa˜o do propulsor o procedimento e´ similar. Determina-se qual a probabilidade da pa´ do propulsor deixar a a´gua, isto e´, quer-se que a distaˆncia entre a onda e a posic¸a˜o da pa´ do propulsor na˜o se torne nula. Para as previso˜es de slamming longitudinal e transversal a situac¸a˜o e´ relativamente similar. Deve-se determinar a probabilidade do deslocamento, dada pela diferenc¸a entre a cota do fundo do corpo flutuante e a linha de a´guas tranquilas, exceder uma distaˆncia limite pre´- estabelecida. Entretanto um outro fator e´ tambe´m importante que e´ a velocidade de imersa˜o. Se a velocidade for baixa na˜o ha´ risco. Entretanto se ela exceder um certo valor a entrada na a´gua e´ feita com risco de dano estrutural. A probabilidade de ocorrer simultaneamente emersa˜o do propulsor e excedeˆncia da velocidade cr´ıtica e´ dado por: P [ocorreˆncia de slamming] = P [excedeˆncia do deslocamento] · P [excedeˆncia da velocidade] (5.65) onde P [excedeˆncia do deslocamento] = e−DIST 2/(2mx) (5.66) P [excedeˆncia da velocidade] = e−V TL 2/(2mx) (5.67) 58 Texto Preliminar, SH Sphaier DIST - e´ a distaˆncia entre o n´ıvel de a´guas tranquilas e o ponto de interesse. VTL - e´ a velocidade cr´ıtica a partir da qual pode haver danos estruturais. Recomenda- se utilizar um valor em torno de 0.1 √ gLpp Com este resultado pode-se calcular o nu´mero de vezes em me´dia esperado de ocorreˆncia de slamming: N = P [ocorreˆncia de slamming]3600 √ mv/mx/(2pi) (5.68) Texto Preliminar, SH Sphaier 59 5.6 Resumo Esquema´tico Figura 5.1: Apresentac¸a˜o Esquema´tica I 60 Texto Preliminar, SH Sphaier Figura 5.2: Apresentac¸a˜o Esquema´tica II Texto Preliminar, SH Sphaier 61 Figura 5.3: Apresentac¸a˜o Esquema´tica III 62 Texto Preliminar, SH Sphaier Figura 5.4: Apresentac¸a˜o Esquema´tica IV Texto Preliminar, SH Sphaier 63 Figura 5.5: Apresentac¸a˜o Esquema´tica V 64 Texto Preliminar, SH Sphaier Cap´ıtulo 6 Hidrodinaˆmica de Corpos Flutuantes Estaciona´rios 6.1 Aspectos F´ısicos: Leis e Princ´ıpios Passaremos agora a tratar o problema discutido acima em bases mais formais do ponto de vista hidrodinaˆmico. Vamos assumir que as ondas sa˜o de pequenas amplitudes, o corpo executara´ movimentos de pequenas amplitudes e podemos tratar o problema linearmente. Nosso objetivo e´ o estudo do comportamento de corpos flutuantes, isto e´, corpos r´ıgidos movendo-se, semi-imersos em um fluido em movimento. Como sabemos o movimento de um corpo e´ regido pelas leis da mecaˆnica, que sa˜o as treˆs leis de Newton e a lei de gravitac¸a˜o universal. Ale´m disto temos que satisfazer aos princ´ıpios de conservac¸a˜o da massa e da impenetrabilidade dos corpos. No caso espec´ıfico do corpo, sua massa e´ considerada imuta´vel, estando assim, automatica- mente satisfeito o princ´ıpio de conservac¸a˜o da massa. O princ´ıpio da impenetrabilidade nos diz que os movimentos do corpo e das part´ıculas fluidas sa˜o tais que as part´ıculas na˜o podem penetrar no corpo, nem tampouco uma part´ıcula fluida podera´ penetrar no corpo ou em outra part´ıcula fluida. O movimento de um corpo sujeito a forc¸a externas e´ descrito pela segunda lei de Newton,
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