EQUAÇÕES BÁSICAS DE TERMODINÂMICA

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EQUAÇÕES BÁSICAS DE TERMODINÂMICA 
UNIDADES ESPECÍFICAS 
 
𝑣 =
∀
𝑚
 
𝜌 =
𝑚
∀
 
ℎ =
𝐻
𝑚
 
𝑢 =
𝑈
𝑚
 
𝑠 =
𝑆
𝑚
 
𝜔 =
𝑊
𝑚
 
𝜔 =
�̇�
�̇�
 
𝑞 =
�̇�
�̇�
 
 
FASE: Líquido comprimido: 
 
𝑃 > 𝑃𝑠𝑎𝑡 
𝑇 < 𝑇𝑠𝑎𝑡 
𝑣 < 𝑣𝑙 
𝑢 < 𝑢𝑙 
ℎ < ℎ𝑙 
𝑠 < 𝑠𝑙 
 
Para determinar as propriedades dessa fase usa-se: 
 
𝑣 = 𝑣𝑙(𝑡𝑒𝑚𝑝𝑒𝑟𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎) 
𝑢 = 𝑢𝑙(𝑡𝑒𝑚𝑝𝑒𝑟𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎) 
ℎ = ℎ𝑙(𝑡𝑒𝑚𝑝𝑒𝑟𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎) 
𝑠 = 𝑠𝑙(𝑡𝑒𝑚𝑝𝑒𝑟𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎) 
 
FASE: Líquido saturado: 
𝑃 = 𝑃𝑠𝑎𝑡 
𝑇 = 𝑇𝑠𝑎𝑡 
𝑣 = 𝑣𝑙 
𝑥 = 0 
Para determinar as propriedades dessa fase usa-se: 
𝑣 = 𝑣𝑙 
𝑢 = 𝑢𝑙 
ℎ = ℎ𝑙 
𝑠 = 𝑠𝑙 
 
FASE: Vapor saturado úmido: 
𝑃 = 𝑃𝑠𝑎𝑡 
𝑇 = 𝑇𝑠𝑎𝑡 
𝑣𝑙 < 𝑣 < 𝑣𝑣 
𝑢𝑙 < 𝑢 < 𝑢𝑣 
ℎ𝑙 < ℎ < ℎ𝑣 
𝑠𝑙 < 𝑠 < 𝑠𝑣 
0 < 𝑥 < 1 
 
Para determinar as propriedades dessa fase usa-se: 
 
𝑣 = (1 − 𝑥) ∙ 𝑣𝑙 + 𝑥 ∙ 𝑣𝑣 
𝑢 = (1 − 𝑥) ∙ 𝑢𝑙 + 𝑥 ∙ 𝑢𝑣 
ℎ = (1 − 𝑥) ∙ ℎ𝑙 + 𝑥 ∙ ℎ𝑣 
𝑠 = (1 − 𝑥) ∙ 𝑠𝑙 + 𝑥 ∙ 𝑠𝑣 
𝑥 =
𝑚𝑣𝑎𝑝𝑜𝑟
𝑚
=
𝑣 − 𝑣𝑙
𝑣𝑣 − 𝑣𝑙
 
 
FASE: Vapor saturado seco: 
𝑃 = 𝑃𝑠𝑎𝑡 
𝑇 = 𝑇𝑠𝑎𝑡 
𝑣 = 𝑣𝑣 
𝑥 = 1 
Para determinar as propriedades dessa fase usa-se: 
𝑣 = 𝑣𝑣 
𝑢 = 𝑢𝑣 
ℎ = ℎ𝑣 
𝑠 = 𝑠𝑣 
FASE: Vapor superaquecido: 
𝑃 < 𝑃𝑠𝑎𝑡 
𝑇 > 𝑇𝑠𝑎𝑡 
𝑣 > 𝑣𝑣 
𝑢 > 𝑢𝑣 
ℎ > ℎ𝑣 
𝑠 > 𝑠𝑣 
 
Para determinar as propriedades dessa fase usa-se: 
𝑣 = 𝑣 (𝑇𝑎𝑏𝑒𝑙𝑎 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑝𝑜𝑟 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑎𝑞𝑢𝑒𝑐𝑖𝑑𝑜) 
𝑢 = 𝑢 (𝑇𝑎𝑏𝑒𝑙𝑎 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑝𝑜𝑟 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑎𝑞𝑢𝑒𝑐𝑖𝑑𝑜) 
ℎ = ℎ (𝑇𝑎𝑏𝑒𝑙𝑎 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑝𝑜𝑟 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑎𝑞𝑢𝑒𝑐𝑖𝑑𝑜) 
𝑠 = 𝑠 (𝑇𝑎𝑏𝑒𝑙𝑎 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑝𝑜𝑟 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑎𝑞𝑢𝑒𝑐𝑖𝑑𝑜) 
 
EQUAÇÕES PARA CALCULAR TRABALHO E POTÊNCIA 
𝑊𝑏𝑎
1 = ∫ 𝑃𝑑∀
𝑏
𝑎
 
Processo isobárico (pressão constante): 
𝑊𝑏𝑎
1 = 𝑃(∀𝑏 − ∀𝑎) 
Processo onde a pressão e o volume variam linearmente (sistema com uma mola linear 
𝐹 = 𝐾 ∙ 𝐿). Trabalho é a área do trapézio 
𝑊𝑏𝑎
1 = 
(𝑃𝑎 + 𝑃𝑏)
2
(∀𝑏 − ∀𝑎) 
 
𝑊𝑏𝑎
1 = 𝑚
(𝑃𝑎 + 𝑃𝑏)
2
(𝑣𝑏 − 𝑣𝑎) 
Processo politropico 𝑛 ≠ 1 
𝑊𝑏𝑎
1 =
𝑃𝑏∀𝑏 − 𝑃𝑎∀𝑎
1 − 𝑛
 
Processo politropico 𝑛 = 1 
𝑊𝑏𝑎
1 = 𝑃𝑎∀𝑎 ln
∀𝑏
∀𝑎
 
Potencia 
�̇� =
𝛿𝑊
𝑑𝑡
 
 
EQUAÇÃO DA PRIMEIRA LEI DA TERMODINÂMICA 
∮ 𝛿𝑄 = ∮ 𝛿𝑊 
𝐸 = 𝐸𝑐 + 𝐸𝑝 + 𝑈 
𝐸𝑐 =
1
2
𝑚𝑉2 
𝐸𝑐 = 𝑚𝑔𝑍 
𝑈 = 𝑚𝑢 
∫ (𝛿𝑄 − 𝛿𝑊)𝐴
2
1
= ∫ (𝛿𝑄 − 𝛿𝑊)𝐶
2
1
 
 
EQUAÇÃO DA PRIMEIRA LEI DA TERMODINÂMICA: Para um sistema 
𝑑𝐸 = 𝛿𝑄 − 𝛿𝑊 
ℎ = 𝑢 + 𝑃𝑣 
Na maioria das vezes podem-se desprezar as energias cinética e potencial, e a equação 
será: 
𝑑𝑈 = 𝛿𝑄 − 𝛿𝑊 
𝑚 ∙ 𝑑𝑢 = 𝛿𝑄 − 𝛿𝑊 
 
Algumas Formas de integrar a equação da primeira lei: 
Substancia compressível simples: 
∫ 𝑚 ∙ 𝑑𝑢
𝑏
𝑎
= ∫ 𝛿𝑄
𝑏
𝑎
− ∫ 𝛿𝑊
𝑏
𝑎
 
𝑚(𝑢𝑏 − 𝑢𝑎) = 𝑄𝑏𝑎
1 − 𝑊𝑏𝑎
1 
Gás ideal: 
𝑃𝑟 =
𝑃
𝑃𝑐
 
𝑇𝑟 =
𝑇
𝑇𝑐
 
𝑃∀= 𝑚𝑅𝑇 
𝑃𝑣 = 𝑅𝑇 
𝑐𝑣 =
𝑑𝑢
𝑑𝑇
 
𝑐𝑃 =
𝑑ℎ
𝑑𝑇
 
𝑅 = 𝑐𝑃 − 𝑐𝑣 
𝑚 ∙ 𝑑𝑢 = 𝛿𝑄 − 𝛿𝑊 
∫ 𝑚 𝑐𝑣𝑑𝑇
𝑏
𝑎
= ∫ 𝛿𝑄
𝑏
𝑎
− ∫ 𝛿𝑊
𝑏
𝑎
 
𝑚 𝑐𝑣 (𝑇𝑏 − 𝑇𝑎) = 𝑄𝑏𝑎
1 − 𝑊𝑏𝑎
1 
 
EQUAÇÃO DA PRIMEIRA LEI DA TERMODINÂMICA: Para um sistema na 
forma de taxa 
𝑑𝐸
𝑑𝑡
=
𝛿𝑄
𝑑𝑡
−
𝛿𝑊
𝑑𝑡
 
𝑑𝐸
𝑑𝑡
= �̇� − �̇� 
 
EQUAÇÃO DA PRIMEIRA LEI DA TERMODINÂMICA: Para um volume de 
controle 
Conservação da massa 
𝑑𝑚∀.𝑐.
𝑑𝑡
= ∑ 𝑚𝑒̇ − ∑ 𝑚𝑠̇ 
 
Equação da primeira lei para um volume de controle qualquer 
𝑑𝐸∀.𝑐.
𝑑𝑡
= �̇�∀.𝑐. − �̇�∀.𝑐. + ∑ 𝑚𝑒̇ (ℎ𝑒 +
1
2
𝑉𝑒
2 + 𝑔𝑍𝑒 ) − ∑ 𝑚𝑠̇ (ℎ𝑠 +
1
2
𝑉𝑠
2 + 𝑔𝑍𝑠 ) 
ℎ = 𝑢 + 𝑃𝑣 
𝐻 = 𝐻 + 𝑃∀ 
𝐸 = 𝑈 +
1
2
𝑚𝑉2
2 + 𝑚𝑔𝑍2 
𝐸𝑐 =
1
2
𝑚𝑉2 
𝐸𝑝 = 𝑚𝑔𝑍 
Regime permanente ∑ 𝑚𝑒̇ = ∑ 𝑚𝑠̇ = ∑ �̇� 
 
�̇�∀.𝑐. + ∑ �̇� (ℎ𝑒 +
1
2
𝑉𝑒
2 + 𝑔𝑍𝑒 ) = �̇�∀.𝑐. + ∑ �̇� (ℎ𝑠 +
1
2
𝑉𝑠
2 + 𝑔𝑍𝑠 ) 
𝑞 + ℎ𝑒 +
1
2
𝑉𝑒
2 + 𝑔𝑍𝑒 = 𝜔 + ℎ𝑠 +
1
2
𝑉𝑠
2 + 𝑔𝑍𝑠 
𝜔 =
�̇�
�̇�
 
𝑞 =
�̇�
�̇�
 
Regime transiente 
𝑄∀.𝑐. + ∑ 𝑚𝑒 (ℎ𝑒 +
1
2
𝑉𝑒
2 + 𝑔𝑍𝑒 )
= 𝑊∀.𝑐. + ∑ 𝑚𝑠 (ℎ𝑠 +
1
2
𝑉𝑠
2 + 𝑔𝑍𝑠 )
+ [𝑚2 (𝑢2 +
1
2
𝑉2
2 + 𝑔𝑍2) − 𝑚1 (𝑢1 +
1
2
𝑉1
2 + 𝑔𝑍1)]
∀.𝑐.
 
Para um gás ideal, com 𝑐𝑝 constante, vale a seguinte relação 
𝑐𝑃 =
𝑑ℎ
𝑑𝑇
 
∫ 𝑑ℎ
𝑏
𝑎
= ∫ 𝑐𝑃 𝑑𝑇
𝑏
𝑎
 
ℎ𝑏 − ℎ𝑎 = 𝑐𝑝 (𝑇𝑏 − 𝑇𝑎) 
 
SEGUNDA LEI DA TERMODINÂMICA 
Motor térmico 
�̇�𝐿 = �̇�𝐻 − �̇� 
 
𝜂𝑡 =
𝑊
�̇�𝐻
̇
=
𝑊
𝑄𝐻
 
Refrigerador ou bomba de calor 
�̇�𝐿 = �̇�𝐻 − �̇� 
𝛽 =
�̇�𝐿
�̇�
=
𝑄𝐿
𝑊
 
 
Rendimento de Carnot 
𝜂𝑡 = 1 −
𝑄𝐿
𝑄𝐻
= 1 −
𝑇𝐿
𝑇𝐻
 
EQUAÇÃO DA SEGUNDA LEI DA TERMODINÂMICA: aplicada a sistemas 
𝑑𝑆 =
𝛿𝑄
𝑇
+ 𝑑𝑆𝑔𝑒𝑟 
Relações importantes 
𝑇 𝑑𝑆 = 𝑑𝑢 + 𝑃 𝑑𝑣 
𝑇 𝑑𝑆 = 𝑑ℎ − 𝑣 𝑑𝑃 
Exemplos de integração 
 
∫ 𝑚 𝑑𝑠
𝑏
𝑎
= ∫
𝛿𝑄
𝑇
𝑏
𝑎
+ ∫ 𝑑𝑆𝑔𝑒𝑟
𝑏
𝑎
 
 
𝑚 (𝑠𝑏 − 𝑠𝑎) = ∫
𝛿𝑄
𝑇
𝑏
𝑎
+ 𝑆𝑏𝑔𝑒𝑟𝑎
1 
Se a temperatura for constante 
𝑚 (𝑠𝑏 − 𝑠𝑎) =
𝑄𝑏𝑎
1
𝑇
+ 𝑆𝑏𝑔𝑒𝑟𝑎
1 
Para gás ideal 
𝑠𝑏 − 𝑠𝑎 = (𝑠𝑇𝑏
0 − 𝑠𝑇𝑎
0 ) − 𝑅 ln (
𝑃2
𝑃1
) (𝑇𝑎𝑏𝑒𝑙𝑎 𝐴. 7 𝑜𝑢 𝐴. 8) 
𝑠𝑏 − 𝑠𝑎 = 𝑐𝑝 ln (
𝑇2
𝑇1
) − 𝑅 ln (
𝑃2
𝑃1
) (𝑐𝑝 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒) 
𝑠𝑏 − 𝑠𝑎 = 𝑐𝑣 ln (
𝑇2
𝑇1
) + 𝑅 ln (
𝑣2
𝑣1
) (𝑐𝑣 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒) 
Processo isentrópico 
𝑇2
𝑇1
= (
𝑃2
𝑃1
)
(
𝑘−1
𝑘 )
 
𝑇2
𝑇1
= (
𝑣2
𝑣1
)
𝑘−1
 
𝑃2
𝑃1
= (
𝑣1
𝑣2
)
𝑘
 
𝑃 𝑣𝑘 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 
𝑘 =
𝑐𝑝
𝑐𝑣
 
Aumento de entropia em um volume de controle com mais de uma entrada ou saída. 
𝑑𝑆 = ∑
𝛿𝑄
𝑇
+ 𝑑𝑆𝑔𝑒𝑟 
 
 
EQUAÇÃO DA SEGUNDA LEI DA TERMODINÂMICA: aplicada a volumes de 
controle 
 
𝑑𝑆∀.𝑐.
𝑑𝑡
= ∑ 𝑚𝑒̇ 𝑠𝑒 − ∑ 𝑚𝑠̇ 𝑠𝑠 + ∑
�̇�∀.𝑐.
𝑇
+ �̇�𝑔𝑒𝑟 
 
Regime permanente 
𝑑𝑆∀.𝑐.
𝑑𝑡
= 0 
 
∑ 𝑚𝑠̇ 𝑠𝑠 − ∑ 𝑚𝑒̇ 𝑠𝑒 = ∑
�̇�∀.𝑐.
𝑇
+ �̇�𝑔𝑒𝑟 
 
�̇� (𝑠𝑠 − 𝑠𝑒) = ∑
�̇�∀.𝑐.
𝑇
+ �̇�𝑔𝑒𝑟 
𝑠𝑠 − 𝑠𝑒 = ∑
𝑞∀.𝑐.
𝑇
+ 𝑠𝑔𝑒𝑟 
 
Regime Transiente 
(𝑚𝑏 𝑠𝑏 − 𝑚𝑎 𝑠𝑎)∀.𝑐. = ∑ 𝑚𝑒 𝑠𝑒 − ∑ 𝑚𝑠 𝑠𝑠 + ∫
�̇�∀.𝑐.
𝑇
𝑡
0
+ 𝑆𝑏𝑔𝑒𝑟𝑎
1 
 
Eficiência isoentrópica 
𝜂𝑒𝑥𝑝𝑎𝑛𝑠𝑜𝑟 =
ℎ𝑒 − ℎ𝑠
ℎ𝑒 − ℎ𝑠𝑠
=
𝜔
𝜔𝑠
 
𝜂𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠𝑜𝑟 =
ℎ𝑒 − ℎ𝑠𝑠
ℎ𝑒 − ℎ𝑠
=
𝜔𝑠
𝜔