PLANO DE AULA UFSC LEI DE COULOMB E GAUSS

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CONCURSO UFSC – PLANO DE AULA[1: Este não é, naturalmente, um plano de aula tal qual normalmente usado. É sim uma versão especial mais longa e comentada para mais entendimento do planejamento e atividades por parte da banca.]
PROVA DE DESEMPENHO DIDÁTICO
EDITAL 022/DDP/2015
Candidata: CAMILA GASPARIN
Tema: LEIS DE COULOMB E GAUSS
Objetivo: Trabalhar as Leis de Coulomb e Gauss, detalhando e discutindo a fenomenologia, explanando a matemática básica envolvida e trabalhando alguns exemplos para entendimento prático dos alunos.
Recursos Instrucionais: Computador, projetor, quadro negro, giz. 
Planejamento da aula (duração de 40 a 45 minutos):[2: Esta aula não pode ser trabalhada avulsamente, ela faz parte de uma série de aulas que prevê uma aula anterior, de cerca de 40 minutos na qual seriam introduzidos os conceitos de carga, discutidas as formas de eletrização, comentados os experimentos históricos relacionados à carga elétrica, lei da conservação e a quantização da carga elétrica. Alguns destes experimentos, mais simples, poderiam ser reproduzidos em sala ou demonstrados através de applets, permitindo não apenas o entendimento dos aspectos discutidos, mas também da história da ciência, o caminho evolutivo dos conceitos aqui citados e a confluência de ideias ao longo do tempo. Muitos destes experimentos poderiam ser encontrados em artigos científicos, mas também no livro de Assis.]
Revisão e Introdução da Lei de Coulomb (aprox. 10 min): 
	Considerando que os alunos devem ter clareza nos conceitos de carga elétrica, conservação e quantização da carga, será feita uma revisão rápida destes aspectos seguindo para a introdução da Lei de Coulomb.
	Como a massa gravitacional de um corpo está ligada e é primórdio da força gravitacional, a carga elétrica está ligada à força elétrica, podendo ser positiva ou negativa (por convenção). A matéria, então, é normalmente neutra, ou seja, com iguais cargas positivas e negativas, o que cancela o efeito das interações elétricas.
A hipótese elaborada por Benjamin Franklin, cujas experiências o convenceram que na eletrização não há criação de cargas, apenas transferência destas de um corpo a outro, traz a mais antiga formulação da Lei de Conservação da Carga Elétrica. Importante também é lembrar que a Quantização da Carga, que pôde ser demonstrada através da experiência de Milikan e diversas outras, nos diz que a carga elétrica só pode ser encontrada em múltiplos de um único valor unitário.[3: Foi, inclusive, através desta formulação, baseada na transferência de cargas e considerando que os corpos são, a princípio, neutros, que chega-se à nominação positivo e negativo se referindo às cargas elétricas dos corpos.][4: Sendo este o valor da carga do elétron. Assim, a carga do elétron é:– e = -1,6021892 x e a carga do próton é:e = 1,6021892 x .]
Por último, recordamos que os processos de eletrização são atrito (triboeletrização), contato e indução.
	A partir disso, podemos começar a discutir a Lei de Coulomb uma vez que ela trata da interação entre duas cargas quanto às forças exercidas uma sobre a outra. Esta força é a Força Elétrica que é gerada pela carga e pode ser sofrida por esta.[5: MACHADO, páginas 169 a 172.][6: Conforme comenta Machado, a explicação completa de como a força elétrica age entre duas cargas elétricas precisa da Eletrodinâmica Quântica, o que foge ao objetivo desta aula.]
A interação entre duas cargas elétricas não precisa de meio material, podendo se manifestar no vácuo e sendo a interação através de fótons, ou seja, como a Relatividade Restrita diz que a maior velocidade permitida na natureza é a da luz (fótons) no vácuo, esta é a velocidade da interação entre as cargas elétricas. 
O experimento de eletrização por atrito no qual um bastão é atritado e passa a atrair objetos inicialmente neutros indica que a interação elétrica deve depender da distância da separação entre as cargas, pois, neste experimento, o efeito de atração pela indução só passa a ser observado quando aproximamos o bastão eletrizado dos objetos inicialmente neutros.
	Pois bem, agora nossa lógica inicial relacionando massa gravitacional à força gravitacional e carga elétrica à força elétrica passa a fazer sentido, pois voltamos nossa atenção aos experimentos de Prestley que, em 1766, verificou experimentalmente que com carga apenas na superfície inexistem forças no interior de um objeto metálico oco carregado. A mesma previsão é proveniente da Lei da Gravitação, pela qual a força gravitacional produzida no interior de um objeto esférico oco é nula e cuja dependência da força se dá com o inverso do quadrado da distância. Assim, Prestley inferiu que a força elétrica deveria ter uma dependência semelhante à gravitacional.[7: Joseph Pristley, químico inglês que descobriu o oxigênio.]
Em 1771, Henry Cavendish realizou a experiência da balança de torção através da qual determinou a constante gravitacional G.
Esta constante aparece na equação de Charles Augustin de Coulomb que realizou, em 1785, com John Mitchell e independentemente de Cavendish, experimento com balança de torção, com o qual verificou a dependência com o quadrado da distância da interação entre cargas elétricas, que o levou a estabelecer a lei de interação elétrica, cuja notação moderna é
Esta é a Lei de Coulomb, válida para o módulo da força, na qual: 
k: fator de proporcionalidade independente de q ou r;
 e : valores das cargas;
r: a distância entre elas.[8: Comentários extras quanto ao assunto podem ser encontrados no livro de Maxwell entre as páginas 32 e 47.]
Discussão, matematização e exemplificação (aprox. 10 min):
	Seguindo para a discussão da lei de Coulomb e seus aspectos matemáticos com resolução de dois exercícios exemplos de forma a instrumentalizar os alunos para posterior resolução de exercícios do capítulo 21 do Halliday.[9: Naturalmente, dois exercícios exemplos não serão suficientes para que todos alunos possam resolver todos exercícios propostos com tranquilidade, porém buscando a monitoria da disciplina e tirando dúvidas posteriores com a professora (em horário a ser marcado) não haverá dificuldades de chegarem a total entendimento dos exercícios.]
	Definida a Lei de Coulomb em módulo, vamos defini-la em sua forma vetorial.
Para isso consideramos duas cargas pontuais, conforme podemos ver na figura 1, localizadas no vácuo, nas posições e , sendo o vetor que aponta de para e o módulo da distância entre para .[10: Cargas pontuais aqui consideradas são aquelas cuja dimensão é desprezível em relação à distância entre elas.]
Figura 1: Cargas pontuais q e Q no vácuo.[11: Machado, página 173.]
Assim, a força elétrica exercida por q em Q é dada por:
Ou seja, se as cargas tiverem o mesmo sinal, a força exercida por q em Q terá sentido de e temos a força repulsiva, mas se as cargas tiverem sinais opostos esta força terá sentido apontando para q, ou seja, temos uma força atrativa.[12: Será demonstrado rapidamente no quadro.]
Nos falta apenas determinar a constante k, que é 
onde é a permissividade elétrica no vácuo e tem valor
E então, 
É importante destacar a Lei da Superposição que permite calcular a contribuição de n cargas q agindo sobre uma carga Q, sendo a soma vetorial de todas as forças que agem sobre esta, ou seja,
Caso não tenhamos cargas bem localizadas, mas uma distribuição contínua de cargas num certo volume V com densidade volumétrica , então a soma se transforma em uma integral, e temos
	Finalizando, resolvemos agora dois exemplos simples do livro de Machado (páginas 176 e 177):
Exemplo 1: Calcule a intensidade da força elétrica entre duas cargas pontuais de valores e , quando separadas por 10 cm.
	
	A força entre as cargas é atrativa, já que os sinais das cargas são opostos. Em módulo temos,
Exemplo 2: Suponha que duas esferas idênticas tenham cargas Q e 2Q e que elas estejam separadas por uma distância d. Qual é o módulo da força entre elas? Se as esferas forem postas em contato,qual será a nova carga de cada uma, e qual o novo valor do módulo da força entre elas se forem separadas novamente pela distância d?
	A força entre as cargas é repulsiva, e ela é dada em módulo por
Após o contato, as esferas adquirem cargas iguais, de valor
e agora o módulo da força vale
e a relação entre os módulos das forças é
Introdução, discussão e rápida matematização da Lei de Gauss (aprox. 10 min):[13: A sequência natural do conteúdo, presente nas diversas referências aqui adotadas, é seguir para o conceito de Campo Elétrico. No entanto, aqui isto será subvertido. Seguiremos à Lei de Gauss comentando rapidamente sobre as linhas de campo, e o retorno ao Campo Elétrico fica para a aula seguinte com trabalho detalhado sobre o conceito e cálculo do Campo Elétrico de diversos exemplos como fios infinitos e espiras.]
	Para introduzir e discutir a Lei de Gauss seria natural discutirmos o Campo Elétrico e calcularmos para algumas situações. Porém, aqui, outro caminho é escolhido. Seguiremos para o entendimento de Linhas de Campo, Fluxo e Lei de Gauss. 
Assim, por agora, podemos introduzir que o Campo Elétrico aqui considerado se dá por sua relação com a carga e a força através de
ou seja,
Como vimos anteriormente,
E assim temos,
em que a última expressão nos dá o Campo Elétrico em uma distribuição contínua de cargas em um certo volume V, com densidade volumétrica de cargas .
Além disso, é interessante entendermos as linhas de campo, pelo menos de forma ilustrativa.
Figura 2: Linhas de campo elétrico de uma carga pontual positiva e negativa. Observe que a simetria das linhas de campo é esférica. [14: Machado, página 215.]
Podemos observar as seguintes características das linhas de campo:
- As linhas de campo elétrico são direcionais. 
- Nas proximidades de cargas pontuais positivas, as linhas de campo elétrico parecem surgir destas, pois é convenção que o campo elétrico gerado por estas se orienta radialmente para fora. O oposto acontece com as cargas pontuais negativas, cujas linhas de campo elétrico nestas parecem ter fim, já que a convenção nos diz que o campo elétrico se orienta radialmente em direção a estas cargas.
- O número de linhas de campo saindo ou entrando em uma carga é proporcional ao valor Q da carga.
- O número de linhas de campo que atravessam uma superfície S normal às linhas em um dado ponto do espaço é proporcional à intensidade do campo elétrico neste ponto. [15: Machado, páginas 215 e 216.]
Agora, podemos falar de fluxo do campo elétrico através de uma superfície. [16: Podemos pensar em um análogo ao fluxo de água em um cano. A superfície que determina o fluxo (a vazão) de água no cano tem a ver com o fluido que o atravessa e a área desta superfície (determinada pelo diâmetro do cano).]
Podemos dizer que o fluxo é, basicamente, o produto escalar de um vetor, neste caso o campo elétrico, com uma superfície. Se formos analisar o fluxo de campo elétrico de uma carga pontual, será mais fácil analisarmos através de uma superfície esférica que envolva a carga, como pode ser visto na figura 3.
Figura 3: Carga pontual positiva envolta por uma superfície fechada S.[17: Machado, página 218.]
Como o campo elétrico de uma carga pontual tem simetria esférica radial, em cada ponto da superfície o campo tem módulo constante e está na mesma direção que a normal à superfície, que é radial. Assim, o fluxo de campo elétrico é dado por[18: O que fica claro uma vez que não há variação da carga dentro da superfície considerada.]
Portanto,
O resultado obtido nos traz que o fluxo de linhas de campo elétrico no caso analisado depende da carga Q envolvida pela superfície escolhida.
Vale ressaltar que para qualquer superfície escolhida o resultado encontrado seria o mesmo, porém, ao escolher outra superfície menos coerente com a distribuição de linhas de campo elétrico do caso, os cálculos seriam apenas dificultados.
Desta forma simples, obtivemos a Lei de Gauss, que é mais conhecida em sua forma integral:[19: Na próxima aula pode ser inserida a Lei de Gauss na forma diferencial.]
Finalizando, neste caso consideramos uma carga envolta por uma superfície. Mas se tivéssemos um caso no qual temos apenas uma superfície atravessada por linhas de campo, não geradas por nenhuma carga no seu interior, a menos que houvesse um sumidouro de linhas nesta superfície, deveríamos ter o mesmo número de linhas entrando e saindo deste. Ora, como neste caso a carga Q é zero, o fluxo de linhas será também zero (uma vez que tudo que entrou, saiu), teríamos
Exemplificação (aprox. 5 min):
	Resolvemos agora um simples exemplo para melhor atendimento dos alunos e instrumentação básica destes para resolução de outros exercícios propostos. Também do livro de Machado, este exemplo se encontra entre as páginas 226 e 227.
Exemplo 3: Considere uma carga pontual Q situada na origem.
Qual é o campo elétrico gerado por esta carga?
	O campo elétrico gerado por uma carga pontual tem uma simetria esférica radial, como mostra a figura 2. Isto significa que, a uma distância r da carga, o módulo do campo elétrico é constante e que sua direção é radial para fora, se a carga é positiva, ou para dentro, se ela é negativa. Essa simetria sugere que a melhor superfície gaussiana neste caso é uma esfera de raio r, centrada na carga, como mostra a figura 3. Assim, a normal à superfície é dada por , e temos
A integral do lado direito dá a carga Q dentro da superfície e o campo elétrico do lado esquerdo pode ser escrito como , onde o sinal positivo vale para uma carga Q positiva e o sinal negativo para uma carga Q negativa e, nesse caso, . Portanto, obtemos
O módulo do campo elétrico E é constante na superfície e pode ser retirado da integral, ou seja,
E, considerando a notação vetorial,
Qual a força elétrica exercida sobre uma carga na posição ? 
	A força elétrica exercida sobre uma carga q é dada por
Esta expressão é, na verdade, a lei de Coulomb para a força elétrica entre duas cargas, deduzida a partir da Lei de Gauss.
Fechamento e orientação de exercícios selecionados (aprox. 5 min): 
Resumo final da aula e espaço para dúvidas com orientação dos exercícios básicos a serem resolvidos para verificação do aluno de seu entendimento.
Os exercícios a serem resolvidos como forma de identificação e solução das dúvidas quanto ao conteúdo são os dos capítulos 21 e 23 do Halliday.
Os assuntos referentes ao capítulo 23 serão retomados na aula seguinte com a resolução da lei de Gauss para uma série de simetrias.
Boa fonte de revisão são alguns vídeos do YouTube como os do canal “EletromagnetismoUFF”, a exemplo do “Aula 1.1 - Introdução: Lei de Coulomb, lei de Gauss (forma integral)”, disponível em <https://www.youtube.com/watch?v=YTCXXG8Bpks> e vídeos subsequentes, e o “Cursos Unicamp – Física Geral III” da Univesptv, disponível em < https://www.youtube.com/playlist?list=PLxI8Can9yAHdG8tw2QofrU02IuAEVyGlL>. 
Atividade Extra (aprox. 5 min): 
Sobrando tempo de aula, serão apresentados os applets sobre Força Elétrica e Lei de Gauss disponíveis em <http://media.pearsoncmg.com/bc/aw_young_physics_11/pt2a/Media/Electricity/1108GaussLaw/Main.html>, <http://media.pearsoncmg.com/bc/aw_young_physics_11/pt2a/Media/Electricity/1107ElecFlux/Main.html>.
Referências:
ASSIS, André K. T. Os Fundamentos Experimentais e Históricos da Eletricidade. 1ª edição. São Paulo, SP: Editoria Livraria da Física, 2011.
HALLIDAY, David; RESNICK, Robert; WALKER, Jearl. Fundamentos de Física. 8ª edição. Rio de Janeiro, RJ: LTC, 2009, volume 3.
MACHADO, Kleber D. Eletromagnetismo. Ponta Grossa, PR: TODAPALAVRA, 2012, volume 1.
MAXWELL, James C. A Treatise on Electricity and Magnetism. 3ª edição. Clarendon Press, volume 1. 
NUSSENZVEIG, H. Moysés. Curso de Física Básica – Eletromagnetismo. 1ª edição, 6ª reimpressão. São Paulo, SP: Editora Blücher, 2007, volume 3.
PURCELL, Edward M. Curso de Física de Berkeley – Eletricidade e Magnetismo. Brasília, DF: EditoraEdgard Blütcher LTDA, volume 2.
CAMILA GASPARIN.
FLORIANÓPOLIS - SC, 04/03/2015.