APOSTILA DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II
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APOSTILA DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II


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APOSTILA DE CÁLCULO
DIFERENCIAL E INTEGRAL II
Colaboradores para elaboração da apostila:
Elisandra Bär de Figueiredo, Enori Carelli, Ivanete Zuchi Siple, Marnei Luis Mandler
Versão atual editada por Elisandra Bär de Figueiredo
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Joinville, fevereiro de 2012
Horário de Monitoria
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Horário de Atendimento dos Professores
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i
Conteúdo
1 INTEGRAL DEFINIDA 1
1.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Partição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Soma Superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.4 Soma Inferior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.5 Função Integrável . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.5.10 Teorema do Valor Médio para Integrais . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.6 Teorema Fundamental do Cálculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.6.6 Fórmulas Clássicas para Resolver Integrais (Revisão) . . . . . . . . . 20
1.7 Integrais Impróprias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.8 Integral de uma Função Descontínua num Ponto c \u2208 [a, b] . . . . . . . . . . . 23
1.9 Aplicações da Integral De\ufffdnida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.9.1 Área em coordenadas retangulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.9.10 Área delimitada por curvas escritas em equações paramétricas . . . . 32
1.9.13 Área de um setor curvilíneo em coordenadas polares . . . . . . . . . . 34
1.10 Comprimento de Arco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
1.10.1 Comprimento de Arco em Coordenadas Cartesianas . . . . . . . . . . 38
1.10.3 Comprimento de um arco em coordenadas paramétricas . . . . . . . . 41
1.10.7 Comprimento de arco em coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . 43
1.11 Volume de um Sólido de Revolução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
1.11.5 Rotação em torno de uma Reta Paralela a um Eixo Coordenado . . . 48
1.12 Exercícios Gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
1.13 Respostas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
1.14 Revisão de Coordenadas Polares no R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
2 FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS E DIFERENCIAÇÃO PARCIAL 68
2.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
2.2 Função de Várias Variáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
2.2.5 Grá\ufffdco de uma Função de Várias Variáveis . . . . . . . . . . . . . . . 71
2.2.12 Curvas e Superfícies de Nível . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
2.2.14 Distâncias e Bolas no Espaço . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
2.3 Limite de uma Função de duas Variáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
2.3.9 Propriedades dos Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
2.4 Continuidade de uma Função de duas Variáveis . . . . . . . . . . . . . . . . 83
2.5 Derivadas Parciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
2.5.7 Interpretação Geométrica das derivadas parciais . . . . . . . . . . . . 88
2.6 Derivadas Parciais de Ordem Superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
2.7 Extremos de uma Função de duas Variáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
2.7.1 Ponto Crítico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
ii
2.7.3 Ponto de Máximo e Ponto de Mínimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
2.8 Derivada de uma Função Composta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
2.9 Derivada Parcial como Taxa de Variação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
2.10 Diferencias Parciais e Totais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
2.11 Derivadas de Funções Implícitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
2.12 Exercícios Gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
2.13 Respostas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
3 INTEGRAIS DUPLAS 123
3.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
3.2 Interpretação Geométrica da Integral Dupla . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
3.3 Cálculo da Integral Dupla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
3.4 Integrais Duplas em Coordenada Polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
3.5 Exercícios Gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
3.6 Respostas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
4 INTEGRAIS TRIPLAS 142
4.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
4.2 Interpretação Geométrica da Integral Tripla . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
4.3 Cálculo da Integral Tripla em Coordenadas Retangulares . . . . . . . . . . . 144
4.4 Integrais Triplas em Coordenadas Cilíndricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
4.5 Integrais Triplas em Coordenadas Esféricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
4.6 Exercícios Gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
4.7 Respostas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
5 SEQUÊNCIAS E SÉRIES 170
5.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
5.2 Sequências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
5.2.3 Limite de uma Sequência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
5.2.7 Sequências Convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
5.3 Subsequências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
5.4 Sequência Limitada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
5.5 Sequências Numéricas Monótonas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
5.6 Séries Numéricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
5.6.4 Soma de uma Série . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
5.6.7 Séries Convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
5.7 Condição necessária para Convergência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
5.8 Séries Especiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
5.8.1 Série harmônica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
5.8.3 Série geométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
5.9 Critérios de Convergência de Séries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
5.9.1 Critério da integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
5.9.4 Série p ou Série Hiper-harmônica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
5.9.8 Critério da comparação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
5.9.11 Critério de D'Alambert ou Critério da Razão . . . . . . . . . . . . . 188
5.9.15 Critério de Cauchy ou Critério da Raíz . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
5.10 Séries de Termos Positivos e Negativos