Translação e Cônicas com resoluções

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Área 1: Faculdade de Ciência e Tecnologia 
 Disciplina: Geometria Analítica Curso: ___________________ 
 Professor: _________________ Data: ______ / ______ / ______ 
Nome:____________________________________________ Turma:___________ 
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1ª LISTA DE EXERCÍCIOS – TRANSLAÇÃO / CÔNICAS 
Translação 
1. Por meio de uma translação dos eixos coordenados, transforme as equações dadas para 
a nova origem indicada. 
a) 
 3,1,066222  Oyxyx
 d) 
 2,3,02 842 44 22 Oyxyx 
 
b) 
 3,4,01 343  Oyxxy
 e) 
 2,1,5433 223 Oyxyxx 
 
c) 
 1,1,01 264 22 Oyyxx 
 
2. Usando uma translação de eixos coordenados, 
a) Simplifique a equação 
062622  yxyx
 indicando qual a nova origem e quais 
são as equações de transformação; 
b) Utilizando a translação do item anterior, determine as coordenadas do ponto 
 2,1 xyP
 em relação ao sistema 
yOx 
 e as coordenadas de 
 1,2yxQ 
 no sistema 
xOy
. 
3. Determine a translação dos eixos coordenados (nova origem e equações de transformação) 
que levam à forma reduzida as seguintes equações: 
a) 
044222  yxyx
 
b) 
08622  yxyx
 
c) 
01 68222  yxyx
4. Para cada item, converta os pontos como se pede, usando a translação indicada pela nova 
origem 
O
. 
a) 
 xyP 3,2
 para 
yx 
, com 
 5,1O
 
b) 
  yxQ 2,4
 para 
xy
, com 
 3,2 O
 
c) 
 xyR 0,1
 para 
yx 
, com 
 4,0O
 
d) 
  yxS 4,0
 para 
xy
, com 
 0,2O
5. Em cada um dos itens, por uma translação dos eixos coordenados, transforme a equação 
dada em outra desprovida de termos do 1º grau, se possível. 
a) 
;044222  yxyx
 d) 
;01242  yxy
 
b) 
;08622  yxyx
 e) 
0362444 22  yxyx
 
c) 
;02981 823 22  yxyx
 
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Parábola 
6. Identifique o lugar geométrico de um ponto que se desloca de modo que a sua distância ao 
ponto 
 3,2P
 é igual à sua distância à reta 
06: xr
. Em seguida a equação desse 
lugar geométrico. 
7. Em cada um dos seguintes itens, determine a equação padrão da parábola a partir dos 
elementos dados: 
a) Um ponto da diretriz 
 7,4
, vértice na origem e eixo de simetria Ox; 
b) Vértice 
 2,3
, eixo focal paralelo a Oy e o ponto 
 0,7L
 é uma das extremidades 
do latus rectum; 
c) Diretriz l:
01 x
, eixo focal 
02:. yFE
 e o ponto 
 2,3L
 é uma das 
extremidades do latus rectum; 
d) Diretriz l:
4y
 e os pontos 
 2,8 L
 e 
 2,4 R
 são as extremidades do latus 
rectum; 
e) Vértice 
 2,1V
, eixo focal paralelo a Ox e 
 6,7 P
 é um ponto do seu gráfico; 
f) Vértice 
 3,1V
, eixo focal paralelo a Oy e 
 1,3 P
 é um ponto da parábola; 
g) Eixo focal 
05:. yFE
, diretriz l:
03x
 e vértice sobre a reta 
32:  xyr
; 
h) Eixo focal 
4:. xFE
, diretriz l:
3y
 e foco sobre a reta 
5:  xyr
; 
8. Determine as coordenadas do vértice, do foco, as equações da diretriz e do eixo focal de 
cada uma das seguintes parábolas: 
a) 
   142 2  yx
 
b) 
01622  yxy
 
c) 
0333244 2  yxx
 
d) 
0542  yxy
 
e) 
02 3282  yxy
 
f) 
07 120484 2  xyx
9. Determinas as coordenadas dos pontos que são as extremidades do Latus Rectum da 
parábola que tem como diretriz a reta 
03 y
 e foco no ponto 
 1,1F
.
Elipse 
10. Um ponto 
 yxP ,
 se desloca de modo que a soma de suas distâncias aos pontos 
 1,3A
 e 
 1,5B
 é 10. Diga a natureza da curva descrita por P e em seguida 
determine sua equação padrão. 
11. Um ponto 
 yxP ,
 se desloca de modo que a soma de suas distâncias aos 
pontos
 2,3A
 e 
 6,3B
 é 8. Diga a natureza da curva descrita por P e em seguida 
determine sua equação padrão. 
12. Em cada um dos seguintes itens, determine a equação padrão da elipse, a partir dos 
elementos dados: 
a) Focos 
 8,31F
 e 
 2,31F
 e comprimento do eixo maior 10; 
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b) Vértices 
 1,51 A
 e 
 1,31 A
 extremidades do eixo maior, e excentricidade 
4
3
e
; 
c) Centro 
 2,1C
, um dos focos em 
 2,6F
 e 
 6,4P
 é ponto do seu gráfico; 
d) Eixo focal paralelo ao eixo Ox, um dos focos no ponto 
 3,4F
 e uma das 
extremidades do eixo menor no ponto 
 0,0B
. 
13. De acordo com os conhecimentos sobre elipse, determine 
as coordenadas dos focos e a equação padrão da cônica 
da figura ao lado. Obtenha também as equações de 
transformação e a nova origem da translação que levam a 
equação desta curva à forma reduzida. 
 
14. Sabendo que 
 5,7P
 é um ponto da elipse cujos 
extremos do eixo maior coincidem com os extremos do 
latus rectum da parábola 
0301 01 02  yxy
, determine sua equação geral. 
Hipérbole 
 
15. Determine a equação do lugar geométrico descrito por um ponto que se desloca de modo 
que o módulo da diferença de suas distâncias aos pontos 
 4,61 P
 e 
 4,22 P
 é 
igual a 6. Verifique se esta curva admite assíntotas e, em caso afirmativo, determine suas 
equações. 
16. Em cada um dos itens, determine a equação padrão da hipérbole, a partir dos elementos 
dados: 
a) Focos 
 3,11 F
 e 
 3,72 F
 e comprimento do eixo transverso igual a 4; 
b) Vértices 
 4,51A
 e 
 4,12A
 e comprimento do latus rectum igual a 5; 
c) Focos 
 1 3,21F
 e 
 1 3,22 F
 e comprimento do eixo não transverso igual a 24; 
d) Assíntotas 
01 14: yxr
 e 
01 34: yxs
 e um dos vértices 
 1,3A
; 
e) Eixo normal 
3y
, um dos focos no ponto 
 0,3F
 e excentricidade 
5,1e
; 
f) Focos 
 5,41 F
 e 
 5,42 F
 e comprimento do eixo transverso igual a 6; 
g) Assíntotas 
xyr 32: 
 e 
xys 32: 
, comprimento do eixo imaginário 6 e focos no 
eixo Ox. 
17. Reduza as equações das cônicas a seguir, através de uma translação, para a forma padrão, 
identificando os seguintes elementos: 
I. As coordenadas do(s) vértice(s) e foco(s); 
II. As equações do eixo focal, e eixo normal (elipse e hipérbole) ou diretriz (parábola); 
III. Comprimento do latus rectum e excentricidade; 
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IV. Comprimento dos eixos: maior e menor (elipse) / transverso (hipérbole). 
a) 
  0200502519 22  yyx
 c) 
0392424 22  yxyx
 
b) 
  01 44542259 22  xyx
 d) 
0631 83694 22  yxyx
 
18. Dizemos que duas hipérboles são conjugadas quando o eixo transverso de cada uma 
delas coincide com o eixo conjugado da outra. Dada a hipérbole 
   
1
1 6
3
9
1
:
22



 xy
H
, determine as coordenadas dos focos da hipérbole 
H
 
conjugada de 
H
 e sua equação geral. 
19. Uma hipérbole é dita equilátera quando o comprimento do seu eixo transverso é igual 
ao comprimento do seu eixo conjugado. Sabendo que os focos de uma hipérbole 
equilátera coincidem com as extremidades do eixo menor da elipse 
   
1
1 6
2
3 6
1
22



 yx
. Determine a equação padrão desta hipérbole. 
20. O vértice de uma parábola coincide com o centro da hipérbole 
01 91 4472: 22  yxyxH
 e sua diretriz coincide com o eixo focal da elipse 
    12
4
1
:
2
2


y
x
E
. Determine a equaçãopadrão dessa parábola. 
21. Os focos de uma elipse coincidem com os vértices da hipérbole 
01 991 86491 6: 22  yxyxH
. Sabendo-se que a excentricidade da elipse é 
igual a 
3
1
, escreva sua equação padrão. 
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Gabarito 
Questão 1. 
0)44)02042)1)4) 23222222  yxeyxdyxyxcyxbyxa
 
Questão 2. 
)2;1()3;4()
1
3
)1;3(4) 22 





 QePb
yy
xx
Oyxa
 
Questão 3. 
 
 
  14;1
4
1
)
254;3
4
3
)
92;1
2
1
)
22
22
22


















yxO
yy
xx
c
yxO
yy
xx
b
yxO
yy
xx
a
 
Questão 4. 
)4;2())4;1())5;6())2;3()  dcba
 
Questão 5. 
44)
)1l i m(04)
623)25)9)
22
2
222222



yxe
graudetermooinareposs ív elfoinãoqueobserv exyd
yxcyxbyxa
 
Questão 6. 
02386, 2  xyyParábola
 
Questão 7. 
)1(8)4())1(1 2)2()
)1(8)5())1(8)2()
)3(4)1())2(8)3()
)1(8)2()1 6)
22
22
22
22




yxhyxd
xygxyc
yxfyxb
xyexya
 
Questão 8. 
   
 
 
   
052:.5:1;
2
5
2;
2
5
)
1:.5:1;11;3)
2:.034:2;
4
5
2;1)
012:.01:3;
2
1
1;
2
1
)
3:.092:3;
2
7
3;4)
2:.0:2;21;2)










































xFEylFVf
yFExlFVe
yFExlFVd
xFEylFVc
yFExlFVb
xFEylFVa
 
Questão 9. 
   1;31;1 ReL 
 
Questão 10. 
1
9
)1(
25
)1(
,
22



 yx
Elipse
 
 
Questão 11. 
1
12
)3(
16
)4(
,
22



 xy
Elipse
 
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Questão 12. 
1
9
)3(
25
)1
7
)1(
16
)1(
)
1
20
)2(
45
)1(
)1
25
)5(
16
)3(
)
2222
2222














yx
d
yx
b
yx
c
yx
a
 
Questão 13. 
     1;2;
1
2
1
9
)1(
4
)2(
,51;2,51;2
22
21 O
yy
xx
e
yx
FF 










 
Questão 14. 
02251601501625 22  yxyx
 
Questão 15. 
 2
3
7
4:,:1
7
)4(
9
)2(
,
22




xysrAssíntotas
yx
Hipérbole
 
Questão 16. 
1
4
1
)3(
4
)1(
)
1
94
)1
1 44
)2(
25
)
1
1 6
)4(
9
)1
5
)4(
4
)3(
)
1
5
)3(
4
)3(
)1
5
)3(
4
)4(
)
22
2222
2222
2222





















xy
d
yx
g
xy
c
xy
f
yx
b
xy
e
yx
a
 
Questão 17. 
   
   
6.,1 0..
5
4
,
5
1 8
:..
1:.,1:..
1;3,1;5
,1;4,1;6.)
21
21





mEMEI V
eRLI I I
xNEyFEI I
FF
AAIa
 
   
   
2.,4..
2
5
,1:..
1:.,3:..
3;51,3;51
,3;3,3;1.)
21
21





mEMEI V
eRLI I I
xNEyFEI I
FF
AAIc
 
 
   
   
6.,1 0..
5
4
,
5
1 8
:..
3:.,2:..
2;7,2;1
,2;8,2;2.)
21
21





mEMEI V
eRLI I I
xNEyFEI I
FF
AAIb
 
   
2.,3..
3
1 3
,
3
4
:..
92:.,1:..
1;1 3
2
9
,1;1 3
2
9
,1;3,1;6.)
21
21

















mEMEI V
eRLI I I
xNEyFEI I
FF
AAId
 
Questão 18. 
    07 932541691;2,1;8 2221  yxyxeFF
 
Questão 19. 
1
8
)1(
8
)2( 22



 xy
 
Questão 20. 
22 )1(12)1(  yx
 
Questão 21. 
1
144
)1(
128
)2( 22



 yx